壹前言井字代數樂一研究動機國中的時候我們發現了 Gobblet 這個遊戲如下圖( 一 ) 下圖( 二 ), 它和傳統的井字遊戲很像, 只是多了中棋和大棋可以把小棋吃掉, 一樣是連成一條直線即獲勝我們為了要一起找出必勝的方法, 便邀志同道合的同學一起參加科展研究 ( 說明如圖三 ) 當時我

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漱斑耿
5 years ago
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1 投稿類別 : 數學類篇名 : 井字代數樂作者 : 黃子綺台南市私立黎明中學高一忠班林宏峻台南市私立黎明中學高一仁班黃暐茗台南市私立黎明中學高一忠班指導老師 : 魏溏月老師

壹前言井字代數樂一研究動機國中的時候我們發現了 Gobblet 這個遊戲如下圖( 一 ) 下圖( 二 ), 它和傳統的井字遊戲很像, 只是多了中棋和大棋可以把小棋吃掉, 一樣是連成一條直線即獲勝我們為了要一起找出必勝的方法, 便邀志同道合的同學一起參加科展研究 ( 說明如圖三 ) 當時我們依角 (B) 邊 (C) 中間 (A) 位置進行對戰策略研究,

研究者自行拍攝 ) 圖三 : 國中參與科展評審建議表 ( 圖三資料來源 : 台南市 56 屆中小學科展複審評語 ) 二研究目的 ( 一 ) 傳統 3x3 棋局, 先手及後手分別為 5 小棋及 4 小棋, 進行對戰策略研究, 並分析研究棋局的致勝關鍵 ( 二 ) 進階 3x3 棋局 1. 先手及後手 4 小棋 1 中棋, 2.

2 壹前言井字代數樂一研究動機國中的時候我們發現了 Gobblet 這個遊戲如下圖( 一 ) 下圖( 二 ), 它和傳統的井字遊戲很像, 只是多了中棋和大棋可以把小棋吃掉, 一樣是連成一條直線即獲勝我們為了要一起找出必勝的方法, 便邀志同道合的同學一起參加科展研究 ( 說明如圖三 ) 當時我們依角 (B) 邊 (C) 中間 (A) 位置進行對戰策略研究, 因為當時數學的程度不足只能用嘗試錯誤一一列舉的方式研究並用類似五子棋棋譜的方式研究, 並沒有將策略數學化經過一年多的沉澱之後, 重新將下棋的九個位置用數字編碼, 先後手的下棋順序用代數的方式重新分析, 便邀志同道合的夥伴重新研究圖一 :Gobblet 示意圖一 ( 圖一資料來源 : 研究者自行拍攝 ) 圖二 :Gobblet 示意圖二 ( 圖二資料來源 : 研究者自行拍攝 ) 圖三 : 國中參與科展評審建議表 ( 圖三資料來源 : 台南市 56 屆中小學科展複審評語 ) 二研究目的 ( 一 ) 傳統 3x3 棋局, 先手及後手分別為 5 小棋及 4 小棋, 進行對戰策略研究, 並分析研究棋局的致勝關鍵 ( 二 ) 進階 3x3 棋局 1. 先手及後手 4 小棋 1 中棋, 2. 先手及後手分別為 4 小棋 2 中棋, 3. 先手及後手分別為 4 小棋 1 中棋 1 大棋, 進行對戰策略研究, 與傳統局和不同棋數比較分析先後手對戰勝率 ( 三 ) 變換規則 : 先手及後手分別為 5 小棋及 4 小棋一中棋, 下棋順序的調整進行對戰策略研究, 並分析研究棋局的致勝關鍵三研究設備及器材奇蹟連連 2 盒筆記型電腦 1 Microsoft Office Word 筆記本 1

貳正文井字代數樂一定義與規則 ( 一 ) 把井字上所有空格根據位置的不同填入不同的數字, 以便討論, 其說明如下圖 ( 四 ): 1. 中間位置為 0 2. 四角的位置分別為 1-1 3-3( 皆為奇數 ) 3. 四邊的位置分別為 2-2 4-4( 皆為偶數 ) 4.

3 貳正文井字代數樂一定義與規則 ( 一 ) 把井字上所有空格根據位置的不同填入不同的數字, 以便討論, 其說明如下圖 ( 四 ): 1. 中間位置為 0 2. 四角的位置分別為 ( 皆為奇數 ) 3. 四邊的位置分別為 ( 皆為偶數 ) 4. 任一條橫線直線或是斜線數字和皆為 0 圖四 : 九宮格位示意圖 ( 圖四資料來源 : 研究者自行繪製 ) ( 二 ) 我們將棋局用代數來表示 1. 先手的小棋以 X 表示,X1 X2 X3 X4 X5 表示下棋的順序 2. 後手的小棋以 Y 表示,Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 表示下棋的順序 3. 先手的中棋以 M 表示,M1 M2 M3 表示下棋的順序 4. 後手的中棋以 N 表示,N1 N2 N3 表示下棋的順序 5. 先手的大棋以 P 表示,P1 P2 表示下棋的順序 6. 後手的大棋以 Q 表示,Q1 Q2 表示下棋的順序 ( 三 ) 棋局說明 1. 當 X1 下在中間位置 0 時, 則 X1=0 當 Y1 下在邊上位置 4 時, 則 Y1=4 ( 詳細說明如圖五 ) 2. 當滿足 Xa+Xb+Xc=0 時先手獲勝, 當滿足 Ya+Yb+Yc=0 時後手獲勝 ( 詳細說明如如圖六 ) 圖五 : 九宮格棋局演示示意圖 ( 圖五資料來源 : 研究者自行繪製 ) 圖六 : 九宮格棋局演示示意圖 ( 圖六資料來源 : 研究者自行繪製 ) 3. 中棋可取代小棋, 大棋可以取代中棋和小棋, 即 M1 可取代 Ya,Q1 可取代 Xa 及 M1 當滿足 Xa+Mb+Xc=0 或時 Xa+Mb+Pc=0 先手獲勝 2

4 二研究過程 ( 一 ) 基本棋型 ( 先手後手皆為小棋 ) 1. X1=0,Y1 取偶數 X1=0 Y1=4 ( 偶數 ) X2=2 ( 偶數 ) 後手無從選擇只能擋 X3=1 X1=0 Y1=4 ( 偶數 ) X2=1 ( 奇數 ) 後手無從選擇只能擋 X3 無從選擇但是因為是先手依然勝圖七 : 九宮格過程圖 ( 圖七資料來源 : 研究者自行繪製 ) (1). 當 X1=0, X2 X3 X4 X5 只要任一對相反數即可獲勝, 有四種組合 0+(1)+(-1)=0,0+(2)+(-2)=0,0+(3)+(-3)=0,0+(4)+(-4)=0, (2) Y1 取任一偶數時,X2 還有和另一偶數可選,Y2 只能被迫選 X2 相反數 (3) 當 Y1+ Y2 的相反數存在則 X3 必選, 當 Y1+ Y2 的相反數不存在 X3 可任選 X1 Y1 X2 Y2 X3 雖然 0+(1)+(-1)=0 的可能 -1 已被 Y 取走 X1=0,Y1 取奇數 X1 X2 X3 X4 X5 (1) X1 與 Y1 及 X2 可隨意填入 (2) Y2=(X1+X2) 的相反數 Y1 Y2 Y3 Y4 (3) X3=(Y1+Y3) 的相反數, 若不存在可任填和局 (4) Y3=(X1+X3) 的相反數或 Y3=(X2+X3) 的相反數 X1 X2 X3 X4 X5 當一者存在則填入其中, 兩者都不存在則任填 (5) X4=(Y1+Y3) 的相反數或 X4=(Y2+Y3) 的相反數 Y1 Y2 Y3 Y4 當兩者同時存在時 X4 無法填入兩個位置則輸和局當一者存在則填入其中, 兩者都不存在則任填 X1 X2 X3 X4 X5 則和局 Y1 Y2 Y3 Y 和局但 0+(-3)+(3)=0,1+(-3)+ 2=0 還有兩種組合方法, 故先手必勝圖八 : 先手 (X) 取 0, 後手 (Y) 取偶數棋局過程圖 ( 研究者自行繪製 ) 圖九 : 先手 (X) 取 0, 後手 (Y) 取奇數棋局過程圖 ( 圖九資料來源 : 研究者自行繪製 ) 3

3. X1= 取奇數,Y1 取 0 井字代數樂 (1)X1 可填入任意奇數 (2) 若順序為 (a,0, a,a±2) 會連成兩條線, 則先手必勝 (3) 若順序為 (a,0,±5 a) 或

(Y) 取 0 棋局過程圖 ( 圖十資料來源 : 研究者自行繪製 ) 備註說明 : (1) 下棋的順序我們以序列表示 (X1,Y1,X2,Y2,X3.

5 3. X1= 取奇數,Y1 取 0 井字代數樂 (1)X1 可填入任意奇數 (2) 若順序為 (a,0, a,a±2) 會連成兩條線, 則先手必勝 (3) 若順序為 (a,0,±5 a) 或 (a,0,±1 a) 或 (a,0,a±2) 先手勝 (4) 因九宮格有對稱性所以有第二種圖形為 (a,0,±7 a) (5) 除上述之外, 皆為和局圖十 : 先手 (X) 取奇數, 後手 (Y) 取 0 棋局過程圖 ( 圖十資料來源 : 研究者自行繪製 ) 備註說明 : (1) 下棋的順序我們以序列表示 (X1,Y1,X2,Y2,X3..) (2) 當 X1 下在數字 3,Y1 下在數字 0,X2 下在數字 3, 我們則以序列 ( 3,0, 3) 表示 (3) 當 X1 下在數字 a,y1 下在數字 0,X2 下在數字 a, 我們則以序列 (a,0, a) 表示 4. X1= 取奇數,Y1 取奇數 (1) X1 及 Y1 可隨意填入奇數 (2) (a,a+2,0),(a,a 2,0) 為和局 (3) (a, a, a-2),(a,a+2,-a), 後手不論選擇任何數, 都無法連成線, 先手都會必勝 (4) (a,a+1, 任意偶數 ) 則不一定圖十一 : 先手 (X) 取奇數, 後手 (Y) 取奇數棋局過程圖 ( 圖十一資料來源 : 研究者自行繪製 ) 4

5. X1= 取奇數,Y1 取偶數 X1 X2 X3 X4 X5 1 0-3 3 Y1 Y2 Y3 Y4-4 -1 2 必勝 X1 X2 X3 X4 X5 1-1 4 3 2 Y1 Y2 Y3 Y4-4 0-3 -2 和局 X1 X2 X3 X4 X5 1 2 0-2 Y1 Y2 Y3

(a,+1-a,-1-a) 或 (a, -1-a,+1-a) 先手必勝 (6) 若 ( a, a-5, a+5) 或 ( a, a+5, a-5 ) 則和局圖十二 : 先手 (X) 取奇數, 後手 (Y) 取偶數棋局過程圖 ( 圖十二資料來源 : 研究者自行繪製 ) 6.

6 5. X1= 取奇數,Y1 取偶數 X1 X2 X3 X4 X Y1 Y2 Y3 Y 必勝 X1 X2 X3 X4 X Y1 Y2 Y3 Y 和局 X1 X2 X3 X4 X Y1 Y2 Y3 Y 必勝 (1)X1 可隨機填入任意奇數 (2)(a, 任意偶數,0) 先手之後會形成兩連線則必勝 (3) 若 (a, 任意偶數, 任意奇數 ) 則為和局 (4) 若 (a, +3-a, -3-a) 或 (a, -3-a, +3-a) 先手必勝 (5) 若 (a,+1-a,-1-a) 或 (a, -1-a,+1-a) 先手必勝 (6) 若 ( a, a-5, a+5) 或 ( a, a+5, a-5 ) 則和局圖十二 : 先手 (X) 取奇數, 後手 (Y) 取偶數棋局過程圖 ( 圖十二資料來源 : 研究者自行繪製 ) 6. X1= 取偶數,Y1 取 0 (1)X1 可隨機填入任意偶數 (2)(a, 0, 任一奇數 ) 通常為和局除對手無注意才會先手必勝, 特例如左圖 (3)(a, 0, 任意偶數 ) 也通常為和局圖十三 : 先手 (X) 取偶數, 後手 (Y) 取 0 棋局過程圖 ( 圖十三資料來源 : 研究者自行繪製 ) 5

7. 基本棋型 ( 先手五小黑棋, 後手五小白棋 ) 結論以上為傳統井字遊戲的先後手對戰分析 (1) 在正常的在下棋的過程中,X1 和 Y1 可任選數字, 但 Y2= (X1 +X2) 的相反數, 若 X3 可同時 X3+X2+ =0,X3+X1+ =0 則 Y3 無法同時下 (X3+X1) 或 (X3+X2) 的相反數, 則先手 X 必勝 (2) 要形成 X 必勝的情狀 X1 X2 X3

7 7. 基本棋型 ( 先手五小黑棋, 後手五小白棋 ) 結論以上為傳統井字遊戲的先後手對戰分析 (1) 在正常的在下棋的過程中,X1 和 Y1 可任選數字, 但 Y2= (X1 +X2) 的相反數, 若 X3 可同時 X3+X2+ =0,X3+X1+ =0 則 Y3 無法同時下 (X3+X1) 或 (X3+X2) 的相反數, 則先手 X 必勝 (2) 要形成 X 必勝的情狀 X1 X2 X3 必取以下三數 ( 說明如下圖 ) 等腰三角形 (0, 二奇數 ) 小直角三角形 (0, 一奇, 一偶 ) 大直角三角形 ( 三奇數 ) 圖十四 : X 先手基本棋形必勝結論圖 ( 研究者自行繪製 ) X 取到上列三數則必勝若 Y 要和局則 Y1 Y2 需取一奇數一 0 或是 2 奇數, 不然就是要讓 X3 不得不取 (Y1 +Y2) 的相反數無法取得此三數 ( 二 ) 進階棋型 ( 先後手多了中棋以及大棋 ) 1. 先手四小黑棋一中黑棋, 後手四小白棋一中白棋 (1) 只要先手 X 形成基本棋型中的等腰三角形小直角三角形大直角三角形 ( 如圖十四 ) 則必勝, 在全部都是小棋的形況下原本後手還有很多機會可形成和局多了一顆中棋後, 原本的和局, 因為當先手出現兩子連線時, 後手必用中棋先擋, 一但後手中棋用完, 則先手再發動攻勢, 後手以無中棋可擋, 則先手必勝 6

8 (2) 同時增加一顆中棋時, 原本先手勝的棋型一樣勝, 原本的和局若後手用小棋擋會被先手的中棋吃掉, 所以後手必須一開始就用掉中棋, 先手除了時間搶先的優勢之外, 還多了一顆可活用的中棋所以此種棋型若無下錯, 先手的勝率是百分之百 (3) 進階棋型 ( 先手四小黑棋一中黑棋, 後手四小白棋一中白棋 ) 圖表說明如下 : 先手下 0 先手下 1 先手下 -4 備註說明 (1) 0,1,- 4 的地方為先手第一子下的位置 (2) 若後手的第一子選任一位置此種棋型後手沒有勝的機會 1. 多了一顆中棋後, 原本的和局, 因為當先手出現兩子連線時, 後手必用中棋先檔, 一但後手中棋用完, 則先手再發動攻勢, 後手以無中棋可擋, 則先手必勝 2. 同時增加一顆中棋時, 原本先手勝的棋型一樣勝, 若後手用小棋擋會被先手的中棋吃掉, 所以後手必須一開始就用掉中棋, 先手除了時間搶先的優勢之外, 還多了一顆可活用的中棋 3. 此種棋型若無下錯, 先手的勝率是百分之百圖十五 : ( 先手四小黑棋一中黑棋, 後手四小白棋一中白棋 ) 對戰圖表說明 ( 圖十五資料來源 : 研究者自行繪製 ) 2. 先手三小黑棋二中黑棋, 後手三小白棋二中白棋 (1) 在先手四小黑棋一中黑棋, 後手四小白棋一中白棋 ) 的棋型中, 因為當先手出現兩子連線時, 後手必用中棋先擋, 一但後手中棋用完, 則先手再發動攻勢, 後手以無中棋可擋, 則先手必勝 (2) 現在的棋局先手及後手都有兩顆中棋, 後手用完一顆中棋後還有一顆中棋, 所以可以抵擋先手發動兩次連二的攻勢, 所以先手絕對的優勢較為降低 (3) 先手第一子以取奇數最佳, 後手不管下在哪裡都是輸當連二時後手必須用中棋擋, 選擇吃棋並佔有利的位置可以保持先手勝不敗及獲勝的關鍵子在於奇數或 0 (4) 所以此種棋型若無下錯的情形下只有先手勝以及和局的情形, 先手的勝率較基本棋型高但是較 ( 先手四小黑棋一中黑棋, 後手四小白棋一中白棋 ) 的棋型低 (5) 結論 : 此種棋型不敗及獲勝的關鍵子在於奇數或 0 先手使用中棋時選擇吃掉原本在有利位置的後手則可以保持先手勝先手第一子以下 0 為最佳, 後手不管下在哪裡都是輸 7

9 3. 先手四小黑棋一中黑棋一大黑棋, 後手四小白棋一中白棋一大白棋 (1) 原本設定的棋局為總數一樣為五顆棋子 ( 三小棋一中棋一大棋 ), 但因為此種棋型大棋可吃中棋及小棋, 常常會造成還有空位卻無棋可下的情形, 所以此次討論的方式為四小棋一中棋一大棋共六顆棋子 (2) 原來傳統棋型中先手勝的情況若下的正常先手一樣必勝但是這一種棋型的變化性相當大, 因為多了一顆中棋和一顆大棋中棋可以吃小棋, 但大棋可以一次把中棋和小棋吃掉並佔有利的位置所以比較難掌握後手的棋型原來基本棋型中的和局, 若一不小心沒想太多就會直接被後手有機會使用大棋反吃形成後手勝 (3) 結論 : 此種棋型若無下錯的情形下會維持先手勝以及和局的優勢, 但是因為棋型的複雜度提高, 後手的大棋可以一次反吃先手的中棋並用大棋佔住有利位置, 所以下棋前要更仔細推敲才不會發生失誤 ( 三 ) 對等性棋局 ( 先後手的棋型相同 ) 總結 1. 井字遊戲中因為格子數為九格, 勢必先手會下五次而後手只能下四次, 永遠先手都會比後手多下一子而先手除了有數量上的優勢之外, 還有時機點搶先的優勢所以不論我們如何調整中棋的數量或是大棋的數量, 只要是兩人的棋數及棋型相等, 先手的優勢永遠存在 2. 在調整棋型探討中, 若只增加一顆中棋, 對於後手而言增加的中棋必須在一開始先手連二時就用掉, 所以對後手這顆中棋根本無法發揮效益, 反而對先手而言多了一顆可以反吃後手的棋子, 讓先手的勝率百分之百 3. 越複雜的調整方法, 如 : 多了幾顆大棋, 中棋, 先手要獲勝的機會會降低, 但是降低的原因是來自複雜度增加失誤率提高, 讓後手有機可乘所以如果要維持此遊戲對先後手的公平性應該要做不對等的調整才能降低先手的優勢 4. 因為先手的優勢第一為數量永遠比後手多一個, 所以我們以下的討論先就棋型不對等調整來做研究 ( 先手為 5 小棋, 後手為 4 小棋一中棋 ) 5. 因為先手永遠都具有時間點的優勢, 所以我們之後的討論會針對下棋順序作調整 ( 原先玩法是先手後手先手後手, 更改為先手後手後手先手先手, 且在九步之內取勝 ) 讓先後手輪流有機會作時間的的搶先 ( 四 ) 不對等棋局探討 ( 先後手棋型不同時間輪流順序不同 ) 1. ( 先手為 5 小棋, 後手為 4 小棋一中棋 ) (1) 分析之後發現此遊戲若下的正常, 後手只有贏或是和局, 完全不可能輸 (2) 原來的和局會因為後手蓋上中子反勝 ( 說明圖示如下圖十六 ) 8

下棋順序作調整 ( 先手後手後手先手先手 ) (1) 因為 S 形的順序會形成可以連下兩子, 所以當輪到你下棋時只要有一子雙空, 你連下兩棋就會獲勝而 0( 中間 ) 奇數( 角 ) 偶數( 邊 ) 三個位置中,0( 中間 ) 位置有四個機會可以雙空, 奇數 ( 角 )

10 (3) 原來先手的雙頭蛇勝, 因為後手有一顆中棋所以可以阻擋先手雙頭蛇攻勢變成和局甚至反勝 ( 說明圖示如下圖十六 ) 原本先手後手中棋反吃原本先手後手中棋反吃双頭蛇勝 ( 等腰三角 ) ( 後手勝 ) 双頭蛇勝 ( 小直角 ) ( 和 ) 原本先手双頭蛇勝 ( 大直角 ) 後手中棋反吃 ( 和 ) 原本的和局後手中棋反吃 ( 後手勝 ) 圖十六 : ( 先手五小黑棋, 後手四小白棋一中白棋 ) 對戰圖表說明 ( 圖十六資料來源 : 研究者自行繪製 ) 2. 下棋順序作調整 ( 先手後手後手先手先手 ) (1) 因為 S 形的順序會形成可以連下兩子, 所以當輪到你下棋時只要有一子雙空, 你連下兩棋就會獲勝而 0( 中間 ) 奇數( 角 ) 偶數( 邊 ) 三個位置中,0( 中間 ) 位置有四個機會可以雙空, 奇數 ( 角 ) 位置有三個機會, 若一開始佔住這兩個位置, 對手根本無法同時檔住三或四個機會, 一開始佔住 0( 中間 ) 或奇數 ( 角 ) 必勝圖十七 : 棋形位置連線可能圖 ( 圖十七資料來源 : 參考第 56 屆井字遊戲大發現 ) (2) 若一開始先手沒有用中棋佔住 0( 中間 ) 或奇數 ( 角 ) 位置, 後手用中棋佔住 0 或奇數位置 ( 可將先手的小棋吃掉 ), 則後手必勝 9

11 (3) 若一開始先手用中棋佔住 0( 中間 ) 或奇數 ( 角 ) 位置, 則先手必勝 (4) 這種改變順序的遊戲方式, 若先後手的棋型完全相同, 只要先手一開始就使用不能被吃的中棋或大棋佔住有利位置 0( 中間 ) 或奇數 ( 角 ) 則先手必勝 (5) 若這種改變順序的遊戲方式, 先後手的棋型不同 ( 例 : 先手無中棋, 後手有中棋 )( 先手無大棋, 後手有大棋 ), 具備較大棋的那一方最後可以反吃有利位置 0( 中間 ) 奇數 ( 角 ) 就會必勝參結論一個簡單的井字遊戲, 讓我們展開了一場場的對戰, 看似很簡單, 卻變化無窮從位置的數字設計 ( 相反數與對稱 ) 與其局分析, 發現必勝者必須形成等腰三角形或是小直角大直角三角形因為先手有時間上及棋數上的優勢, 在沒有失誤的狀態下只有勝與和若要讓後手的獲勝除非調整成棋數狀況不對等的情形 ( 詳細分析表如圖十八 ) 基本棋型 ( 先手五小黑棋, 後手五小白棋 ) 若無失誤, 先手只有和局及先手勝沒有輸的可能下棋順序 S 形先手後手後手先手先手 ( 先後手都是四小黑棋一中黑棋 ) 一開始先手用中棋佔住 0( 中間 ) 或奇數 ( 邊 ) 必勝井字遊戲棋型對等進階棋型棋子調整為雙方都有一中棋四小棋, 則先手必勝棋子調整為雙方都是二中棋三小棋, 或是一中棋一大棋四小棋先手都是勝或和局雙方不對等棋型先手為五小棋, 後手為四小棋一中棋後手只要有一中棋, 則勝或和, 完全不可能輸圖十八 : 井字遊戲不同棋型與遊戲方式對戰綜合分析表 ( 圖十八資料來源 : 改編自第 56 屆井字遊戲大發現 ) 肆引注資料一數學遊戲 Tie Tac Toe 必勝策略昌爸工作坊 2017 年 9 月取自二決戰時刻 ---- 九宮格密碼 (2013) 2013 年 9 月三井字棋維基百科 2017 年 9 月取自四井字遊戲不敗秘訣尤怪的家 2002 年 11 月更新五林宏峻等三人 (2016) 井字遊戲大發現第五十六屆南市科展作品 10

Microsoft Word - _m30.doc

Microsoft Word - _m30.doc 1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除所以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除所以先拿餘數 2 關鍵數字是 6的倍數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為7