高雄市 103 年度國小學生獨立研究競賽 作品說明書 科別 : 數學類 作品名稱 : 破解阿基遊戲 學校 : 博愛國小 研究者 : 陳晏霆 林柔萱 蔡劭珩 謝尹芯 指導老師 : 沈惠淳 潘麗惠
破解阿基遊戲 壹 研究動機 我們一直很喜歡數學, 假日時, 常常相約去圖書館借有關數學遊戲的書 有一次我們在 70 世界數學遊戲 這本書裡看到了阿基遊戲, 覺得很有趣, 因為它跟井字遊戲有點像, 但阿基遊戲可以移動, 也有更多變化 我們在網路查不到有關的資料, 更不用說破解方式了 於是我們想更進一步了解阿基遊戲, 找出獲勝的方法及造成輸贏的情況 貳 研究目的 一 找出 4 顆棋子時的阿基棋盤, 先手或後手贏的方法 二 找出 3 顆棋子時的阿基遊戲, 先手或後手贏的方法 三 找出 3 顆棋子佔據底線時, 先手或後手贏的方法 參 遊戲介紹 一 基本遊戲規則 1. 阿基遊戲是兩個人競賽的棋盤遊戲, 為 3x3 的棋盤, 共有九個點可下棋子 2. 一人執黑棋, 一人執白棋, 每人有四顆棋子, 玩家輪流將棋子放在棋盤任一點上 3. 按照這樣的順序輪流擺放, 直到棋子都放到棋盤上 4. 接著玩家可以沿著線把自己的任一顆棋子移動到隔壁空著的點, 但不可以跳過其他棋子 5. 先把自己三顆棋子連成一條線者, 不論是橫線 縱線還是斜線, 都算獲勝 6. 外加特殊規則 : 為避免該棋局一再重複相同的進退, 限定玩家不得回頭前一步 二 變化遊戲規則變化 1: 每個玩家所持棋子由四顆改為三顆, 其餘規則不變 變化 2 : 每個玩家都持有三顆棋子, 但三顆棋子一開始就分別佔據一邊底線 先把三顆棋子連成一線者獲勝, 但不包含該棋子的起始底線 1
三 研究規則說明 1. 本篇報告中, 為了方便呈現將白棋改為紅棋 2. 我們規定一律由黑棋先下, 紅棋後下 3. 棋盤上九個點 ( 位置 ), 分別以數字 1~9 表示 4. 棋盤中, 角 是指編號 1 3 7 和 9 的位置, 邊 是指編號 2 4 6 和 8 的位置, 中央 是指編號 5 的位置 5. 本棋盤是 正方形, 因此透過旋轉 對稱後發現排列組合相同的類型, 不予重覆討論 6. 研究討論的範圍不考慮下 失誤棋 的情形 所謂 失誤棋 是指對手即將連線, 該阻擋卻未阻擋, 如 5 4 1 7 第三步, 紅棋應當下在 9 號位置, 阻擋黑棋連線 7. 記錄方式 : 依下棋先後順序紀錄位置, 如 5 1 2 8* 7 3* 9 4, 奇數步必為黑棋, 偶數步必為紅棋 若見 * 則表示下那一步目的在阻擋對方連線或沒有選擇不得不下 8. 移動方式記錄 : 棋子需經過移動才能連線時, 依順序及移位結果記錄位置, 如 3 6 6 9 9 8, 意指黑棋由 6 移動到 3, 紅棋由 9 移動到 6, 黑棋再由 8 移動到 9 同樣奇數步必為黑棋, 偶數步必為紅棋 2
肆 研究過程與結果 研究一 找出 4 顆棋子時的阿基棋盤, 先手或後手贏的方法 一 研究步驟第一手雖然有 9 個位置都可以下, 但是經過翻轉或旋轉後, 只剩下角 中央和邊三種變化, 我們決定就這三種位置作推演 二 研究結果 ( 一 ) 黑棋第一步下在 中央 -5, 先手必贏黑棋第一步下在 5 號位置 ( 中央 ), 白棋只有兩種回應方式, 一種是下在 1 3 7 9 號 ( 角 ), 另一種就是 2 4 6 8 號 ( 邊 ) 黑棋採取的獲勝策略有兩種 1. 聰明三角形, 雙活必贏 當黑棋第一步下在 5 號位置, 紅棋下在 9 號位置 (1 3 7 號旋轉後亦相同 ), 黑棋接著只要下在 1 號位置, 形成黑黑紅一直線, 產生雙活連線的機會大 黑棋構成三角形, 形成雙活連線後, 必能在下一回合獲勝 小三角大三角大三角 5 9 1 2 4 6* 7 贏 7* 6 贏 5 9 1 2 7 3* 4 贏 4* 3 贏 5 9 1 6 3* 2* 7 贏 7* 2 贏 當黑棋第一步下在 5 號, 紅棋下在 2 號, 黑棋接著只要下在 1 號, 強迫對手 阻擋 9 號, 則黑棋不管下在 4 號或 7 號均能形成雙活 大三角 小三角 5 2 1 9* 7 3* 4 贏 4* 3 贏 5 2 1 9* 4 6* 7 贏 7* 6 贏 3
2. 關鍵 5 7 步, 就是要 Y 字 在棋盤推演過程中, 最常出現的獲勝類型就是 Y 字型 如下圖, 當黑棋和紅棋全都放到棋盤上, 僅剩一個空白位置, 黑棋形成 Y 字形 黑棋第一步下在 5 號, 紅棋續下 2 號位置 大 Y 型 小 Y 型 大 Y 型 小 Y 型 5 2 7 5 2 8 5 2 8 5 2 8 3* 1* 9* 6* 4* 1 3* 7* 4* 6* 4 1 9* 3* 7* 7 1 9* 6 4* 黑棋第一手下在 5 號, 紅棋續下 1 號位置 小 Y 型 小 Y 型 大 Y 型 小 Y 型 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 8* 4 6* 9 3 8* 6 4* 7 9 8* 7 3* 9 4 8* 9 7 4* 9 可看出黑棋有兩種選擇可移到空白位置, 紅棋只有一個選擇 黑棋只要固守 5 號 ( 中央 ), 移動外圍棋子, 三步後就能連線成功 如下圖, 以 5 2 8 7 1 9* 6 4* 為例, 只移動外圍棋子,3 6 6 9 9 8 三步後黑棋就能達成 159 連線成功 4
形成 Y 字形的關鍵在第五步和第七步 我們可透過畫 Y 來判別 5 6 5 6 如上圖, 以 5 2 8 7 為例 第五步, 黑棋無須阻擋紅棋 可能形成 Y 字型的情況有三種, 黑棋必定不可下在 9 號位置, 其餘 1 3 4 6 任 一位置均可 小 Y 型 大 Y 型 第五步, 黑棋若選擇下在 1 號位置, 形成 5 2 8 7 1 9* 透過畫 Y 可看出, 除了 4 號位置, 第七步黑棋下在 3 號和 6 號位置均可產生 Y 字型, 則黑棋贏 ( 二 ) 黑棋第一步下在 角 -1379, 後手贏先手黑棋第一步在 1 號位置, 後手紅棋的最佳下法是在 5 號 紅棋策略 : 先佔中央, 預防對手的對角佈局, 最終以 Y 字型獲勝 黑棋贏 紅棋贏 黑棋採對角佈局, 若再取 得 3 號或 7 號位置, 則將形成雙活 1 5 9 3 7 8* 4 贏 4* 8 贏 1 5 9 6 4* 7* 3* 2* 5
其他 Y 字型獲勝舉例 黑棋第一手下在 1 號, 紅棋續下 5 號位置 1 5 2 3* 7* 4* 6* 8 1 5 3 2* 8* 7 6 9 1 5 8 7 3* 2* 9 6 ( 三 ) 黑棋第一步下在 邊 -2468, 後手贏 先手黑棋第一步在 2 號位置, 後手紅棋的最佳下法是在 5 號 紅棋策略 : 先佔中央, 最終以 Y 字型獲勝 三 四顆棋子時的阿基遊戲小結 輸贏的關鍵在哪一方先取得 中央, 可以說 取得中央 是成功的一半, 因此這是一 個對先手絕對有利的遊戲 研究二 找出 3 顆棋子時的阿基遊戲, 先手或後手贏的方法 一 研究步驟我們同樣根據第一步的三種變化 -- 角 中央和邊, 進行操作 但由於 3 顆棋子的阿基遊戲, 棋盤又多了 2 個空格, 變化性更大 因此只說明具代表性的下法 二 研究結果 ( 一 ) 先手第一步下在 中央, 必勝策略 : 對邊對角法, 迫使對手無法阻擋 後手紅棋若下在 角, 則黑棋下在其 對邊 ; 後手下在 邊, 則黑棋下在其 對 角 對邊 對角 6
如下圖, 黑棋 紅棋各佔一方, 黑棋具有先手的優勢, 紅棋無法阻擋, 則先手 先行連線成功 5 1 6 4* 7* 3* 黑棋需 2 步才能連線成功 紅棋在另一方, 無法阻擋 5 2 7 3* 1* 9* 黑棋需 1 步即可連線成功 紅棋在另一方, 無法阻擋 ( 二 ) 黑棋第一步下在 角 或 邊, 則先後手輸贏無絕對除了上述兩種情況外, 其餘輸贏需視個人技巧而定 重要策略 : 包圍法 較常被運用的關鍵棋盤有 (A)(B)(C) 三種, 試圖將對手逼到同一線或同一角落關起來 (A) 3 (B) (C) 5 6 5 6 6 9 輪到紅棋, 必須移動 5 號棋子, 則黑棋連線 8 9 輪到紅棋, 必須移動 5 號棋子, 則黑棋連線 輪到黑棋, 黑棋只能動 6 號旗子, 紅棋贏 與四顆棋子時相比, 先佔 中央 不見得有利, 尤其對後手而言 欲取之, 必先給之 黑棋讓對手取得 5 號位置 ( 一般認為最重要的位置 ), 自 己只須在外圍不斷逼對手往同一方向移動 7
以下圖為例,1 5 9 3 7* 4* 6 9 2 3 3 6 9 5* 5 1 當紅棋被黑棋所 包圍, 最後只有 5 號能移動 ; 紅棋被迫讓出 5 號位置, 則黑棋可連線成功 ( 三 ) 難有勝負的情況 當我們漸漸熟悉遊戲的變化後, 愈來愈難有輸贏, 大家會避開讓自己被關的下 法 ; 後來更發現, 如果不想輸, 只要讓棋盤出現兩個交叉三角形就可以了 黑 紅棋以兩個交叉三角形分布, 等於每一條線上都有對方棋子, 互相卡 住彼此連線的機會, 這種下法只能求不輸, 對獲勝沒有實際幫助 以 (D) 棋盤為例, 輪到紅棋, 只能選擇移動 5 號位置或 7 8 紅棋若採取 7 8, 則成 (E) 棋盤, 最後會被黑棋包圍, 紅棋輸 紅棋若採取 5 1, 則成 (F) 棋盤, 構成交叉三角形, 免除被包圍的危機 8
( D) ( E) ( F) 三 三顆棋子時的阿基遊戲小結 : 先手取得中央, 必贏 ; 後手先取中央, 易輸 善用包圍法, 則先後手都有贏的機會 研究三 找出 3 顆棋子佔據底線時, 先手或後手贏的方法 一 研究步驟黑棋第一步只有三種選擇, 分別是 4 1 5 1, 以及 5 2, 以此進行推演 二 研究結果 ( 一 ) 三顆棋子佔據底線時, 所謂的連線成功, 並不包含其起始底線 實際演練的結果, 沒有先手 必 勝法則 ( 二 ) 先手第一步的最佳選擇 :4 1, 贏率最高 1. 紅棋應對方式有四種,5 7 5 8 5 9 及 6 9 2. 若紅棋決定先下 6 號位置, 則變化多, 勝負無絕對, 容易形成交叉三角形, 無分勝負 若為 4 1 6 9 5 3 3 6, 至此紅棋完成包圍佈局, 黑棋輸 若為 4 1 6 9 5 2 9 8 8 5 5 7 7 4, 至此黑棋完成包圍佈局, 黑棋贏 9
若為 4 1 6 9 5 2 9 8 2 3 3 6, 至此紅棋完成 大愛心 佈局 黑棋移出 5 號位置, 紅棋就可連線 ; 黑棋若採取 1 4, 則遭紅棋包圍, 還是輸 大愛心 3. 紅棋決定先取 5 號位置, 不論是 5 7 5 8 或 5 9, 則黑棋都能以 戴帽子 棋盤 獲勝 戴帽子 策略 : 戴帽子, 則能讓對手來不及阻擋 以 4 1 5 8 6 3 8 9 9 6 6 5 5 4 4 7 1 2, 黑棋贏為例 不能倒退上一步, 紅棋只能由 9 8 黑棋進行邊線包圍 紅棋沒得選擇, 只能 5 6 或 5 3 黑棋連線成功 紅棋欲阻擋黑棋連 黑棋阻斷紅棋聯繫, 線, 需 2 步, 來不及 取得 5 號 10
( 三 ) 先手第一步的最糟選擇 :5 1, 黑棋必輸 1. 紅棋應對方式有兩種,4 7 6 9 2. 若為 5 1 4 7 6 3 1 4 3 2 2 1, 紅棋至此完成包圍佈局, 黑棋輸 3. 若為 5 1 4 7 7 5 5 8, 紅棋至此完成雙活佈局, 黑棋下一步不管是 6 3 還是 1 2 皆無法阻擋紅棋連線 4. 若紅棋決定先下 6 9, 則 5 1 6 9 1 2 4 7, 至此紅棋構成 戴帽子, 紅棋會贏 7 8 三 三顆棋子佔據底線時的阿基遊戲小結 : 9 不管是黑棋或紅棋, 該色第一手若直取 中央, 則輸的機率反而大 伍 結論 一 四顆棋子時, 棋盤空位只有一個, 變化有限 1. 先手第一步先取中央, 就能以三角形 ( 雙活佈局 ) 和 Y 字型策略必贏 2. 後手紅棋想贏, 必須在黑棋第一手下在邊或角的情況下, 有機會先取得中央, 則能以 Y 字型贏, 二 三顆棋子時, 對先手黑棋有利 1. 先手黑棋第一手下在中央, 利用對邊對角法, 讓紅棋來不及阻擋, 必贏 2. 後手紅棋若先取中央, 反而不利, 易受包圍, 棋路受迫而輸 11
三 三顆棋子佔據底線時, 先 後手無絕對之輸贏 1. 黑棋最佳第一步為 4 1, 紅棋最佳應對為 6 9 2. 不論先後手, 直取中央反而不利, 輸的機率大 3. 三顆棋子佔據底線的變化大, 需善用各種策略, 才能在棋局中獲勝 四 一開始, 我們曾試圖利用排列組合找出所有的類型, 但後來發現是不可能的, 因為還需考慮阻擋因素 或許我們還沒找出所有的破解方法, 但是利用我們發現的策略 : 1. 雙活 2. 讓對手來不及阻擋 3. 利用包圍佈局將對手關起來 4. 戴帽子 5. 大愛心找出了較容易獲勝的方式 這也使我們在玩阿基遊戲時, 提高勝算, 達到我們研究的目標 12