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CH4 貨幣的時間價值本章要點 : 1. 複利終值 2. 複利現值 3. 年金終值 4. 年金現值 5.

有效利率單元劇 : 愛因斯坦認為最恐怖的力量小愛在二次大戰期間, 與研究團隊正在研究原子的分裂性,

讓在一旁的小兵嚇得目瞪口呆, 並對著小愛說 : 小愛博士, 您說這是不是世界上最強大的力量呢?

世界上還有比這更強大的力量小兵好奇的問小愛說 : 那到底還有什麼東西的力量比這原子彈大呢小愛回答說 :

1 CH4 貨幣的時間價值本章要點 : 1. 複利終值 2. 複利現值 3. 年金終值 4. 年金現值 5. 永續年金 6. 隱含利率 7. 有效利率單元劇 : 愛因斯坦認為最恐怖的力量小愛在二次大戰期間, 與研究團隊正在研究原子的分裂性, 正值日本軍肆無忌憚侵略他國之際, 連美國老大哥也受殃及, 小愛的團隊終於成功研發出原子彈, 也立即以日本為試攻擊對象當戰鬥機第一次配載原子彈升空, 選定日本廣島投彈, 好奇的小愛就在安全範圍的航空母艦上觀查原子彈爆發的威力, 當原子彈著地時舜間產生的毁滅力量, 讓在一旁的小兵嚇得目瞪口呆, 並對著小愛說 : 小愛博士, 您說這是不是世界上最強大的力量呢? 小愛轉頭對著小兵眼神凝重的回答 : 不! 世界上還有比這更強大的力量小兵好奇的問小愛說 : 那到底還有什麼東西的力量比這原子彈大呢小愛回答說 : 那就是複利! 小兵此時一頭霧水地向小愛說 : 小愛博士啊, 您別開玩笑了吧, 我看一枚小小原子彈的威力, 就快把日本給滅了, 您說這不是世界上最強大的力量嗎? 怎麼會是什麼利什麼複利來的? 小愛博士您快說啊那到底是什麼東西啊? 當日本軍還搞不懂到底是什麼東西把快半個日本給移為平地時, 日本皇軍嚇得無條件投降 4-1

此時小愛正在甲板上跟小兵討論著什麼是複利, 小愛說 : 古時候有位王員外, 他的家產全是老婆在掌管, 於是他在院子後面挖了個洞, 埋了 100 萬元私房錢, 怕自己老後沒錢還有這筆急用金, 結果日子一久, 當王員外老了時, 埋在院子後的 100 萬竟然壓根給忘了, 等到王員外去世後, 便無人知道王家還有這筆錢事隔 300 年後, 王家的第十世, 在整修家園中無意發現這筆錢,

2 此時小愛正在甲板上跟小兵討論著什麼是複利, 小愛說 : 古時候有位王員外, 他的家產全是老婆在掌管, 於是他在院子後面挖了個洞, 埋了 100 萬元私房錢, 怕自己老後沒錢還有這筆急用金, 結果日子一久, 當王員外老了時, 埋在院子後的 100 萬竟然壓根給忘了, 等到王員外去世後, 便無人知道王家還有這筆錢事隔 300 年後, 王家的第十世, 在整修家園中無意發現這筆錢, 結果這筆錢有的還腐蝕了, 完好的部分剩不到 50 萬小兵說 : 好可惜喔! 接著小愛又說 : 從前也有一個年輕人, 他將自己的第一份工資 1,000 元給存在銀行, 從此之後這年輕人的支出剛好都等於所賺的錢, 再也沒有存錢到這家銀行了, 時間一久, 年輕人卻忘了在銀行還有 1,000 元的存款一樣事隔約 300 年後, 這年輕人的第十世子孫, 意外發現祖先的存摺, 結果到銀行確認後, 行員告知這存摺裡現在有 22 億多元的存款, 年輕人的後代因此成為爆發戶小愛說 : 你說複利的力量是不是比原子彈大呢! 小兵又目瞪口呆的回答說 : 是是是, 我要趕快去存錢了, 造福我的第十世子孫 4-2

3 4.1 複利終值複利終值 = 本金 + 貨幣時間價值 = 本金 (1+ 利率 ) 貨幣時間價值 = 複利終值 - 本金例 4-1:100 元存放 5 年後會變成多少?( 利率 5%) Ans: 複利終值 5 =100 (1+5%) = 時間價值 = =27.63 複利終值公式 : n FV=PV (1+ i%) = PV FVIF( i%,n) (4-1) 符號定義 : FV: 複利終值 (Future Value) PV: 本金, 即現值 (Present value) i %: 利率 (interest) n: 期數 FVIF( i %,n) : 終值利率因子 (Future Value Interest Factor), 可查表例 4-2:100 元存放 5 年後會變成多少?( 利率 5%) Ans: 100 (1+5%) (1+5%) (1+5%) (1+5%) (1+5%) =100 (1+5%) 100 FVIF(5%,5)

4 4.2 複利現值定義 : 未來期一筆錢在今天的價值例 4-3: 你現在大二, 再兩年後當你畢業時父母會給你 10 萬元創業金, 請問那 10 萬元在大二的你值多少, 即為現值 ( 折現 ) 的概念做法 : 現在跟銀行借一筆錢, 金額為 PV, 銀行給你的貸款利率為 i %, 借了 n 年, 則到時候要還銀行的錢為 FV 可將此關係表示為 : PV (1 i%) n FV 符號定義 : PV: 本金, 即現值 (Present value) FV: 複利終值 (Future Value) i %: 利率 (interest) n: 期數因為你知道畢業後會有 10 萬元, 因此代入數字後 ( 假設銀行貸款利率為 3%): 2 PV (1 3%) 10萬求未知數 PV: 10萬 PV (1+3%) 2 =94, 意味著可向銀行貸的錢是 94, 元, 等到兩年後要還銀行 10 萬元, 恰好可利用父母給的創業金 10 萬元來償還亦即兩年後的 10 萬元, 在利率為 3% 的情況下之現值 ( 或折現 ) 為 94, 元 4-4

5 複利現值公式 : FV PV (1 i%) n 1 FV (1 i %) n FV PVIF(%, i n) (4-2) 符號定義 : PVIF(i %,n) 現值利率因子 (Present Value Interest Factor), 可查表 PV: 本金, 即現值 (Present value) FV: 複利終值 (Future Value) i %: 利率 (interest) n: 期數例 4-4: 兩年後的 10 萬元, 在市場上利率為 3% 下, 其現值為何? 100, 000 PV 2 (1 3%) 100,000 PVIF(3%,2) 100, , 年金終值 ( 普通年金終值 ) 定義 : 每經過一等長時間將產生等額現金支付或收取之最終價值圖示 : 存 100 存 100 存 100 存 100 存現在年後年後年後年後年後總值 = 年金現值 4-5

6 年金終值公式 : FVA PMT FVIFA(%, i n) (4-3) 符號定義 : FVA: 年金終值 PMT: 年金 FVIFA: 年金終值利率因子 (Future Value Interest Factor of Annuity), 查表例 4-5: 從現在開始每滿一年就存 10,000, 在市場利率存 5% 的情況下, 維持 10 年後可存多少錢? Ans: PMT FVIFA( i%, n) 10,000 FVIFA(5%,10) 10, ,780 證明 : 以例 4-3 證明 1 萬 1 萬 1 萬 1 萬 1 萬 1 萬 1 萬 1 萬 1 萬 1 萬 FVA PMT (1 i%) PMT (1 i%) PMT (1 i%) PMT (1 i%) PMT (1 i%) (1 i%) (1 i%) (1 i%) PTM (1 i%) (1 i%) (1 i%) 1 n 11 (1 i%) PMT PMT FVFFA(%, i n) 1 (1 i%) 4-6

7 補充知識等比級數 : 級數和 (S n)= a1 a2 a n ( 由小到大 ) = a arar ar 2 n 首項 1-r n (1-r ), r 2 公比, 2 1 = a a 1 a ar 4.4 年金現值 ( 普通年金現值 ) 定義 : 每經過一等長時間將產生等額現金支付或收取之之現在總值圖示 : 領 100 領 100 領 100 領 100 領現在年後年後年後年後年後總值 = 年金現值年金現值公式 : PVA PMT PVIFA(%, i n) (4-4) 符號定義 : PVA: 年金現值 PMT: 年金 4-7

8 PVIFA: 現金現值利率因子 (Present Value Interest Factor of Annuity), 可查表公式證明 : 同 FVA( 年金終值 ) 例 4-6: 從現在開始每滿一年就可領 10,000 元退休金, 共可領 10 年, 在利率為 5% 下, 請問現在要一次領可以領多少? Ans: PMT PVIFA(%, i n) =10,000PVIFA(5%,10) =10, =77,217 補充 : 1. 期初年金終值 (Future Value Annuity for Due,FVAD) FVAD=PMTFVIFA( (%, i n ))(1+ i % ) (4-5) 符號定義 : FVAD: 期初年金終值 PMT: 年金 FVIFA: 年金終值利率因子 (Future Value Interest Factor of Annuity), 查表 2. 期初年金現值 (Present Value Annuity for Due,PVAD ) PVAD= PMT PVAD ( (%, i n ))(1+ i % ) (4-6) 符號定義 : PVAD: 期初年金現值 PMT: 年金 4-8

9 PVIFA: 現金現值利率因子 (Present Value Interest Factor of Annuity), 可查表例 4-7: 同列 4-5, 但 10,000 的年金從今天就開始存, 求此期初年金終值? Ans: FVAD=10,000 FVIFA(5%,10) (1 5%) 10, (1 5%) 132, 例 4-8: 同例 4-6, 但此退休金從退休當天即開始領, 則此期初年金現值? Ans: PVAD 10,000 PVIFA(5%,10) (1 5%) 10, (1 5%) 81, 永續年金現值 (Present Value of Perpetual Annuity, PVPA) 定義 : 一無限期之普通年金現值公式 : PVPA PMT i% (4-7) 符號定義 : PVPA: 永續年金現值 PMT: 年金 i % : 利率 4-9

10 PMT PMT PMT 證明 : PVPA 1 2 (1 i%) (1 i%) (1 i%) n 1 1 PMT ( ) 1 2 (1 i%) (1 i%) 1 PMT 1 i% i % 1 PMT 1 i% 1 i% 1 1 i% PMT i% 1 2 (1+ i%) 1 公比 (r) = 1 1 i% 1 i% 補充知識 : 首項無窮等比級數和 = 1- 公比例 4-9: 每滿一年可領 10,000 元, 可領無限期, 請問今天要把這此無限期的每年 10,000 元之年金一次領完, 可折領多少錢?( 利率 =5%) Ans: 10,000 PVPAD= 200,000 5% 4-10

11 補充 : 期初年金現值 (PVPAD) PMT PVPAD (1 i%) i% (4-8) 4.6 隱含利率例 4-10: 現在跟銀行借 10,000,3 年後要還 11,000, 請問此借款中所隱含的年利率 ( 隱含利率 ) 是多少? Ans: PV (1 i%) n FV 3 10, 000 (1 i%) 11, , 000 (1 i%) , i% 1.1 i% % 4.7 有效利率內涵 : 一般利率均是以年為計算基礎, 因此複利滾利的計算是以年為區間, 而有效利率指的是當複利滾利的時間為每年 m 次時, 則此時一年的利率, 我們會稱為有效利率 ( 年化 ) 公式 : i% m 有效利率 = (1 ) 1 (4-9) m 4-11

12 例 4-11: 在市場利率 ( 年 ) 為 5% 下, 銀行每季計算一次利息, 試問有效利率為何? Ans: 5% 4 有效利率 = (1 ) 1 4 =5.09% 證明 : 本金 (1 i%)= 本利和 i% m 本金 (1 ) = 本利和 m i% m 本金 (1 ) -1 = - m 本利和本金 = 利和 = 貨幣時間價值 i% m 利和 (1 ) -1 = = m 有效利率本金 4-12

13 表 1: 複利終值利率因子表 (FVIF) n/i 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% i/n n/i 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00% 6.50% 7.00% 7.50% 8.00% 8.50% 9.00% 9.50% 10.00% i/n 4-13

14 表 2: 複利現值利率因子表 (PVIF) n/i 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% i/n n/i 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% i/n 4-14

15 表 3: 年金終值利率因子表 (FVIFA) n/i 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% i/n n/i 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% i/n 4-15

16 表 4: 年金現值利率因子表 (PVIFA) n/i 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% i/n n/i 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% i/n 4-16

利率、現值、終值與年金

利率、現值、終值與年金詳細書籍介紹教師索取樣書 / 配件不動產相關書籍第三章利率現值終值與年金第一節利息的形成第二節單利與複利第三節年金第四節貸款之本金分期攤還第五節有效利率第六節購屋及租屋規劃本章大綱利息的形成利率高低的決定, 即取決於金融市場中資金需求與供給間之均衡, 因此利率可說是資金的價格, 即借款者與貸放者在資金價格上達成協議時, 便決定了均衡利率 i* 圖 3.1 利率之高低取決於金融市場中資金之供需