精品学习网中国最大的综合教育门户网站 0 年大纲卷高考文数真题 ( 解析版 ) 文科数学 本卷是全国大纲卷, 适用于广西省 注意事项 :. 本试卷分第 Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分 第 Ⅰ 卷 至 7 页, 第 Ⅱ 卷 7 至 4 页 答卷前, 考生务必将自己的姓名, 准考证号填写在答题卡上. 回答第 Ⅰ 卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选择其他答案标号 写在本试卷上无效. 回答第 Ⅱ 卷时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效 4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 第 Ⅰ 卷 一 选择题 : 本大题共 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.. 设全集 U={,,,4,5}, 集合 A={,}, 则 UA=( ). A.{,} B.{,4,5} C.{,,,4,5} D. 答案 B 解析 由题意得 UA={,4,5}. 故选 B.. 已知 α 是第二象限角,sin α = 5, 则 cos α =( ). A. 5 B. 第 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
5 C. D. 精品学习网中国最大的综合教育门户网站 答案 A 5 解析 α 是第二象限角, cos α= sin. 故 选 A.. 已知向量 m=(λ +,),n=(λ +,), 若 (m+n) (m-n), 则 λ =( ). A.-4 B.- C.- D.- 答案 B 解析 (m+n) (m-n), (m+n) (m-n)=0. m - n =0, 即 (λ+) +-[(λ+) +4]=0. λ=-. 故选 B. 4. 不等式 x - < 的解集是 ( ). A.(-,) B.(-,) C.(-,0) (0,) D.(-,0) (0,) 答案 D 解析 x - < -<x -< 0<x <4 0< x < -<x <0 或 0<x<. 故选 D. 第 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
精品学习网中国最大的综合教育门户网站 5.(x+) 8 的展开式中 x 6 的系数是 ( ). A.8 B.56 C. D.4 答案 C 解析 T + = C 8 x 8- =x 6. 故选 C. 6. 函数 f(x)=log x (x>0) 的反函数 f - (x)=( ). A. B. x (x>0) x (x 0) C.x-(x R) D.x-(x>0) 答案 A 解析 由 y=f(x)= log x + x =y x= y. x>0, y>0. f - (x)= x (x>0). 故选 A. 4 7. 已知数列 {an} 满足 an++an=0, a, 则 {an} 的前 0 项和等于 ( ). A.-6(--0) B. 9 (-0) C.(--0) D.(+-0) 答案 C 第 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
解析 a n+ +a n =0 a n+ = a n, {a n } 是以 为公比的等比数列. 又 a = 4, a =4. 精品学习网中国最大的综合教育门户网站 4 S 0 = 0 =(- -0 ). 故选 C. 8. 已知 F(-,0),F(,0) 是椭圆 C 的两个焦点, 过 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点, 且 AB =, 则 C 的方程为 ( ). x A. +y= x y B. x y C. 4 x y D. 5 4 答案 C 解析 如图, AF = AB =, F F =, 由椭圆定义得 AF =a-. 在 Rt AF F 中, AF = AF + F F = +. x y 由 得 a=, b =a -c =. 椭圆 C 的方程为, 应选 C. 4 9. 若函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0) 的部分图像如图, 则 ω =( ). 第 4 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
精品学习网中国最大的综合教育门户网站 A.5 B.4 C. D. 答案 B 解析 由题中图象可知 x 0 + π 4 -x T π 0=. T. π π. ω=4. 故 选 B. 0. 已知曲线 y=x 4 +ax + 在点 (-,a+) 处切线的斜率为 8, 则 a=( ). A.9 B.6 C.-9 D.-6 答案 D 解析 由题意知 y x=- =(4x +ax) x=- =-4-a=8, 则 a=-6. 故选 D.. 已知正四棱柱 ABCD-ABCD 中,AA=AB, 则 CD 与平面 BDC 所成角的正弦值等于 ( ). A. B. C. D. 答案 A 解析 如图, 设 AA =AB=,AC 交 BD 于点 O, 连结 OC, 过 C 作 第 5 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
CH OC 于点 H, 连结 DH. 精品学习网中国最大的综合教育门户网站 BD AC,BD AA, BD 平面 ACC A. CH 平面 ACC A, CH BD. CH 平面 C BD. CDH 为 CD 与平面 BDC 所成的角. OC = CC OC 4. 由等面积法得 OC CH=OC CC, CH. CH=. CH sin CDH= CD. 故选 A.. 已知抛物线 C:y =8x 与点 M(-,), 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两 点. 若 MA MB =0, 则 k=( ). A. B. C. D. 答案 D 解析 设 AB:y=k(x-), 代入 y =8x 得 : k x -(4k +8)x+4k =0, 设 A(x,y ),B(x,y ), 则 4k 8 x +x =, k 第 6 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
x x =4.(*) 精品学习网中国最大的综合教育门户网站 MA MB =0, (x +,y -) (x +,y -)=0, 即 (x +)(x +)+(y -)(y -)=0. x x +(x +x )+4+y y -(y +y )+4=0. y kx, y +y =k(x +x -4), y kx, y y =k (x -)(x -)=k [x x -(x +x )+4]. 由 (*) 及 得 k=. 故选 D. 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 题 - 第 题为必考题, 每个试题考生都必须作答 第 题 - 第 4 题为选考题, 考生根据要求作答 二 填空题 : 本大题共 4 小题, 每小题 5 分.. 设 f(x) 是以 为周期的函数, 且当 x [,) 时,f(x)=x-, 则 f(-)=. 答案 - 解析 f(x) 是以 为周期的函数, 且 x [,) 时,f(x)=x-, 则 f(-)=f(-+)=f()=-=-. 4. 从进入决赛的 6 名选手中决出 名一等奖, 名二等奖, 名三等奖, 则可能的决赛结 果共有 种.( 用数字作答 ) 答案 60 解析 分三步: 第一步, 一等奖有 C 种可能的结果 ; 第二步, 二等奖有 6 种可能的结果 ; 第三步, 三等奖有 C 种可能的结果. 故共有 C C C 60 ( 种 ) 可能的结果. 6 5 C 5 第 7 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
精品学习网中国最大的综合教育门户网站 x 0, 5. 若 x,y 满足约束条件 x y 4, 则 z=-x+y 的最小值为. x y4, 答案 0 解析 z=-x+y y=x+z,z 表示直线 y=x+z 在 y 轴上的截距, 截距 越小,z 就越小. 画出题中约束条件表示的可行域 ( 如图中阴影部分所示 ), 当 直线过点 A(,) 时,z min =0. 6. 已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球 O 的半径,OK=, 且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60, 则球 O 的表面积等于. 答案 6π 解析 如图, 设 MN 为公共弦, 长度为 R,E 为 MN 中点, 连结 OE,EK, 则 OE MN,KE MN. OEK 为圆 O 与圆 K 所在平面的二面角. OEK=60. 又 OMN 为正三角形, OE= R. OK=, 且 OK KE, OE sin 60 =. R. R=. S=4πR =6π. 三 解答题 : 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 7.( 本小题满分 0 分 ) 等差数列 {an} 中,a7=4,a9=a9. () 求 {an} 的通项公式 ; 解析 设等差数列{a n } 的公差为 d, 则 a n =a +(n-)d. 第 8 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
a 因为 a 7 4, a, 9 9 精品学习网中国最大的综合教育门户网站 a 6d 4, 所以 a 8d a 8 d. 解得 a =, d. 所以 {a n } 的通项公式为 a n n. () 设 b n na 解析 因为 所以 S n n, 求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn. b n nn n n, n. n n n 8.( 本小题满分 分 ) 设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b +c)=ac. () 求 B; 解析 因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 所以 a +c -b =-ac. a c b 由余弦定理得 cos B=, ac 因此 B=0. () 若 sin Asin C=, 求 C. 4 解析 由 () 知 A+C=60, 所以 cos(a-c)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+sin Asin C =cos(a+c)+sin Asin C 第 9 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
= + 4 精品学习网中国最大的综合教育门户网站 =, 故 A-C=0 或 A-C=-0, 因此 C=5 或 C=45. 9.( 本小题满分 分 ) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, ABC= BAD=90,BC=AD, PAB 和 PAD 都是边长为 的等边三角形. () 证明 :PB CD; 解析 因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 所以 a +c -b =-ac. a c b 由余弦定理得 cos B=, ac 因此 B=0. () 求点 A 到平面 PCD 的距离. 解析 由 () 知 A+C=60, 所以 cos(a-c)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+sin Asin C =cos(a+c)+sin Asin C = + 4 =, 故 A-C=0 或 A-C=-0, 因此 C=5 或 C=45. 0.( 本小题满分 分 ) 甲 乙 丙三人进行羽毛球练习赛, 其中两人比赛, 另一人当裁判, 每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判. 设各局中双方获胜的概率均为, 各局比赛 第 0 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
的结果相互独立, 第 局甲当裁判. 精品学习网中国最大的综合教育门户网站 () 求第 4 局甲当裁判的概率 ; 解析 证明: 取 BC 的中点 E, 连结 DE, 则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO 平面 ABCD, 垂足为 O. 连结 OA,OB,OD,OE. 由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD, 即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE BD, 从而 PB OE. 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点, 所以 OE CD. 因此 PB CD. () 求前 4 局中乙恰好当 次裁判的概率. 解析 解 : 取 PD 的中点 F, 连结 OF, 则 OF PB. 由 () 知,PB CD, 故 OF CD. 又 OD= BD=,OP= PD OD, 故 POD 为等腰三角形, 因此 OF PD. 又 PD CD=D, 所以 OF 平面 PCD. 因为 AE CD,CD 平面 PCD,AE 平面 PCD, 所以 AE 平面 PCD. 因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离, 而 OF= PB =, 所以 A 到平面 PCD 的距离为.. ( 本小题满分 分 ) 已知函数 f(x)=x +ax +x+. () 当 a 时, 讨论 f(x) 的单调性 ; 解析 记 A 表示事件 第 局结果为甲胜, A 表示事件 第 局甲参加比赛时, 结果为甲负, A 表示事件 第 4 局甲当裁判. 则 A=A A. 第 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
精品学习网中国最大的综合教育门户网站 P(A)=P(A A )=P(A )P(A )= 4. () 若 x [,+ ) 时,f(x) 0, 求 a 的取值范围. 解析 记 B 表示事件 第 局比赛结果为乙胜, B 表示事件 第 局乙参加比赛时, 结果为乙胜, B 表示事件 第 局乙参加比赛时, 结果为乙胜, B 表示事件 前 4 局中乙恰好当 次裁判. 则 B= B B +B B B +B B. P(B)=P( B B +B B B +B B ) =P( B B )+P(B B B )+P(B B ) =P( B )P(B )+P(B )P(B )P( B )+P(B )P( B ) = 4 8 4 = 5 8. x.( 本小题满分 分 ) 已知双曲线 C: a y (a>0,b>0) 的左 右焦点分别为 F, b F, 离心率为, 直线 y= 与 C 的两个交点间的距离为 6. () 求 a,b; c 解析 由题设知 a, 即 所以 C 的方程为 8x -y =8a. a b a 9 将 y= 代入上式, 并求得 x a., 故 b =8a. 由题设知, a 6, 解得 a =. 所以 a=, b. 第 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
精品学习网中国最大的综合教育门户网站 () 设过 F 的直线 l 与 C 的左 右两支分别交于 A,B 两点, 且 AF = BF, 证明 : AF, AB, BF 成等比数列. 解析 证明 : 由 () 知,F (-,0),F (,0),C 的方程为 8x -y =8. 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-), k < 6k x+9k +8=0. 设 A(x,y ),B(x,y ), 则 6k x -,x,x +x = k 8,x 9k 8 x =. k 8, 代入 并化简得 (k -8)x - 于是 AF = x y = x 8x 8 =-(x +), BF = x y = x 8x 8 =x +. 由 AF = BF 得 -(x +)=x +, 即 x +x =. 6k 故, k 8 4 解得 k, 从而 x x = 9. 5 9 由于 AF = x y = x 8x 8 =-x, BF = x y 第 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网
精品学习网中国最大的综合教育门户网站 = x 8x 8 =x -, 故 AB = AF - BF =-(x +x )=4, AF BF =(x +x )-9x x -=6. 因而 AF BF = AB, 所以 AF, AB, BF 成等比数列. 第 4 页 http://www.5edu.com/ 精品学习网