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岚阮
8 years ago
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1 第 7 章財務數學 7.1 利率 7.2 現值與未來值 7.3 年金現值與未來值 7.4 投資計畫的評估 7.5 報酬率與風險 7.6 投資組合之報酬率與風險 7.7 以 Excel 計算財務數學

2 7.1 利率一利率的意義利息可視為資金提供者的報酬或使用貨幣的價格吾人將期初存入或借出的金額稱為本金 (principle), 利息與本金的比率稱為利率 (interest rate) 二種類 (1) 單利 (2) 複利 (3) 名目利率 (4) 有效利率 1

3 1. 單利指以最初的本金作為計算利息的基礎, 此種計息方式方式, 稱為簡單利率或單利例如, 假定現在存入銀行的本金為 P 元, 年利率為 i %, 期間為 N 年, 採單利方式計息, 則到期日之利息為 I ( 利息 ) = P * i % * N 因此本利和 = 本金 + 利息 = P + I = P + P * i% * N = P (1 + i% * N) 例 1:( 單利的到期本利和 ) 王先生有多餘的資金 100 萬, 若存入銀行, 採固定簡單年利率 4%, 請問 : (1) 若定存期間為 2 年, 到期時, 本利和若干? 2

4 (2) 若王先生定存期間為半年, 則到期時, 本利和若干? 解 : (1) 2 年後利息 =100 萬 *4%*2=8 萬元 2 年後本利和 =100 萬 +8 萬 =108 萬 (2) 半年後的利息 =100 萬 *4%* 1 =2 萬元 2 半年後本利和 100 萬 +2 萬 =102 萬元 3

5 2. 複利 (compound interest) 指當到期日期間高於每次利息計算的時點時, 將每次的利息加入成為下期本金中的一部分時, 此種計息方式的利率稱為複利例如, 若某甲年初存入本金 P 1 元, 每年利率為 i%, 採複利方式計息, 則 1 年後的利息 I 1 = P 1 * i% 1 年後的本利和 = 第 2 年年初的本金 P P I P P i P (1 2 = = * % = 1 + i%) 2 年後之利息 I 2 = P 2 * i% = [ P1 * (1 + i%) ]* i% 2 年後的本利和 = 第 2 年年初的本金 = P + I = P 1+ i%) + P 1 (1 + i%) * ( i 4

6 同理, = P (1 1 + i%)( 1+ i) 2 = P 1 ( 1+ i%) N 年後的本利和 = P (1 i%) 1 + N 例 2. ( 複利的到期本利和 ) 王先生有資金 100 萬元, 以複利方式存入某銀行, 年利率 2%, 每年計算利息一次, 請問 (1) 王先生預計儲蓄該資金 5 年, 則未來 5 年本金與利息各為若干? (2) 王先生須存放多久, 才能使其最後的本利和達原始本金的 2 倍, 即 200 萬? 解 : 5

7 (1) 第一年的本金 =100 萬第一年之利息 =100 萬 *2%=2 萬元因為採用複利計算, 所以, 第二年之本金 =100 萬 +2 萬 =102 萬元第二年底之本利和 =102 萬 *(1+2%)=1,040,400 元第三年之本金 = 第二年年底之本利和第三年之利息 =1,040,400*2%=20,808 第三年之本利和 = 1,040,400*(1+2%)=1,061,208 同理, 第三年之本利和為第四年的本金第四年的利息 =1,061,208*2%=21,224 第四年的本利和 =1,061,208+21,224=1,082,432 第五年的本金 = 第四年的本利和第五年的利息 =1,082,432*2%=21,649 6

8 第五年的本利和 =1,082,432+21,649=1,104,081 將上述計算的結果, 彙整如下表 7

9 表 7.1 本利和的計算時間本金 (1) 利息 (2)=(1)* 利率本利和 =(1)+ (2) 第一年 1,000,000 20,000 1,020,000 第二年 1,020,000 20,400 1,040,400 第三年 1,040,400 20,808 1,061,208 第四年 1,061,208 21,224 1,080,432 第五年 1,080,432 21,649 1,104,081 (2) 假設欲達到 2 倍本金的本利和須 N 年, 則 N 2*100 萬 =100 萬 * ( 1+ 2%) 所以, 2 = ( 1+ 2%) N 8

10 兩邊同取自然對數 : ln 2 = N * ln(1 + 2%) ln 2 所以, N = 35( 年 ) ln( 1+ 2%) 3. 有效利率假設年利率為 i %, 利息的計算期間可以是按月按季或按半年計皆可令.m 為每年複利計算利息的次數, 因此, 如按月計息時,m=12; 按季計息時,m=4; 按半年計息時,m=2, 依此類推, 所以,N 年後, 複利的計利息數 =m*n 在複利結構下, 每期利息滾入下一期的本金, 於是本金的總數隨著時間增加, 依此類推,N 年後到期時的本利和為 P * N n = P0 ( 1+ i%), P n 9

11 其中 P 為期初本的本金若有效年利率以 i 表示, 則依據有效 0 利率之定義可得 N P *(1 + i e ) = P* (1 + i) P 0 m* N 等號兩邊同時消去與 N, 吾人得到, i m ( 1+ i e ) = ( 1+ ) m 因此, 有效利率為 i m ie = ( 1+ ) 1 m e 10

12 例 3. 有效利率假設老王有 100 萬, 定存於銀行, 利息以複利方式按月計算, 年利率 =2%, 請問 : 有效年利率為多少? 解 : 依有效利率公式, 2% i = + ) 12 e ( % 名目與實質利率我們之前所討論的利率並未考慮物價的變動, 稱為名目利率然而, 若物價有波動時, 將會影響未來本利和所能購買到的商品數量, 也就是購買力例如 100 元在蘋果價格為 10 元時可買 10 個, 利率 10% 下,1 年後, 蘋果上升至 22 元時, 本利 11

13 和 110 元, 此時只能買到 5 個蘋果, 反而比一年前還少因此, 借貸關係應關注到物價的變動對購買力的影響才不會招受損失考慮物價變動的利率稱為, 稱為實質利率兩者的關係說明如下 : 假設某甲借 M 元給乙, 當時約定的利率 R, 若蘋果的價格 P t, 因此相當於借給甲 (M/ Pt ) 個蘋果一年後, 若蘋果的價格上升至 P t + 1, 在甲收回本利和為 M(1+R) 元, 此時可買到蘋果數量計算為 ( 1+ R) M P t+1 若一年後可購買的蘋果數量比原來增加的比率為 r, 則 12

14 1+ r = ((1 + R ) M / Pt + 1) ( M / P ) t 若此一年間蘋果物價上漲率為 π (1 + R) M /[ Pt (1 + π )] 1+ r = ( M / Pt ) 化簡後可得 ( 1+ R ) = (1 + r)(1 + π ) 假設 r 與 π 的數值較小, 如 2% 3%, 則 ( r π ) 乘積更小, 可加以忽略因此, 實質利率與名目利率的關係為 r R π 13

15 7.2 現值與未來值一未來值我們知道現在的 100 元與 10 年後的 100 元具有不同的價值, 也就是相同的 100 元在不同的時間點具有不同的價值, 亦即, 貨幣的購買力不同當某甲年初存入本金 P 元, 每年利率為 i%, 採複利方式計息,N 年後的本利和以 F 表示, 則 N F = P (1 + i) N N 其中 F N F 稱為未來值或終值,P 稱為現值, ( 1+ i) 稱為未來值利率因子 (future value interest rate factor), 一般常以 FVIF (N,i) 表示所以, 上式又可表示為 F N = P * FVIF( N, i) 14

16 常用的未來值利率因子, 如表所示我們只要知道年利率 (i) 與期數 (N) 即可查知未來值利率因子二現值若我們已知 N 年後的貨幣價值為 F 元, 利用未來值與現值公式, 則現值為 FN 1 N P = = FN * = F N N *(1 + i) N (1 + i) (1 + i) 此時的利率稱為折現率 (discount rate), (1 + i) N 稱為現值利率因子 (present value interest rate factor), 一般常以 PVIF(N,i) 表示所以, 上式又可表示為 P = F * PVIF( N, i) N 15

17 比較現值利率因子與未來值利率因子可知 : 前者剛好為後者的倒數, 亦即只要知道前者, 就可計算出後者常用的現值利率因子, 如表所示我們只要知道折現率與期數即可查知現值利率因子三現值公式的應用 1. 已知本金 (P) 利率 ( ) 和期數 (N); 求未來值 (F) i F = P ( 1+ i) N 其中 F = 未來值, i = 利率, P = 現值, N = 期數範例 : 16

18 2. 已知利率期數和未來值 ; 求現值 F P = = F *(1 + i) N (1 + i) 3. 已知現值期數和未來值 ; 求利率 F 1 1 N F F = N N ( 1+ i) (1 + i ) = ( ) i = ( ) 1 P P N P 17

19 4. 已知現值利率未來值 ; 求期數 N F = P( 1+ i) 取自然對數後 ln F = ln P + N * ln(1 + i) ln( F ln F ln P ) F N = = P = ln( 1 i) ln(1 + i) ln(1 + i) P 18

20 5. 公式的整理 : 基本關係式 : F = P *(1 + i) 已知數待解變數 ( 等號左邊 ) N P, N, F F = P( 1+ i) i, N, F N P = F(1 + i) F N P, N, F i = ( ) 1 P F P,i, N N = ln( i 1) P N 19

21 7.3 年金的未來值與現值一年金的意義所謂年金 (annuity) 是指一固定期間可以領取或支付一定金額的現金例如保險費的繳納一般可分為月繳季繳半年繳或年繳, 每次繳納的費用金額皆相同二年金的未來值首先, 假定每期期末支付的年金金額為 A 元, 每一期的利率為 i, 若支付 N 期後, 現金流量可表示為 20

22 M A ( 1+ i) M A(1 3 + i) N A(1 A(1 2 + i) N 1 + i) N 圖 7.1 年金未來值的現金流量 21

23 由圖 7.1 吾人可將第 N 期期末的累積貨幣價值總和 (S) 可表示為 N 1 N 2 i N 3 S = A(1 + i) + A(1 + i) + A(1 + ) A (1) 將 (1) 式左右兩邊同乘 ( 1+ i) 並整理得到 2 N [(1 + i) + (1 + i +...( 1+ i) ] (1 + i ) S = A ) (2) 將 (2) 式減去 (1) 式得到 i * S = A [( 1+ i) 1] N 所以, 年今在第 N 年年底價值, 亦即 N 年後的未來值 S 可表示為 ( 1+ S = A i) N 1 i 22

24 (1 + i) N 1 上式中稱為年金未來值利率因子 (future value i interest rate factor for an annuity), 一般以 FVIFA(N, i) 表示所以, 上式又可改寫為 FVA = PMT * FVIFA( N, i) 例題 ( 購屋資金 ) 王先生購屋的貸款希望一年後能以每年 10 萬元定額方式 20 年時間儲蓄, 假定利率為 5% 下, 請問 : 他可存多少錢? 解 : 年利率為 5%,N=20,A=10 查表 7.4 得 FVIFA( 20,5%) = 因此,20 年後可存金額為 FVA = PMT * FVIFA( N, i) =10* = ( 萬元 ) 23

25 例題 ( 能借多少錢 ) 王先生購屋的貸款希望能以每月 3 萬元定額方式分 20 年時間償還, 假定利率為 5% 下, 請問 : 他最多可貸得多少錢? 解 : 年利率為 5%, 則月利率 =0.05/12=0.0042,N= =12*20=240 個月,A=3 (1 + i) N 1 依據 S = A 式可得 i ( ) PV = 3* ( 萬元 )

26 三零存整付與定期定額此種存欺方式一般稱為零存整付此種方式特別通用於每月有固定收入者 ( 如薪資所得者 ) 強迫儲蓄累積財富的方式在這種狀況下, 到期日的本利和如何計算我們以例題加以說明例 :( 零存整付的到期本利和 ) 假設王先生為強迫自己儲蓄, 將每月的一萬元存入銀行, 請問 : 在年利率為 12% 下, (1) 王先生為必須存多久本利和才能累積到 600 萬元目標? (2) 若是老王將目標改為希望能夠在 5 年累積到 300 萬元, 則老王每個月須存多少錢 25

27 ( 1+ i) N 1 解 :(1) Q S = A i N (1 + 1%) 萬 = 1萬 1% N 600 *1% = (1 +1%) 1 N ( 1+ 1%) 1 = = 兩邊同取自然對數 N * ln(1 + 1%) = ln 7 ln 7 N = ( 月 )=16.3( 年 ) ln(1 + 1%) 7 26

28 (2) 希望能夠 5 年達成 300 萬, 共須 5*12=60 個月, 則 60 (1 + 1%) 1 300萬 = A* 1% 300萬所以 A = 3.67( 萬元 ) 60 (1 + 1%) 1 % 1 27

29 四年金的現值前面我們討論有關定額定期支付的年金如何計算 N 年後到期的貨幣價值 ; 相反地, 吾人亦可將年金每年的年金折現為目前時點的貨幣價值, 亦即年金現值首先, 假定每一期期末定額支出 A 元的年金, 為每期的利率水準, 持續 N 年後, 現值流量可表示如圖所示 28

30 A ( 1+ i) A 2 ( 1+ i) A (1 i) A ( 1+ i) 1 + N N 29

31 由上圖之現金流量, 吾人可以將各期年金加以折現後, 累計的現值 (PV) 可表示為 ( ) ( ) ( ) N i A i A i A PV = 上式為一等比級數, 公比為 1+ i 1, 共有 N 期因此, 累計年金的現值 (PV) 為 + i i A N ) (1 1 = + + = + i i A PV N

32 + N 1 ( 1 i) 上式中稱為年金現值利率因子 (present value i interest rate factor for an annuity), 一般常以 PVIFA(N, i) 表示所以, 上式又可改寫為 PVA = PMT * PVIFA( N, i) 常用的現值利率因子, 如表所示我們只要知道折現率與期數即可查知年金現值利率因子五永久年金若年金的期限年序至無窮期時年金的現值可以下式表示, N,, 稱為永續年金永續 31

33 PV = A + A A ( 1 + i) ( 1+ i) ( 1+ i) 由於上式為一無窮本比級數, 其中公比為 1/(1+i), 首項為 A/(1+i), 故現值 A /(1 + i) A PV = = 1 1/(1 + i) i 所以, 永久年金, 年金期數無窮大, 現值為每期年金金額除以折利率... 32

34 例題 ( 樂透彩中頭獎 ) 假設王同學中樂透彩頭獎稅後可獨得 2 億元的獎金, 請問 : (1) 若他打算將該筆獎金在未來的 20 年以每年定額方式供自己花用, 每年他可用的金額若干? (2) 若他打算將獎金供家族世世代代花用, 則家族每年可以額外增加若干金額可用? 解 (1) 年金現值公式可知 2 = PMT * PVIFA(20,5%) 查表可得 PVIFA ( 20,5%) = , 因此, PMT=2/ = ( 億元 ) ( 萬元 ) 33

35 (2) 由永久年金公式可知 : A = i * PV = 2% * 2( 億元 ) = 400萬元例題 ( 房貸本息的償還 ) 若老王向銀行辦理房屋貸款借得 500 萬作為購屋的頭期款, 而銀行給予的利率為 5%, 請問 : (1) 若老王想在未來 20 年, 每年以定額方式償還本息, 則每年需償還之金額若干? (2) 若在未來 20 年, 每月定額償還, 則每月需償還的金額若干? 解 (1) 貸款金額 500 萬為現值, 期間 20 年, 年利率 5%, 故依年金現值公式可知 500 = PMT * PVIFA(20,5%) 34

36 查表可得 PVIFA ( 20,5%) = , 因此, PMT=500/ ( 萬元 ) (2) 年利率 =5%, 則月利率 =0.0042, 期數 N=20*12=240 因 ( ) 萬 = A* N i 1 (1 + i) PV = A = A 1 i 1 1+ i N 此 35

37 500 萬 A = 7.55( 萬元 ) ( ) 36

38 7.4 投資計畫的評估企業為了長期發展或因應環境的變化, 常會進行新的投資計畫投資計畫往往必須投入的資金, 而且計畫實施前通常會收集各種可能的方案並進行評估優先順序, 以便從中選擇最佳的方案本節將介紹企業進行投資方案的評估準則一投資計畫的類型在評估各個首先必須瞭解各方案彼此間關係的屬性投資計畫依據各方案彼此關係屬性的差異, 可分為獨立方案與互斥方案兩種類型 (1) 所謂獨立方案是指某一方案不論是否被接受, 均不會影響其他方案是否被採行若投資計畫間屬於獨立方案且均可為公司創造利潤, 則不同的方案便有可能同時被採用 37

39 (2) 所謂互斥方案是指當某一方案被接受時, 則另一方案便無法被採用因此, 當兩方案屬於互斥方案時, 決策者只能從中選擇其中一個最佳的方案二投資計畫評估的方法 : 回收期間法獲利指數法淨現值法 (Net Present Value) 與內部報酬率法 1. 回收期間法 (payback period method): 此方法是累計投資計畫實施後的現金收入可以回收計畫投入資金所需的時間依據計畫投入的資金是否僅期初一次性投入或需分年投入有兩種計算方式 : 38

40 (1) 資金僅期初一次性投入期初投資額回收期間 = 每年淨流入的現金 (2) 資金分年投入回收期間只可滿足歷年資金淨流入總和剛好等於歷年投資資金總和的期間以數學式可表示為 T t= 0 CI = T t CO t t= 0 其中 CI t 與 CO t 分別代表在第 t 年資金淨流入與投資資金投入 39

41 1. 獲利指數法 (Profitability Index Method) 獲利指數法 (PI) 係將未來各期的線流量的現值加總後 < 除以期初投入的資近所獲得的比率所構成以公式表示如下 PI= N t= 1 C (1 + i) C 0 t t 例題 : 已知某投資計畫期初的投資為 200 萬元, 可在未來 5 年的收益為 : 與 50 萬元的現金淨流入試評估在折現率為 10% 下士評估計畫的可行性 40

42 解 : 將未來五年的現金流入予以折現後如表 7.5: 加總後為萬元表 7.5 投資收益現值之計算期間現金流量現值現值合計

43 將此值代入 PI 公式的分子, 又已知期出投入資金為 200 萬元 ( 分母 ), 因此, 獲利指數為 PI=184.33/200= 由於獲利指數小於 1, 所以此計畫不可行 2. 淨現值法淨現值是指將投資期間內的各期的淨現金流量以一定的折現率折現後加總的和淨現值可以公式表示如下 : N C1 C2 CN Ct NPV = C = 2 N t 1+ i 1+ i 1+ i (1 i ( ) ( ) ( ) t= 0 + ) 42

44 其中 C 為在第 t 年淨現金流量, 當有淨流入時, C 大於 0; t 當有淨流出時, C 小於 0 N 為投資計畫起迄的期數, i 為折現 t 率由上式可知, 淨現值可視為整個投資計畫的利潤現值預期報酬率利用此法進行計畫的評估準則如下 : (1) 不同計畫具獨立性 : 若計畫的淨現值為正, 表示利潤現值為正, 對公司的價值有貢獻, 亦即有利可圖, 方案值得投資 ; 反之, 若計畫的淨現值為負時, 表示無利可圖, 應放棄該投資計畫 (2) 不同計畫具互斥性 : 若有兩個互斥計畫相比較時, 則淨現值好不過, 投資計畫的淨現值仍需以為正作為前提條件 t 43

45 例題 : 已知某投資計劃期初投資 200 萬元, 未來每年年底之的的現金流量如下表所示試求 : 在折現率分別為 0,5%,,10%,15% 與 20% 下之投資可行性為何? 期數現金流入期數現金流入

46 解 : 依據現值公式 C1 C2 NPV = C i 1+ i 的折現率下之現值如下表所示 C N N ( ) ( ) ( 1+ i) = C N t t t= 0 (1 + i) 可得不同 45

47 表 7.6 不同折現率下之淨現值折現率期別現金流量 i=0 5% i=10% i=15% i=20% 淨現值 (NPV)

48 由上表可知 : 在折現率為 0,5%,,10%,15% 時淨現值大於 0, 投資案可行, 若折現率為 20% 時, 淨現值為負, 則投資案不可行淨現值與折現率之關係如下圖所示 47

49 圖 7.2 淨現值與折現率之關係 48

50 3. 內部報酬率法內部報酬率是指投資期間各期現金流入與流出的淨現值為 0 的折現率內部報酬率 i 的定義公式如下 : T Ct NPV = = 0 t (1 + i) t t= 0 其中 C 為在第 t 年淨現金流量, 當有淨流入時, C 大於 0; 當 C t 有淨流出時, 小於 0 由上式可知, 內部報酬率可視為投資計畫的預期報酬率利用此法進行計畫的評估準則如下 : (1) 不同計畫具獨立性 : 若內部報酬率高於市場利率 ( 代表資金的借入成本 ) 時, 方案值得投資 ; 反之, 若內部報酬率低於市場利率時, 則宜放棄該投資計畫 t 49

51 (2) 不同計畫具互斥性 : 若有兩個互斥計畫相比較時, 則內部報酬率越高越好不過, 投資計畫的內部報酬率仍需以高於市場利率為前提例題 : 已知某投資計劃期初投資 200 萬元, 未來每年年底之的現金流量如下表所示試求 : 在折現率分別為 0,5%,,10%,15% 與 20% 下之投資可行性為何? 期數現金流入期數現金流入 (1) 試求此投資之內部報酬率為何? (2) 若市場利率為 10%, 該計畫是否可行? 50

52 解 : 由上題知 : 在折現率為 15% 下現值為萬元 ( 大於 0); 而折現率為 20% 現值為萬元 ( 小於 0) 使淨現值為 0 的折現率必介於 15% 與 20% 之間因此, 可利用內差法推估假設內部報酬率 x, 在斜率固定下則 : 內部報酬率 x=15.99% x 0.15 = (2) 因內部報酬率 =15.99% 高於 10%, 所以此投資計畫可行 51

53 7.5 報酬率與風險前一節我們討論有關投資計畫如何進行評估可行性, 本節將進一步說明如行評估的投資的績效一報酬率的意義報酬率為一種是指投資淨收益相對於投資金額的相對百分比報酬率的衡量方法有 : 期間報酬率平均報酬率與預期報酬率分述如下 : 1. 期間報酬率指投資計畫在一段期間內獲利與投入金額的相對比率 52

54 (1) 所謂一段期間指有時間的起點與終點, 可以日週月季或年為單位 (2) 投資獲利的來源包括投資期末與期初的價差與投資期間內的各種孳息, 如股利收益利息收益期間報酬率可表示為期末價格期初價格 + 其他孳息期間報酬率 = 期初價格若為們將上是進步分解為期末價格期初價格其他孳息期間報酬率 = + 期初價格期初價格 = 資本利得報酬率 + 孳息報酬率 53

55 例如, 投資方案月初投入 100 萬,3 個月後結算稅後獲利為 30 萬元, 則 3 個月的期間月報酬率為 20/100=20% 2. 平均報酬率 (1) 算數平均法假設投資計畫各期的報酬率分別為術平均法計算下, R 算數平均報酬率 = 1 R R,..., N 1, 2 + R R 2 N R N, 以算 (2) 幾何平均法此法乃是利用複利的概念所推演而來若已知投資計畫期初投資 P 元, 各期的報酬率分別為 R R,..., ; 1, 2 R N 54

56 又假設各期的平均報酬率為 R,N 期後的未來值為 N P( 1+ R) 所以, 下式成立 N P ( 1+ R) = P( 1+ R1 )( 1+ R2 ) (1 + RN ) 化簡上式可得幾何平均報酬率為, R = n ( 1+ R1 )( + R ) (1 + R ) 2 N 例題 : 某計畫 4 年的投資報酬率分別為 10% -2% 5% 與 -5% 試分別以算數平均與幾何平均計算平均報酬率解 : 0.1+ ( 0.02) ( 0.05) (1) 算數平均報酬率 = = 0.02 = 2% 4 (2) 幾何平均報酬率 = 4 ( )(1 0.02)( )(1 0.05)

57 = =1.8317% 例題 :( 保單的報酬率 ) 已知某保險公司出倍某保險商品, 保証在 7 年內可以獲得 12% 的報酬率,7 年內不得解約, 請問平均年報酬率若干? 解 :1. 假設期初以 P 元購買因為 7 年後可得 12% 的報酬率, 所以 F = P *(1 12%) 假設年平均報酬率為 i, 則 7 = P ( 1+ i) 因此, F = P( F 7 12%) P (1 + 12%) = P ( 1+ i) 7 56

58 (1 + i ) 7 = ( 1+ 12%) 所以, 平均年報酬率 i = 7 ( 1+ 12%) % 3. 預期報酬率所謂預期報酬率是利用計畫實施前事前, 收集各種環境狀況發生的機率與對應的報酬率利用統計期望值的概念所推估的報酬率預期報酬率可表示如下 : E ( R) n = i P i R i 57

59 其中 E(R) 為預期報酬率, Pi 為第 i 種狀況發生的機率, i = 1, 2,..., n, 且 = 1, R 為第 i 種狀況發生的機率時的報酬率 n P i i=1 i 例題 : 已知某投資機會在不同經濟狀況下的報酬率如表 7.7 表 7.7 不同經濟狀況與投資報酬率經濟狀況機率報酬率 (b) (a) 繁榮中等衰退試求該投資機會之預期報酬 58

60 解 : 表 7.7 投資之預期報酬率經濟狀況機率 P i 報酬率 R i (b) (a)*(b) (a) 繁榮中等衰退預期報酬

61 機率 B 股票 A 股票圖 7.3 股票報酬之風險報酬率 (%) 60

62 四風險的衡量為了能以客觀地將風險用量化方式加以衡量, 本節介紹常用評估風險的方法有兩個指標 : 標準差 (Standard Deviation) 與變異係數 (Coefficient of Variance, CV) 分述如下 : 1. 標準差 σ = V (R) [( R E( )], 其中變異數 V ( R) = E R, N 1 樣本變異數 V ( R) = ( R i R ), N 1 樣本標準差 σ = N N i= 1 i= 1 ( R i R ) 其中 R 分別表示報酬率的樣本平均數 61

63 2. 變異係數 : 為衡量每一單位報酬率所需承擔的風險, 我們以報酬率的變異係數 (CV) 加以衡量, 其定義式為標準差 σ CV = = 預期報酬率 E(R) 其中 σ 與 E(R) 分別表示報酬率的標準差與期望值由於報酬率的機率值未知, 因此一般以樣本標準差 σˆ R 與樣本平均數 R 估計 σ 與 E(R) 例題 : 已知已知 A 與 B 股票投資的資金比重分別為 0.3 與 0.7, 在年間之報酬率如表 7.8 表 7.8 兩公司的股票報酬率 62

64 報酬率年度 A 股票 B 股票 % -5% % 10% % -3% % 8% % 12% % -6% 試求 :(1) 以算數平均法計算的平均年報酬率何者較佳? (2) 以標準差衡量的風險何者較佳? (3) 以變異係數衡量的風險何者較佳? 63

65 解 : (1)A 股票平均年報酬率 =[(-0.2) (-0.25)+0.32+(-0.2)]/6=0.04=4% B 股票平均年報酬率 =[(-0.05)+0.1+(-0.03)+(0.08)+0.12+(- 0.06)]/6=0.0267=2.67% 由於 A 股票均年報酬率較高, 因此 A 股票較佳 64

66 (2) A 股票報酬率標準差 σ ( R ~ ) = 6 t= 1 ( R At 6 1 R At ) = [( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ] / 5 =29.13% ( R At R ) ~ At t= 1 同法可得 B 股票報酬率標準差 σ (R) = % 由於 B 股票標準差較小, 因此 B 股票風險較低 6 2 = 65

67 (3) 標準差 29.13% A 股票報酬率變異係數 = = = 預期報酬率 4% 8.19% B 股票報酬率變異係數 = = % 由於 B 股票變異係數較小, 因此 B 股票風險較低表 7.9 股票報酬率變異係數之計算年度報酬率 A 股票 B 股票 % -5% % 10% 66

68 % -3% % 8% % 12% % -6% 平均值 4.00% 2.67% 標準差 29.13% 8.17% 變異係數

69 7.6 投資組合報酬率與風險前面討論的投資方案均限制在單一計畫, 然而, 實務上, 企業的投資對象可能同時包含數個計畫同時進行, 本節即是要討論當有兩個以上不同的投資標時, 如何評估這類投資組合的風險與報酬的衡量一投資組合的報酬率所謂投資組合是指決策者的投資標的同時包含兩個以上不同的對象否則, 當萬一投資標的的不利事件發生時將招致極大的損失假設決策者有 N 個投資目標, 第 i 個投資的報酬率與投資資金所佔的比率分別以 R 與 W 表示, 則投資組合報酬率為 i i 68

70 n E ( R ~ ) = W R i i,i=1,2,,n n W i i= 1 i= 1 = 1 i 亦即投資組合報酬率是以各投資計畫報酬率的加權平均, 權數為各投資計畫佔總資金的比重例題 : 已知 A 與 B 股票投資的資金比重分別為 0.3 與 0.7, 在年間之報酬率與如下表試求 69

71 二投資組合的風險假設決策者有 A 與 B 共兩個投資的目標, 投資的報酬率與資金所佔的比率分別以 ( RA, σ A, WA ) ( RB, σ B, WB ) 表示, 則投資組合報酬率為 E R ~ ( ) = W R +W R A A B B ~ 2 V ( R) = V ( W R + W R ) = W * V ( R ) + W A A,i=1,2,,N B B A A 2 B * V ( R B ) + 2W AWB * COV ( RA, RB ) 1. 其中 COV ( A, B) 為兩投資標的的共變異數, 用以衡量投資標的間報酬率變動的趨勢 COV ( A, B) = E[ ( R E( RA )( R A B E( RB )] 假設有 n 筆樣本, 其估計值為 70

72 n 1 cov ( A. B) = ( R Ai R A )( R Bi R B ) n i= 1 其中 R A, R B 分別表示兩投資標的報酬率的樣本平均數因此, 我們可利用投資組合報酬的標準差來衡量風險, 亦即 ~ 2 2 σ ( R ) = W V ( R ) + W V ( R ) + 2W W COV ( R, R ) A A B B ~ 2 2 V ( R) = V ( W R + W R ) = W * V ( A) W * V ( R ) 2W W * COV ( A, B) A A B B A + COV ( A, B) 可以相關係數表示為 COV ( R, R ) = ρ * σ * σ A B AB A B 將上式投資組合標準差可得 ~ 2 2 σ ( R) = W V ( R ) + W V ( R ) + 2W A A B B B A A W B B ρ B + 所以, 投資風險與投資標的報酬率的相關係數有關 AB σ A σ A B A B B 71

73 n i= 1 W i = 1 亦即投資組合報酬率是以各投資計畫報酬率的加權平均, 權數為各投資計畫佔總資金的比重 72

74 例題 : 已知 A 與 B 股票投資的資金比重分別為 0.3 與 0.7, 在年間之報酬率標準差與共變異數, 如表 10 試求 (1) 此投資組合的報酬率 (2) 以標準差衡量的風險表 7.10 股票報酬率共變異係數之計算報酬率 (%) 年度 A 股票 B 股票 % 8% % -20% % -3% % 10% % -12% % 86% 個別變異數 8.48% 14.64% 共變異數 -6.07% 73

75 :(1) 此投資組合的報酬率 E ( R) ~ = 0.3RA R B, 以 2005 年為例投資組合的報酬率 =0.3*(-0.2)+0.7(0.8)=-0.004=- 0.4%, 其他年份如下表之第 4 欄位表 7.11 投資組合報酬率之計算年度報酬率 (%) 比重 (30%,70%) A 股票 (a) B 股票 (b) 加權報酬率 =(0.3*a+0.7*b) % 8% -0.40% % -20% -2.00% % -3% 3.00% % 10% -0.50% % -12% 1.20% % 86% 54.20% 個別變異數 8.48% 14.64% 共變異數 -6.07% 74

76 (2) ~ 投資組合報酬率變異數為 2 V ( R) = V ( W R + W R ) = W * V ( A) A A B B A W 2 B * V ( R B ) + 2W W * COV( A, B) = 0.3 *8.48% *14.64% + 2*0.3*0.7 *( 6.07%) =0.05 以標準差衡量的風險 σ ( R ~ ) = % A B 75

77 一已知現值 (PV) 求未來值 7.7 以 Excel 計算財務數學例題 1: 李先生將 100 萬元存入銀行, 利率 3%, 每年複利一次, 期間共 10 年請問某甲到期日實可拿回的本利和若干? 步驟 1: 在 Excel 開啟新檔後輸入下表 : 76

78 步驟 2: 工具列 - 插入 -- 函數 -- 選取類別 : 財務 -- 選取函數 FV 如下圖點選確定 : 77

79 步驟 3: 輸入函數引述 : (1) Rate: 設定利率所在的座標 (2) Nper:: 設定期數所在的座標 (3) PV: 設定現值 (4) Type: 設定現金支付的型態本例為期末給付 : 設定為 1 完成後的表格如下 : 78

80 79

81 步驟 4: 點選確定可得下表 : 未來值為萬元二未來值求現值 80

82 例題 2: 李先生希望在 10 年後能有 500 萬元準備購買房屋的資金, 在年利率 3%, 每年複利一次的條件下, 請問 : 李先生現在應存入若干元? 步驟 1: 在 Excel 開啟新檔後輸入下表 : 81

83 82

84 步驟 2: 工具列 - 插入 -- 函數 -- 選取類別 : 財務 -- 選取函數 PV 如下圖點選確定 : 步驟 3: 輸入函數引述 : (1)Rate: 設定利率所在的座標 (2) Nper:: 設定期數所在的座標 (3)PV: 設定現值 (4)Type: 設定現金支付的型態本例為期末給付 : 設定為 1 完成後的表格如下 : 83

85 步驟 4: 點選確定可得下表 : 84

86 本題的現值為萬元 ( 負數表示現金流出 ) 85

87 三借貸利率的計算例題 3: 李先生向王先生借款 100 萬元, 雙方約定 5 年後還款 106 萬元, 請問此借貸的年利率若干? 步驟 1: 在 Excel 開啟新檔後輸入下表 : 86

88 87

89 步驟 2: 工具列 - 插入 -- 函數 -- 選取類別 : 財務 -- 選取函數 RATE, 點選確定 : 步驟 3: 輸入函數引述 : (1)Rate: 設定利率所在的座標 (2)Nper:: 設定期數所在的座標 (3)PV: 設定現值 (4)Type: 設定現金支付的型態本例為期末給付 : 設定為 0 完成後的表格如下 : 88

90 89

91 步驟 4: 點選確定可得下表 : 90

92 由圖 7.13 可知 : 本題的年利率為 1.17% 萬元四房屋貸款例題 4 李先生向銀行借款 500 萬元購屋, 年利率 6%, 計畫 10 年內採每月月底分期方式還款, 請問每月需還房屋貸款的金額若干? 步驟 1: 在 Excel 開啟新檔後輸入下表 : 91

93 92

94 步驟 2: 工具列 - 插入 -- 函數 -- 選取類別 : 財務 -- 選取函數 RATE, 點選確定 : 步驟 3: 輸入函數引述 : (1) Rate: 設定利率所在的座標 (2) Nper:: 設定期數所在的座標 (3) PV: 設定現值 (4) Type: 設定現金支付的型態本例為期初給付 : 設定為 1 完成後的表格如下 : 93

95 94

96 步驟 4: 點選確定可得下表 : 由上圖可知 : 本題的每月需還房屋貸款的金額為 5.55 萬元 95

97 五投資計劃淨現值李先生投資生物科技公司 200 萬元, 未來 10 年可回收的金額如下表 ( 單位 : 萬元 ), 期數現金流入期數現金流入若折現率為 3%, 則該投資計畫的淨現值為何? 96

98 步驟 1: 在 Excel 開啟新檔後輸入下表 : 圖 7.29 計算淨現值之準備資料 97

99 步驟 2: 工具列 - 插入 -- 函數 -- 選取類別 : 財務 -- 選取函數 NPV, 點選確定 : 步驟 3: 輸入函數引述 : 二 Rate: 設定利率所在的座標三 Value:: 現金流量座標完成後如圖 7.30: 98

100 步驟 4: 點選確定可得下表 : 99

101 由上圖可知 : 本題的淨現值為萬元 100

102 六內部報酬率李先生投資生物科技公司 200 萬元, 未來 10 年可回收的金額如下表 ( 單位 : 萬元 ), 期數現金流入期數現金流入試問該投資計畫的內部報酬率為何? 步驟 1: 在 Excel 開啟新檔後輸入下表 : 101

103 102

104 步驟 2: 工具列 - 插入 -- 函數 -- 選取類別 : 財務 -- 選取函數 IRR, 點選確定 : 步驟 3: 輸入函數引述 :Value: 信金流量座標 103

105 步驟 4: 點選確定可得下表 : 104

106 由上圖可知 : 本題的內部報酬率為 18.85% 105

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