第三章 OFDM 系统中的同步技术 008:p81-19 在通信系统中, 同步技术始终是一个重要的课题 单载波系统中, 载波频偏只会对接收信号造成一定的衰减和相位旋转, 可通过均衡等克服 由于 OFDM 符号的持续时间远大于采样间隔, 时延扩展或定时偏差所产生的 ISI 影响不大 只要 OFDM 符号的 FFT 窗开始位置处于无 ISI 干扰的 CP 部分就不会带来 ISI, 对时间同步要求不高 频偏使得子载波间的正交性破坏, 造成 ICI, 因此对频谱敏感
3.1 同步技术分类 采样时钟同步 : 保持本地采样时钟与发端时钟一致, 否则将会造成 ICI, 而且会对符号同步产生一定的漂移, 造成系统性能恶化 符号定时同步 : 定时偏移会引起子载波相位旋转, 且旋转角度与子载波的频率有关, 频率越高旋转角度越大 ; 如果定时偏移 + 最大时延扩展 >CP, 造成 ISI 和 ICI; 符号同步的目的是寻找合适的 FFT 窗位置 频偏估计 : 收发两端存在载波频率偏差以及多普勒频移, 每个在时间 t 的信号样本都包含未知的相 j fct 位因子, 为了不破坏子载波间的正交性, e
需要对频偏进行估计 频偏由包含子载波间隔的整数倍偏移和子载波间隔的小数倍偏移两部分 子载波间隔的整数倍偏移不会引起 ICI, 但子载波位置产生了偏移,SER=50% 子载波间隔的小数倍偏移造成抽样点不再在顶点, 破坏子载波间正交性, 造成 ICI SNR e SNR 1 0.5947SNR sin 要获得 SNR 30 db, 要求 1.310 - sin
3. 同步误差对系统性能影响 时变信道以及同步误差都将破坏子载波间的正交性, 造成 ICI OFDM 信号的表示 1, 1 N 1 j k n N xn X ke NG n N N k 0 * X k 为调制在子载波 k上的数据, N * E x m x k E m k m k 为调制数据信号的能量, 根据中心极限定理, 当 N充分大时, 传输信号 xn 服从均值为 0的复高斯过程 G 为保护间隔 信道采用广义平稳不相关散射 (WSSUS) 模型, 用延迟功率谱 ( 各径的能量分布 ) 和散射函数 ( 各径的时变特征 ) 表示
假设信道最大多径时延为 L个样点 ( L N IFT为第一类零阶贝塞尔函数, 信道第 l径的冲击相应为, h n l A n l l L1 l 为第径的能量, l l 为第径衰落, l l0 A l A 1, n l E n 1, 各径的相关函数为,, * n n,, f E h n l h n l AlA 1 l J l l N f 信道总的冲击响应为 : 1 d 1 1 0 1 L1 l0 l L1 h n h n l A n l l0 经过多径信道后的接收信号为 L1 N1 1 y[ n] x[ n] hn, A nd ke N l l l l l0 k0 G ), 多普勒频偏的 j k nl N
OFDM 系统中 ICI 分析 ISI ICI,MAI 以及小区间干扰 ICI 是 OFDM 系统中最本质的干扰 产生 ICI 的原因 : 时变信道 : 影响信道估计精度 频偏 : 频率同步算法更快速准确跟踪接收信号频率 定时偏差 : 接收端符号同步在无 ISI 的 CP 部分
- 时变信道产生的 ICI 接收信号经过 FFT解调后 N1 N1 1 j kn N r[ k] y[ n] e [ k, k] d[ k] [ m, k] d[ m] N k0 m0 mk L1 j ml N N1 Ae l [ m, k] l[ n] e l0 N n0 第 k个子载波受到的干扰能量 N1 N1 d m0 m0 mk mk j n mk N P [ k] E [ m, k] d[ m] [ m, k] ICI [ m, k] 是子载波 m带给 k的平均干扰能量 [ m, k] E [ m, k]
* [, ] [, ] [, ] E m k E m k m k n1 n f N1 N1 d J 0 N n 0 n 0 N f J 0 1 e 1 () 为偶函数, 化简上式, 得 j m k n n N N 1 1 1 n f d n m k [ m, k] N n J0 cos N N n1 0 N f N 子载波 m 对子载波 k 的均值干扰能量为该两子载波间距离的偶函数 1 矩阵 为对称矩阵, 且每个子载波的信干比相同
- 频率偏差产生的 ICI 将频率偏差对接收信号的影响看成单径乘性衰落, 其等价的信道冲击响应 h n j n N [ ] e, 子载波 m对子载波 k的干扰分量 1 [ m, k] N N 1 n0 e [ m, k] E [ m, k] 是用子载波间隔归一化的频率偏移 jn mk N 子载波 m带给 k的均值 ICI干扰能量 sin N sin m k N
- 定时偏差产生的 ICI 定时偏差引入 ISI, 破坏子载波间的正交性 ' 若 FFT窗偏离无 ISI区域 M个样点, 用 x 表示该等价干扰数据源 ' * [ ] ' [ ] d E x m x k m k ICI l l N n0 llm 1 n L ' ICI [ ] ll[ ] [ ] llm 1 n ICI干扰信号 : y n A n x n l 变换到频域, 子载波 k受到的干扰信号 M1 L 1 Y [ n] A [ n] x [ n l] e 子载波 k受到的均值干扰能量 P ICI [ k] ' j kn N E Y k Y k A M1 L * ICI ICI l N n0 llm 1 n [ ] [ ] d 每个子载波受到的均值干扰能量都相同, 与子载波序号 k无关
定时偏差导致 ICI 原理图 M 部分等价看成前一符号的尾部数据与当前符号的尾部数据之差
同步误差对 OFDM 系统性能影响 CP 可分为 部分 : 有 无 ISI 的 CP 区域 符号定时的目的是找到 FFT 窗起始位置, FFT 窗定时在不同位置对系统产生不同影响 FFT 窗定时在无 ISI 的 CP 区域 FFT 窗定时在有 ISI 的 CP 区域 FFT 窗定时在当前符号的数据区域
FFT 窗定时在无 ISI 的 CP 区域 : 无干扰, 频域子载波有一定的相位旋转 后面的信道估计算法无法区分这种定时偏差产生的相位和信道本身的相位, 将其视为信道相位一起补偿, 不影响性能 FFT 窗定时在有 ISI 的 CP 区域 :FFT 窗内包含一小部分前一符号的信号, 成为当前符号的干扰, 产生 ICI, 干扰程度有限 FFT 窗定时在当前符号的数据区域 : FFT 窗内将包含下一符号的信号, 成为当前符号的干扰, 由于窗内包含较大的其它信号能量, 产生的干扰比较严重
收发两端频率不同 ( 接收机晶振不稳定和精度限制以及信道的多普勒频移 ) 频偏用子载波间隔归一化, 整数倍频偏不会产生 ICI, 但如不能估计, 无法恢复传输的数据 小数倍频偏产生 个主要后果 :(1) 降低了接收的有用信号幅度, 即 sinc 函数偏移使得接收信号不再在有用信号的峰值上采样 ;() 产生 ICI 频率偏移的示意图
3.3 同步算法 一般先作定时估计, 再作频偏估计 基于 CP 的同步算法 : 不需要额外的开销 数据辅助的同步算法 : 引入前导信号, 可获得较好的性能, 计算复杂度低 基于 CP 和数据辅助的同步算法 盲同步算法 : 根据信号的高阶统计特性或信号自身的特点, 计算复杂度一般较大, 性能有限
OFDM 信号为 x n X k 1 N L-1 N 1 k 0 n h n l0 L-1 xn y n l0 l l X k e j kn N 为调制在子载波 k上的数据 多径信道的时域冲击响应为 理想同步时, 接收端接收到的信号 S n y n e w[ n] l l 若存在时延和频偏, 并叠加上高斯噪声后的接收信号 j n N 和 就是需要估计的信号时延和频偏
基于 CP 的同步算法 延迟相关法 设接收信号只受频偏和高斯白噪声的影响 r[ k] s k e w[ n] s k j n N 是数据符号经过 IFFT变换后的时域信号, 是归一化频偏 设 r[ k] 一个符号包含 N个子载波, CP长度为 G OFDM 块的观察结构图
观察 N G个连续抽样点时, 其中必包含一个完整的 OFDM 符号块, FFT窗的起始位置设为, 定义集合 ',..., 1 和,..., 1 I G I N NG I i OFDM CP I ' 集合是第个符号的长, 其元素是中对应元素的拷贝 将 N G个观察点作为一个向量 1,..., r r r N G ' 由于集合 I中的元素是 I中对应元素的拷贝, 它们存在如下的相关性 : * E r k r k m T s w, m 0 j s e, m N 0, 其它, s E s k E w k
, f r( k),, lg f r, 对数似然函数定义为概率密度函数的对数 只有属于集合和集合中的对应元素存在相关性, 其它 ' I I N 抽样点之间可以看作是相互独立的, 有 f r k r k N f r k, lg ( ), ( ) ( ) ki k I I f r( k), r( k N) ( ) ( ) ( ) lg f r( k) ki f r k f r k N k 因为 f r k 是对所有的 N L个点求乘积, 故其值与 无关, k 又假设信息源为独立等概分布, 则 rk ( ) 的实部和虚部相互独立, 所以 f r( k) 的值也与 无关 k ' 个
最大似然估计是要求出使, 最大的 和, 因此, 省去 f r( k) 并不影响对 和 的最大似然估计, f r( k), r( k N) ( ) ( ), lg ki f r k f r k N 分子部分为二维复高斯分布, 由 CP的性质 s( k ) s( k N ), f r( k), r( k N) exp k 1 s w 1 j * r( k) Re e r( k) r ( k N) r( k N) s w1 * E r( k) r ( k N) j se s SNR E r( k) E r( k N) s w s w SNR 1 是 r( k) 和 r( k N) 相关系数的幅度
c, 中的分母部分为 个一维复高斯分布 1 rk ( ) f r( k) exp s w s w 1 r( k N) f r( k N) exp s w s w G1 1 k j *, c1 c Re e r( k) r ( k N) r( k) r( k N) c s w lg 1, 1 1 由于 c, c 为常数, 对最大似然判决不产生影响, 1 1, cos c c cos G1 G1 * 1 k k m r( k) r ( k N), m r( k) r( k N)
, cos 第一项是 幅度的加权, 加权因子与频偏有关 是能量部分, 与频偏无关 最大似然算法要同时估计符号定时同步的位置和子载波频率的偏差, 使似然函数最大化应该分 步来完成 :, ˆ max, max, max, max, cos项为 1, 即 n, n为整数, 可得 ˆ ML 1 ˆ ˆ ML 1, 只与有关, 令, 最大化即可得 : = arg max, 1, ˆ ML n 由于三角函数的周期性, 只能取其主值区间 -, 内的值, 因此, 该算法只能估计出 1 子载波间隔内的频偏 : ˆML ˆML, ˆ ML d ML
ML 定时估计和频偏估计方框图只有 个参数影响对数似然函数的值, 从而影响估计器性能 : 循环前缀包含的采样点数 G; 与 SNR 相关的相关系数
通过寻找信号峰值即可得到对符号起始位置的 ML 估计 ˆML 在估计位置处 ˆML 信号的值 1 为对系统小数频偏估计
上述算法只是在已知 1 个 OFDM 符号的情况下推导得到的, 在估计过程中只用了 N+G 个信号点 基于这种模式的同步参数估计将根据每个 OFDM 符号携带的信息给出一个时间和频偏估计 通常数据将以多个 OFDM 组成的帧为单位进行发送, 因此可以利用多个 OFDM 符号数据来提高同步参数估计性能 k N 接收信号 r[ k] s k e w[ k] 发送信号 sk 的协方差 j M 为连续的 OFDM 符号数
该模型的目的是增加同步参数估计器可利用的信息提高同步参数估计性能 经过相似推导, 连续模式下对数最大似然判决函数 :, cos r( k) r( k N) M 1 m( N G) G1 m0 k m( N G) m0 k m( N G) 0 0 * ( ) ( ) M 1 m( N G) G1 0 ˆ arg max ˆ N N 式中, r k r k N SNR SNR 1 N 1 ˆ N 定时和频偏的最佳估计 : N
基于 CP 的同步算法 ( 续 1) 集相关法 集相关 : 一个 OFDM 块中的一个采样点的共轭与其相隔 N 点的采样点相乘, 然后把 m个 OFDM块中相同位置的采样点相加, 而基于 CP的 ML算法是把连续的 G个采样点相加 从判定有用数据部分起始点来看, 集相关算法检测定时量度 平顶 部分的最后一个值对应的时刻 M 1 * r( k m( N G)) r ( k m( N G) N) m0 k 0 M1 M1 ( ) ( ) r k m N G r k m N G N m0 m0 k, k N G 分子部分表示采样点之间的相关性, 分母用作归一化, 使用 M个 OFDM 块作定时同步
由于相关函数对 OFDM 符号长度中的每个样点进行检测, 可提取出多径时延扩展和符号同步信息, 也可检测出无 ISI 干扰的 CP 部分 单径信道, 所得相关函数具有长为 G 的平台, 表明 CP 中的信号完全匹配相应数据部分的信号 多径信道, 可以将无 ISI 干扰的 CP 部分体现的很充分, 从而可以有效避开多径干扰的影响 缺点 : 抗噪声能力差, 需要多个符号平均才能得到较好的性能 将无 ISI 干扰 CP 部分的相关数据进行平均, 即用一个 OFDM 符号中的 Q( 小于无 ISI 干扰 CP 部分的长 ) 个采样点的共轭与其相隔 N 点的采样点相乘, 然后把 M 个 OFDM 符号块中相同位置的采样点相加 这种改进既能获得无 ISI 干扰的间隔, 又能使定时量度有一个 平顶,k+Q 时刻为符号有用数据开始的位置
改进算法定时量度 M 1 Q1 m0 q0 r k m N G r k m N G N * ( ( )) ( ( ) ) k, 0 k N G M1Q1 M1Q1 ( ) ( ) r k m N G r k m N G N m0 q0 m0 q0 在获得符号定时信息之后, 可使用无 ISI 干扰的 CP 部分相关信号的相位对频偏进行估计, 从而消除了多径干扰对算法性的影响
相关值的计算, 灰色为 CP 部分
N=104,CP=56,QPSK 调制, 多径信道为 4 径均匀分布的 Rayleigh 衰落, 能量呈指数衰落, 每径延时 70 个样点
平顶 =CP-Q
基于 CP 的同步算法 ( 续 ) 差分法 由于 CP 是 OFDM 符号后部数据的拷贝, 在不考虑多径衰落和频偏时, 接收信号的 CP 部分与它后移子载波数 N 的数据部分是一样的 利用 CP 的这种特性, 可以用差分的方法来作符号定时同步 优点 : 可以将多径的影响体现的很充分, 采取一定的措施减轻多径对定时的不利影响 基于 CP 定时估计的原理
L-1 max 经过多径信道后的接收信号 : r k k s k w k 假设最大多径时延扩展 小于保护间隔 T, 将接收信号 延时 N个采样点后减去当前信号 r k k N s k N k s k w k dif l l l l dif l0 dif G w k w k N w k, 假设 N 为 CP长度, m是整数 由 CP的性质, s k s k N, mn k mn N L-1 l0 sk l l l l l l G L-1 l k N l k wdif k, mn L1 k mn NG l0 rdif k L-1 s k N l l k N s k l l k wdif k, 其它 l0 当最大多普勒频移相对符号速率很小时, k N k 0, 高 SNR时, dif L1 G dif G l l w k 可以忽略, 因此 k N, r k 的平均值近似为 0 l
计算 M个点的 r k 滑动平均, 有 M 1 1 r k r k m, M N ave dif G L1 M m0 k dif k k1 从上面讨论可知, 当 k N - M 1时, r k 应近似为 0 L1 G ave 在 k=n - M 时, r k 变为一个加大的值 于是, 可以通过 div G ave ave ave 检测这个突变可以通过计算 r r r r 检测这个突变来获得定时同步 ave k 前后两个样值的商 优点 : 该算法不受延迟扩展的影响, 可以应用在多径信道中缺点 : 必须工作在高 SNR 环境, 否则受噪声影响严重, 突变值不再准确
N=51,NG=100,QPSK 调制,SNR=5dB,M=5 多径信道为 18 径指数衰落, 每径能量 1dB 递减, 间隔 5 个样点 rave k SNR=5dB, M=5 rdiv k
基于 CP 的同步算法 ( 续 3) 增强算法 1 基于 CP 的算法不需要额外开销, 在 AWGN 信道可以获得较好的性能, 但在多径衰落信道, 由于 CP 中一部分数据受到 ISI 干扰, 与原数据在整个 CP 长度内的相关性变差 假设 CP 长度大于最大时延,CP 中有一部分未受到 ISI 污染, 若只利用未受 ISI 污染的 CP 来作定时频偏估计, 就可较好消除多径带来的不利影响 滑动相关窗长度不再固定为 CP 长度, 而根据估计出的信道信息, 自动调整相关窗长度, 以达到最佳定时频偏估计性能
通常相邻数据帧的信道变化缓慢, 可根据当前帧估计出的最大多径时延 ˆmax 调整下一帧相关窗长度 C C N G ˆmax 这样就可以跟踪信道的变化, 使得符号同步的相关窗自适应调整为无 ISI 污染的 CP 部分
增强算法 多径信道下,CP 的能量差分特性和集相关特性在 CP 尾部均未受到多径的破坏 可以联合优化利用 CP 的能量差分特性和集相关特性来实现符号定时和频偏估计 采样延迟 1 个样点相除和概率平均的差分的方法放大了噪声的影响, 只能工作在高 SNR; 频偏的存在破坏了 CP 与其原数据的直接差分特性 采样宽带为 1 个样点的相关窗的集相关方法受噪声影响比较严重 很多符号作平均才能获得满意的效果 SNR 较低时, 集相关方法较好, 反之, 差分的方法较好, 可将 部分信息合并, 定义总的定时量度 : n 1 n n, SNR SNR 1 ave dif
该算法在多径信道下能获得较好的定时同步性能, 同时消除了频偏对符号定时的影响, 且在一定范围内随多普勒频移的增加, 符号定时同步性能得到进一步改善
数据辅助同步算法 Moose 算法 最先提出频偏 ML 估计, 前提是假设已经获得定时同步 发送 个相同的 OFDM 符号, 接收端通过检测频域信号的相位旋转可估计出系统中存在的频偏 经过 IFFT 之后的 OFDM 符号块为 N 1 1 kn s( n) X k exp j, k, n 0,1,..., N 1 N k 0 N X 为在子载波 k上调制的数据符号 k 信道的冲击响应为 : L1, h t t l0 l l
接收机对收到的信号在采样之后得到的基带信号 L1 r( k) exp j f dt exp j f kt k d T s k n w( k) 0 s 0 s l s l l0 式中, n d T, f 是频率偏移, d是定时偏移, T 是采样周期 l l s 0 s 定义 f NT 为相对频率偏移, 和 分别为子载波间隔 0 连续发送 个 OFDM 符号块, 在 AWGN下接收到 N点信号序列 r( n) s( n)exp j n N s i f 的整数倍频偏和小数倍频偏 w( n), k 0,1,...,N 1 前 N点信号经过 FFT变换后的第 k个元素可表示为 N 1 (1) Rk r nexp j kn, k 0,1,..., N 1 n0 N 后半部分 N点信号经过 FFT变换后的第 n 个元素可表示为 N1 N1 () Rk r nexp j kn r n N exp j kn, n 0,1,..., N 1 N N nn n0
() (1) ( )exp k k exp () (1) R R exp j r n N r n j R R j 如果不考虑噪声, 和只差一相位, 如果加上白噪声, k k (1) (1) (1) Yk Rk Wk, () () () W k为对应的频域噪声 Yk Rk Wk 根据概率论中条件概率知识, 经过推导得到频偏的 ML估计 : N 1 () (1) * Im Yk Yk 1 tan 1 k 0 N 1 () (1) * Re Yk Yk k 0 由于指数函数的周期为, 这种算法只能估计出 1 子载波间隔的频偏 为增大估计范围, 一种方法是缩短 FFT长度, f0 T f, T NT s, 假设初始频偏不超过, 那么最小的初始子载波间隔 f, max FFT长度就确定了 如果缩短后符号的平均功率保持不变, 那么频偏估计方差因为能量减小而变大, 捕获范围增大是以牺牲同步精度为代价的 min max
数据辅助同步算法 ( 续 1) Cox 算法 是基于自相关的同步算法中最具有代表性的 采用 个 OFDM 符号来完成符号定时和频偏估计 第一个训练符号时域上前后对称 ( 可通过只在偶数子载波上传送信号来产生 ), 用来完成符号定时和小数频偏估计 第二个训练符号偶数子载波与第一个训练符号具有某种特定的关系, 用作整数频偏估计 接收端以半个 OFDM 符号长度的相关窗对接收信号前后半个符号进行滑动相关, 并寻找定时量度的平台, 平台长度为无 ISI 干扰的 CP 长度 符号有效数据开始位置可确定为该平台中任意位置 定时不确定性较大, 无法获得较精确的符号定时
N 1 * ( ) d m d mn, m0 前后半个符号的相关信号 : P d r r r为接收到的时域信号 Pd ( ) Cox算法的定时量度 : M ( d) N 1 rd mn m0 在系统存在频偏情况下, 第一个训练符号前后半个符号中具有 的相位差 根据符号定时估计的位置 1 频偏可估计为 : P( dˆ ) z f i Pd ( ˆ) 表示主值区间 (-, ] 内的值, 为小数频偏, 为整数频偏 1 ˆ ( ˆ f Pd), f ( 1,1), zz为整数 i ˆd f i
第二个训练符号偶数子载波上传送的数据与第一个训练符号中偶数子载波具有某种特定的 PN序列关系, 该已知 PN序列关系将用于用户整数频偏估计 第二个训练符号奇数子载波上传送任意数据 偶数子载波位置, 第二个训练符号与第一个训练符号具有一样的 PN X 序列关系, Cm, m 0,1,..., N, 选择的 PN序列 Cm应具有较好 X () m (1) m 的自相关特性, 同时具有较低的 PAPR特性整数频偏将使子载波位置整体发生循环移位, 不会产生 ICI, 因此可在频域进行检测 小数频偏将产生 ICI, 在变换到频域前必须进行小数倍频偏补偿 用 序列 exp j f n N (1) () k k 对训练符号进行小数频偏补偿, 之后变换到 频域, 且用 R 和 R 分别表示变换到频域的第一和第二个训练符号 由于训练符号 1和符号 子载波相对位置并不改变, 因此可检测出
R, Cˆ R () m (1) m m 与 C m 可通过寻找互相关函数的最大值得到 的估计 N 1 ˆ * ˆi max CmCm, 8,...,0, 8, 4, 4 i i z z N N N N i m0 Cˆm 只存在一定的相差, 即整数倍频偏的大小, 因此 i 估计范围
数据辅助同步算法 ( 续 ) Y.H.Kim 算法 在 Cox 基础上进一步提出用 1 个 OFDM 块完成符号定时 频偏估计 符号定时和小数频偏估计与 Cox 算法相同 整数频偏估计有所改进 与 Cox 算法一样, 只在偶数子载波上传已知序列, 在奇数子载波上填 0, 这样时域训练符号前后半部分信号相同 通过滑动相关搜索前后半信号相同的符号实现符号同步, 并通过符号有效信号开始处相关信号的相位获得小数频偏估计
为在同一训练符号实现整数频偏估计, 对偶数子载波上传的训练信号进行了一定的约束 相邻偶数子载波上传的训练信号相位差为一特定的 PN 序列, 即 C k X X k, k 0,,..., N 4 k X N k N X 0,
在符号同步和小数频偏 估计完成后, 首先需要用序列 exp j f jk 有 R e H X W k n N k z k z N f 对训练符号进行小数频偏补偿, 并根据 符号同步的结构将训练符号变换到频域, N n0 k z k 0, 0为初始相位, n0为定时偏差, 函数 kn N 表示将 k以周期 N进行拓展, 并取主值区间 [0, N) 中的数作为结果 与 Cox 算法一样, 小数频偏补偿后系统残余整数频偏为 z k i
在理想符号定时同步和小数频偏估计补偿后, 由于残余 整数频偏的影响, 除了移位 z外, R R 的值近似等于 C 之间将引入一相位 4 n N k k k k 当存在定时偏差 n 时, 对所有信号对 R, R 的值与 C 0 k k k 0 由于信道响应 H 的变化, 也将引入一定的相位差 在系统子载波数比较大的 OFDM系统中, 相邻子载波间具有很高的相关性, 因此, 这种额外的相位可以忽略 因此, 整数倍频偏估计如下 : * * ˆ i max R k i C kr i N R, 8,...,0, 8, k i k i z z N N N k k 0,,..., N, 估计范围 N 4, N 4 在用估计出的整数频偏对信号纠正后仍有 Y Y X X e * * 0 k k k k k k k k 相邻 个子载波上的信号的相位差与定时残余偏移量 n 去掉信号的影响, 可求出 : n N Y Y C 4 0 4 j n N 有关, 用 C k 0
联合 CP 和数据辅助的同步算法 同时利用梳状导频符号和 CP 估计定时同步 给出了最大似然估计器 鲁棒估计器 一方面利用了信道估计的梳状导频信息, 另一方面又利用了 OFDM 符号本身带有 CP 的特性, 将梳状导频算法的多个同步峰和 CP 算法的单一模糊峰进行加权, 得到比较精确的符号同步性能 导频信号自相关峰尖锐, 可用于符号定时同步
设一个 OFDM 块中的 N个子载波上包含 N 个导频符号, 令 表示导频符号所在子载波的索引 把发射信号分成 个部分 : 1 kn s( n) X k exp j, N N N k N X 为在子载波 k上调制的数据符号, 其平均功率为 E X k x k p p 个数据子载波信号 1 kn p( n) Pk exp j, N N k N k为导频符号, 假设其平均功率为 k x P E P w p 个导频符号 在 AWGN信道下, 接收信号为 : r( n) s( n ) p( n ) w( n), 是未知的整数定时频偏, w( n) 是高斯白噪声, 方差为
利用 s( n) 的统计特性和已知的 p ( n) 来估计未知定时偏移 假设时域信号 s( n) 是方差为 ( N N N) 的高斯过程, 当 OFDM系统中 N N时, s( n) 的统计特性与离散时间高斯 p 过程类似 这是没有加 CP的时域信号 s( n) 满足的统计特性 加 CP后, s( n) s( n N), m( n) m( n N), n 0, G 1 s( n) p x 不再是 白 过程而是相隔 N点的 个集合具有一定的相关性 N 如果很小, 连续 OFDM 块之间的相关性可忽略, 只需要考虑 由于 CP导致的相关性 因为噪声是 0 均值高斯过程, 导频符号在接收端确知, rn ( ) 可建模 为时变均值 m( n) 方差为 的高斯过程, 由 CP引入的相关性为 : c r k, m 1, km0, k m N, k, G 1, k m N, m, G 1 0, 其它 x p
SNR x, SNR x x w SNR 1 w lg f r( ) 定义 的对数似然函数, 使 最大化 对应的 值就是定时偏移的 ML估计, 即 ˆ arg max 1 经过相关推导, CP G1 G1 * CP Re r ( k) r( k N) r( k) r( k N) k k 本质上是利用 CP与其相隔 N个采样点的相关关系 : 有 1 个最大值, 但位置模糊 ML P G1 * * P 1 Re r ( k) p( k N) Re r( k) r( k N) p( k ) k k 本质上是利用导频符号的相关关系, 由于导频符号均匀分布, 导致存在 多个相关峰 利用了 的唯一性和 的尖峰 CP P
N=18,NG=G=16 个采样点, 每第 8 个子载波为一导频符号对于高 SNR, 估计主要依赖于 CP, 反之则依赖于导频 P CP
上面推导仅考虑了白噪声, 实际还会存在频偏 G1 * 考虑频偏时 : r( n) s( n ) p( n ) exp j n N w( n) 如果 和 还取实部, 由于复数乘以复指数函数 CP ˆ arg max 1 SNR SNR 1 r ( k) r( k N) P 相当于相位旋转, 那么复数采样点滑动相加的和会受影响 消除其影响的方法是取绝对值而不仅是实部 Robust CP P CP k * G1 r( k) r( k N) k G1 1 r ( k) p( k N) r( k) r( k N) p( k ) P k k *
N=18,NG=G=16 个采样点, 每第 3 个子载波为一导频符号 SNR=9dB 参考定时估计为仅用 CP 的 ML 估计器
盲同步算法 不需要 CP 和专用训练 实际系统中一般会存在虚子载波, 可用作频偏估计 有些虚子载波频偏估计算法可适用 CP 长度小于多径时延的情况, 且估计范围不受 1 子载波宽度的限制 实际系统中携带信息的子载波数 Nc 一般小于总的子载波数 N, 目的 : 防止过采样时产生混叠 ; 发射滤波时的要求 由于虚子载波上不发射任何东西, 如果发生频偏, 在虚子载波上就会收到能量 : 定义代价函数, 使代价函数最小 利用虚子载波不能完成定时估计, 在利用虚子载波进行频偏估计之前首先要完成定时估计
盲同步算法 ( 续 1) 基于子空间的概念估计频偏, 应用了阵列信号处理中的 MUSIC 和 ESPRIT 算法 基于 ESPRIT 算法的频偏估计 ESPRIT 算法估计正弦波频率 k 1 设噪声干扰后的正弦信号 : z( n) x n w( n), n 1,..., N x n exp j n, w( n) k k k k k k k 是方差为的高斯白噪声,, 和 分别是正弦波的幅度 频率和初始相位 令 M N - m 1, K m N, K m的目的是使采样点的个数 大于要估计正弦信号的个数 K k
为了方便, 定义矢量 : 1 T y( n) z( n),..., z( n m 1) T w( n) w( n),..., w( n m 1) T x( n) x ( n),..., xk ( n m 1) T A a( 1),..., a( n) a( ) 1,exp( j),...,exp ( j( m 1) 定义输出矢量 : y( n) Ax( n) w( n), n 1,..., M 要从采样点中估计出正弦信号的频率, 输出矢量的一阶统计量不能反应信号向量的特征, 定义输出矢量的二阶统计量 : 协方差矩阵 H H H Pk E x( n) x( n k), R E y( n) y( n) AP0 A I 根据协方差矩阵定义得到 : P P D, P k T 1 k 0 0 0 k 0
exp j1 0 D 0 exp jk 令 为按降序排列的 R的特征值,... i, k 1,..., K,... k k 1 m 0 1 因为 A是范德蒙矩阵并且 P 是正定的, 可知 1,..., k S s1,..., sk... G g,..., g 与相对应的正交特征矩阵向量表示为 : 与相对应的正交特征矩阵向量 : k 1 m 1 mk 1 0 1 0 令, 0 k 0 k 那么 R可以重新表示为其奇异值分解的形式 R S, GDS, G H m I
下面几个有关协方差矩阵 特征值和特征向量矩阵的性质 : 性质 1 H AP0 A S SΛ 性质,, 且 H 1 1 H S AC C P0A SΛ C S A 应用 ESPRIT算法估计正弦波频率, 设 A I 0 A, A 0 I A, 则 A A D 1 m1 m1 1 因为 D是酉矩阵, A A D等效于空间旋转 1 0, 0 对 S作同样处理, S I S S I S 1 m1 m1 利用性质 得到 : S A C A DC S C DC S Φ 1 1 1 1 1 Φ C DC 根据线性代数知识, Φ D 的特征值 : tr D tr Φ H H 1 H 左边乘以 1, 再取逆, 1 1 1 S S Φ S S S S 和是相似矩阵, 有相同 以上的集协方差阵在实际应用中要作相应的近似处理, 因为得不到理想的协方差阵, 只能用时间平均代替统计平均
OFDM 矩阵模型 当使用 ESPRIT算法估计 OFDM中的频率偏移时, 使用矩阵形式更加直观 I 是 N N的单位阵, e 是 I 的第 i 1列 N i N 1 F exp f N N mn, N j mn N 是 N N的 FFT矩阵 T 1,exp( j),...,exp( j N 1 ) 自变量是矢量表示对角阵, 对角线上的元素 D h D h h N N mn, n 对于对角阵, 当对角线上元素是范德蒙矢量时仅用标量表示, 即 D D f N N N 第 n个 OFDM 块中有 K个数据信息符号 s( n) s( nk), s( nk 1),..., s( nk K 1) NK K i i 0,..., N 1 经过串 / 并和插入虚子载波后得到 N 1 矢量, N K. 用 i... i 作为插入虚子载波的索引, 余下的 K个索引 i... i, 使 1 N K 1 k k k 1 k k 1 T,
插入的虚子载波可用虚子载波插入矩阵表示 : T : e,..., e SC i1 i k 当 T 左乘 s( n) 时得到 N 1矢量, 虚子载波的位置索引为 i SC k k 1 H 用 F 左乘 T s( n) 就相当于实现了 IFFT变换 N T T 为了补偿信道的时间弥散效应需要加 CP, 用 TCP : IGn I N 表示加 CP操作, G是 CP长度, 信道阶数 L G, I 是 I 的最后 u( n) T F CP SC G行, 加 CP后符号块长度为 P N G 0 1 H N T s( n) SC u( n) 是串行输入的, 经过多径信道 h( t, ) ( t) t 接收端的采样周期为 T, 定义 T为归一化的频偏, 则在接收端有 : Gn 0 0 0 P 0 0 1 0 L1 x( n) exp j np D H u( n) H u( n 1) w n H, H 分别是 P P上 下三角 Toeplitz矩阵 然后接收机去掉 CP, 取 CP矩阵表示为 : R : 0 I y( n) R x( n) exp j np G CP CP 1 NP CP 0 CP CP n l0 H N 0 N SC R H 0, H R H T, v( n) R w CP N G N l D HF T s( n) v( n) N T l NK
H kl, H是循环矩阵, h k l mod N, 循环矩阵可由 FFT矩阵对角化 H L h(0),..., h( N 1 N), h( n N) h( l)exp j ln N F HF D h h N N N N N 表示子载波上的频率响应, 因为 F F I, 利用 H循环矩阵的对角化, H 0 y( n) exp j np G F D h T s( n) v( n) N N N SC 上式是去掉 CP后的时域信号, 如果 0, 不考虑噪声, 那么 D 0 n I, F y( ) D h T s( n) N N N N N SC H 0 N N 0 N H N N N 如果 0, F D F 不是对角化矩阵, 子载波间不再正交导致 ICI, 所以, 在作 FFT 之前一定要消除 0的影响, 即要补偿频偏 H R yy E y( n) y( n) 0 这个等式证明了 OFDM 把卷积信道转化为每个子载波上是平坦衰落信道, 定义协方差矩阵 : l0 H H H H ( n) D F T D h R D h T F s D I R N 0 N SC K K SS K K SC N N 0 v N 和 I 分别是数据信息和噪声协方差矩阵, h SS v N K k k 0 h i N
实际中, 集协方差矩阵 ( 统计意义上 ) R 是由 N 个块的采样点的平均 Nb ˆ 1 来近似的, R yy y( n) y( n) N 与 0 H D tr Φ n0 H H R E y( n) y( n) AP0 A I A D F T H N 0 N SC K K SS K K k1 N k b P D h R D h 0 Φ和 D是相似矩阵, 有相同的特征值 在 OFDM系统中 exp j1 0 D 0 exp j k 1 N 0 将 tr 代入上式, 得到频偏的闭式解 : 0 K k tr exp j k 1 N 1 H yy 比较, 有 b
为了保证 ESPTIT算法的精度, P 必须满秩, 否则分辨率 损失严重, 当子载波上的频率响应有一个为 0, P 就会发生亏秩现象, 解决办法 : 令每个 OFDM 块中连续的虚子载波位置以 OFDM 块为单位跳变令虚子载波位置间隔唯一 0 0
盲同步算法 ( 续 ) 改进的子空间频偏估计算法 大多数频偏估计算法都是以足够长 CP 为基础的, 要求 CP 长度大于多径信道最大多径时延 下面是一种基于 CP 和虚子载波进行特殊结构滤波变换的子空间算法来进行频偏估计 不需要进行 SVD 分解和较小的 CP 长度, 大大降低了系统计算复杂度
不存在频偏时系统模型 N个子载波的 OFDM系统, N 个子载波用作传输经过调制的原始数据, 假设子载波 p 到 p N 1用作数据子载波部分, p 是第一个数据子载波 S( k) S ( k),..., S ( k) 0 0 c 0 0 P1 T 1 1 1 1 ( N 1) 1 1 un u N FN, un expj N N ( N 1) ( N 1)( N 1) 1 un un 由 IFFT 变换进行多载波调制, 产生的时域信号矢量为 c 的索引, G为 CP长度 设第 k个 OFDM 符号频域信息数据块 定义 N N的 IDFT矩阵 0 N1 T x ( k),..., x ( k) FS( k), F为 N N 维部分 IDFT矩阵 1 F u (:,1: N ) p0 N N c p0 ( N1) u N W c
信号加入 CP后, 得到 J 1, J N G维 OFDM 符号 x 1 ( k) xn G ( k),..., xn 1( k), x0( k), x1( k),..., xn 1( k) J 1 p0 F N G 1: N,: S( k) FS( k) F 矢量 x( k) 中的每个元素或码片经过脉冲成型 g ( t) 产生连续的时域信号送入信道 x( t) x ( k) g t p kj T, T为码片周期, 设 q p kj, k k 和 p q mod J p tr x( t) x ( k) g t qt, x ( k) 为与 x ( k) 等价的传输码片序列 接收信号 : q r( t) x ( k) h t qt w( t), h t qt g ( t) c( t) g ( t), q w( t) n( t) g ( t) q tr q p q tr rx rx 假设 h t 存在有限边界 0, LT, 并且 G L J, 经过采样速率为 1 T 采样后 L 的信号为 : r( i) r( t0 it ) xilh t0 lt w( i), t0为采样相位, w( i) w( t0 it ) l0 tr T q J
T, h, 1,..., 0, h 设 h l h t0 lt 则信道矢量 h L h L h 由构造一个 J L J 的 Toeplize矩阵 H h( L)... h(0) T h( L)... h(0) HToeplize 0...0 h ( JL1) h( L)... h(0) 收集第 K个 OFDM 符号中未受 ISI污染的信号点, 得到 J L 1维的接收信号向量 r( k) r( kj L),..., r T k 1 J 1 HFS( k) n( k)
存在频偏时系统模型假设收发两端存在一个相位偏移, ft为归一化频偏, 由于频偏的存在, rk ( ) 中的信号部分将被下式表示的信号调制 j0 j j J L1 1,,..., E diag e e e e E j k J L j k 1 J L 产生的接收信号 : r( k) E HFS( k) e n( k) A 根据此修正后的信号模型, 目标就是从 r( k) 中估计出频偏而不需要任何训练序列
存在频偏时的盲估计 信道系数为 h L, h L 1,..., h 0, 数据子载波上的 Nc 1维信道频率响应向量 1 H F h T,..., 1 1: 1,: H H p0 H p0 Nc L 用 g表示相位旋转后的频率响应向量, 有 u pl 0 N T g 0,..., g Nc 1 g p, 1,..., 0 h L h L un h u c h L, hl 1uN,..., h0u T p L N 0 0 p0 N 1 p0 Nc1 L N u p0 Nc 1 L N 1 H, un expj N
由于 Toeplize矩阵 H和矩阵 F, 使得矩阵 A的第 i列 ( i 1,..., N ) 中 前 J - L个元素变为 : A(:, i) HF(:, i) 0 0... 0 N p i1 N G p i1 L un h L h u F(:, i) g0 p 0i1 N L1 p0 Nc 1 L un h L... h 0 u N 因此, 很容易看出信道频率响应旋转后的矩阵 g与滤波矩阵 A之间 g(0) 满足如下关系 : A HF NF(1: J L,:) gp ( 1) NF(1: J L,:) G j k 1 J L r( k) NEF(1: J L,:) GS( k) e n( k) 此信号结构是利用来作频偏估计的关键 G c
基于子空间的频偏估计上式反应的信号结构是利用来做频偏估计的关键 注意到 ( J - L) N 的矩阵 F(1: J L,:) 是取矩阵 F的前 J - L行得到的, 当满足 J - L N 时, 矩阵 F(1: J L,:) 为一长矩阵, 具有满秩, 其 H V s s SVD分解成 : F(1: J L,:) UsUn H 0 Vn c c U U 为 ( J - L) ( J - L) 的酉矩阵, U 中的 P列位于矩阵 F(1: J L,:) 中 s n s 的相同列空间, 由 U 中 J - N L列矢量扩张成的子空间正交于 U s 1,... 为包含 N 个非 0奇异值的对角矩阵, 若不存在频偏, N H j k 1 J L (1: J L,:) ( k) e U F GS 0 n diag 由正交特性有 : c n c s c
j0 j j J L1 定义 Z diag e, e,..., e, k 1 H 在无噪声的环境中, 频偏估计可通过下式完成 : U Zr( k) 0 H U Zr( k) 相应的频偏估计 : ˆ arg max C K n 在存在噪声时, 联合 K个 OFDM 符号估计频偏, 代价函数可近似 表示成 : C 算法说明 : A HF NF(1: J L,:) G结构的推导对最后频偏估计式起作至关重要的作用 修正后的信号模式 r( k) NEF(1: J L,:) GS( k) e n ( k) 要求 n j k 1 J L L J 为了保证算法的可行, 必须保证虚子载波和 CP长度之和 > L