Chp 複變分析 Copl Anlss - 基本觀念 在複數平面上定義一個複數 如圖所示, 其中 : 稱複數 稱為實數, 記為 R 稱為虛數, 記為 I 由圖可得, 與 r,θ 之關係可知 r osθ r snθ r osθ r snθ r osθ snθ θ r 極座標 E.. R: I: 定義 : 一個複數的絕對值 長度 r
定義 : 一個複數的共軛複數 複數加法定義 : 若 則 E.. 加法 5 5 5 7 複數乘法定義 : 若 則 E.. 乘法 若 求? E.. 乘法 r θ, θ θ θ r r r 複數除法的定義 :
E. 5. θ os θ sn θ os θ k sn θ k θ k k,,,, * 複數的 n 次方根 : 若 θ r n 則? 由 r 得 n θ r n r θ k θ k n k,,,,..., n E. 6. 已知, 求 Z 的 次方根 r θ, r, θ r k,,, k, w k, w k, w k, w θ k 6 os sn E. 7. 已知, 求 的 次方根?
w k w k w k r k.5.866,.866.5,,,, k θ E. 8. 已知 -, 求 的 次方根? θ θ k r 其中 k,, w k w k w k.866.5 :.5 :.866.5 : 7 5
- 複變函數 設 為複數平面一點,w 為複數平面 w 平面一點, 若存在一個從 平面的對應 關係, 使得 w 則稱此對應關係 為複數 的函數 E. 計算 之實部與虛部 w,, 則 實部 : 虛部 :,, 說明 : 當 為常數時得 上式說明 平面上的雙曲線 對應至 w 平面上 的垂直線 同理 k 是常數時得 k 上式說明 平面上的雙曲線 k 對應至 w 平 面上的水平線 k 複數函數的極限 : 對於任意的一正數 ε>, 必存在另一正數 δ>, 使得當 < δ 時, 可以滿足 < ε 記為 : l L L 稱為當 Z 趨近於 Z 時 Z 之極限值 5
複數函數的連續 若 滿足下列條件 在 的定義域內 l L 存在 l 則稱 在 處連續 複數函數的可微 設 為 的定義域內一點, 若 l 將極限值稱為 在 的導數 存在, 則稱 在 為可微分, 且 E. 試証 不可微 證明 : 由已知得 則 的導函數 l 沿著. 的路徑逼近極限 - 則 l l - 沿著. 的路徑逼近極限 則 l l 6
因此 l 之極限值不存在, 故 不可微 基本複數函數的定義 指數函數的定義 : 即 實部與虛部 : Z Z X os sn os sn os sn E. 右圖中 平面上的 ABCD 在 映射之後得部分圓環 os, sn os, sn - 複數三角函數與雙曲線函數的定義 : os osh sn snh E. 求 os 之實部 與虛部 os 7
8 snh sn osh os sn os ] sn os sn os [ os 實部 : osh os 虛部 : snh sn E. 求 sn 之實部 與虛部 sn snh os osh sn os sn ] sn os sn os [ ] sn os sn os [ os 實部 : osh sn 虛部 : snh os E. 求 osh 之實部 與虛部 snh sn osh os sn os ] sn os sn os [ osh 實部 : osh os 虛部 : snh sn
9 三角函數與雙曲線函數之定義 : os osh sn snh E. 求 os 之實部 與虛部 os snh sn osh os sn os ] sn os sn os [ os 實部 : osh os 虛部 : snh sn E. 求 sn 之實部 與虛部 sn snh os osh sn os sn ] sn os sn os [ ] sn os sn os [ sn 實部 : osh sn 虛部 : snh os
E. 求 osh 之實部 與虛部 snh sn osh os sn os ] sn os sn os [ osh 實部 : osh os 虛部 : snh sn E. 求? sn? os? snh? osh snh sn sn sn os sn os snh osh os os sn os sn os osh 說明 : 所有實數的三角函數公式在複數中皆可使用例如 : os sn s tn E. snh sn osh os sn sn os os os os os sn os sn sn sn sn os os os ± ± ± α β β α β α β α β α β α
對數函數之定義 : ln ln r θ θ 其中, θ Θ n n,±,±,.. Θ : 稱主幅角, Θ E. 計算 ln? θ r r, θ ± n ln ln r θ ln ± n ± n n, ±, ±,... E. 計算 ln? θ r r, θ ± n ln ln r θ ln n n n, ±, ±,... E. 計算 ln? r θ r, θ ± n ln ln r θ ln ± n ± n. 其中 n, ±, ±,... E. 計算?
令 w 則 ln w ln 其中 n, ±, ±,... ln [ln ± ± n ] ± n ln w ± n Ch-Rnn Eqton 定理 : 若,, 是可微函數 則, 證明 : 是可微函數, 因此 存在, 即 之極限存在 l 沿 Δ 路徑逼近 Δ ' l l -------- 沿 Δ 路徑逼近 Δ
' l l l -------- 因 存在, 所以不論由任何路徑逼近極限, 其極限值都必相等, 比較, 式之實部 虛部可以得 Ch-Rnn Eqton 與 定義 : 解析 在定義域 Don 內可微, 則 稱為解析函數 Anlt nton 若 在 的鄰域內可微, 則稱 在 處解析 解析 可微 Coh Rnn Eq. 定理定理定理定理 : 若,,, 其中, 是實數函數, 且, 的一階偏導數連續, 在定義域內滿足柯西黎曼式, 則 是解析函數 E., 是否為解析函數?,,, E., 是否為解析函數? 不解析一階偏導數連續,
,,, E. 若 是解析函數, 則必滿足 與 由 是解析 得因 是連續函數, 則 滿足柯西黎曼式解析一階偏導數連續, 同理即
- 複變函數的積分 定理 : 若 是解析函數, 在一簡單連通區域內, 則存在 F 使得 F 即 d F 說明 : 簡單連通區域是此區域沒有分開成兩個或以上的區域 例如 : 而如 : E. d E. os d sn sn sn sn snh 定理 : 若 是一條, 分段不滑曲線, 可表示成 t, 且 在曲線 上是連續函數則 5
b d d t dt dt E. d? 路徑 : 逆時針方向 θ d θ θ, θ dθ θ r r 原式 θ dθ θ dθ θ E. d 路徑 : ρ, 逆時針方向 d ρ 原式 ρ θ θ dθ ρ dθ θ θ θ dθ E. d,,,... 令 d ρ ρ θ dθ θ 路徑 : ρ, 逆時針方向 : 包住 是整數 6
7 θ θ θ θ θ ρ ρ θ ρ θ ρ θ ρ d d d 原式 柯西積分公式 d 路徑 : 包住 之逆時針封閉路徑 E. d : 逆時針方向 8 6 附註 : ] sn[ ] os[ 結論 :
, d, E. d : 逆時針方向 9 d 定理 : 柯西積分公式 d 其中 n,,,.. : 包住 之逆時針封閉路徑 說明 由 d 等號兩邊對 作微分 d d d d.. n d n! n 上式 在 的極點 pol 稱為 n 階極點 8
9 E. 計算積分 d 其中 : : 逆時針 : 順時針, 原式 d d d 6 其中 8 6 定理定理定理定理 : 若 是解析函數 d 定理定理定理定理 : n d 若路徑 沒有包住, 則上式積分為零 是解析函數 E. d 5 d 8. 其中
定理定理定理定理 : d 其中路徑 如圖所示包住 k 個 pol 則 d k d d d d... - 泰勒級數與羅倫級數泰勒級數與羅倫級數泰勒級數與羅倫級數泰勒級數與羅倫級數 Tlor s Srs & Lrnt s Srs Tlor s Srs 泰勒級數 公式 :! n n n n, 是解析函數說明 :!...!.........!..! n n n,,,5,...,,,,,..., d d n d n : 包住 E. 求 os 對 之 Tlor s Srs,
sn os sn os...!!! os!!! 6! 6... 6! 6... E. sn 對 之 Tlor s Srs os sn os sn...!!! sn!!!! 5! 5... 5! 5... E. 對 展開 Tlor s Srs!!! 5! 5...
說明 : 對 之 Tlor Srs 又稱 Mlrn Srs E. os! 6! sn!! 5! 5 6......!!! 5! 5... 5 6 7!!! 5! 6! 7! 8! 8... E. 對 展開之 Mlrn Srs!! 5! 5...... 為發散級數 等比級數和公式推導 : Sn r r r r... r n n rsn r r r r... r r ------------------------------------------------------------------ r Sn - r r Sn r n n n
若 r <, 則 Sn r r r r... 則 S n r r 稱為收斂半徑 -5 羅倫級數 Lrnt s Srs 與留數定理 b d b 其中 b 稱為留數 b b...... E. sn d os d sn E. d 其中路徑 : 逆時針方向 5 7 sn...! 5! 7! 6 sn sn... d! 5! 7! sn E. d 其中路徑 : 逆時針方向 5 7 sn...! 5! 7! 5 sn! 5! 7! sn d...
sn E. d 5 積分公式 n d 其中路徑 : 包住 n n! d n 其中路徑 : 沒有包住 os E. d 其中路徑 : 逆時針方向 os sn [ sn ] sn snh 6 E. d 其中路徑 : 逆時針方向 6 6 6 [ 6 ]! [ 6]! 8
E. d 其中路徑 : 逆時針方向 6 5 d E. d 其中路徑 : 逆時針方向 b!!!!!!! b! d!...... E. 計算 對 之 Lrnt s Srs 展開 <...... 5
6 E. d 其中路徑 : E. d 其中路徑 : 6 ] [ 簡單奇點的留數簡單奇點的留數簡單奇點的留數簡單奇點的留數 :......... b d d d d b d b 包住 因此... b 定理定理定理定理 : 在 簡單奇點之留數為 l b
7 定理定理定理定理 : 若 之型式為 q p 其中 p,q 是解析函數, 則在 簡單奇點之留數為 ' R q p s b E. 在 的留數 s R s R 柯西積分公式柯西積分公式柯西積分公式柯西積分公式 g g g d g g 為 g 之留數 二階奇點二階奇點二階奇點二階奇點 ] [... ] [...... b d d b d d b b b b 柯西積分公式柯西積分公式柯西積分公式柯西積分公式 ' g d g
g g ' 為 之留數 E. 計算 d 條件如下 : <> 只包住 <> 只包住 <> 只包住, <> 沒有包住, <> 原式 Rs 8 <> 原式 Rs <> 原式 8 6 <> 原式 定理 : k d n R s 其中路徑 包住 k 個奇點 5 E. 求, 在 的留數 5 5 5 R s 8 tn E. d 其中路徑 tn [ : tn tn R s [ ] tn tn tn tn ] 8.596.57
-6 複數積分的應用 實數積分 型式 : osθ,snθ dθ 取 以及 得 d dθ θ d dθ osθ θ snθ θ θ θ osθ snθ θ, θ d 則原式可以改寫為 g, 其中路徑 : E. d θ osθ d 原式 d 9
d ] [ 柯西主值積分 l R R R R d d 上式不是柯西主值積分不一定能夠收歛, 而 R R R d l 才是柯西主值積分型式 : R R R d d l 條件 : 當, R R d d d d d 其中 l R d 因此 R l s d d R R R E. d 首先求根 k
sn os,,,, k k 原式等於 ] [ ] [ d d