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1 數 學 傳 播 35 卷 3 期, pp 數 學 的 詩 篇 一 一 Fourier 分 析 林 琦 焜 深 入 研 究 大 自 然 是 所 有 數 學 發 現 最 富 饒 的 來 源, 不 僅 對 於 決 定 良 好 的 目 標 有 好 處, 也 有 助 於 排 除 含 糊 的 問 題 無 用 的 計 算 這 是 建 立 分 析 學 本 身 的 手 段, 也 協 助 我 們 發 現 科 學 裡 最 緊 要 最 應 永 遠 維 繫 的 概 念 最 基 本 的 概 念 就 是 表 現 自 然 事 件 的 概 念 熱 的 解 析 理 論 J. Fourier ( ) 1. 聖 經 的 詩 篇 西 方 文 明 泉 源 之 一 是 希 伯 來 文 明, 其 主 要 代 表 則 是 聖 經 聖 經 不 是 一 本 書, 而 是 很 多 書 ( 共 66 卷 ) 的 統 稱 如 果 把 聖 經 從 中 間 打 開, 讀 者 肯 定 看 到 的 是 詩 篇 (Psalm), 詩 篇 的 希 臘 文 (stringed instrument) 是 由 弦 樂 而 來 詩 篇 的 主 要 作 者 之 一 : 大 衛 王 就 是 豎 琴 高 手, 聽 說 他 的 音 樂 可 以 醫 治 ( 掃 羅 王 ) 頭 痛 就 希 臘 文 的 原 意 來 看, 詩 必 須 有 音 樂 才 足 以 構 成 詩 篇 沒 有 音 樂 的 詩 是 缺 少 活 力 的 猶 太 人 是 詩 的 民 族, 充 滿 感 情, 快 樂 時 他 們 登 爬 喜 悅 的 高 峰 ; 痛 苦 時 陷 入 失 望 的 深 淵, 而 他 們 的 文 字 便 是 他 們 的 音 樂 人 一 代 一 代 過 去, 但 他 們 的 心 靈 依 舊 我 們 若 夠 聰 明, 也 應 該 從 這 些 詩 篇 中 獲 得 安 慰 我 們 今 天 受 的 苦, 在 我 們 以 前 的 人 早 已 受 過, 我 們 後 來 的 人 仍 舊 要 受 聖 經 的 故 事 房 龍 圖 1. 少 年 大 衛 11

2 12 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 2. 弦 振 動 方 程 Fourier 分 析 的 起 源 正 如 詩 篇 的 意 義, 是 從 弦 樂 器 也 就 是 弦 振 動 開 始 一 般 我 們 將 法 國 數 學 家 Jean d Alembert ( ) 於 1747 年 發 表 的 論 文 張 緊 的 弦 振 動 時 形 成 的 曲 線 研 究 視 為 偏 微 分 方 程 的 開 端 在 這 篇 文 章 中 d Alembert 藉 由 牛 頓 定 律 推 導 出 第 一 個 偏 微 分 方 程 ( 弦 振 動 方 程 或 波 動 方 程 ) 2 u t 2 c2 2 u x 2 = 0, c2 = T ρ (2.1) 這 裡 T 是 琴 弦 的 拉 力 ρ 是 密 度 c 則 是 琴 弦 的 傳 播 速 度 並 且 只 用 到 微 積 分 的 知 識, 他 就 證 明 了 弦 振 動 方 程 (2.1) 的 解 u(x, t) 可 以 表 示 為 u(x, t) = f(x ct) + g(x + ct) (2.2) 其 中 f g 是 任 意 的 好 函 數 ( 意 思 是 二 次 可 微 ), 通 常 我 們 稱 (2.2) 為 d Alembert 公 式 以 紀 念 他 的 貢 獻 在 d Alembert 之 前, 英 國 科 學 家 Brook Taylor ( ) 就 研 究 了 弦 振 動 問 題, 並 發 表 了 小 提 琴 弦 的 基 本 振 動 頻 率 公 式 ; 它 完 全 由 琴 弦 的 長 度 拉 力 與 密 度 所 決 定, 但 是 Taylor 並 沒 有 採 用 偏 導 數 的 概 念, 也 因 此 並 沒 有 得 到 波 動 方 程 (2.1) 圖 2. d Alembert 圖 3. Taylor 波 動 方 程 (2.1) 是 一 個 描 述 波 形 ( 二 階 ) 變 化 率 的 微 分 方 程, 除 了 空 間 的 變 化 率 之 外, 還 有 時 間 的 變 化 率 ( 代 表 加 速 度 ), 它 基 本 上 是 牛 頓 第 二 運 動 定 律 的 產 物, (2.1) 告 訴 我 們 琴 弦 每 一 小 段 的 加 速 度 都 與 這 一 小 段 所 受 的 拉 力 成 正 比 如 果 把 初 始 條 件 與 外 力 h(x, t) 考 慮 進 來 { (D.E.) 2 u c 2 2 u = h(x, t), t > 0, x R t 2 x 2 (I.C.) u(x, 0) = f(x), (x, 0) = g(x) (2.3) t

3 數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 13 則 d Alembert 公 式 (2.2) 可 以 進 一 步 推 廣 為 u(x, t) = 1 ( ) 1 f(x ct) + f(x + ct) + 2 2c + 1 2c t x+c(t τ) 0 x c(t τ) x+ct x ct g(ξ)dξ h(ξ, τ)dξdτ (2.4) 簡 單 的 量 綱 ( 因 次 ) 分 析 (dimensional analysis) 可 以 判 斷 (2.4) 的 合 理 性 首 先 由 初 始 值 其 次 方 程 式 本 身 也 告 訴 我 們 u(x, 0) = f(x) = [f] = [[u] ] (x, 0) = g(x) = [g] = = [u]t 1 t t 2 u t u 2 c2 2 x h(x, t) = [c] = 2 T 1, [h] = [u]t 2 因 此 (2.4) 每 一 項 的 量 綱 都 是 [u], 換 句 話 說 d Alembert 公 式 (2.4) 是 量 綱 平 衡, 所 以 從 物 理 的 角 度 來 看 (2.4) 這 個 解 是 合 理 且 自 然 的 初 始 值 t (x, 0) = g(x) 告 訴 我 們 初 速 度 g(x) 基 本 上 是 u(x, t) 的 一 階 微 分, 所 以 (2.4) 的 第 二 式 是 函 數 g(x) 的 一 次 積 分 另 外 波 動 方 程 本 身 則 說 明 非 齊 次 項 h(x, t) 是 u(x, t) 的 二 階 微 分, 所 以 (2.4) 最 後 一 項 是 h(x, t) 的 二 重 積 分 這 肯 定 了 我 們 的 理 念 : 方 程 式 本 身 是 會 講 話 的 與 d Alembert 同 年 代 的 瑞 士 數 學 家. Euler ( ), 從 d Alembert 的 研 究 成 果 出 發 也 推 得 波 動 方 程 ( 有 邊 界 ), 並 且 給 了 一 個 特 殊 的 三 角 級 數 解 : u(x, t) = u(x, 0) = a n sin nπx a n sin nπx cos nπct (2.5) 這 就 是 Fourier 級 數 的 最 初 形 式 在 此 之 前 瑞 士 Bernoulli 家 族 的 Daniel Bernoulli ( ) 在 1727 年 也 研 究 了 波 動 方 程, 他 引 進 分 離 變 數 法 (separation of variables), 根 據 他 的 理 論, 最 一 般 的 解 可 以 表 示 為 無 窮 多 個 正 弦 波 的 疊 加 ( 即 三 角 級 數 ) 因 此 與 d Alembert 及 Euler 的 成 果 有 差 異, 後 來 法 國 數 學 家 ouis agrange ( ) 也 加 入 這 一 場 為 期 將 近 一 個 世 紀 的 論 戰 整 個 論 戰 的 核 心 是 那 種 函 數 才 可 以 表 示 成 三 角 函 數 之 和, 在 那 個 年 代 人 們 對 於 函 數 是 什 麼? 仍 然 是 非 常 的 分 歧 這 個 問 題 一 直 要 等 到 法 國 數 學 家 Fourier 才 解 決, 而 Fourier 分 析 就 是 這 場 論 戰 的 結 晶, 最 後 歷 史 也 還 給 D. Bernoulli 一 個 公 道 :

4 14 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 d Alembert 與 Euler 所 提 出 的 新 曲 線, 全 都 只 是 Taylor 振 動 ( 三 角 級 數 ) 的 組 合 而 已 Daniel Bernoulli ( ) 圖 4. Euler 圖 5. D. Bernoulli 3. 分 離 變 數 法 我 們 回 到 波 動 方 程 的 初 邊 值 問 題 (D.E.) 2 u = c t 2 2 u, 0 x, 0 t, 2 x 2 (B.C.) u(0, t) = u(, t) = 0, 0 t, (I.C.) u(x, 0) = f(x), (x, 0) = g(x), 0 x t 按 D. Bernoulli 的 分 離 變 數 法, 我 們 可 以 假 設 u(x, t) = T(t)ϕ(x), 代 入 方 程 式 得 T (t) + c 2 λ 2 T(t) = 0 ϕ (x) + λϕ(x) = 0, ϕ(0) = ϕ() = 0 (3.1) 對 ϕ(x) 而 言, 這 就 是 著 名 的 Sturm-iouville 問 題, 即 所 謂 的 固 有 值 問 題 (eigenvalue problem), 為 什 麼 呢? 顯 然 ϕ = 0 是 一 個 無 聊 解 (trivial solution)! 除 了 ϕ = 0 之 外 是 否 有 其 它 真 正 有 聊 的 解 呢? 所 以 由 此 自 然 而 然 就 衍 生 出 微 分 方 程 的 固 有 值 問 題 類 似 於 線 性 代 數 的 理 論, 我 們 可 以 計 算 得 固 有 值 與 固 有 函 數 ( ) 2 nπ λ n =, ϕ n (x) = sin nπx, n = 1, 2, (3.2)

5 數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 15 將 λ n 代 入 T 滿 足 的 方 程 式 並 令 其 解 為 T n T n (x) = a n cos nπct + b n sin nπct, n = 1, 2, (3.3) 其 中 a n b n 是 任 意 的 常 數 所 以 由 重 疊 原 理 ( 線 性 ), 一 般 解 可 以 表 示 為 ( u(x, t) = T n (t)ϕ n (x) = a n cos nπct + b n sin nπct ) ϕ n (x) (3.4) 現 在 的 問 題 是 如 何 決 定 係 數 a n b n 呢? 回 到 方 程 式! 還 好 原 來 的 問 題 有 兩 個 初 始 值 ( 按 牛 頓 定 律 我 們 需 要 最 開 始 的 位 置 與 速 度, 才 能 決 定 粒 子 的 運 動 軌 跡 ) 所 以 f(x) = u(x, 0) = 利 用 垂 直 ( 正 交 ) 的 概 念 可 得 g(x) = t (x, 0) = a n = 2 b n = 2 nπc 0 a n sin nπx nπc b n sin nπx f(x) sin nπx dx 事 實 上, Euler 就 是 利 用 這 方 法 推 導 出 Fourier 係 數 a n b n 0 (3.5) g(x) sin nπx dx (3.6) 由 弦 振 動 方 程 的 解 (3.4) 我 們 看 到, 弦 的 固 有 振 動 在 整 個 弦 上 具 有 整 數 個 正 弦 半 波 的 形 式, 每 個 固 有 振 動 都 有 一 定 的 頻 率, 而 且 這 些 頻 率 可 以 按 大 小 順 序 排 列 為 cπ, 2cπ, 3cπ,, ncπ, cπ 頻 率 稱 為 基 音 頻 率, 其 它 的 頻 率 是 所 謂 的 泛 音 頻 率 固 有 函 數 ϕ n (x) = sin nπx 在 區 間 0 x 中 改 變 n 1 次 符 號, 固 有 函 數 等 於 0 的 點 稱 為 波 節 或 節 點 (node) 在 弦 的 振 動 第 一 泛 音 的 波 節 所 對 應 的 點 固 定 不 動 則 基 音 就 消 失, 我 們 只 聽 到 第 一 泛 音, 也 就 是 提 高 了 八 度 音 按 照 我 們 對 一 般 解 (3.4) 的 認 識, 振 幅 u(x, t) 與 係 數 a n b n 必 須 具 有 相 同 的 量 綱 : [u] = [a n ] = [b n ], 事 實 上 也 的 確 是 如 此 簡 單 的 量 綱 分 析 得 [a n ] = 1 [f]1 = [f] = [u]

6 16 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 [b n ] = 1 [c] [g]1 = 1 T 1 [u] T = [u] 依 三 角 函 數 的 常 識 判 斷, 有 正 弦 波 必 然 也 有 餘 弦 波 cos nπx 為 何 弦 振 動 只 有 正 弦 波 解? 餘 弦 波 那 裡 去 了 呢? 這 裡 面 有 非 常 深 刻 的 物 理 及 數 學 內 涵, 簡 而 言 之, 就 是 對 稱 性 (symmetry) 對 邊 界 條 件 u(0, t) = 0 而 言 ( 我 們 稱 為 Dirichlet 邊 界 條 件 ), 直 觀 上, 可 以 這 麼 看 : 一 個 好 函 數 在 原 點 ( 邊 界 點 ) 的 值 等 於 0, 若 要 將 此 函 數 週 期 性 平 滑 地 擴 張 到 整 個 實 數 軸 的 左 邊, 那 麼 必 然 是 一 個 奇 函 數, 我 們 稱 為 奇 函 數 擴 張 (odd function extension), 因 此 弦 振 動 的 解 只 有 正 弦 波 同 理 可 以 想 像 如 果 邊 界 值 是 x (0, t) = 0 (Neumann 邊 界 條 件 ) 則 弦 振 動 的 解 是 餘 弦 波, 因 為 在 原 點 的 微 分 等 於 0, 函 數 在 原 點 左 右 兩 邊 差 不 多 是 對 稱, 所 以 必 定 是 一 偶 函 數, 我 們 稱 為 偶 函 數 擴 張 (even function extension), 因 此 弦 振 動 的 解 只 有 餘 弦 波 藉 由 Euler 公 式 e iθ = cosθ + i sin θ, 可 以 將 波 動 方 程 的 解 (3.4) (3.6), 表 示 得 更 精 簡 : f(x) c n e i nπx a 0 = 2 + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) (3.7) c n = 1 f(x)e i nπx dx 2 (3.7) 這 個 漂 亮 的 公 式 告 訴 我 們 Fourier 級 數 真 正 的 主 角 是 {e i nπx }, 它 扮 演 的 角 色 正 如 連 續 函 數 中 的 多 項 式 {x n } 所 扮 演 的 一 樣 因 為 {e i nπx } 是 一 個 複 數, 自 然 就 會 有 如 此 的 困 惑 : (3.7) 右 邊 的 無 窮 級 數 是 實 數 值, 那 麼 左 邊 的 無 窮 級 數 真 的 是 實 數 值 嗎? 這 問 題 問 得 好! 多 少 人 是 照 單 全 收 就 如 此 迷 糊 過 了 一 輩 子 這 問 題 的 答 案 仍 然 是 對 稱 性, 因 為 負 的 足 碼 n 與 正 的 足 碼 n 正 好 是 共 軛, 所 以 相 加 之 後 是 一 實 數, 因 此 結 論 (3.7) 的 左 式 也 必 然 是 實 數 值 如 果 所 取 的 級 數 不 是 左 右 對 稱, 則 不 能 肯 定 是 否 是 一 實 數! Fourier 級 數 (3.7) 還 可 以 藉 由 三 角 函 數 的 和 差 化 積 ( 或 積 化 和 差 ) 改 寫 為 f(x) = 1 2 f(ξ)dξ + 1 f(ξ) cos nπ(x ξ) dξ (3.8) 在 這 裡 我 們 看 到 褶 積 (convolution) 自 然 而 然 出 現, 這 是 一 個 深 刻 的 理 論, 與 對 稱 性 不 變 量 有 關, 這 裡 主 要 是 平 移 不 變 ( 時 間 或 空 間 ) 波 動 方 程 也 許 是 有 史 以 來 最 重 要 的 方 程 式, 就 連 愛 因 斯 坦 的 質 能 公 式 E = mc 2 也 比 不 上 這 是 一 個 極 為 有 趣 的 例 子, 說 明 了 數 學 是 如 何 隱 身 於 大 自 然 之 中 同 時 也 是 古 希 臘 精 神 的 重 現 關 於 熱 我 們 是 否 也 有 同 樣 的 論 證? 大 自 然 是 依 數 學 來 設 計 的

7 數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 熱 傳 導 方 程 熱 的 解 析 理 論 號 稱 為 應 用 解 析 ( 分 析 ) 的 聖 經, 是 Fourier 最 著 名 的 著 作 於 1822 年 出 版, 但 其 中 大 部 分 的 內 容 可 追 溯 至 1807 年, 他 呈 送 給 巴 黎 科 學 院 的 一 篇 論 文, 當 時 經 過 了 3(agrange aplace egendre) 審 查 後, 被 科 學 院 拒 絕 在 1811 年 才 又 提 交 修 改 後 的 論 文, 並 獲 得 巴 黎 科 學 院 的 大 獎, 這 篇 文 章 開 闢 了 數 學 史 上 富 有 成 果 的 新 篇 章, 該 文 章 主 要 是 研 究 金 屬 棒 圓 盤 立 方 體 的 熱 傳 導 問 題, 最 簡 單 的 情 形 是 (D.E.) = k 2 u, t > 0, 0 < x < t x 2 (B.C.) u(0, t) = u(, t) = 0, t > 0 (I.C.) u(x, 0) = f(x), 0 < x < (4.1) 仿 D. Bernoulli 的 分 離 變 數 法, Fourier 也 可 以 將 熱 傳 導 的 解 表 示 為 三 角 級 數 但 是 Fourier 更 將 D. Bernoulli 與 Euler 的 成 果 發 展 成 一 般 的 理 論, 因 此 今 天 我 們 稱 之 為 Fourier 級 數 而 不 僅 僅 是 三 角 級 數 在 該 論 文 中, 他 做 出 了 令 人 驚 訝 的 結 論 : 由 任 意 繪 出 的 圖 形 且 定 義 在 有 限 閉 區 間 的 任 何 函 數 都 可 以 被 分 解 為 正 弦 函 數 與 餘 弦 函 數 的 和 f(x) = a (a n cosnx + b n sin nx), 0 x 2π 函 數 是 否 真 的 等 於 其 Fourier 級 數? 或 者 換 個 角 度 說 : 函 數 f 之 Fourier 級 數 是 否 收 斂 到 函 數 f? 這 個 問 題 就 成 為 整 個 數 學 分 析 發 展 的 核 心 為 此 不 同 的 收 斂 概 念 應 運 而 生 : 逐 點 收 斂 一 致 收 斂 絕 對 收 斂 p - 收 斂, 甚 至 弱 收 斂 (weak convergence) 等 等 而 對 應 的 就 是 函 數 空 間 (function space) 的 問 題, 這 些 都 大 大 地 豐 盛 了 數 學 的 內 涵 而 且 也 構 成 了 近 代 分 析 的 絕 大 部 分 對 於 這 個 問 題, 第 一 個 突 破 性 的 發 展 是 德 國 數 學 家 G.. Dirichlet ( ), 他 在 Fourier 的 影 響 與 鼓 勵 下 研 究 Fourier 級 數 的 收 斂 性, 這 件 工 作 也 成 為 他 最 負 盛 名 的 成 就 這 件 事 引 導 他 將 函 數 的 概 念 一 般 化, 並 給 出 了 一 個 處 處 不 連 續 的 函 數 1, x [0, 1] Q f(x) = 0, x [0, 1] Q 今 天 我 們 稱 之 為 Dirichlet 函 數, 由 於 他 開 創 性 的 工 作, B. Riemann ( ) 特 別 尊 稱 他 是 Fourier 分 析 真 正 的 奠 基 者

8 18 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 圖 6. Dirichlet 圖 7. Riemann 真 正 的 不 連 續 函 數 是 經 由 Riemann 在 Fourier 級 數 的 收 斂 性 上 的 工 作 才 進 入 數 學 的 主 流 在 Fourier 的 工 作 中 已 經 表 露 了 有 必 要 讓 積 分 對 不 連 續 函 數 也 有 意 義, 所 以 Riemann 在 1854 年 的 就 職 演 說 中 特 別 提 出 這 個 問 題 我 們 如 何 瞭 解 積 分 b a f(x)dx? 他 的 答 案 就 是 今 天 我 們 仍 然 沿 用 的 Riemann 積 分 Riemann 使 可 積 性 的 概 念 明 確 化, 用 的 是 我 們 現 在 稱 做 Riemann 積 分 的 定 義, 這 個 定 義 在 20 世 紀 推 廣 至 更 一 般 的 ebesgue 積 分 繼 Riemann 之 後, 德 國 數 學 家 Cantor 等 等 不 少 第 一 流 的 數 學 家 對 此 問 題 都 有 重 要 的 貢 獻 1876 年 Paul du Bois Reymond ( ) 造 出 了 連 續 的 週 期 函 數 其 Fourier 級 數 在 某 些 點 發 散 蘇 聯 數 學 家 A. Kolmogorov ( ) 更 造 出 了 一 個 可 積 函 數 其 Fourier 級 數 到 處 發 散 所 以 怎 樣 的 函 數 才 可 能 收 斂 呢? 這 個 問 題 在 1966 年 由 瑞 典 數 學 家. Carleson 解 決 他 證 明 2 - 函 數 ( 平 方 可 積 函 數 ) 是 對 的, 後 來 美 國 數 學 家 R. Hunt 利 用 插 值 法 推 廣 到 p (1 < p) 函 數 都 是 對 的 5. Fourier 積 分 與 變 換 如 果 只 有 Fourier 級 數, 那 麼 Fourier 就 不 值 得 稱 為 Fourier 他 進 一 步 考 慮 週 期 2, 意 思 是 無 窮 大 的 週 期 或 非 週 期 函 數 藉 由 Riemann 和 與 Riemann-ebesgue 引 理, 得 到 所 謂 的 Fourier 積 分 公 式 f(x) = 1 π dξ 0 f(y) cosξ(x y)dy (5.1)

9 數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 19 讀 者 可 以 驗 證 (5.1) 是 量 綱 平 衡, 要 提 醒 的 是 圓 周 率 π 無 法 丟 掉 可 以 稱 這 項 是 演 化 過 程 ( ) 所 留 下 來 的 DNA 無 論 是 2π 或 2 週 期 函 數, 基 本 上 都 是 考 慮 在 圓 上 的 函 數, 如 今 變 成 (, ), 必 定 有 π 以 便 留 下 圓 的 基 因 圖 8. Fourier 變 換 由 (5.1) 我 們 可 以 進 一 步 得 到 Fourier 變 換 f(ξ) = f(x)e iξx dx, f(x) = 1 2π f(ξ)e iξx dξ (5.2) 實 際 上 由 (5.1) 可 以 衍 生 其 他 不 同 的 Fourier 變 換 之 定 義, 但 不 管 是 哪 一 種 定 義, 最 終 Fourier 變 換 與 逆 變 換 合 併 在 一 起 時 π 一 定 要 出 現 Fourier 積 分 是 研 究 一 條 無 窮 長 的 線 上 的 熱 傳 導 問 題 所 發 展 出 來, 頻 率 與 週 期 的 關 係 是 基 本 頻 率 = 1 週 期 如 果 一 個 波 需 要 無 限 長 的 時 間 才 能 完 成 一 個 週 期, 那 麼 它 的 頻 率 將 非 常 接 近 0, 所 以 當 週 期 接 近 無 限 大 時, 頻 率 之 間 沒 有 間 隙, 而 頻 譜 就 成 為 連 續 的, 因 此 當 週 期 是 無 限 大 時, 所 有 的 頻 率 都 會 出 現 Fourier 變 換 比 Fourier 級 數 更 豐 富 應 用 更 廣, 甚 至 有 許 多 Fourier 分 析 的 書 乾 脆 直 接 從 這 裡 開 始 Fourier 變 換 已 經 是 現 代 數 學 分 析 的 核 心, 是 解 偏 微 分 方 程 還 有 其 他 分 析 不 可 或 缺 的 工 具, 甚 至 近 代 物 理 或 科 技 許 多 領 域 都 會 用 到, 在 量 子 力 學 中 物 質 波 是 透 過 Fourier 分 析 而 具 體 表 現 值 得 一 提 的 Heisenberg 測 不 準 ( 不 確 定 性 ) 原 理 是 可 以 利 用 Fourier 變 換 來 證 明 的, 這 是 Hermann Weyl ( ) 的 傑 作 證 明 的 方 法 是 Cauchy-Schwarz 不 等 式 而 且 連 帶 地, 當 等 式 成 立 時, 就 是 最 穩 定 的 情 形 是 基 態 (ground state), 正 是 Gaussian ( 高 斯 函 數 )

10 20 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 圖 9. Heisenberg 圖 10. Weyl 6. 效 法 Fourier 熱 的 解 析 理 論 是 記 載 了 Fourier 與 Fourier 積 分 之 誕 生 的 重 要 文 獻, 在 數 學 史 與 科 學 史 都 公 認 是 一 部 劃 世 代 的 經 典 著 作 Fourier 在 這 部 名 著 中 所 發 展 的 方 法 與 解 微 分 方 程 的 強 而 有 力 的 工 具, 還 有 留 下 來 待 解 的 問 題, 除 了 極 大 的 推 動 19 世 紀 以 後 數 學 的 發 展 之 外, 也 更 豐 富 了 數 學 與 科 學 的 生 命 Fourier 的 研 究 成 果 是 典 型 數 學 美 的 表 現, 而 Fourier 分 析 猶 如 一 首 數 學 的 長 詩 他 證 明 了, 所 有 的 聲 音 ( 複 雜 的 或 簡 單 的 ) 都 可 以 用 數 學 的 方 式 加 以 描 述, 由 於 Fourier 的 研 究, 使 得 音 樂 的 樂 章 也 能 表 示 成 數 學 的 形 式 現 代 的 音 樂 愛 好 者 顯 然 應 該 把 Fourier 的 貢 獻 看 作 與 貝 多 芬 一 樣 的 偉 大 Fourier 的 理 論 和 方 法 幾 乎 滲 透 到 近 代 物 理 的 所 有 部 門 1826 年 歐 姆 (Georg Simon Ohm, ) 利 用 熱 傳 導 聯 想 到 電 傳 導, 用 熱 效 應 的 辦 法 對 電 進 行 實 驗 研 究, 從 而 得 出 著 名 的 電 傳 導 公 式, 即 歐 姆 定 律 高 斯 ( ) 與 Poisson( ) 也 把 熱 的 解 析 理 論 裡 面 的 方 法 應 用 到 電 學, 並 得 到 豐 碩 的 成 果 著 名 物 理 學 家 J. C. Maxwell ( ) 曾 把 熱 的 解 析 理 論 稱 為 一 首 偉 大 的 數 學 的 詩, 而 物 理 學 家 ord Kelvin ( ) 不 但 稱 之 為 數 學 的 詩, 而 且 宣 稱 他 自 己 在 數 學 物 理 的 全 部 生 涯 都 受 到 這 部 著 作 的 影 響 隨 著 數 學 的 形 式 化 公 理 化 抽 象 化 與 一 般 化 而 漸 漸 失 去 活 力, 由 於 沒 有 創 新 的 觀 點 沒 有 新 的 目 標, 數 學 可 能 很 快 在 其 邏 輯 證 明 的 嚴 格 性 下 枯 竭, 一 旦 實 質 性 的 東 西 消 失, 數 學 的 發 展 便 停 滯 不 少 有 遠 見 的 數 學 家 不 禁 要 問 說 : 我 們 是 否 該 回 到 Fourier?

11 參 考 文 獻 數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 J. C. Taylor, Hidden Unity in Natural s aw, Cambridge University Press, (2001) ( 中 譯 本 : 自 然 規 律 中 蘊 蓄 的 統 一 性 ; 北 京 理 工 大 學 出 版 社 ( 中 國 ), 2003 ) 2. James W. Brown and Ruel V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems, 6th Edition, McGraw-Hill (2001). 3. H. Dym and H. P. Mckean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, New York, (1972). 4. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and its Applications, Brooks/Cole Publishing Company (1992). 5. Joseph Fourier, The Analytical Theory of Heat (Dover Phoenix Editions) (1787). 6. Enriwue A. Gonzalez-Velasco, Fourier Analysis and Boundary Value Problems. Academic Press, Inc. (1995). 7. Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton ectures in Analysis, Princeton University Press (2003). 8. Elias M. Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1971). 9. Robert S. Strichartz, A guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, World Scientific (2003). 10. A. Zygmund, Trigonometric Series, Volumes I and II. Cambridge University Press, 2nd Edition, 1959, reprinted 跨 國 語 言 交 流 實 驗 學 院 ( 著 ), 葉 偉 文 ( 譯 ), 數 學 嗆 聲 班 ( 基 礎 班 ) ( 進 階 班 ), 台 北 : 天 下 文 化 (2007) 12. 林 琦 焜, 從 三 角 求 和 公 式 到 Fourier 級 數, 數 學 傳 播 ( 中 央 研 究 院 數 學 所 ), Vol. 103, 11-29(2002) 13. 林 琦 焜, 從 量 綱 看 世 界, 數 學 傳 播 ( 中 央 研 究 院 數 學 所 ), Vol. 131, (2009) 本 文 作 者 任 教 國 立 交 通 大 學 應 用 數 學 系 更 正 啟 事 本 刊 第 35 卷 第 2 期 (138 號 ) 複 分 析 五 講 第 五 講 作 者 張 德 健 教 授 來 函 更 正 錯 誤 如 下 : 原 文 88 頁 第 1 行 f ( Hf 2 + A op Hf ) ( ) 改 為 f H 2 f + A op Hf 89 頁 參 考 文 獻 1, 2, 3, V. Ahlfors 改 為. V. Ahlfors 89 頁 參 考 文 獻 2, ? 改 為