( 重题 :9) 北京市第七中学 015~016 学年度第 学期期中检测试卷 九年级数学 015 年 11 试卷满分 :10 分考试时间 :10 分钟 选择题 ( 本题共 30 分 每 题 3 分 ) 下 各题均有四个选项 其中只有 个是符合题意的 1 抛物线 = ( x 1) + 的顶点坐标是 ( ) A (1 ) B (1 ) C ( 1 ) D ( 1 ) 解答 解: = ( x 1) + 的顶点坐标为 (1 ) 故选 A 次函数 = ( x 3) + 1 的最 值为 ( ) A 1 B 1 C 3 D 3 解答 解: 次函数 = ( x 3) + 1 是顶点式 顶点坐标为 (3 1) 函数的最 值为 1 故选 :A 3 将抛物线 = x 向右平移 1个单位 再向上平移 3个单位 得到的抛物线是 ( ) A = ( x + 1) + 3 B = ( x 1) + 3 C = ( x + 1) 3 D = ( x 1) 3 解答 解: 由题意得原抛物线的顶点为 (0 0) (1 3) 平移后抛物线的顶点为 新抛物线解析式为 = ( x 1) + 3 故选 :B 4 已知 O 的半径是 4 OP = 3 则点 P 与 O 的位置关系是 ( ) A 点 P 在圆内 B 点 P 在圆上 C 点 P 在圆外 D 不能确定 解答 解: OP = 3 < 4 故点 P 与 O 的位置关系是点在圆内 故选 A 58aac49074e74b45014e74b7530c4b 如图 等边三 形 ABC 内接于 O 那么 BOC 的度数是 ( ) A150 B10 C90 D60 A O B C 6 如图 AB 是 O 的直径 C D 是圆上两点 CBA = 70 则 D 的度数为 ( )
A 10 B 0 C 70 D 90 解答 解: AB 是 O 的直径 ACB = 90 CBA = 70 D = A = 90 70 = 0 故选 B 78aac50a74e74b3f014e81e8770399c 如图 扇形折扇完全打开后 如果张开的 度 ( BAC) 为 10 柄 AB 的长为 30cm 扇 的宽度 BD 的长为 0cm 那么这把折扇的扇 积为 ( ) π π 400 500 cm cm A 3 B 3 π 800 cm πcm C 3 D 300 B D A E C 8 如图所 体育课上 丽的铅球成绩为 64m 她投出的铅球落在 ( ) A 区域 1B 区域 C 区域 3D 区域 4 解 : 解 : 6 < 64 < 7 她投出的铅球落在区域 4; 故选 :D 98aac49074e4e5107014e65f6b6c1441a 次函数 = ax + bx + c 的图象如图所 则下列结论中错误的是 ( )
A 函数有最 值 B 当 -1 < x < 时 > 0 C a + b + c < 0 1 x < D 当 随 x 的增 减 108aac49074e74b45014e74fdf0850c8f 如图 菱形 ABCD 中 AB= B=60 M 为 AB 的中点 动点 P 在菱形的边上从点 B 出发 沿 B C D 的 向运动 到达点 D 时停 连接 MP 设点 P 运动的路程为 x MP = 则表 与 x 的函数关系的图象 致为 ( ) A D 7 7 7 7 M B P C A 4 x 4 B x C 4 x D 4 x 填空题 ( 本题共 分 每空 分 ) = ( m 1) x 11 如果抛物线的开 向上 那么 m 的取值范围是 = ( m 1) x 解 : 因为抛物线的开 向上 所以 m 1 > 0 即 m > 1 故 m 的取值范围是 m > 1 (0 ) 1 请写出 个开 向下 并且与轴交于点的抛物线的表达式 解 : 根据题意得 : = x x ( 答案不唯 ) = x x 故答案为 : ( 答案不唯 ) = x 4x + m 1 13 已知 次函数的图象经过原点 那么 m 的值是
解 : 关于 x 的 次函数 = x 4x + m 1 的图象经过原点 点 (0 0) 满 次函数的解析式 = x 4x + m 1 0 = m 1 解得 m = 1 故答案是 : 1 148aac49074e4e5107014e660b1d6c44af 如果圆锥的母线长为 5cm 底 半径为 cm 那么这个圆锥的侧 积是 cm 158aac49074e74b45014e750c49c40cb1 如图 点 P 是 O 的直径 BA 的延长线上 点 PC 切 O 于点 C 若 P = 30 PB=6 则 PC 等于 P A O C B 16 如图 以 O 为圆 的两个同 圆中 圆的弦 AB 是 圆的切线 若 圆半径为 10cm 圆半径为 6cm 则弦 AB 的长为 cm 解答 解: 设切点是 C 连接 OA OC 则在 RtOAC 中 AC = 100 36 = 8cm 所以 AB = 16cm 17 如图 PA PB 切 O 于 A B 两点 若 APB = 60 O 的半径为 3 则阴影部分的 积为 解答 解: 连接 OA OB OP
根据切线长定理得 APO = 30 OP = OA = 6 AP = OP cos30 = 3 3 AOP = 60 1 10 π 9 π = SAOP = 3 3 3 = 9 3 = 3 四边形的 积 ; 扇形的 积是 360 π 阴影部分的 积是 9 3 3 18ff80808149990d4b0149c1b131d93de 如图 AD 是 O 的直径 (1) 如图 1 垂直于 AD 的两条弦 B1C1BC 把圆周 4 等分 则 B1 的度数是 B 的度数是 ; () 如图 垂直于 AD 的三条弦 B1C1BCB3C3 把圆周 6 等分 则 B3 的度数是 ; (3) 如图 3 垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1BCB3 C3 BnCn 把圆周 n 等分 则 Bn 的度数是 ( 含 n 的代数式表 Bn 的度数 ) A B 1 C 1 B 1 A C 1 B 3 B B 1 A C 1 C C 3 O B O C O B C B 3 C 3 D D 三 解答题 ( 本题共 分 每 题 5 分 0 题 7 分 ) B n- C n- B n-1 C n-1 B n D C n ( 1 0) (3 0) (0 3) 19 已知 次函数的图象经过点 求这个函数的解析式 = ax + bx + c 解答 解: 设 次函数解析式为 ( a 0 ) 次函数的图象经过 ( 1 0) (3 0) (0 3) 三点 a b + c = 0 9a + 3b + c = 0 c 3 = a = 1 b = c 3 解得 : = 则该 次函数的解析式是 : = x x 3 0(7 分 )(015 秋 北京校级期中 ) 已知 次函数 = x 4x + 3 ( 1) 把这个 次函数化成 = a( x h) + k 的形式 ; ( ) 写出 次函数的对称轴和顶点坐标 ;
( 3) 求 次函数与 x 轴的交点坐标 ; ( 4 ) 画出这个 次函数的图象 ; ( 5 ) 观察图象并写出 随 x 增 减 时 变量 x 的取值范围 ( 6 ) 观察图象并写出当 x 为何值时 > 0 解答 解:( 1) = x 4x + 3 = ( x ) 1 则该抛物线解析式是 = ( x ) 1 ; ( ) 由 ( 1) 知 该抛物线解析式为 : = ( x ) 1 所以对称轴是直线 x = 顶点坐标为 ( 1) ( 3 = x 4x + 3 = ( x 1)( x 3) ) 次函数 次函数与 x 轴的交点坐标分别是 : (1 0) (3 0) ( 4 ) 其图象如图所 : ( 5 ) 由图象知 当 随 x 增 减 时 x ; ( 6 ) 由图象知 当 x < 1或 x > 3时 > 0 1 如图 AB 是 O 的弦 CD 是 O 的直径 CD AB 垂 为 E CE = 1 ED = 3 ( 1) 求 O 的半径 ; ( ) 求 AB 的长
解答 解:( 1) CE = 1 ED = 3 CD = CE + DE = 4 O 的半径为 ; ( ) 直径 CD AB AB = AE OEA = 90 连接 OA 则 OA = OC = OE = OC CE = 1 = 1 在 RtOEA 中 由勾股定理得 : AE = OA OE = 1 = 3 AB = AE = 3 8aac49074e0306014e35439c913dcf 如图 AB 是 O 的直径 CD 是 O 的 条弦 且 CD AB 于点 E (1) 求证 : BCO= D; () 若 CD= 4 AE= 求 O 的半径 四 解答题 ( 本题共 4 分 每 题 6 分 ) 3 尺规作图题 : 作 ABC 的外接圆 ( 保留作图痕迹 不写画法 ) 解答 解 : 如图所 ;
4 已知 如图 点 P 在 O 外 PA PB 是 O 的切线 A B 为切点 BC 是直径 连接 CA 求证 : CA OP 解答 证明: 连接 AB 交 OP 于 F 连接 AO PA PB 是圆的切线 PA = PB OA = OB PO 垂直平分 AB OFB = 90 BC 是直径 CAB = 90 CAB = OFB ACOP 5 如图 点 D 在 O 的直径 AB 的延长线上 点 C 在 O 上 AC = CD ACD = 10 ( 1) 求证 : CD 是 O 的切线 ; ( ) 若 O 的半径为 求图中阴影部分的 积 解答 ( 1) 证明 : 连接 OC AC = CD ACD = 10 A = D = 30 OA = OC = A = 30 OCD = 180 A D = 90 即 OC CD CD 是 O 的切线 ( ) 解 : A = 30 1 = A = 60
π π 60 S = = BOC 360 3 在 RtOCD 中 CD tan 60 OC = CD = 3 1 1 S OCD = OC CD = 3 = 3 π 3 图中阴影部分的 积为 : 3 6ff80808149990d5e0149c5f13915835 6 如图 AB 为 O 的直径 BC 切 O 于点 B AC 交 O 于点 DE 为 BC 中点 求证 :DE 为 O 的切线 五 解答题 ( 本题共 分 每 题 7 分 9 题 8 分 ) 7 已知 : 次函数 = mx ( m + 1) x + 1 ( 1) 求证 : 该抛物线与 x 轴总有交点 ; ( ) 若 m 为整数 当 元 次 程 mx ( m + 1) x + 1 = 0 的根都是整数时 求 m 的值 解答 (1) 证明 : Δ = ( m 1) 4 m = ( m 1) ( m 1) 0 Δ0 该抛物线与 x 轴总有交点 ; m + 1± m 1 x = ( ) 解 : m 1 x = x 1 = 1 m 当 m 为整数 1或 1时 x 为整数 该 程的两个实数根都是整数 m 的值为 1或 1 8 我们把 个半圆与 次函数图象的 部分合成的封闭图形称为 蛋圆 如果 条直线与 蛋圆 只
有 个交点 ( 半圆与 次函数图象的连接点除外 ) 那么这条直线叫做 蛋圆 的切线 如图 次函 = x x 3 数的图象与 x 轴交于点 A B 与轴交于点 D AB 为半圆直径 半圆圆 为点 M 半圆与 轴的正半轴交于点 C ( 1) 求点 C 的坐标 ; ( ) 分别求出经过点 C 和点 D 的 蛋圆 的切线的表达式 解答 解:( 1) 次函数 = x x 3 的图象与 x 轴交于点 A B 与 轴交于点 D 点 A( 1 0) 点 B 的坐标是 (3 0) AB = 4 半圆圆 为点 M BM = AM = OM = 1 连接 CM OC = CM OM = 3 点 C (0 3) 的坐标是 ; ( ) 设过点 C 的 蛋圆 的切线交 x 轴于点 G GC 是 M 的切线 GCM = 90 OM MC cos OMC = = MC MG 1 = MG MG = 4 G( 3 0) 3 = x + 3 直线 GC 的表达式为 3 ; 设过点 D 的直线表达式为 = kx 3 = kx 3 = x x 3 x ( + k) x = 0 Δ = [ ( + k) ] = 0 k = 过点 D 的 蛋圆 的切线的表达式为 = x 3
1 = x + bx + c 9 如图 已知抛物线 与坐标轴分别交于点 A (0 8) B(8 0) 和点 E 动点 C 从原点 O 开始沿 OA 向以每秒 1 个单位长度移动 动点 D 从点 B 开始沿 BO 向以每秒 1 个单位长度移动 动点 C D 同时出发 当动点 D 到达原点 O 时 点 C D 停 运动 ( 1) 直接写出抛物线的解析式 : ( ) 求 CED 的 积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式 ; 当 t 为何值时 CED 的 积最? 最 积是多少? ( 3 ) 当 CED 的 积最 时 在抛物线上是否存在点 P ( 点 E 除外 ) 使 PCD 的 积等于 CED 的最 积? 若存在 求出 P 点的坐标 ; 若不存在 请说明理由 1 = x + bx + c 解答 解:( 1 ) 将点 A (0 8) B(8 0) 代 抛物线 得 : c = 8 1 64 + 8 b + c = 0 解得 : b = 3 c = 8 1 = x + 3x + 8 抛物线的解析式为 : 1 = x + 3x + 8 故答案为 : ( ) 点 A (0 8) B(8 0) OA = 8 OB = 8 令 = 0 1 3 8 0 得 : x + x + = 解得 : x 1 = 8 x =
点 E 在 x 轴的负半轴上 E( 0) 点 OE = 根据题意得 : 当 D 点运动 t 秒时 BD = t OC = t OD = 8 t DE = OE + OD = 10 t 1 1 S = DE OC = (10 t ) t = t + 5 t 1 1 5 S = t + 5 t = ( t 5) + 即 5 S = 当 t = 5时 ; ( 3) 法 : 5 S = 由 ( ) 知 : 当 t = 5时 当 t = 5时 OC = 5 OD = 3 (0 5) D(3 0) 由勾股定理得 : CD = 34 设直线 CD 的解析式为 : = kx + b C (0 5) D(3 0) 将 代 上式得 : 5 k = 3 b = 5 5 = x + 5 直线 CD 的解析式为 : 3 过 E 点作 EFCD 交抛物线与点 P 如图 1 5 = x + b 设直线 EF 的解析式为 : 3
10 b = 将 E( 0) 代 得 : 3 5 10 = x 直线 EF 的解析式为 : 3 3 5 10 1 = x = x + 3x + 8 将 3 3 与 联 成 程组得 : 5 10 = x 3 3 1 = x + 3x + 8 34 x = 3 x1 = 00 1 = 0 = 解得 : 9 34 00 P( ) 3 9 ; 过点 E 作 EG CD 垂 为 G 1 5 SECD = CD EG = 当 t = 5时 5 34 EG = 34 5 34 DN = 过点 D 作 DN CD 垂 为 N 且使 34 过点 N 作 NM x 轴 垂 为 M 如图 可得 EGD DMN EG ED = DM DN 5 34 34 5 DM = 5 34 即 : 34
15 DM = 解得 : 34 7 OM = 34 MN = DN DM = 由勾股定理得 : 34 7 75 N( ) 34 34 过点 N 作 NHCD 与抛物线交与点 P 如图 5 = x + b 设直线 NH 的解析式为 : 3 7 75 40 N( ) b = 将 34 34 代 上式得 : 3 5 40 = x + 直线 NH 的解析式为 : 3 3 5 40 1 = x + = x + 3x + 8 将 3 3 与 联 成 程组得 : 5 40 Y = x + 3 3 1 = x + 3x + 8 75 4 x = 3 x1 = 8 解得 : 1 = 0 100 = 9 4 100 P( ) P(8 0) 或 3 9 综上所述 : 当 CED 的 积最 时 在抛物线上存在点 P ( 点 E 除外 ) 使 PCD 的 积等于 34 00 4 100 P( ) P( ) CED 的最 积 点 P 的坐标为 : 3 9 或 P(8 0) 或 3 9 九年级数学答案及评分标准 015 年 11 选择题 北京市第七中学 015~016 学年度第 学期期中检测 填空题 11 m 1;1 答案不唯 ;13 1;14 10π; 15 " ;16 16;17 9" -3π; 18 5 675 75 三 解答题
19 = 0 (1) = () 直线 x=(-1) (3)(10)(30)(4) (5)x (6)x<1 或 x 3 1 解 : OE = DE OB = 1 分 连结 OB 在中 RtΔOEB EB = OB OE = 3 3 分 CD 是 O 的直径 AB 是 O 的弦 CD 是 O 的直径 CD AB 垂 为 E CE = 1 DE = 3 CD = CE + DE = 4 r = 1 分 AB = BE 4 分 AB = EB = 3 5 分 A E O D C B (1) 证明 : OC=OB BCO= B 1 分 AC = AC B= D BCO= D 分 () 解 : AB 是 O 的直径 CD AB CE= 1 1 CD = 4 = 3 分 在 Rt OCE 中 OC =CE +OE 设 O 的半径为 r 则 OC=rOE=OA-AE=r- r ( ) ( r ) = + 4 分 四 解答题 3 略 6 略 解得 :r=3 O 的半径为 3 5 分 4 略 5 (1) 略 ;()" -" π
五 解答题 7 解:(1) 证明 : Δ = -(m+1)] -4m=(m-1) 分 (m-1) 0 Δ 0 该 程总有两个实数根 3 分 () 解 : ( m+1) ± ( m 1) x = m x1=1x= 1 m 5 分 当 m 为整数 1 或 -1 时 x 为整数 即该 程的两个实数根都是整数 m 的值为 1 或 -1 7 分 8 (1) 由题意得 : 分 ; () 设过点 D 的直线表达式为 或 或 5 分 ; 过点 D 的 蛋圆 的切线的表达式为 7 分 ; 9 (1) ;() 当 t=5 时 S 最 1 = ;(3) 存在 P( 1 5 34 = x + 3x + 8 S = t + 5t 3 00 9 ) 或 P(80) 或 P( 4 100 ) 3 9