觀念複習：

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画支华
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1 貨幣時間價值 m valu of mo 複利 compoud 與折現 dscou 過程何謂貨幣的時間價值? 相同的貨幣數量, 在今天的價值會大於在未來某時點的的價值所以我們會偏好現在擁有 $,, 甚於年後擁有 $,, 但是如果我們面臨的是選擇現在擁有 $,,, 還是年後擁有 $,5,? 則此取捨得端視貨幣投資的利率報酬率因此衍生出我們對於複利過程 compoud 與過程折現 dscou 的計算符號定義 : 年數 m: 每年付息的次數例 : m,,4,,65, : 期數, m : 期後的終值 PV : 現值 CF : 第期的期初現金流量 cash flow : 年百分率 aual pca a,pr : 每期利率, m : 年金以時間為離散型 dsc m 為例的複利過程 compoud: 單筆現金流量的終值每期現金流量 cash flow, CF 的狀況如下 : CF, CF CF CF 因此, P P P P P 所以, 我們可以找到終值公式 : P m m P 其中是指每 $ 在每期利率為, 經過期後的終值利率因子 fuu valu s faco, 縮寫為 IF, 比較靜態分析 : 在其他條件相同之下, a P, 同方向且等比例 b, 同方向但非等比例 c, 同方向但非等比例 d m, 同方向但非等比例

2 範例 : 期初 $, 的投資, 每年有固定 7.% 的收益率, 則年後當初投資的金額可變成多少? $, 7.% $,4, 此結果約是原投資金額的倍在此,, 7.% 範例 : 期初 $, 的投資, 每年有固定 7.% 的收益率, 但是每半年收取一次, 則年後當初投資的金額可變成多少? 7.% $,.6% $,859 在此,,.6% Q: 請注意以上範例的異同, 此問題涉及有效年利率 ffcv aual a,er 的概念 B 多期現金流量時的終值 : 以三期為例假設每期現金流量 cash flow, CF 的狀況如下 : CF $, CF CF $, CF $ 每期的利率 %, 我們要計算三期後的終值, 可以利用以下兩種不同的方式 : 一將每期的現金流量均拉至第三期來看, 然後將其加總 $ % $ % $ % $ $895. 二以一次推進一期的方式來計算三期後的終值 $ % $ $ % $ $ % $ $ % $ % $ $54 % $ $ 54 % $ $ % $ % $ % $ $895. 現在, 我們考慮當每期的現金流量呈現規則性時, 多期現金流量的終值 a 普通年金期末年金終值 : 所謂的普通年金期末年金, 每期現金流量的狀況如下 : CF, CF CF CF 在使用此普通年金終值公式時, 請注意其年金流量發生的起始點是在第期期末, 亦即第期期初, 而在最後第期期末, 亦即第期期初時, 還流入最後一筆年金第期期末第期期末 [ ] [ ] [ ]

3 觀察以下數列 : a, ax, ax, ax, 此稱為等比數列其中 a 為首項, 第項為 ax 公比 commo ao 為求此數列的總和 a ax ax ax? 可採用以下方式 : S a ax ax ax xs ax ax ax ax ax a x 首項公比將兩式相減, 可得 x S ax a, 所以 S x 公比項數, 而 x 為與 [ ] 相類比 : a, x, 所以 [ ] [ ] [ ] 其他簡潔的解法 :, 將等式兩邊同乘以, 得到然後兩式相減, 得到 [ ], 所以 [ ] 由以上, 將等式兩邊同乘以, 得到然後兩式相減, 得到 [ ], 所 [ 以 ] 同理, [ ] 依此類推, 可得 [ ] 其中 [ ] 是指每 $ 期末年金, 在每期利率為, 經過期後的普通年金期末年金終值利率因子 fuu valu s faco fo aus, 縮寫為 IF, 範例 : 投資人購買 5 年期的債券, 自明年起連續 5 年, 每年可有利息收入 $,,, 並將利息收入置於每年有固定 8 % 的收益, 則 5 年後其利息收入總和可累積成多少? 5 8% 5 $,, [ ] $54,4,8 在此, 5, 8% 8% 範例 : 投資人購買 5 年期的債券, 自明年起連續 5 年, 每半可有利息收入 $,,, 並將利息收入置於每年有固定 8 % 的收益, 但是每半年收取一次, 則 5 年後其利息收入總和可累積成多少? 4% 8% $,, [ ] $56,84,98 在此,, 4% 4% Q: 請注意以上範例的異同, 此問題涉及有效年利率 ffcv aual a,er 的概念

4 b 期初年金終值公式 : 所謂的期初年金, 每期現金流量的狀況如下 : CF CF CF, 發生於每期的期初 CF 因此, 第期期末,No: 在第期期初有現金流量流量第期期末,No: 在第期期初有現金 [ ] [ ] { } [ 期末年金終值的複利 ] 期末普通年金終值, 我們可視此為一種複利法表達觀察以下數列 : a, ax, ax, ax, 此稱為等比數列其中 a 為首項, 第項為 ax 公比 commo ao 為求此數列的總和 a ax ax ax? 可採用以下方式 : S a ax ax ax xs ax ax ax ax ax a x 首項公比將兩式相減, 可得 x S ax a, 所以 S x 公比項數與 [ ] 相類比 : a, x, 所以 [ ] [ { ] } [ ] 其他簡潔的解法 : [ ], 將等式兩邊同乘以, 得到, 而 x 為 4 [ ] 然後兩式相減, 得到 [ ] [ ], 所以 [ ] 由以上, 將等式兩邊同乘以, 得到然後兩式相減, 得到 [ ], 所以 [ ] 同理, [ ], 依此類推, 可得 4

5 [ ] [ ] 也可以利用所謂的加頭去尾法得到一樣的結果 : [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] d 成長型普通年金期末年金終值公式 : [ ] 所謂的成長型普通年金期末年金, 每期現金流量指的是如下的狀況, 每期的年金有成長率 ] CF, CF, CF, CF,, CF [ [ ], 觀察以下數列 : a, ax, ax, ax, 此稱為等比數列其中 a 為首項, 第項為 ax 公比 commo ao 為求此數列的總和 a ax ax ax? 可採用以下方式 : S a ax ax ax xs ax ax ax ax ax a x 首項公比將兩式相減, 可得 x S ax a, 所以 S x 公比與上式相類比 : a, x /, 所以 [ 項數 ] ], 而 x 為 [ ] [ ], 5

6 另一種漂亮又簡潔的解法 : 由以上, 將等式兩邊同乘以 /, 得到 [ / ] / 然後兩式相減, 得到 [ / ] /, [ ] 所以 [ ] 同理, [ ], 依此類推, 可得 [ ], No: 此公式無法適用於當每期利率與年金成長率相同的狀況, 至於或則無關緊要那麼, 當時成長型普通年金期末年金終值公式會呈現什麼樣子? 我們可以重新觀察 :, 合計有項, "Th mos powful foc h uvs s compoud s." - lb Es 什麼意思?--- 宇宙間最具威力的是複利誰說的話?--- 愛因斯坦範例 : 在西元 66 年,P Mu 以當時價值大約是 US$4 的貨物和一些飾品與印第安人交易, 買下了整個曼哈頓島美國紐約事隔至今6 年大約經過 9 年, 猜猜看, 若當初印第安人拿著 US$4 的現金, 放在平均每年有 % 報酬率的投資上, 至今可以累積成多少 9 7 財富? 答案 : $ 4 % $. --- 數不清的財富! 不可思議 : 怎麼會變成這麼大的數字? 範例 : 若年前, 我好心的祖先存放 $5 在我名下, 以年利率 % 的複利計算, 則我今天可以累積有接近 $9,7 的存款請注意 : 若以單利計算, 每年的利息僅有 $ 5 % $. 5, 而年也不過是 $6 罷了我們要培養的是複利的觀念而非單利的觀念也就是說先前所累積的利息, 都應併入而成新的本金, 一起再生利息是這種利息再生利息的力量, 造成複利所生龐大的威力 6

7 B 折現 dscou 過程基本現值等式 : PV a 一般現值公式 : 由一般終值公式知道 P, 所以透過基本現值等式, PV, 一般現值公 P 式為 PV P, 因此 P 即是現值其中是指在每期利率為, 經過期後的每 $ 的現值利率因子 ps valu s faco, 縮寫為 PVIF, b 普通年金期末年金現值公式 : 由普通年金終值公式知道 [ ], 所以透過基本現值等式 : PV, [ ] PV [ ] [ ] 其中 [ ] 是指在每期利率為, 經過期後的每 $ 的普通年金期末年金的現值利率因子 ps valu s faco fo aus, 縮寫為 PVIF, c 若是一系列不規則的現金流量, 則其現值總和 : PV CF 範例 : 已知 CF CF CF CF4 $, CF 5 $,, 在 6% 的情況下求其現值總和 CF 利用 PV : 4 5 總計 CF $ $ $ $ $, PV $94.4 $89. $8.96 $79. $8.98 $,68.49 上例亦可將其視為普通年金現值一般現值, 因為 CF $ $ $ 5 PV [ 5 $, ] [ ] $ [ 6% ] $ % 6% d 永續普通年金期末年金現值公式 : 由普通年金現值公式知道 PV [ ], 現在考慮當, 則,, 所以永續普通年金期末年金現值公式為 PV 7

8 期初年金現值公式 : 由期初年金終值公式知道 [ ], 又基本現值等式 : PV, 所以 PV [ ] [ ] 期末普通年金現值 f 成長型普通年金期末年金現值公式, : 由成長型普通年金期末年金終值公式知道 [ ], 又基本現值等式 : PV, 所以 PV [ ] [ ] 成長型永續普通年金期末年金現值公式, : 由成長型普通年金期末年金現值知道 PV [ ], 現在考慮當, 則, 所以可得成長型永續普通年金期末年金的現值公式, PV 8

9 另一個重要的利率觀念 : 有效年利率 ffcv aual a, ER, ff 在維持終值不變之下, 將不同複利期間轉換成一年複利一次, 則所須的年利率應為何? 此即有效年利率的概念觀察下表, 期初投資 $,, 年百分率為 %, 在不同複利期間之下, 一年後的所得到終值 : 複利期間一年後終值一年複利一次 m= $,. 半年複利一次 m= $,.6 每季複利一次 m=4 $,5.5 每月複利一次 m= $,6.8 每日複利一次 m=65 $,7.47 m m 依有效年利率的概念 : 本金本金 / m, 因此 / m ff ff 觀察下表, 年百分率為 %, 在不同複利期間下所相對應的 ff : 年百分率複利期間有效年利率 % 一年複利一次 m= % % 半年複利一次 m=.5% % 每季複利一次 m=4.89% % 每月複利一次 m=.47% % 每天複利一次 m= % % 連續複利 couousl.579% 容易造成混淆的判斷考慮以下的一年期 $, 的存款, 何者會有較大的本利和? a 年百分率 6.6%, 每月複利一次 b 年百分率 6.65%, 每半年複利一次事實上兩者的有效年利率分別是 a 6.8% 與 b 6.76% ff ff 信用卡的陷阱信用卡條文上, 對於循環利息計息方式的說明為 : 年百分率 9.7%, 採每日計息, 日利率為萬分之 % 65 事實上, ff.78% 65 9

10 使用信用卡的小知識若信用卡持卡人消費 NT $,, 但未將此消費餘額一次付清, 而採每月平均支付固定金額的方式付清, 因此啟動了循環計息下表列出在不同的利率水準與不同的每月平均支付額時, 信用卡持卡人大概需要幾個月才可付清? 月利率每月固定支付的金額.%.5%.5%.75%.% NT$,.4 月 NT$, NT$, NT$4, NT$5, 問題探討 : 上表的計算結果, 可以給習慣啟動循環計息的信用卡持卡人什麼啟示? 問題探討 : 試計算出上述所列不同之月利率, 其所對應出的有效年利率 ff 問題探討 : 該如何列式計算出上表的值來? 提示 : 由 PV [ ], 解 PV, PV PV, PV, 等式的左右兩邊取自然對數 : PV l l PV l l l l PV, * PV l

11 關於固定給付放款在借貸行為中, 我們常會遇到如前例的還款方式, 這被稱為固定給付放款雖然每期都攤還固定的金額, 但其中利息支付與本金償還所佔的比例並不相同範例貸款條件 : 金額為 $5,,, 期限是年, 年利率為 8%, 若每年須固定攤還 $59,6 我們將拆解的結果展現於下列表格期數期初餘額固定給付額利息支付本金償還期末餘額 $5,, $59,6 $4, $9,6 $4,89,79 $4,89,79 $59,6 $9,59 $8, $4,77,77 $4,77,77 $59,6 $8,89 $7,44 $4,645,95 4 $4,645,95 $59,6 $7,64 $7,67 $4,57,657 5 $4,57,657 $59,6 $6,6 $48,648 $4,59,9 6 $4,59,9 $59,6 $48,7 $6,54 $4,98,469 7 $4,98,469 $59,6 $5,877 $7,84 $4,5,85 8 $4,5,85 $59,6 $,7 $87,54 $,87,8 9 $,87,8 $59,6 $59,6 $9,848 $8,4 $,47,8 $,47,8 $59,6 $7,75 $5,886 $,8,97 $,8,97 $59,6 $54,54 $54,757 $,96,59 $,96,59 $59,6 $4, $75,8 $,65,4 4 $,65,4 $59,6 $, $97,49 $,54,5 5 $,54,5 $59,6 $88,4 $,9 $,, 6 $,, $59,6 $6,667 $46,595 $,686,77 7 $,686,77 $59,6 $4,99 $74, $,,45 8 $,,45 $59,6 $4,99 $44,68 $98,47 9 $98,47 $59,6 $7,65 $46,69 $47,58 $47,58 $59,6 $7,7 $47,58 $ 總計 $,85, $5,85, $5,, 看出了其中關有的利息支付與本金償還的消長嗎? a 依此固定給付放款條件, 驗證每年須固定攤還的金額為 $59,6 由普通年金期末年金現值公式 : PV [ ], 所以 $59, 6 b 分別計算出 ~ 的答案, 取至整數位 c 驗證的答案是否與 $ 59,6 [ ] 相同 8% 8%

12 以時間為連續型 couous m 為例 : m 複利過程 compoud a 單筆現金流量的終值公式 : P P P P b 普通年金期末年金終值公式 : [ ] 觀察以下數列 : a, ax, ax, ax, 此稱為等比數列其中 a 為首項, 第項為 ax, 而 x 為公比 commo ao 為求此數列的總和 a ax ax ax? 可採用以下方式 : S a ax ax ax xs ax ax ax ax ax a x 首項公比將兩式相減, 可得 x S ax a, 所以 S x 公比與 [ ] 相類比 : a, x [ ] c 期初年金終值公式 : P P P, 所以項數 [ ] 期末年金終值

13 觀察以下數列 : a, ax, ax, ax, 此稱為等比數列其中 a 為首項, 第項為 ax 公比 commo ao 為求此數列的總和 a ax ax ax? 可採用以下方式 : S a ax ax ax xs ax ax ax ax ax a x 首項公比將兩式相減, 可得 x S ax a, 所以 S x 公比與 ] 相類比 : a, x d 成長型普通年金期末年金終值公式 :, 所以期末年金終值項數所謂的成長型普通年金期末年金, 指的是如下的狀況, 每期的年金存在一成長率 P P P, 而 x 為 P [ ], 觀察以下數列 : a, ax, ax, ax, 此稱為等比數列其中 a 為首項, 第項為 ax 公比 commo ao 為求此數列的總和 a ax ax ax? 可採用以下方式 : S a ax ax ax xs ax ax ax ax ax a x 首項公比將兩式相減, 可得 x S ax a, 所以 S x 公比與上式相類比 : a, x /, 所以 P [ ] 項數, 而 x 為 [ ] [ ] [ ] B 折現 dscou 過程 a 一般現值公式 : PV P 由一般終值公式知道 P PV P [ ] P, 因此 P 即是現值 P, 所以一般現值公式為

14 4 b 普通年金期末年金現值公式 : PV 由普通年金終值公式知道 P, 又 P PV, 所以 PV c 永續普通年金期末年金現值公式 : PV 由普通年金現值公式知道 PV, 現在考慮, 所以永續普通年金期末年金現值公式為 PV d 期初年金現值公式 : PV 期末年金現值由期初年金終值公式知道, 又 PV, 所以 PV 成長型普通年金期末年金現值公式 : PV ] [ 由成長型普通年金期末年金終值公式知道 P, 又 P PV, 所以 PV ] [ f 成長型永續普通年金期末年金現值公式 : PV ] [ 由成長型普通年金期末年金現值公式知道 PV ] [, 現在考慮, 所以成長型永續普通年金期末年金現值公式為 PV ] [ No:, 當時,

15 7 法則與 7 法則在財務中處理 doubl 時所用的 7 法則與 7 法則期初有本金, 年利率, 若要求年後可得本利和為原本金之兩倍, 則與之間的約略關係式 : a 就 7 法則而言 : 7, 其中的百分比不計 b 就 7 法則而言 : 7, 其中的百分比不計例如 : 某國家行政團隊提出一個願景, 在未來十年內, 讓平均每人國民所得提昇為原來的兩倍試問 : 平均每年應維持多少的經濟成長率, 才能達成此目標? 請利用時間為離散型 dsc m 與連續型 couous m 的複利概念分別處理之就 7 法則而言 : 7,, 平均每年應維持的經濟成長率約為 7 % 就 7 法則而言 : 7,, 平均每年應維持的經濟成長率約為 7.% 不過, 這只是透過約略關係式所速算出的估計值有關 7 法則的引用, 可追溯到義大利數學家 Luca Pacolo445?~54? 在 494 年的文章中, 敘述有關預測投資報酬時所用的速算方式, 文章中相關的內容大意如下 : 如果想知道在某一個固定的利率, 投資的金額可變成原來的兩倍, 其時間需要多久, 我們腦中要存有 7 法則的概念只要將 7 除以利率即可得知年數, 譬如說年利率是 6%, 則用 7 除以 6 得到, 因此大概是需要年, 投資人可得到原有本金的兩倍不過文中並未交代推導的過程, 也未清楚地解釋 7 法則, 因此有人推斷 7 法則的存在年代, 可能比 494 年還要更早他們之間準確的關係式敘述如下, a 時間是離散型 : m m, 已知, m, 要求 l,, l l, l 若很小, 則 l, 所以 l b 時間是連續型 :, 已知, 要求,, l l, l

16 由下表觀察其時間是離散型的誤差狀況 : 其中的實際值, 是由準確的關係式計算出的 l 所 l.5% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 讀者可以由表格中所顯示的值, 看出 7 法則與 7 法則所適用之處 7 法則適用在時間是連續型的狀況, 或是當很小而時間是離散型的狀況 7 法則原則上適用在時間是離散型, 而 7% % 當然,7 法則有其速算上的優勢, 因為 7 相對於 7 有更多的因數可讓它整除這些法則其實也提醒我們, 成長率往上或往下 %, 對於達成成長的目標所需的期限會有重大影響在時間是連續型的狀況, 要求若干年後可得本利和為原本金之三倍, 則我們可找到法則, 因為 l.986., 這是讀者可以輕易自行驗證的 6

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0