一种不含待定乘子的理想约束系统的动力学建模张劲夫 ( 西北工业大学工程力学系 709 西安 ) 摘要 : 为了克服应用罗斯方法所建立的理想约束系统的动力学方程中含有待定乘子以及方程和未知变量的个数都比较多的这种缺陷, 本文从广义坐标形式的动力学普遍方程出发, 并结合系统的约束方程, 推导出一种不含待定乘子的理想约束系统的动力学方程组, 并给出了应用该方程组完成理想约束系统动力学建模的具体步骤 本文所建立的理想约束系统的动力学方程组相对于应用罗斯方法所建立的动力学方程组, 具有不含待定乘子且方程和未知变量的个数都比较少的优点 文末的两个动力学建模的实例证实了上述优点 关键词 : 理想约束 ; 广义坐标 ; 自由度 ; 待定乘子 ; 动力学方程中图分类号 :O343 A type of dynamc equatons for systems subected to deal constrants wthout unnown multplers Zhang Jnfu (Department of Engneerng Mechancs, Northwestern Polytechncal Unversty, 709, X an, hna) Abstract: In order to overcome the deflects of dynamc equatons for systems subected to deal constrants establshed usng Routh method, a type of dynamc equatons for the systems wthout unnown multplers are derved from general equatons of dynamcs n terms of generalzed coordnates and constrant equatons. A method of dynamc modelng for systems subected to deal constrants s gven. ompared wth the dynamc equatons establshed usng Routh method, the equatons presented n ths paper possess the advantages of fewer unnown varables, fewer equatons and no unnown multplers. wo examples of dynamc modelng verfy the above advantages. Keywords: deal constrant; generalzed coordnate; degree of freedom; unnown multpler; dynamc equaton. 引言 [-3 分析力学研究的主要问题是针对受理想约束的系统, 建立以广义坐标所表示的系统运动方程 在具体建立系统的运动方程时, 如果所选取的广义坐标的数目多于系统的自由度数, 则通常应用罗斯方程 [, 4, 5 并结合系统的约束方程, 来建立系统的动力学方程 值得注意的是 : 采用这样的方法所建立 [4-7 的系统动力学方程通常是一组含有待定乘子的微分代数混合方程, 且方程和未知变量的个数较多, 3
因而不便于求解 针对上述情况, 本文发展出了一种无需引入待定乘子的受理想约束的系统动力学方 程的建立方法 应用此法所建立的系统动力学方程具有不含待定乘子且方程和未知变量的个数都比较 少的优点 建模 考虑某一受理想约束的系统, (,,, ) 为描述该系统位形的 个广义坐标, 设此系统承受 q l 个完整约束 f ( q, 0,,, l () 和 m 个非完整约束 a q, q a ( q, 0,,, m () ( 0 式中 q [ q q q 为广义坐标向量, t 为时间 容易判断该系统的自由度为 l m 下面从广义坐标形式的动力学普遍方程 [8- Q d dt q q δq 0 (3) 出发, 建立一种不含待定乘子的系统的运动方程 为此, 首先将约束方程 () 和 () 分别写成变分的形式, 即为 f δq 0,,,l (4) q 和 a δq 0 为方便起见, 再将变分形式的约束方程 (4) 和 (5) 统一写成 b δq,,, m (5) 0,,, l m (6) 式中 f,,,, l,,, q b (7) a( l), l, l,, l m,,, 由于约束方程 (6) 的存在, 使得各广义坐标的变分 δ (,,, ) 不再是完全独立的, 因此, 在这种 q 情况下, 将无法直接从方程 (3) 推出该方程中的每一个广义坐标变分前的系数都为零的结论 ( 也就是无法直接推出第二类拉格朗日方程 ) 考虑到约束方程(6) 的个数是 l m, 所以全部 个广义坐标的变分 4
δ δ δ 和 q q q (,,, ) 中只有 l m 个是独立的, 为此我们将其中的前 l m 个广义坐标的变分 (,,, l m) 看作是不独立的, 而将后 l m 个广义坐标的变分 ( l m, l m,, ) 看作是独立的, 并分别记为 δq [δq δq δ (8) q l m δq ˆ [δq (9) lm δqlm δq 这样约束方程 (6) 可以写成如下的矩阵形式 : B δq B δ qˆ 0 (0) 式中 由式 (0) 得到引入记号 B [ b B [ b 后, 方程 (3) 可以简写为矩阵形式式中将式 (3) 代入式 (5) 后, 得到 如前所述向量 δq ˆ [δq 出 r,,, l m,,,, l m (),,, l m, l m, l m,, () d dt q δq B B δ qˆ (3) q Q δ,,, (4) q R δqˆ R 0 (5) R (6) [ r r r l m R (7) [ rl m rl m r q ˆ [ R ( B B ) R 0 (8) δ lm δqlm δq R 的各个元素都是互相独立的, 因此, 由式 (8) 可以推 ( B B ) R = 0 (9) 这就是本文所推出的一种不含待定乘子的系统的动力学方程, 它适用于受理想约束的系统 需要说明 的是该矩阵方程中包含有 l m 个关于 个广义坐标 (,,, ) 的微分方程, 因此, 方程 (9) 并不封闭 为了求解这 个广义坐标, 还需将方程 (9) 同系统的约束方程 () 和 () 联立, 从而形成如下的一个封闭方程组 : q 5
R ( B a ( q, q a 0 f ( q, 0,,,, l B ) R 0 ( q, 0,,,, m (0) 该方程组就是本文针对承受理想约束的系统, 在所选取的广义坐标的数目多于系统的自由度数的情况 下, 发展出的一种不含待定乘子 而仅以广义坐标为未知变量的系统运动方程 值得注意的是 : 在上 述情况下, 传统的动力学建模方法是将罗斯方程 [, 3 ( 带有待定乘子的拉格朗日方程 ) 与系统的约束方 程联立, 得到如下形式的系统运动方程 [, 3 : d dt q q f ( q, 0, a ( q, q Q a,,, l 0 ( q, 0, l f q m a,,, m 该方程组是以广义坐标 (,,, ) 和待定乘子 (,,, l) q,,, (,,, m) () 为未知变量 的微分代数混合方程组, 将此方程组与本文所建立的系统运动方程组 (0) 进行比较, 可以看出方程组 (0) 具有如下优点 : 方程组 (0) 中不含有待定乘子 ( 方程组中的未知变量仅是广义坐标 ); 方程组 (0) 所包含的方程个数少于方程组 () 所包含的方程个数 ( 少出 l m 个 ) 方程组(0) 相对于方程组 () 的上述优点, 也决定了方程组 (0) 相对便于求解 因此, 方程组 (0) 的建立具有重要的理论和实用 价值 这里还需要值得指出的是 : 方程组 (0) 和 () 是等价的, 因为这两组方程均可以通过广义坐标形 式的动力学普遍方程并结合系统的约束条件推导出来 不过相对而言, 方程组 (0) 要比 () 具有上述优 点 下面给出应用方程组 (0) 完成理想约束系统动力学建模的具体步骤 : () 由式 (7) 写出 b 的表达式 ; () 根据式 () 和 () 分别构造出矩阵 B 和 B 的表达式 ; (3) 写出系统的动能 和广义力 Q 的表达式 ; (4) 由式 (4) 写出 r 的表达式 ; 再根据式 (6) 和 (7) 分别构造出矩阵 R 和 R 的表达式 ; (5) 最后, 应用方程组 (0) 列写出系统的运动方程 ( 完成动力学建模 ) 6
3 实例 下面应用上述步骤, 建立若干理想约束系统的动力学模型 例 : 如图 所示的椭圆摆系统由滑块 A 和均质细杆 AB 构成 其中滑块 A 的质量为 m, 可沿光滑水 平面自由滑动 细杆 AB 通过光滑圆柱铰链铰接于滑块 A 上, 细杆 AB 的质量为 m, 长为 l 假定 AB 杆的 中点 的速度始终沿中轴线 AB ( 一种非完整约束 ) F ( 和 F ( 分别为作用在点 上沿水平和铅直 方向的两个分力, M ( 为作用在 AB 杆上的一力偶 试列出此系统的运动方程 x y Fg. 图 椭圆摆系统 Elptc pendulum system 建立如图 所示的固定坐标系 Oxy, 选取点 的坐标 x y 以及 AB 杆相对 x 轴的倾角 作为描 述系统位形的广义坐标, 容易写出系统所满足的完整约束和非完整约束分别为 和 y l sn 0 () x tan y 0 (3) 非完整约束方程 (3) 代表 AB 杆的中点 的速度始终沿轴线 AB 显然该系统为单自由度的非完整系统 在获得以上两个约束方程的基础上, 执行本文所给出的动力学建模步骤 () 和 () 后, 可以得到矩 阵 B 和 B 的表达式为 0 B tan (4) B l cos 0 (5) 然后再执行动力学建模步骤 (3) 和 (4) 后, 可进一步获得 R 和 R 的表达式为 R ( m m ) x m l( sn cos ) F m y m g F [ x y R m l sn( ) ( m sn m ) l m l x sn M 3 (6) (7) 7
最后执行动力学建模步骤 (5) 后, 即可获得如下形式的系统运动方程 : [ m sn ( m ml sn( ) [( ml cos F y l sn 0 x tan y m 0 ) cos cot l x m l y x ) cot m cos ( m g F m ) l 3 y l cos M 0 (8) 这是一组仅以广义坐标 x y 为未知变量的三个运动方程 如果采用的传统的罗斯方法方建模 ( 即采用方程 () 建模 ), 则可得到如下形式的系统运动方 程 : ( m m ) x ml ( sn cos) Fx tan m y mg Fy ml ( x l cos)sn ( m sn m ) l M l cos 3 y l sn 0 x tan y 0 (9) 这是一组以广义坐标 x y 以及待定乘子 和 为未知变量的五个运动方程 对比方程组 (8) 和 (9) 可以看出 : 方程组 (8) 因不含有待定乘子, 使得该方程组所含的未知变量和 方程的个数都明显较少, 因而也就相对便于求解 这说明 : 应用本文的方法所建立的动力学模型要比 应用传统的罗斯方法所建立的动力学模型具有一定的优越性 例 : 如图 所示, 一质量为 m 半径为 R 的均质薄壁圆盘在粗糙的水平地面上作纯滚动 试列出 该圆盘的运动方程 图 水平地面上作纯滚动的圆盘 Fg. A ds rollng purely on level ground 建立如图 所示的固定坐标系 O 0 x0 y0 z0 和圆盘的连体坐标系 Oxyz, 其中轴 O z 0 0 铅直向上, 轴 Oz 垂直盘面 设盘心 O 在固定坐标系 O 0 x0 y0 z0 的坐标为 ( x, y, z), 圆盘的连体坐标系 Oxyz 相对固定坐标系 O 0 x0 y0 z0 的欧拉角为 (,, ) 选取上述六个参数 x y z 作为描述圆盘位形的广义坐标 考虑到圆盘在水平地面上纯滚动, 因此, 圆盘上与地面相接触的点 A 的速度为零, 即有 v A vo ω ρ 0 (30) 8
式中 v O 表示盘心 O 的速度, ω 为圆盘的角速度, ρ 为点 A 相对于点 O 的矢径 由上式可以推出圆盘 满足如下形式的约束方程 [4,7 z R sn 0 (3) x R[( cos ) cos sn sn 0 (3) y R[( cos )sn sn cos 0 由以上三式可知该圆盘为三自由度的非完整系统 在得到约束方程 (3) (33) 的基础上, 接着逐条执 (33) 行本文所给出的动力学建模步骤, 最后即可获得到该圆盘的运动方程 : 4( x cos y sn ) cos R[ ( cos ) cos ( cos )sn 0 4( x sn y cos )sn 4( z g) cos R[ ( cos )sn 0 ( x cos y sn ) R( cos sn ) 0 z R sn 0 x R[( cos ) cos sn sn 0 y R[( cos )sn sn cos 0 这是一组完全以广义坐标 x y z 为未知变量的六个方程 (34) 如果采用的传统的罗斯方法方建模, 则可得到如下形式的圆盘运动方程 : mx my mz mg mr[ ( cos ) cos ( cos )sn 4( cos cos sn cos ) mr[ ( cos )sn 4( cos sn sn cos sn ) mr( cos sn ) ( cos sn ) z R sn 0 x R[( cos ) cos sn sn 0 y R[( cos )sn sn cos 0 (35) 这是一组以广义坐标 x y z 和待定乘子 为未知变量的九个方程 比较方程组 (34) 和 (35), 可以看出 : 方程组 (34) 所含的未知变量和方程的个数都明显少于方程组 (35) 所含的未知变量和方程的个数, 且方程组 (34) 比方程组 (35) 更加简单, 因而方程组 (34) 也就相对便于 解 这再次说明 : 应用本文的方法所建立的动力学模型要比应用传统的罗斯方法所建立的动力学模型 具有一定的优越性 4 结束语 本文针对承受理想约束的系统, 在所选取的广义坐标的数目多于系统的自由度数的情况下, 发展出的一组完全以广义坐标为未知变量的系统动力学方程, 并给出了应用该组方程进行理想约束系统动力学建模的具体步骤 相对于应用传统的罗斯方法所建立的系统动力学模型, 应用本文的方法所建立 9
的动力模型具有不含待定乘子且方程和未知变量的个数都比较少的优点, 文中的两个建模实例证实了 上述优点 因此, 为了克服用传统的罗斯方法建模所具有的缺陷, 读者将来可以考虑应用本文的方法 建立理想约束系统的动力学模型 参考文献 (References) [ 张劲夫, 秦卫阳. 高等动力学 [M. 北京 : 科学出版社,004.(Zhang Jnfu, Qn Weyang. Advanced dynamcs[m. Beng: Scence Press, 004(n hnese)). [ 梅凤翔, 刘端, 罗勇. 高等分析力学 [M. 北京 : 北京理工大学出版社,99.(Me Fengxang, Lu Duan, Luo Yong. Advanced analytc mechancs[m. Beng: Beng Insttute of echnology Press, 99(n hnese)). [3 Faben B. Analytcal system dynamcs[m. New Yor: Sprnger, 009. [4 刘延柱. 高等动力学 [M. 北京 : 高等教育出版社,00.(Lu Yanzhu.Advanced dynamcs[m.beng: Hgher Educaton Press, 00(n hnese)). [5 Papastavrds J G. Analytcal Mechancs[M. Oxford: Oxford Unversty Press, 00. [6 O relly O M, Srnvasa A R. A smple treatment of constrant forces and constrant moments n the dynamcs of rgd bodes[j. Appled Mechancs Revews, 05, 67: 0480. [7 Le Saux, Lene, R I, Glocer. Dynamcs of a rollng ds n the presence of dry frcton[j. Journal of Nonlnear Scence, 005, 5(): 7 6. [8 Fred, E. New nsghts nto the classcal mechancs of partcle systems[j. Dscrete ontnuous dynamc systems, 05, 8(4): 469 504. [9 黄昭度, 纪辉玉. 分析力学 [M. 北京 : 清华大学出版社,985. (Huang Zhaodu, J Huyu. Analytc mechancs[m. Beng: snghua Unversty Press, 985(n hnese)). [0 叶敏, 肖龙翔. 分析力学 [M. 天津 : 天津大学出版社,00. (Ye Mn, Xao longxang. Analytc mechancs[m.anng: anng Unversty Press, 00(n hnese)). [ Woodhouse N M J. Introducton to analytcal dynamcs[m. New Yor: Sprnger, 009. 作者简介 : 张劲夫, 男,964 年 5 月生, 博士, 西北工业大学工程力学系教授, 研究方向 : 分析力学 多体动力学 E-mal: fzhang@nwpu.edu.cn 通信地址 : 西安市长安区西北工业大学力学与土木建筑学院邮编 :709 项目资助基金 : 国家自然科学基金项目 ( 编号 :734) 0