西城区高三模拟测试 数学 ( 理科 ) 8.5 第 Ⅰ 卷 ( 选择题共 4 分 ) 一 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 4 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出 符合题目要求的一项.. 若集合 A { }, B { }, 则下列结论中正确的是 (A) A B (B) A B R (C) A B (D) B A. 若复数 z 满足 ( i) z, 则 z (A) i (B) i (C) i (D) i 3. 下列函数中, 既是偶函数又在区间 (,) 上单调递减的是 (A) y (B) y 4. 某正四棱锥的正 ( 主 ) 视图和俯视图如图所示, 该正四棱锥的 侧面积是 (A) (B) 4 (C) y (D) y cos (C) (D)8 5 5. 向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示. 若向量 a b 与 c 共线, 则实数 (A) (B) (C) (D) y 6. 已知点 A (,), B (,). 若椭圆 W : 上存在点 C, 使得 ABC 为等边三角形, m 则椭圆 W 的离心率是 (A) (B) (C) 6 3 (D) 3 微信客服 :gaokz8
7. 函数 f ( ) a. 则 a 是 [,], 使 f ( ) 的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 8. 在直角坐标系 Oy 中, 对于点 (, y ), 定义变换 : 将点 (, y) ta a, 变换为点 ( a, b ), 使得 y ta b, π π 其中 a, b (, ). 这样变 换 就将坐标系 Oy 内的曲线变换为坐标系 aob 内的曲线. 则四个函数 y ( ), y ( ), y 3 e ( ), y4 l ( ) 在坐标系 Oy 内的图象, 变换为坐标系 aob 内的四条曲线 ( 如图 ) 依次是 (A),3,,4 (C),3,4, (B)3,,4, (D)3,,,4 第 Ⅱ 卷 ( 非选择题共 分 ) 二 填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 3 分. cos, 9. 已知圆 C 的参数方程为 ( 为参数 ), 则圆 C 的面积为 ; 圆心 C 到直线 y si l : 3 4y 的距离为.. ( ) 4 的展开式中 的系数是. π. 在 ABC 中, a 3, b, A, 则 cos B. 3. 设等差数列 { a } 的前 项和为 S. 若 a, S S 3, 则数列 { a } 的通项公式可以是. 微信客服 :gaokz8
, 3. 设不等式组 y 3, y 5 表示的平面区域为 D. 若直线 a y 上存在区域 D 上的点, 则 实数 a 的取值范围是. 4. 地铁某换乘站设有编号为 A,B,C,D,E 的五个安全出口. 若同时开放其中的两个安全 出口, 疏散 名乘客所需的时间如下 : 安全出口编号 A,B B,C C,D D,E A,E 疏散乘客时间 (s) 6 4 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是. 三 解答题 : 本大题共 6 小题, 共 8 分. 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤. 5.( 本小题满分 3 分 ) 已知函数 f ( ) ( ta ) si. (Ⅰ) 求 f ( ) 的定义域 ; (Ⅱ) 若 (,π), 且 f ( ), 求 的值. 6.( 本小题满分 4 分 ) 如图, 梯形 ABCD 所在的平面与等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直, AB // CD // EF, AB AD. CD DA AF FE, AB 4. (Ⅰ) 求证 : DF // 平面 BCE ; (Ⅱ) 求二面角 C BF A的余弦值 ; (Ⅲ) 线段 CE 上是否存在点 G, 使得 AG 平面 BCF? 请说明理由. 微信客服 :gaokz8
7.( 本小题满分 3 分 ) 在某地区, 某项职业的从业者共约 8.5 万人, 其中约 3.4 万人患有某种职业病. 为了解这种职业病与某项身体指标 ( 检测值为不超过 6 的正整数 ) 间的关系, 依据是否患有职业病, 使用分层抽样的方法随机抽取了 名从业者, 记录他们该项身体指标的检测值, 整理得到如下统计图 : (Ⅰ) 求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值 ; (Ⅱ) 在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 人, 求这 人中有患病者的概率 ; * (III) 某研究机构提出, 可以选取常数 X.5 ( N ), 若一名从业者该项身体指标检测值 大于 X, 则判断其患有这种职业病 ; 若检测值小于 X, 则判断其未患有这种职业病. 从 样本中随机选择一名从业者, 按照这种方式判断其是否患有职业病. 写出使得判断错误的 概率最小的 X 的值及相应的概率 ( 只需写出结论 ). 8.( 本小题满分 4 分 ) 已知直线 l : y k 与抛物线 C : y 4 相切于点 P. (Ⅰ) 求直线 l 的方程及点 P 的坐标 ; (Ⅱ) 设 Q 在抛物线 C 上,A 为 PQ 的中点. 过 A 作 y 轴的垂线, 分别交抛物线 C 和直线 l 于 M, N. 记 PMN 的面积为 S, QAM 的面积为 S, 证明 : S S. 微信客服 :gaokz8
9.( 本小题满分 3 分 ) l 已知函数 f ( ) a, 曲线 y f ( ) 在 处的切线经过点 (, ). (Ⅰ) 求实数 a 的值 ; (Ⅱ) 设 b, 求 f ( ) 在区间 [, b] 上的最大值和最小值. b.( 本小题满分 3 分 ) 数列 a, a,, a ( ) 的各项均为整数, 满足 : a ( i,,, ) A : i, 且 a a a a a, 其中 a. 3 3 (Ⅰ) 若 3, 写出所有满足条件的数列 A 3 ; (Ⅱ) 求 a 的值 ; (Ⅲ) 证明 : a a a. 微信客服 :gaokz8
西城区高三模拟测试 数学 ( 理科 ) 参考答案及评分标准 8.5 一 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 4 分..C.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.A 8.A 二 填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 3 分. 9. π, 6 5. 6. 3. ( 答案不唯一 ) 3. [,3] 4.D 注 : 第 9 题第一空 3 分, 第二空 分. 三 解答题 : 本大题共 6 小题, 共 8 分. 其他正确解答过程, 请参照评分标准给分. 5.( 本小题满分 3 分 ) π 解 :(Ⅰ) 因为函数 y ta 的定义域是 { R k π, k Z }, π 所以 f ( ) 的定义域为 { R k π, k Z }. 4 分 (Ⅱ) f ( ) ( ta ) si si ( ) si 5 分 cos si si 6 分 si cos 7 分 π si( ). 8 分 4 π 由 f ( ), 得 si( ). 9 分 4 π π 7π 因为 π, 所以, 分 4 4 4 所以 π π π 3π, 或. 分 4 4 4 4 微信客服 :gaokz8
解得 6.( 本小题满分 4 分 ) π π, 或 ( 舍去 ). 3 分 4 解 :(Ⅰ) 因为 CD // EF, 且 CD EF, 所以四边形 CDFE 为平行四边形, 所以 DF // CE. 分 因为 DF 平面 BCE, 3 分 所以 DF // 平面 BCE. 4 分 (Ⅱ) 在平面 ABEF 内, 过 A 作 Az AB. 因为平面 ABCD 平面 ABEF, 平面 ABCD I 平面 ABEF 又 Az 平面 ABEF, Az AB, 所以 Az 平面 ABCD, 所以 AD AB, AD Az, Az AB. AB, 如图建立空间直角坐标系 A yz. 5 分 由题意得, A (,,), B (, 4,), C (,,), E (,3, 3), F (,, 3). 所以 BC (,,), BF (, 3, 3). 设平面 BCF 的法向量为 (, y, z), 则 BC, BF, 即 y, 3y 3z. 令 y, 则, z 3, 所以 (,, 3). 7 分 平面 ABF 的一个法向量为 v (,,), 8 分 则 v 5 cos, v. v 5 所以二面角 C BF A的余弦值 (Ⅲ) 线段 CE 上不存在点 G, 使得 AG 平面 BCF, 理由如下 : 解法一 : 设平面 ACE 的法向量为 m (, y, z ), 5 5. 分 分 微信客服 :gaokz8
m AC, 则 m AE, 即 y, 3y 3z. 令 y, 则, z 3, 所以 m (,, 3). 3 分 因为 m, 所以平面 ACE 与平面 BCF 不可能垂直, 从而线段 CE 上不存在点 G, 使得 AG 平面 BCF. 4 分 解法二 : 线段 CE 上不存在点 G, 使得 AG 平面 BCF, 理由如下 : 分 假设线段 CE 上存在点 G, 使得 AG 平面 BCF, 设 CG CE, 其中 [,]. 设 G(, y, z ), 则有 (, y, z ) (,, 3 ), 所以, y, z 3, 从而 G(,, 3 ), 所以 AG (,, 3 ). 3 分 因为 AG 平面 BCF, 所以 AG //. 所以有 3, 3 因为上述方程组无解, 所以假设不成立. 所以线段 CE 上不存在点 G, 使得 AG 平面 BCF. 4 分 7.( 本小题满分 3 分 ) 3.4 解 :(Ⅰ) 根据分层抽样原则, 容量为 的样本中, 患病者的人数为 4 人. 8.5 分 a..35.5.5..5, b...3.4. 4 分 (Ⅱ) 指标检测数据为 4 的样本中, 有患病者 4. 8 人, 未患病者 6.5 9 人. 6 分 设事件 A 为 从中随机选择 人, 其中有患病者. 微信客服 :gaokz8
则 C 9 P(A), 8 分 C 34 9 7 所以 5 P(A) P(A). 9 分 34 (Ⅲ) 使得判断错误的概率最小的 X 4.5. 分 当 X 4.5 8.( 本小题满分 4 分 ) 时, 判断错误的概率为. 3 分 解 :(Ⅰ) 由 y k, y 4 得 k (k 4). 分 依题意, 有 k, 且 (k 4) 4k. 解得 k. 3 分 所以直线 l 的方程为 y. 4 分 将 k 代入, 解得, 所以点 P 的坐标为 (,). 5 分 (Ⅱ) 设 Q( m, ), 则 依题意, 将直线 得 4m, 所以 m A(, ). 7 分 y 分别代入抛物线 C 与直线 l, ( ) M (, ), N (, ) 6. 8 分 因为 ( ) 4 4 4m 4 4 m MN, 分 6 6 6 4 m ( ) (8m 8) ( 4 4) AM 6 6 (8m 8) (4m 4 4) m, 6 4 分 所以 AM MN. 3 分 又 A 为 PQ 中点, 所以 P, Q 两点到直线 AN 的距离相等, 所以 S S. 4 分 微信客服 :gaokz8
9.( 本小题满分 3 分 ) 解 :(Ⅰ) f ( ) 的导函数为 所以 f () a. 依题意, 有 即 l a f ( ), 分 f () ( ) a, a a, 4 分 解得 a. 5 分 l (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 f ( ). 当 < < 时,, l, 所以 f ( ), 故 f ( ) 单调递增 ; 当 > 时,, l, 所以 f ( ), 故 f ( ) 单调递减. 所以 f ( ) 在区间 (,) 上单调递增, 在区间 (, ) 上单调递减. 8 分 因为 设 b, 所以 f ( ) 最大值为 f (). 9 分 b h( b) f ( b) f ( ) ( b )l b b, 其中 b. 分 b b b h( b) ( )l b, b 则 故 h( b ) 在区间 (, ) 上单调递增. 所以 h( b) h(), 即 故 f ( ) 最小值为 分 f ( b) f ( ), 分 b f ( ) bl b. 3 分 b b.( 本小题满分 3 分 ) 解 :(Ⅰ) 满足条件的数列 A 3 为 :,,6 ;,,4 ;,, ;,,. 3 分 (Ⅱ) a. 4 分 否则, 假设 a, 因为 a, 所以 a. 又 a, a3,, a, 因此有 a a a a a 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 微信客服 :gaokz8
3, 3 这与 a a a a a 矛盾! 3 所以 a. 8 分 k (Ⅲ) 先证明如下结论 : k {,,, }, 必有 a a a k. 否则, 令 k a a a k, 注意左式是 k 的整数倍, 因此 k k a a a k. 所以有 : a a a a a 3 3 k ( ) k ( ) k ( ) ( ) k k k, 3 这与 a a a a a 矛盾! 3 所以 k a a a k. 分 因此有 : a, a a, a 4 a a, 3 a a a a, k k k a a a a. 3 k 将上述 个不等式相加得 a ( ) a ( ) a ( ), 又 a a a a a, 3 3 两式相减即得 a a a. 3 分 微信客服 :gaokz8
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