National Kaohsiung First University of Science and Technology 微積分 Chapter3 微分的應用 Infomechatronics and Power Electronics Lab. 國立高雄第一科技大學機械與自動化工程系
微分的應用 3.1 極大和極小值 3.2 均值定 3.3 導數和函數的圖形 3.4 函數圖形的描繪 3.5 最佳化問題 3.6 牛頓法 3.7 反導數
3.1 極大和極小值 如圖 1 所示為極大直和極小值示意圖, 其中 f a 為極大值, f d 為極小值 圖 1 極大和極小值示意圖
定義一 (I) 極大值 (maximum value) : 在任意定義域 D 中如果函數 f 的 x 滿足下列式 : f (c) f (x) 即函數 f 在 x=c 時會有絕對極大值 (absolute maximum) 或稱全域極大值 (global maximum), 換句話說 f (c) 就是函數 f 在定義域 D 中的極大值 (maximum value)
定義一 (II) 極小值 (minimum value) : 任意定義域 D 中如果函數 f 的 x 滿足下列式 : f (c) f (x) 即函數 f 在 x=c 時會有有絕對極小值 (absolute minimum) 或稱全域極小值 (global minimum), 換句話說 f (c) 就是函數 f 在定義域 D 中的極小值 (minimum value) 上述的最大和最小值稱為 f 的極值 (extreme values)
定義二 極大值 (maximum value) : 函數 f 對 c 點附近之 x 都滿足下列式 : f (c) f (x) 即稱 f 在 c 點有區域極大值 (local maximum) 或稱相對極大值 (relative maximum) 極小值 (minimum value) : 函數 f 對 c 點附近之 x 都滿足下列式 : f (c) f (x) 就說 f 在 c 點有區域極小值 (local minimum)
極小值 由圖 2 為極小值示意圖可知, 當 x=0 且 y=0 時, 則極小值為 0 且沒有極大值 圖 2 極小值
無極大極小值 如圖 3 所示為無極大極小值示意圖, 由圖 3 可知任意 x 點與任意 y 點無法得到極大值與極小值 圖 3 無極大極小值
定義三 極值定理 : 函數 f 在一封閉區間 [a, b] 中連續, 則在 [a, b] 中存在二個值 c d 使得 f (c) 為絕對極大值且 f (d) 為絕對極小值, 如圖 4 所示 (a) (b) 圖 4 極值定理
定義四 費馬定理 : 函數 f 在 c 點有區域極值, 且存在 f c, 則 f 如圖 5 所示, 雖然 f c 0 但無極大極小值 如圖 6 所示, 雖有極小值但 f c 不存在 c 0 圖 5 無極大極小值 圖 6 極小值
定義六 七 定義六 : 函數 f 在 c 點使導數 f c 或 f c 0 不存在時, 稱 c 點是函數 f 的一個臨界點 (critical point) 定義七 : 若函數 f 在 c 點有區域極值, 則 c 點是函數 f 的一個臨界點
閉區間法 依造下列 1 至 3 步驟, 可求出連續函數 f 在封閉區間 [a, b] 之絕對極值 : 步驟一 : 在 (a, b) 的臨界點上求得函數 f 的函數值 步驟二 : 求函數 f 在端點的值 步驟三 : 藉由步驟一和步驟二得到的值中, 其最大的值就是 絕對極大值 ; 其最小的值就是絕對極小值
3.1 習題 請找出下圖中函數的相對和絕對極值
3.2 均值定理 (I) 洛爾 ( Rolle) 定理 : 假設函數 f 滿足下列三個條件 : 條件一 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 連續 條件二 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 可微 條件三 : 函數 f (a) 等於函數 f (b) 0 則在 (a, b) 中存在一 c 點滿足函數 f c
均值定理 (II) 如圖 7 所示, 均符合洛爾 ( Rolle) 定理條件一至條件三 : (a) (b) (c) 圖 7 洛爾定理
均值定理 (III) 均值定理 (Mean Value Theorem): 當函數 f 滿足下列條件時 : 條件一 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 連續 條件二 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 可微 則在 (a, b) 區間中存在一 c 點滿足下列式子 : 1. f '( c) f ( b) b f a ( a) 2. f ( b) f ( a) f '( c)( b a)
定理與引理 定理 : 若函數 f 在 (a, b) 區間中, 其任一 x 點都滿足下列式 : f ( c) 0 則函數 f 在 (a, b) 是一常數函數 引理 : 如果二個函數 f 和 g 在區間 (a, b) 中的任一數 x 都滿足 0 f x g x 則函數 f - g 在 (a, b) 上是一常數函數 ; 換句話說存在一常數 c 形成下列式 : f (x)=g (x) + c
3.2 習題 於函數 f 之圖形中求出 c 點, 其必須在 [0,8] 區間中且滿足均值定理 :
3.3 導數和函數的圖形 圖 8 導數與函數圖形
遞增與遞減 遞增與遞減之檢定 : (a) 函數 f 如果在區間上滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在這區間是遞增函數 (b) 函數 f 如果在區間上滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在這區間是遞減函數
一階導數之檢定 : 一階導數 假設 c 是連續函數 f 的一臨界點 : (a) 如果 f c 0 f c 0 則函數 f 在 c 點上有區域極大值 (b) 如果 f c 0 f c 0 則函數 f 在 c 點上有區域極小值 (c) 如果 f c 正負號沒有變 則函數 f 在 c 點就沒有區域極值
區域極大極小值 如圖 9 所示為區域極大值, 如圖 10 所示為區域極小值 圖 9 區域極大值 圖 10 區域極小值
無區域極值 如圖 11 所示為無區域值 (a) 圖 11 無區域極值 (b)
上凹 上凹 (concave upward) : 函數 f 於 I 區間中之圖形如圖 12 所示, 如果都位於任一條切線於上方, 稱函數 f 在 I 是上凹 (concave upward) 的 圖 12 上凹圖
下凹 下凹 (concave downward): 函數 f 於 I 區間中之圖形如圖 13 所示, 如果都位於任一條切線於下方, 稱函數 f 在 I 是下凹 (concave downward) 的 圖 12 下凹圖
反曲點 (inflection point) : 定義 函數 y = f (x) 的圖形於 P 點改變其凹性 ( 由上凹變下凹或下凹變上凹 ) 稱為反曲點 (inflection point) 函數凹性的檢定 : (a) 函數 f 在 I 區間中之任一點滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在 I 中是上凹的 (b) 函數 f 在 I 區間中之任一點滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在 I 中是下凹的
二階導數 二階導數之檢定 : f 如果函數在 c 點附近是連續的 f ( c) 0 f ( c) 0 (a) 若且 則函數 f 在 c 點有區域極小值 f ( c) 0 (b) 若且 f ( c) 0 則函數 f 在 c 點有區域極小值
3.3 習題 如右圖所示為函數 f 之圖形 (a) 函數 f 於何處是遞增的? 為什麼? (b) 函數 f 於何處有區域極值 (c) 函數 f 於何處是上凹的? 在於何處下凹的? (d) 當 x 於何處會有反曲點? 為什麼?
3.5 最佳化問題 絕對極值的一階導數檢定 : 若 c 點是函數 f 於一區間中之一臨界點 : (a) 所有 x < c 如果都滿足下列式 : f x 0 而對所有 x > c 都滿足下列式 : f x 0 則函數 f (c) 就會是函數 f 的一個絕對極大值 (b) 如果對所有 x < c 如果都滿足下列式 : f x 0 而對所有 x > c 都滿足下列式 : f x 0 則函數 f (c) 就會是函數 f 的一個絕對極小值
商業上之應用 : 3.5 最佳化問題 (I) 如果生產 x 單位商品其它的成本函數 (cost function) 為 W(x), 則它的導函數 W x 就是邊際成本函數 (marginal cost function) 以市場角度來看, 假設該商品之定價為 Q(x) 時可以售出 x 單位, 該函數 Q 稱需求函數 (demand function)( 或可稱價格函數 (price function)) 如果商品以價格 Q(x) 賣出 x 單位, 則總收入為下列式 : P(x)=xQ(x) P 稱為收益函數 (revenue function), 它的邊際收益函數 (marginal revenue function) 為導數, P 換句話說是總收入相對於銷售量之變化率
最佳化問題 (II) 當商品賣出 x 單位時, 則實際利潤為 : C(x)= P(x) - W(x) 函數 C 稱為利潤函數 (profit function), 其導數 C 則稱為邊際利潤函數 (marginal profit function)
3.6 牛頓法 如圖 13 所示是藉由牛頓法所繪製出, 其下列式子為牛頓法公式 : x x f n 1 n f x x n n (a) 圖 13 牛頓法 (b)
3.7 反導數 反導數 (antiderivative): 如果函數 F 在 I 區間上, 其任一 x 點之導數可表示為 : F x f x 則函數 F 就稱為 f 之一反導數 (antiderivative) 如圖 14 所示 圖 14 反導數函數
反微分公式 函數特殊反導數函數特殊反導數 cf(x) cf(x) cosx sinx f(x)+g(x) F(x)+G(x) sinx -cosx n x ( n 1) n 1 x n 1 sec2x secx tanx tanx secx