作品名稱 : 黑白大賽摘要 : 本研究以破解遊戲為出發點, 解題之後, 透過更多的實作, 變換遊戲規則 ; 不斷地增加抓取棋子的數量, 經由整理, 終歸納出最快速完成解法的策略, 更進而發現解題的規律性, 並找出簡單的公式, 加以驗證及應用壹研究動機上數學課時老師曾提及臺灣師範大學數學系

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畏圃黎
7 years ago
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1 科組金門地區第 52 屆中小學科學展覽會作品說明書別 : 數學科別 : 國中組作品名稱 : 黑白大賽關鍵詞 : 黑白棋左右互換 ( 最多 3 個 ) 附件五 A : 說明書封面編號 : 製作說明 : 1. 說明書封面僅寫科別組別作品名稱及關鍵詞 2. 編號由本縣科學展覽會承辦單位統一編列 3. 封面編排由參展作者自行設計 1

作品名稱 : 黑白大賽摘要 : 本研究以破解遊戲為出發點, 解題之後, 透過更多的實作, 變換遊戲規則 ; 不斷地增加抓取棋子的數量, 經由整理, 終歸納出最快速完成解法的策略, 更進而發現解題的規律性, 並找出簡單的公式, 加以驗證及應用壹研究動機上數學課時老師曾提及臺灣師範大學數學系許志農教授設計了許多有趣的數學遊戲, 我們利用課餘時間上網搜尋相關資料, 其中雞鴨相間

2 作品名稱 : 黑白大賽摘要 : 本研究以破解遊戲為出發點, 解題之後, 透過更多的實作, 變換遊戲規則 ; 不斷地增加抓取棋子的數量, 經由整理, 終歸納出最快速完成解法的策略, 更進而發現解題的規律性, 並找出簡單的公式, 加以驗證及應用壹研究動機上數學課時老師曾提及臺灣師範大學數學系許志農教授設計了許多有趣的數學遊戲, 我們利用課餘時間上網搜尋相關資料, 其中雞鴨相間的遊戲看起來挺有趣的, 引發我們高度的興趣欲探究箇中的奧秘, 方便起見, 我們用黑白棋作為實驗的工具, 展開了一連串的實驗原遊戲規則如下 : 有三個白棋與三個黑棋排成一列, 中間沒有空格, 而且左邊三個是白棋, 右邊三個是黑棋每次只能抓取相鄰的兩個棋子, 並將它們移動到其他相鄰的兩個空格上, 不可以交換此兩個棋子的左右次序 ; 當三對黑白棋相鄰地排成一排, 而且三對黑白棋剛好相間時便完成遊戲動手實作後發現這個移動黑白棋的遊戲很有意思! 實驗過程中我們也持續上網找尋相關資料, 發現過去已有許多數學家研究過移動黑白棋的遊戲 ; 經過數學家的推導, 在每次抓取兩個相鄰棋子的情況下, 他們已經證明了 5 對子移 5 次, 6 對子移 6 次,, n 對子移 n 次, 都可由黑白分明移成黑白相間以往的科展作品中, 也有許多是研究棋子移位遊戲的作品, 例如第 39 屆科展高中組的乾坤大挪移第 48 屆科展國小組的毛毛蟲爬眼鏡移位遊戲變形玩法等, 以及網路上常見的易位棋遊戲, 無論是調整棋子的數量變化棋子的顏色或是改變棋盤的樣式, 都能拉出來作為科展研究的主題為了避免與以往的研究重覆, 我們嘗試改變遊戲的規則再來玩玩看, 我們決定以將直線排列的黑白棋左右互換順序, 並考慮在抓取數量逐次增加的情況下, 以如何找出最快的破解方法, 作為我們此次研究的主題貳研究問題一在限抓兩相鄰棋子的情況下, 如下圖結構中, 如何將 5 對黑白棋左右互換, 是否有解呢? 若有解, 那麼最少的解題步驟次數為多少? 2

3 二把題目做得複雜點, 在抓取兩相鄰棋子的情況下, 如何將 6 對,7 對,8 對, 甚至 9 對,10 對黑白棋左右互換, 是否仍可找出最少的解題步驟次數呢? 那可以推廣到一般解的情況嗎? 三再改變遊戲規則, 把限抓的個數改變, 例如一次限抓取數逐次增加為 3 個 4 個 5 個等等, 甚至是一次限抓 m 個, 是否有解呢? 參研究設備及器材黑白棋紙筆電腦肆研究過程遊戲一開始為 5 個白棋和 5 個黑棋排成一列, 左邊為 5 個白棋, 右邊為 5 個黑棋, 每次僅可移動相鄰的兩個棋子, 但不能變動此兩個棋子的左右次序, 同時限定原有棋子, 左右兩側各兩個空格, 如下圖結構 : 目標 : 一次移動兩顆棋子, 而且這兩顆棋子必須是相鄰的棋子, 最後黑白兩色棋子左右位置互換, 且所有棋子皆相鄰, 遊戲就完成我們想要了解 : 當一次移動兩顆棋子的時候, 需要多少步驟才能完成這個遊戲呢? 有沒有最少的步驟解? 若黑白棋的數目更多的時候, 是不是也可以完成? 一般情況的解呢? 也就是說, 給定黑白棋的個數, 便可說出解題的步驟總數以下是我們一連串的追問 : 一 5*5 黑白棋互換邊是否有解 : 黑白棋各五顆, 似乎要花些時間才能理解遊戲的起始點, 因此, 我們把這個問題再單純化, 並逐步做有序地討論與觀察, 希望能找出破解的規律 ( 一 ) 單純化與有序討論 : 1 黑白棋各 1 個 : 規則是 :1 次要抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換, 因為黑白棋各一個, 這兩個無論怎麼抓, 怎麼放, 都無法對調位置所以, 移動步驟與次數 : 無法完成 2 黑白棋各 2 個 : 3

4 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 2 個, 共有 4 個移動步驟與次數 : 只要移動兩顆白棋 1 次, 就可完成, 如下圖所示 : 所以, 移動步驟與次數 : 共 1 次 3 黑白棋各 3 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 3 個, 共有 6 個棋子

5 所以, 移動步驟與次數 : 共 5 次 4 黑白棋各 4 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 4 個, 共有 8 個棋子所以, 移動步驟與次數 : 共 4 次 ( 二 ) 正是破解 5*5 黑白棋的遊戲解法 : 透過前面的探索與經驗發現, 看來這各遊戲步驟有些規則可循, 看來們可以來找 5*5 黑白棋的遊戲解法了黑白棋各 5 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 5 個, 共有 10 個棋子

6 也就是說 : 當黑白棋各五個的時候, 完成遊戲的步驟共需 6 次 ( 三 ) 更複雜的情況解法 : 接下來, 我們想探究更複雜的情況時, 是否一樣有解 : 黑白棋各 6 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 6 個, 共有 12 個棋子 6

7 所以, 移動步驟與次數 : 共 6 次黑白棋各 7 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 7 個, 共有 14 個棋子

8 所以, 移動步驟與次數 : 共 8 次現在我們嘗試整理所有觀察到棋子數目與移動步驟次數的關係, 並列表觀察 : 黑白棋各自個數完成步驟次數 ? 好像棋子數目與步驟總數, 沒有甚麼關聯性, 也許觀察到的例子還不夠多, 我們再往下找更多的例子來觀察看看 : 黑白棋各 8 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 8 個, 共有 16 個棋子

9 所以, 移動步驟與次數 : 共 8 次黑白棋各 9 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 9 個, 共有 18 個棋子

10 所以, 移動步驟與次數 : 共 10 次整理一下目前所觀察的棋子數目與其移動步驟次數, 如下表 : 黑白棋各自個數完成步驟次數 ??? 哈, 移動過程的步驟與次數似乎有些規則性, 我們猜測 : 當黑白棋個數各有 10 個時, 完成遊戲的步驟總數為 10 次, 而各有 11 個時, 步驟總數為 12 次, 各有 12 個時, 步驟總數也為 12 次以下的檢驗, 證明我們的想法是正確的 : 黑白棋各 10 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 10 個, 共有 20 個棋子

11 所以, 移動步驟與次數 : 共 10 次 BinGo! 黑白棋各 11 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 11 個, 共有 22 個棋子

12 所以, 移動步驟與次數 : 共 12 次, 此結果印證我們前面的猜測! 黑白棋各 12 個 :: 規則是 :1 次抓兩個棋子, 最後兩種顏色左右位置互換黑白棋各 12 個, 共有 24 個棋子

13 BinGo! 再一次確認我們的猜測是正確的 : 當黑白棋各有 12 個的時候, 顏色對調移動完成的步驟與次數, 共需 12 次再次整理目前觀察到所有棋子數目與移動步驟次數之間的關係, 如下表 : 黑白棋各自個數完成步驟次數移動過程的步驟與次數看來有其規則性二一般化的猜測與證明 : 現在, 我們可以嘗試來考慮一般化的情況, 我們的猜想如下 : ( 一 ) 一般化猜想 : 當黑白棋個數各有 n 個時 (n 5), 完成遊戲的步驟總數 : 1. 當 n 為奇數時, 完成步驟共需要 n+1 次 2. 當 n 為偶數時, 完成步驟共需要 n 次 ( 二 ) 證明 : 讓我們利用推論說明的方式, 來解釋以上一般化式子的正確性 : 1. 驗證起始點的正確性 : 彙整我們觀察到的棋子數目與移動步驟次數之間的關係如下, 以便印證 : 黑白棋各自個數完成步驟次數 (1) 當黑白棋各有 5 個時, 所需移動的步驟次數為 6 次, 符合以上公式 : 當 n=5 為奇數時, 完成步驟共需要 n+1=5+1=6 次 (2) 當黑白棋各有 6 個時, 所需移動的步驟次數為 6 次, 符合以上公式 : 當 n=6 為偶數時, 完成步驟共需要 n=6 次 (3) 當黑白棋各有 7 個時, 所需移動的步驟次數為 8 次, 符合以上公式 : 當 n=7 為奇數時, 完成步驟共需要 n+1=7+1=8 次 (4) 當黑白棋各有 8 個時, 所需移動的步驟次數為 8 次, 符合以上公式 : 當 n=8 為偶數時, 完成步驟共需要 n=8 次 2. 觀察一般狀況的特性 : 我們分奇數與偶數兩種狀況來說明 : (1) 當黑白棋數目皆為奇數時 : 當 n 5 時, 即 n= k+1 的形態時, 回想我們解題步驟 : 一開始, 我們會先移動白色棋子中最左邊的兩顆到最右邊的兩個空格處, 然後再 13

14 移動黑色棋子中最右邊的兩顆, 到之前移動位置的兩顆白棋子處, 然後再移動白色棋子最左邊的兩顆, 到之前移動位置的兩顆黑色棋子處, 以此類推, 當白色棋子兩兩向右移動到空格處, 黑色棋子也兩兩移動, 往左邊填補白色棋子遺留的空位, 一直到最後只剩下一顆白棋與一顆黑棋左右相鄰, 如下圖的 j 與 g: i j g h T 目前我們移動的步驟次數為 k+k=2k 次最後只需要再兩個步驟, 就可完成這個遊戲 : 其一, 挪動 i 與 j 的一黑一白兩棋子到 h 與 t 的空位, 其二, 將編號 3 與 4 的兩顆黑棋往右填補 i 與 j 的位置, 此時, 遊戲正式結束因此, 所有步驟次數 =2k+2=(2k+1)+1=n+1 次, 得證 (2) 當黑白棋數目皆為偶數時 : 當 n 5 且為偶數, 即 n= k 的形態時, 回想我們解題步驟 : 先移動白色棋子中最左邊的兩顆到最右邊的兩個空格處, 然後再移動黑色棋子中最右邊的兩顆, 到之前移動位置的兩顆白棋子處, 然後再移動白色棋子最左邊的兩顆, 到之前移動位置的兩顆黑色棋子處, 以此類推 : 白色棋子兩兩向右移動到空格處, 黑色棋子也兩兩移動, 往左邊填補白色棋子遺留的空位, 因為白棋與黑棋皆有偶數顆, 所以所有的白棋皆可兩兩往右移動, 當最後一組白棋往右移動後, 黑棋中最右邊的兩顆並不需移動, 如下圖 c 與 d 位置的兩顆黑棋, 接下來, 只要再移動編號 3 與 4 的兩顆黑棋, 向右填補 a 與 b 的位置, 此遊戲就宣告完成 a b c d 因此, 白棋總共移動 k 次, 而黑棋移動 (k-1) +1=k 次, 合計 : k+k=2k=n 次, 得證 n 為偶數時的一般情形 3. 結論 : 當黑白棋個數各有 n 個時 (n 5 的所有自然數 ), 完成遊戲的步驟總數 : (1) 當 n 為奇數時 : 完成步驟共需要 n+1 次 (2) 當 n 為偶數時 : 完成步驟共需要 n 次三改變問題的問法 : 原有我們設定的遊戲規則, 是一次移動兩顆棋子, 左右兩邊各留空兩個位置, 若我們改變遊戲的結構與走法, 是不是也可以找到一規律性的解法? 哈, 還是會有毀滅性的結果呢? 也就是說, 當遊戲一樣各有黑白棋子各若干顆並排, 而當一次移動三顆棋子的時候, 在左右各留有三個空格時, 想要調換全部黑白棋的左右關係位置時, 共需要多少步驟呢? 有沒有一般化的結果呢? ( 一 ) 簡單化與有序化思考 : 為了讓思考情況容易聚焦, 我們遊戲設定從黑白棋子各 3 顆開始觀察起 : 1 黑白棋各 3 顆時 :

15 顯然只要 1 次, 就可完成遊戲! 2 黑白棋各 4 顆時 : 步驟共需 5 次, 才能完成遊戲! 好像跟最先的遊戲結果有些共通性呢, 看來問題越來越有趣了, 我們再往下觀察看看 : 3 黑白棋各 5 顆時 : 15

16 步驟共需 5 次, 才能完成遊戲! 4 黑白棋各 6 顆時 :

17 17 18 看來當一次移動三顆棋子的時候, 若原有黑棋子或白棋子的個數為 3 的倍數時, 很容易就可以得到結果, 也就是說 : 白棋 6 顆, 一次移動 3 顆, 白棋皆要移動到另一側, 所以需要 2 次, 而黑棋 6 顆中, 有 3 顆是不必動的, 另外 3 顆卻需移動 2 次所以此例共需移動 4 次讓我們再觀察更多的例子 : 5 黑白棋各 7 顆時 : 此例中, 共需要 6 個步驟, 就可完成遊戲 6 黑白棋各 8 顆時 :

18 此例中, 也是需要 6 個步驟, 就可完成遊戲現在我們嘗試整理一下所有觀察到棋子數目與移動步驟次數的關係, 列表如下 : 黑白棋各自個數完成步驟次數 ?? 好像棋子數目與步驟總數, 有些規律性, 不過還是有些難全面猜想, 也許觀察的例子還不夠多, 我們再往下探究 : 7 黑白棋各 9 顆時 : 哇, 真的跟 3 的倍數有關耶! 所以此例中, 當黑白棋各有 9 顆時, 總共需要移動的步驟共 6 次 18

19 目前, 可觀察到 : 棋子的數目與移動步驟次數的關係, 列表如下 : 黑白棋各自個數完成步驟次數 ? 黑白棋各 10 顆或 11 顆時 : 完成步驟次數會不會是 7 次呢? 還是有其他可能? 黑白棋各 12 顆時 : 完成步驟次數會不會是 8 次呢? 以下是我們繼續的操作與觀察 : 8 黑白棋各 10 顆時 : 原來是要移動 8 次! 那黑白棋各 11 顆時, 是不是也是 8 次呢? 這一次被我們猜對了 : 9 黑白棋各 11 顆時 :

20 哈, 沒錯, 黑白棋各 11 顆時, 真的需要移動 8 次, 就能完成遊戲, 看來合宜的猜想, 必須要有足夠的例子, 才容易進行與命中! 10 黑白棋各 12 顆時 :

21 的確是 8 次, 也就是黑白棋各有 12 顆時, 白棋 12 顆, 一次移動可移動 3 顆, 共分 4 次才能移動完畢, 而黑棋 12 顆, 其中的 3 顆是不必移動的, 而原先最右邊的 3 顆黑棋卻要移動 2 次, 剩下來的 6 顆, 每次移動 3 顆, 共需要 2 次才能移動就位, 所以合計 : 4+2+2=8 次同理可想 : 當黑白棋各有 15 顆時, 因為一次移動 3 顆, 白棋共需移動 5 次, 而黑棋一消一長, 也需要 5 次, 所以移動次數合計 :(15 3) 2=10 次為了確認一般情形, 有必要再往下觀察兩個例子 : 11 黑白棋各 13 顆時 :

23 此例需要 10 次的步驟, 觀察移動的過程, 發現到 : 因為 13 3=4 餘 1, 所以黑白棋各移動 4 次後, 還各留 1 顆, 如上列步驟 8, 要完成遊戲, 還需移動 2 次, 所以合計 : 4+4+2=10 次 12 黑白棋各 14 顆時 :

24 此例也是需要共 10 次的步驟, 觀察移動的過程, 發現到 : 因為 14 3=4 餘 2, 所以黑白棋各移動 4 次後, 還各留 2 顆, 如上列步驟 8, 要完成遊戲, 還需移動 2 次, 所以合計 : 4+4+2=10 次讓我們並列以上所有的例子, 來觀察棋子的數目與移動步驟次數的關係 : 黑白棋各自個數完成步驟次數太棒了, 現在, 我們有足夠的資料, 可以來猜想一般化的狀況了 : ( 二 ) 一般化結果猜想 : 當我們有黑白棋子各 n 顆緊密相連時,(n 7), 而遊戲一次限移動 3 顆棋, 左右各有 3 格空格, 此時要完成遊戲的步驟總數 : 1. 當 n=3k+1 時, 完成步驟共需要 2k+2 次 2. 當 n=3k+2 時, 完成步驟也需要 2k+2 次 3. 當 n=3k 時, 完成步驟共需要 2k 次 ( 三 ) 證明猜想 : 讓我們利用推論說明的方式, 來解釋以上一般化式子的正確性 : 1. 驗證起始點的正確性 : 彙整我們觀察到的棋子數目與移動步驟次數之間的關係如下, 以便印證 : 黑白棋各自個數完成步驟次數

25 (1) 當黑白棋各有 7 個時, 所需移動的步驟次數為 6 次, 符合以上公式 : 即 n=7=3 2+1, 完成步驟共需要 2 2+2=4+2=6 次 (2) 當黑白棋各有 8 個時, 所需移動的步驟次數為 6 次, 符合以上公式 : 即 n=8=3 2+2, 完成步驟共需要 2 2+2=4+2=6 次 (3) 當黑白棋各有 9 個時, 所需移動的步驟次數為 8 次, 符合以上公式 : 即 n=9=3 3, 完成步驟共需要 2 3=6 次 2. 觀察一般狀況的特性 : 我們以 n 被 3 除之後餘數的情況, 共 3 種, 分別說明如下 : (1) 當餘數為 1 時 : 當 n 7 時, 即 n= k+1 的形態時, 回想我們解題步驟 : 一開始, 我們會先移動白色棋子中最左邊的 3 顆到最右邊的 3 個空格處, 然後再移動黑色棋子中最右邊的 3 顆, 到之前 3 顆白棋子移動後所留空的位置, 然後再移動白色棋子最左邊的 3 顆, 到之前 3 顆黑色棋子移動後所留空的位置, 以此類推, 當白色棋子每 3 個一組向右移動到空格處, 黑色棋子也每 3 個一組移動, 往左邊填補白色棋子移動後所留空位, 一直到最後只剩下一顆白棋與一顆黑棋左右相鄰, 如下圖的 j 與 g: p i j g h s t 目前我們移動的步驟次數為 k+k=2k 次最後只需要再兩個步驟, 就可完成這個遊戲 : 其一, 挪動 p i 與 j 的 2 黑 1 白共三顆棋子到 h s 與 t 的空位, 其二, 將編號 4 5 與 6 的三顆黑棋往右填補 p i 與 j 的三個位置, 此時, 遊戲結束因此, 所有步驟次數 =2k+2 次, 得證 (2) 當餘數為 2 時 : 當 n 7 時, 即 n= k+2 的形態時, 回想我們解題步驟 : 一開始, 我們會先移動白色棋子中最左邊的 3 顆到最右邊的 3 個空格處, 然後再移動黑色棋子中最右邊的 3 顆, 到之前 3 顆白棋子移動後所留空的位置, 然後再移動白色棋子最左邊的 3 顆, 到之前 3 顆黑色棋子移動後所留空的位置, 以此類推, 當白色棋子每 3 個一組向右移動到空格處, 黑色棋子也每 3 個一組移動, 往左邊填補白色棋子移動後所留空位, 一直到最後只剩下 2 顆白棋與 2 顆黑棋左右相鄰, 如下圖的 b c 與 d e: a b c d e f g h 目前我們移動的步驟次數為 k+k=2k 次最後只需要再兩個步驟, 就可完成這個遊戲 : 其一, 挪動 a b 與 c 的 1 黑 2 白共三顆棋子到 f g 與 h 的空位, 其二, 將編號 4 5 與 6 的三顆黑棋往右填補 a b 與 c 的三個位置, 此時, 遊戲結束因此, 所有步驟次數 =2k+2 次, 得證 (3) 當餘數為 0, 即 n 能被 3 整除 : 當 n 7 時, 即 n= k 的形態時, 回想我們解題步驟 : 先移動白色棋子中最左邊的 3 顆到最右邊的 3 個空格處, 然後再移動黑色棋子中最右 25

26 邊的 3 顆, 到之前移動位置的 3 顆白棋子處, 然後再移動白色棋子最左邊的 3 顆, 到之前移動位置的 3 顆黑色棋子留空處, 以此類推 : 白色棋子每三個一組向右移動到空格處, 黑色棋子也每三個一組移動, 往左邊填補白色棋子遺留的空位, 因為白棋與黑棋顆數皆為 3 的倍數, 所以所有的白棋皆可三個一組往右移動, 當最後一組白棋往右移動後, 黑棋中最右邊的三顆並不需移動, 如下圖 d e 與 f 位置的 3 顆黑棋, 接下來, 只要再移動編號 4 5 與 6 的 3 顆黑棋, 向右填補 a b 與 c 的位置, 此遊戲就宣告完成 a b c d e f 因此, 白棋總共移動 k 次, 而黑棋移動 (k-1) +1=k 次, 合計 : k+k=2k, 得證 n 為 3 的倍數時的一般情形 3. 結論 : 我們有黑白棋子各有 n 顆緊密相連時,(n 7 的所有自然數 ), 當遊戲一次限移動 3 顆棋, 而左右各有 3 個空格, 此時要完成遊戲的最少步驟總數 : (1) 當 n=3k+1 時 : 完成步驟共需要 2k+2 次 (2) 當 n=3k+2 時 : 完成步驟也需要 2k+2 次 (3) 當 n=3k 時 : 完成步驟共需要 2k 次 26

27 三再改變問題的問法, 看更一般性的問題解 : 當遊戲一樣各有黑白棋子各若干顆並排, 而當一次移動四顆五顆六顆等等棋子的時候, 在左右各對應留有四個五個六個等等空格時, 想要調換全部黑白棋的左右關係位置時, 共需要多少步驟呢? 有沒有一般化的結果呢? 也就是說 : 當有黑白棋子各有 n 顆緊密並排, 而一次限定移動 m 顆棋子, 在左右各對應留有 m 個空格時, 想要調換全部黑白棋的左右關係位置時, 共需要多少步驟呢? ( 一 ) 簡單化與有序化思考 : 我們先考慮 : 限定一次移動 4 顆棋子的情況開始觀察起 : 1 一次限定移動 4 顆棋子 : (1) 黑白棋各有 9 顆時 :

28 因此, 共需 6 次移動就可完成 (2) 黑白棋各有 10 顆時 :

29 也是一共 6 次步驟, 就可完成 (3) 黑白棋各有 11 顆時 : 也是一共 6 次步驟, 就可完成遊戲 29

30 (4) 黑白棋各有 12 顆時 : 所以完成此例, 一共需要 6 次步驟, 請注意 : 其中,12 4=3, 而 3+3=6 次 (5) 黑白棋各有 13 顆時 : 17 30

32 所以此例一共需要 8 次的步驟 (6) 黑白棋各有 14 顆時 :

33 所以, 此例也是需要 8 次的步驟 (7) 黑白棋各有 15 顆時 :

34 此例還是一共 8 次步驟, 就可完成 (8) 黑白棋各有 16 顆時 :

35 所以完成此例, 一共需要 8 次步驟, 但請注意 : 其中,16 4=4, 而 4+4=8 次現在, 我們來彙整以上的討論並製表如下 : 黑白棋各自個數完成步驟次數由以上的分析, 很容易就可猜想到一般的情形, 如下 : 當遊戲一次限移動 4 顆棋時, 我們有黑白棋子各有 n 顆緊密相連時,(n 2 4+1), 而, 左右各有 4 格空格, 此時要完成遊戲的步驟總數 : i) 當 n=4k+1 時, 完成步驟共需要 2k+2 次 ii) 當 n=4k+2 時, 完成步驟也需要 2k+2 次 iii) 當 n=4k+3 時, 完成步驟也需要 2k+2 次 iv) 當 n=4k 時, 完成步驟共需要 2k 次同理可推論, 一次限定移動 5 顆 6 顆 7 顆棋子的情形, 現在, 我們來嘗試給出更一般的猜想 : ( 二 ) 更一般化結果的猜想 : 當遊戲一次限移動 m 顆棋時, 我們有黑白棋子各有 n 顆緊密相連時,(n 2m+1), 而, 左右各有 m 格空格, 此時要完成遊戲的步驟總數 : 1. 當 n=mk+1 時, 完成步驟共需要 2k+2 次 2. 當 n=mk+2 時, 完成步驟也需要 2k+2 次 3. 當 n=mk+3 時, 完成步驟也需要 2k+2 次 4. 當 n=mk+j 時, 其中 1 j (m 1), 完成遊戲至少需要 2k+2 次 35

36 5. 當 n=mk 時, 完成步驟共需要 2k 次也就是說 : 2n 當 n 能被 m 整除時, 所需完成的步驟總數為次, 但 n 不能被 m 整除時, 所需完 m 成的步驟總數, 皆為其商的 2 倍再加 2 的步驟次數 ( 三 ) 證明猜想 : 讓我們利用推論說明的方式, 來解釋以上一般化式子的正確性 : 1. 驗證起始點的正確性 : (1) 當 m=2, 即一次限定移動 2 顆棋子 : 彙整先前的觀察並製表如下, 印證 ok: 黑白棋各自個數分解個數 5= = 2 3 7= = 2 4 9= = = = 2 6 完成步驟次數步驟次數公式 = = = = 檢驗 ok! 2=6 6 2=8 8 2= =12 12 (2) 當 m=3, 即一次限定移動 3 顆棋子 : 彙整先前的觀察並製表如下, 印證 ok: 黑白棋各自個數分解個數 7= = = = = = = = = 3 5 完成步驟次數步驟次數公式 = = = 檢驗 ok! 2=6 2=6 6 2=8 2=8 8 2=10 2=10 10 (3) 當 m=4, 即一次限定移動 4 顆棋子 : 彙整先前的觀察並製表如下, 印證 ok: 黑白棋各自個數分解個數 9= = = = = = = = 4 4 完成步驟次數步驟次數公式 = = 檢驗 ok! 2=6 2=6 2=6 6 2=8 2=8 2= 觀察一般狀況的特性 : 我們以 n 被 m 除之後餘數的情況, 共有 m 種, 但基本上可分為兩大類 : 36

37 (1) 當 n 不能被 m 整除, 當餘數為 1,2,3,,(m-1) 時 : 即 n=mk+1 mk+2 mk+3 mk+(m-1) 的形態時, 回想我們解題步驟 : 一開始, 我們會先移動白色棋子中最左邊的 m 顆到最右邊的 m 個空格處, 然後再移動黑色棋子中最右邊的 m 顆, 到之前 m 顆白棋子移動後所留空的位置, 然後再移動白色棋子最左邊的 m 顆, 到之前 m 顆黑色棋子移動後所留空的位置, 以此類推, 當白色棋子每 m 個一組向右移動到空格處, 黑色棋子也每 3 個一組移動, 往左邊填補白色棋子移動後所留空位, 一直到最後只剩下 j 顆白棋與 j 顆黑棋左右相鄰, 其中 1 j (m 1), 如下圖的 A1 Aj 與 B1 Bj: m S1 S(m-j) A1 Aj B1 Bj T1 Tm 目前我們移動的步驟次數為 k+k=2k 次最後只需要再兩個步驟, 就可完成這個遊戲 : 其一, 挪動 S1 到 S((m-j) 與 A1 到 Aj 共 m 顆棋子到 T1 到 Tm 的 m 個空位, 其二, 將編號 ( m+1) 到 2m 的 m 顆黑棋往右填補 S1 到 S((m-j) 與 A1 到 Aj 共 m 個位置, 此時, 遊戲圓滿結束因此, 所有步驟次數 =2k+2 次, 得證 n 不能被 m 整除的情形 (2) 當 n 能被 m 整除時 : 即 n=mk 的形態時, 回想我們解題步驟 : 先移動白色棋子中最左邊的 m 顆到最右邊的 m 個空格處, 然後再移動黑色棋子中最右邊的 m 顆, 到之前移動位置的 m 顆白棋子處, 然後再移動白色棋子最左邊的 m 顆, 到之前移動位置的 m 顆黑色棋子留空處, 以此類推 : 白色棋子每 m 個一組向右移動到空格處, 黑色棋子也每 m 個一組移動, 往左邊填補白色棋子遺留的空位, 因為白棋與黑棋顆數皆為 m 的倍數, 所以所有的白棋皆可 m 個一組往右移動, 當最後一組白棋往右移動後, 黑棋中最右邊的 m 顆並不需移動, 如下圖 Y1 到 Ym 位置的 m 顆黑棋, 接下來, 只要再移動編號 ( m+1) 到 2m 的 m 顆黑棋, 向右填補 R1 到 Rm 的位置, 此時, 遊戲就宣告完全結束 2n m+1 2m R1 Rm Y1 Ym 2m 因此, 白棋總共移動 k 次, 而黑棋移動 (k-1) +1=k 次, 合計 : k+k=2k 次, 完全得證 n 為 m 的倍數時的一般情形 3. 結論 : 我們有黑白棋子各有 n 顆緊密相連時,(n 2m+1 的所有自然數 ), 當遊戲一次限移動 m 顆棋, 而左右各有 m 個空格, 此時要完成遊戲的最少步驟總數為 : (1) 當 n=mk+j 時, 其中 1 j (m 1), 完成步驟次數, 共需要 2k+2 次 (2) 當 n=mk 時 : 完成步驟次數, 共需要 2k 次 37

38 伍研究結果 : 一原來開始的遊戲中, 黑白棋個數各有 5 個, 當每次抓取兩個相鄰的棋子, 則 : 完成此遊戲的步驟, 總共需要 6 次二當黑白棋個數越來越多時, 也會有一般的解, 也就是說, 當黑白棋各有 n 個時 ( 對於 n 5 的所有自然數 ), 若每次抓取兩個相鄰的棋子, 完成遊戲的步驟總數 : ( 一 ) 當 n 為奇數時 : 完成步驟共需要 n+1 次 ( 二 ) 當 n 為偶數時 : 完成步驟共需要 n 次三調整遊戲規則, 當遊戲一次限移動 3 顆棋, 黑白棋子各有 n 顆緊密相連時,( 對於 n 7 的所有自然數 ), 對應左右各有 3 空格, 此時要完成遊戲的最少步驟總數 : ( 一 ) 當 n=3k+1 時 : 完成步驟共需要 2k+2 次 ( 二 ) 當 n=3k+2 時 : 完成步驟也需要 2k+2 次 ( 三 ) 當 n=3k 時 : 完成步驟共需要 2k 次四更一般化的結果 : 我們漸次將一次限抓取棋子的數目, 增加 4 個 5 個 6 個後, 發現抓取棋子的數目與完成步驟所需的次數之間確實有一定的規律, 經過推導之後, 可以得出以下的結論 : 我們有黑白棋子各有 n 顆緊密相連時,(n 2m+1 的所有自然數 ), 當遊戲一次限移動 m 顆棋, 而左右各有 m 個空格, 此時要完成遊戲的最少步驟總數為 : ( 一 ) 當 n=mk+j 時, 其中 1 j (m 1), 完成步驟次數, 共需要 2k+2 次 ( 二 ) 當 n=mk 時 : 完成步驟次數, 共需要 2k 次陸研究心得與感想 : 一開始在決定研究主題時毫無頭緒, 我們便上網搜尋歷屆的科展作品, 發現很多科展作品都是針對特定遊戲做深入的探討, 我們突然想起老師曾提及許多有趣的數學遊戲, 於是我們決定朝著這個方向努力, 開始了七年級生的科展之路在實作的過程中挫敗感如影隨形, 我們只能反覆不斷地操作摸索討論, 但結果又不如預期 ; 但在老師的建議下, 我們從簡單做起, 然後循序漸進, 逐步觀察例子, 試著探索其中的規律性, 這時才逐漸露出了一線曙光, 當規律性不斷被發現到時, 大家的信心愈增, 也愈做愈起勁參與這次的科展, 我們真是獲益良多, 不僅增長數學知識, 且大大提升我們的耐心和毅力, 更讓我們體會到團隊合作永不放棄的重要性 ; 努力的過程是彌足珍貴的, 我們一定不會忘記這些日子我們一起做的數學科展! 柒參考資料一 John Mason, Leone Burton & Kaye Stacey, Thinking Mathematically( 數學思考, 台北市立建國高級中學 49 屆 314 班全體同學合譯 ), 2000 年一版, 九章出版社二許志農, 戲說數學, 38

39 三張維忠, 論數學遊戲, 2012/05/12 39

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Microsoft Word - _m30.doc 1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除所以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除所以先拿餘數 2 關鍵數字是 6的倍數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為7