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镁诵慎
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青蛙跳 - 黑白棋互換之探究摘要本研究主要是探討黑白棋在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法和移動總步數利用將黑白棋互換的每一個步驟表列出來, 從中獲得其規則為黑白相間, 數量遞加至 n, 而每邊各 n 個的移動總步數為 n (n+2); 每邊各 n 個和 n-1 個 ( 相差一個 ) 的移動總步數為 n²+n-1 壹

1 青蛙跳 - 黑白棋互換之探究摘要本研究主要是探討黑白棋在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法和移動總步數利用將黑白棋互換的每一個步驟表列出來, 從中獲得其規則為黑白相間, 數量遞加至 n, 而每邊各 n 個的移動總步數為 n (n+2); 每邊各 n 個和 n-1 個 ( 相差一個 ) 的移動總步數為 n²+n-1 壹研究動機上電腦課時, 老師介紹了公母青蛙互換位置的小遊戲, 大家在短短的十分鐘中, 真是讓同學們玩得不亦樂乎課後老師希望我們能增加青蛙的數量並以黑白棋來代替公母青蛙, 增加遊戲的難度, 同時達到隨手可玩的方便性隨著黑白棋的數量慢慢增加, 移動的方式也變得複雜起來但似乎又存在著某種規則, 這不禁引起了我們的研究興趣, 於是我們就開始研究這個有趣的問題了, 希望能從中找出移動的規則和移動的步數貳研究目的一探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法二探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數 1

2 三探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法四探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數紙筆電腦叁研究研究設備及器材肆研究過程研究過程和方法一探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法為了讓移動的方式更容易表示, 我們做以下的規定 : 1. 黑棋放左邊, 白棋放右邊, 黑白棋中間有一空格 2. 以中間空格為基準點, 往黑棋方向分別代表黑 2 黑 3 3. 以中間空格為基準點, 往白棋方向分別代表白 1 白 2 白 3 4. 起使點均以左 1 開始如 : 黑 3 黑 2 白 3 1. 當 n=1 時原棋子的移動方式為 : 白 1 2. 當 n=2 時原棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 白 1 白 2 黑 2 2

3 在這個過程中, 我們發現有一個移動原則是需要注意的, 那就是同類棋子應盡量避免相鄰同類棋子應盡量避免相鄰如 : 此步驟就是不好的移動方式, 需要加以避免 3. 當 n=3 時原棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 黑 2 黑 3 白 2 白 3 黑 3 4. 當 n=4 時原

4 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 白 3 白 4 黑 4 5. 當 n=5 時原

5 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 白 4 白 5 黑 5 6. 當 n=6 時原

6 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 4 黑 5 黑 6 白 5 白 6 黑 6 討論 : 在探討此遊戲的最少次數過程記錄中可以發現以下幾種現象 : 1. 此遊戲雖然沒有限制行子的方向, 但為了找到最少次數, 左邊的黑棋只能往右行子 ; 右邊的白棋向左行子 2. 同色的棋子若互跳則無法進行下去 3. 當右邊的白棋向左進行時, 若左方尚有黑棋, 應避免白棋有連子的狀況產生 ; 反之亦然 4. 能跳則跳動, 不能跳或跳動會增加次數則移動, 然後更換另一方棋子依照此原則重複進行之 5. 不同顏色的棋子會出現二次比鄰交錯狀況 6. 由盤面狀態得知, 每邊棋數為偶數時會呈現一次組內左右對稱的情況, 每邊棋數為奇數則否 6

7 我們將棋子的移動方式整理如下 : n 移動方式白 1 黑 2 白 3 白 3 白 4 白 3 白 4 黑 2 白 2 白 3 黑 3 黑 4 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 白 3 白 4 黑 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 白 4 白 5 黑 5 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 4 黑 5 黑 6 白 5 白 6 黑 6 由上表可以將每邊 n 個棋子的移動方式整理如下 : 當 n 為偶數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 當 n 為奇數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 7

8 黑 4 黑 5 黑 n 白 2 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 二探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數我們先將 n=1~6 的情形, 整理如下 : n 值總步數我們並沒有從數字之間看出什麼規則, 因此我們加上棋子的移動方式, 將移動的總步數分解成各細項, 因此可以得到, n 值總步數 3 = = = = = = 因此, 我們可以看出黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數為 (n-1)+n+n+n+(n-1)+(n-2) =( n) 2+n =(1+n) n 2 2+n =(1+n) n+n =n²+2n =n (n+2) 或 =(n+1)²-1 三探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法 1. 當 n=2 時原棋子的移動方式為 : 白 1 黑 2 白 1 8

9 2. 當 n=3 時原棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 2 3. 當 n=4 時原棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 黑 2 黑 3 黑 4 白 1 白 2 白 3 黑 3 黑 4 白 3 4. 當 n=5 時原 1 9

10 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 4 5. 當 n=6 時原

11 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 黑 5 黑 6 白 5 11

12 我們將棋子的移動方式整理如下 : n 移動方式白 1 黑 2 白 1 白 3 白 3 白 4 黑 2 黑 3 白 3 黑 4 白 3 黑 3 黑 4 白 3 12 黑 4 黑 5 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 4 由上表可以將黑白期各有 n 個和 n-1 個棋子的移動方式整理如下 : 當 n 為偶數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n-1 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n 黑 n-1 黑 n 白 n-1 當 n 為奇數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 黑 5 黑 6 白 5

13 白 2 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n-1 黑 n-1 黑 n 白 n-1 四探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數我們先將 n=2~6 的情形, 整理如下 : n 值總步數我們並沒有從數字之間看出什麼規則, 因此我們加上棋子的移動方式, 將移動的總步數分解成各細項, 因此可以得到, n 值總步數 5 = =(1+2+1)+1 11 = =( ) = =( )+3 29 = =( )+4 41 = =( )+5 因此, 我們可以看出黑白棋各有 n 個和 n-1 個 ( 相差 1 個 ) 排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數為 (n-1)+n+(n-1)+(n-2) (n-1) =( n)+( n-1)+(n-1) =(1+n) n 2+(1+n-1) (n-1) 2+(n-1) 2 2 n + n n n = + +(n-1) 2 2 =n²+n-1 伍研究結果經過上面的研究之後, 我們所探討的兩個研究目的, 可以得到如下的結果 : 一在黑白棋每邊 n 個棋子互換的移動最佳走法上 : 當 n 為偶數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n 13

14 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 當 n 為奇數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 4 黑 5 黑 n 白 2 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 二在黑白棋每邊 n 個棋子互換的移動總步數上 : 黑白棋互換的移動總步數 =n (n+2)=(n+1)²-1 三在黑白期各有 n 個和 n-1 個棋子的移動方式整理如下 : 當 n 為偶數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n-1 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 14

15 白 4 白 5 白 n 黑 n-1 黑 n 白 n-1 當 n 為奇數時白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 2 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n-1 黑 n-1 黑 n 白 n-1 四在黑白棋每邊各有 n 個和 n-1 個 ( 相差 1 個 ) 棋子互換的移動總步數上 : 黑白棋互換的移動總步數 = n²+n-1 陸討論與結論經過上面的研究之後, 我們所探討的黑白棋走法與總步數上均得到很好的結果在過程中, 我們利用將黑白棋互換的每一個步驟表列出來, 從中獲得其規則為黑白相間, 數量遞加至 n, 而每邊各 n 個的移動總步數為 n (n+2); 每邊各 n 個和 n-1 個 ( 相差一個 ) 的移動總步數為 n²+n-1 未來的研究, 我們也許可以從黑白棋的間隔數下手, 探討不同的的間隔數時, 走法會有怎樣的不同柒參考參考資料 1. 跳青蛙遊戲 2. 南一書局 ( 民 106) 國民小學數學第十二冊 ( 六下 ) 台南市南一出版社 15

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摘要有一次和同學在網路上發現了青蛙跳這個遊戲, 大家絞盡腦汁就為了比別人花更少步數完成此遊戲, 每個人都有不同的想法, 於是我們決定以數學的方式找出此遊戲各步數比的最少步數公式和移動方法根據推論和規納後發現以下結果 : 一當兩邊棋數相同時, 假設其中一邊的棋數為 n, 則最少步數為 : 2n+n 2 二當兩邊棋數相同時, 移動方法為 : 1. 將最後位置畫在紙上 2. 將 m 和 j 的頻率寫在紙上