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1 第 23 卷 第 21 期 岩 石 力 学 与 工 程 学 报 23(21):379~ 年 11 月 Chnee Journal o Rock Mechanc and Engneerng No.,24 冻 结 温 度 下 岩 体 THM 完 全 耦 合 的 * 理 论 初 步 分 析 徐 光 苗 刘 泉 声 张 秀 丽 ( 中 国 科 学 院 武 汉 岩 土 力 学 研 究 所 武 汉 4371) 摘 要 在 冻 结 温 度 下, 岩 体 受 内 部 孔 隙 水 结 构 面 及 温 度 等 的 影 响, 其 物 理 力 学 性 质 将 发 生 深 刻 的 变 化, 因 而, 一 般 热 力 学 理 论 已 经 难 以 解 释 该 问 题 从 不 可 逆 过 程 热 力 学 和 连 续 介 质 力 学 理 论 出 发, 在 若 干 合 理 的 假 定 条 件 下, 推 导 了 冻 结 温 度 下 岩 体 的 质 量 守 恒 方 程 平 衡 方 程 及 能 量 守 恒 方 程 的 最 终 表 示 形 式 ; 研 究 了 岩 体 在 冻 结 温 度 下 冰 与 岩 石 的 膨 胀 耦 合 关 系, 并 建 立 了 相 应 的 耦 合 膨 胀 系 数 的 表 达 式 为 研 究 寒 区 工 程 围 岩 温 度 场 渗 流 场 及 应 力 场 的 分 布 规 律 及 变 形 机 理 提 供 了 新 的 理 论 依 据 关 键 词 岩 石 力 学, 不 可 逆 过 程 热 力 学, 冻 结 温 度,THM 完 全 耦 合, 耦 合 膨 胀 系 数 分 类 号 TU 452 文 献 标 识 码 A 文 章 编 号 (24) THEORETICAL ANALYSIS ON FULL THERMO-HYDRO-MECHANICAL COUPLING FOR ROCKS UNDER FREEZING TEMPERATURE Xu Guangao,Lu Quanheng,Zhang Xul (Inttute o Rock and Sol Mechanc,The Chnee Acadey o Scence, Wuhan 4371 Chna) Abtract The echancal properte o rock ay change draatcally due to porou water,dcontnuty and ub-zero teperature. The tradtonal prncple o therodynac, howeer, can not ole th proble or explan the phenoena. Baed on the prncple o rreerble therodynac and the echanc o contnuou edu, the contnuty equaton, equlbru equaton and energy coneraton equaton can be coupled a oe pled aupton. Moreoer,the relatonhp between rock and ce n a rozen rocka tuded and a coupled coecent o expanon propoed. It ge a new theoretcal ba or tudyng teperature, eepage and tre dtrbuton n rock a n cold regon. Key word rock echanc,rreerble therodynac,reezng teperature,ully coupled THM,coupled coecent o expanon 1 引 言 研 究 低 温 下 岩 体 的 热 - 液 - 力 (THM) 完 全 耦 合 是 一 个 极 具 挑 战 性 的 研 究 方 向 诸 多 岩 体 工 程 都 会 涉 及 到 热 - 液 - 力 的 耦 合 问 题 如 寒 区 大 坝 基 岩 隧 道 围 岩 的 温 度 场 - 渗 流 场 - 应 力 场 的 耦 合 问 题 [1~3] ; 寒 区 大 型 岩 质 边 坡 及 公 路 铁 路 路 基 等 工 程 因 环 境 温 度 交 替 变 化 而 引 起 的 应 力 场 渗 流 场 的 改 变 等 另 外, 随 着 我 国 西 部 大 开 发 战 略 的 实 施, 大 型 液 化 天 23 年 12 月 8 日 收 到 初 稿,24 年 1 月 1 日 收 到 修 改 稿 * 国 家 重 点 基 础 研 究 发 展 规 划 (973) 项 目 (22CB1274) 国 家 自 然 科 学 基 金 (417298) 及 中 国 科 学 院 武 汉 岩 土 力 学 研 究 所 领 域 前 沿 基 金 (Q1126) 资 助 课 题 作 者 徐 光 苗 简 介 : 男,1978 年 生,21 年 毕 业 于 长 安 大 学 地 质 工 程 与 测 绘 学 院 建 筑 工 程 专 业, 现 为 博 士 研 究 生, 主 要 从 事 低 温 下 岩 体 THM 耦 合 及 低 温 岩 石 损 伤 方 面 的 研 究 工 作 E-al:xuguangao@163.co

2 371 岩 石 力 学 与 工 程 学 报 24 年 然 气 的 地 下 储 存 库 建 设 已 经 提 上 日 程, 而 液 化 天 然 气 需 要 储 存 在 极 低 的 温 度 (-162 ) 下 [4], 这 就 需 要 对 围 岩 在 如 此 低 温 度 下 的 变 形 性 状 温 度 场 分 布 和 水 热 迁 移 规 律 有 深 入 的 了 解 迄 今 为 止, 国 内 外 开 展 的 关 于 高 温 下 岩 石 的 THM 耦 合 研 究 已 经 比 较 多, 并 取 得 了 较 丰 富 的 研 究 成 果, 而 关 于 冻 结 及 冻 融 循 环 下 岩 石 的 THM 耦 合 问 题 的 研 究 却 很 少 文 [2,3] 以 寒 区 隧 道 为 背 景, 根 据 经 典 传 热 学 渗 流 力 学 及 冻 土 力 学 理 论 给 出 了 带 相 变 的 温 度 场 渗 流 场 和 应 力 场 耦 合 问 题 的 数 学 力 学 模 型 及 其 控 制 方 程 ; 文 [5] 通 过 试 验, 研 究 了 低 温 下 日 本 Srahaa 砂 岩 的 热 - 力 耦 合 性 质 ; 文 [4,6] 通 过 一 些 简 化 假 定, 从 不 可 逆 过 程 热 力 学 理 论 出 发, 推 导 了 冻 融 循 环 条 件 下 岩 石 的 热 - 液 - 力 耦 合 控 制 方 程, 并 进 行 了 相 应 的 数 值 分 析, 但 对 于 冰 体 对 岩 石 的 冻 胀 力 作 用 没 有 考 虑, 而 是 引 入 静 水 压 力 的 概 念, 从 而 不 能 真 实 反 映 冻 结 温 度 下, 冰 体 发 生 冻 胀 时 对 岩 体 变 形 的 影 响 岩 体 是 复 杂 的 地 质 体, 其 呈 明 显 的 非 线 性 弹 塑 性 性 质 从 不 可 逆 过 程 热 力 学 和 连 续 介 质 力 学 理 论 出 发, 推 导 了 裂 隙 岩 体 的 非 线 性 弹 脆 塑 性 热 - 液 - 力 完 全 耦 合 控 制 方 程 ; 围 绕 方 程 的 求 解 作 若 干 简 化, 得 出 了 冻 结 温 度 下 冰 与 岩 石 的 膨 胀 耦 合 系 数 的 表 达 式 所 建 立 的 冻 结 温 度 下 THM 完 全 耦 合 控 制 方 程 可 为 研 究 寒 区 岩 体 的 温 度 分 布 规 律 应 力 变 化 特 征 及 岩 体 稳 定 性 提 供 科 学 理 论 依 据 2 非 线 性 控 制 方 程 的 建 立 研 究 地 质 体 THM 耦 合 问 题 首 先 要 确 定 三 者 之 间 的 相 互 耦 合 关 系 单 向 耦 合 机 制 只 能 反 映 一 种 因 素 或 多 种 因 素 对 其 他 过 程 的 影 响, 如 应 力 受 温 度 水 的 影 响 关 系 等, 这 种 耦 合 关 系 不 能 从 本 质 上 反 映 地 质 体 的 真 正 完 全 耦 合 文 [4] 给 出 了 热 - 液 - 力 两 两 耦 合 的 关 系 图, 如 图 1 所 示 值 得 注 意 的 是, 把 该 关 系 图 应 用 到 冻 结 温 度 下 岩 体 的 THM 耦 合 中 时, 热 - 液 ( 冰 ) 耦 合 和 液 ( 冰 )- 力 耦 合 关 系 将 有 所 改 变 如 热 对 液 ( 冰 ) 的 影 响 只 有 热 传 导, 而 液 ( 冰 ) 对 热 的 影 响 不 再 是 渗 流 速 度 ; 液 ( 冰 ) 对 力 的 影 响 应 该 是 冻 胀 力 而 不 是 渗 流 压 力 2.1 基 本 假 定 为 便 于 研 究, 在 反 映 矛 盾 主 要 方 面 的 前 提 下, 对 所 研 究 的 岩 体 系 统 作 如 下 假 定 : 图 1 THM 完 全 耦 合 的 相 互 作 用 机 制 Fg.1 Interacton echan n a ully coupled therohydro-echancal low yte (1) 岩 体 为 各 向 异 性 孔 隙 介 质, 且 孔 隙 近 似 按 均 布 考 虑 ( 裂 隙 及 结 构 面 另 外 考 虑 ), 岩 体 介 质 满 足 一 般 连 续 性 假 定 ; (2) 在 冻 结 温 度 下, 岩 体 完 全 饱 和, 并 且 岩 体 内 部 水 ( 冰 ) 完 全 冻 结, 故 不 考 虑 冻 结 温 度 下 水 的 渗 流 影 响 ; (3) 岩 石 的 密 度 是 温 度 的 函 数, 而 冰 的 密 度 是 温 度 和 压 力 的 函 数 ; (4) 系 统 与 外 界 只 有 热 交 换, 且 热 传 导 满 足 Fourer 定 律 ; (5) 岩 体 中 冰 与 岩 体 之 间 的 热 传 导 非 常 缓 慢, 且 温 度 在 岩 体 中 的 分 布 趋 于 稳 定 2.2 质 量 守 恒 方 程 根 据 连 续 介 质 力 学 理 论, 采 用 物 质 导 数 形 式, 任 何 连 续 体 都 遵 守 的 连 续 性 方 程 为 + ( ) = ( = 1,2,3) (1) x 式 中 : 为 空 间 任 意 一 点 物 质 的 密 度,t 为 时 间, x 为 空 间 一 点 的 瞬 时 坐 标, 为 物 质 一 点 的 速 度 矢 量 由 于 岩 体 为 饱 和 状 态, 任 意 取 一 体 积 单 元 dv, 则 其 质 量 遵 守 : dv = n dv + (1 dv (2) 式 中 : 为 岩 体 密 度,n 为 岩 体 孔 隙 率, 为 冰 的 密 度, 为 不 含 裂 隙 的 岩 石 密 度 式 (2) 可 变 为 = n + ( 1 (3) 由 式 (1),(3) 可 得 到 岩 体 中 岩 石 部 分 和 冰 体 部 分 的 连 续 性 方 程 :

3 第 23 卷 第 21 期 徐 光 苗 等. 冻 结 温 度 下 岩 体 THM 完 全 耦 合 的 理 论 初 步 分 析 [(1 ] = (4) x ( n ) + ( n ) = (5) x ( 式 中 : 上 标, 分 别 表 示 岩 石 和 冰 根 据 质 量 守 恒 原 理 及 所 作 的 假 定, 连 续 介 质 密 度 的 物 质 导 数 必 然 为, 故 式 (4) 可 变 为 n = ( 1 (6) x 根 据 基 本 假 定, 岩 体 内 部 被 孔 隙 均 匀 充 填, 并 且, 由 于 在 冻 结 温 度 下 岩 体 内 部 冰 体 不 发 生 渗 流 运 动, 故 岩 石 的 扩 展 与 冰 的 膨 胀 发 生 耦 合, 有 = (7) 由 式 (3)~(7) 可 得 到 冻 结 温 度 下 饱 和 岩 体 质 量 守 恒 方 程 : n + x = (8) 在 冻 结 温 度 下, 冰 的 密 度 与 温 度 冻 胀 约 束 压 力 有 关, 它 们 之 间 的 关 系 为 P T = 1+ exp[ θ ( P P )] exp[ θ ( T T )]} (9) { 式 中 :P 为 冻 结 温 度 下 冰 的 冻 胀 约 束 力,T 为 温 度 ( 定 义 以 下 为 正 ), θ P 为 受 压 冰 体 的 密 度 变 化 系 数, θ T 为 温 度 作 用 下 冰 的 密 度 变 化 系 数, 为 相 对 温 度 下 的 冰 体 密 度, T 为 参 考 温 度, P 为 参 考 压 力 根 据 连 续 介 质 力 学 理 论, 令 U 为 位 移 矢 量, 有 U = (1) 将 式 (9),(1) 带 入 质 量 守 恒 方 程 式 (8) 中, 可 以 进 一 步 得 到 冻 结 温 度 下 饱 和 岩 体 的 质 量 守 恒 方 程 的 一 般 形 式 : P P P n θ exp[ θ ( P P )] T T T U, n θ exp[ θ ( T T )] + = (11) 2.3 平 衡 方 程 岩 体 为 非 线 性 各 向 异 性 孔 隙 介 质 根 据 假 定, 其 孔 隙 被 水 完 全 饱 和, 在 冻 结 温 度 下, 水 变 为 固 态 冰 体 在 平 衡 状 态 下, 由 连 续 介 质 理 论, 可 得 任 何 连 续 介 质 的 平 衡 方 程 的 一 般 表 示 形 式 :, + = (12) 式 中 : 为 应 力 张 量 的 物 质 导 数, 为 物 质 密 度,, 为 外 力 矢 量 由 于 冻 结 温 度 下, 饱 和 岩 体 为 冰 和 岩 石 的 混 合 介 质, 若 按 一 般 流 体 力 学 理 论, 即 假 定 孔 隙 水 压 力 满 足 Darcy 定 律, 显 然 不 够 客 观 但 仍 可 以 假 定 岩 体 的 应 力 分 解 为 岩 石 的 有 效 应 力 和 冰 体 冻 胀 力 两 部 分 : 式 中 : 和 均 以 受 压 为 正 = + (13) 由 于 饱 和 状 态 下, 冰 体 在 岩 体 中 是 完 全 充 填 的, 假 定 冰 体 冻 胀 力 满 足 关 系 : = Pδ (14) 式 中 : δ 为 Kronecker 张 量 记 号 ;P 为 冻 胀 约 束 力, 且 有 P = ς β ( T T ) (15) 式 中 : ς 为 冰 在 岩 石 中 的 膨 胀 折 减 系 数 ; β 为 水 在 以 下 的 冻 结 膨 胀 系 数, 即 冰 体 受 完 全 约 束 时 降 低 单 位 温 度 而 产 生 的 冻 胀 力 假 定 岩 石 的 有 效 应 力 在 岩 石 的 弹 性 范 围 之 内, 根 据 Duhael-Neuann 关 系 [4], 对 于 各 向 同 性 线 弹 性 体, 其 有 效 应 力 可 表 示 为 = D ε β ( T T ) (16) 式 中 : D 为 弹 性 不 变 张 量 ; ε 为 应 变 张 量 ; β 为 岩 石 材 料 的 热 膨 胀 系 数, 根 据 热 力 学 理 论, 有 φδ β = (3λ + 2μ) (17) 式 中 : λ 和 μ 为 拉 梅 常 数,φ 为 岩 石 的 线 性 膨 胀 系 数 另 外, 根 据 弹 性 理 论, 应 变 张 量 ε 可 用 位 移 矢 量 U 来 表 示, 即 ε = ( U, + U, ) / 2 由 式 (12)~ (17) 可 得 到 冻 结 温 度 下, 岩 体 的 平 衡 方 程 的 最 终 表 示 形 式 : 1 D 2 ( U 2.4 能 量 守 恒 方 程 k, l + U l, k ) ( β + ς β )( T T ) +, = (18) 根 据 非 平 衡 态 热 力 学 理 论 [7], 能 量 守 恒 方 程 的 一 般 表 示 形 式 为 de = : + q + F (19) 式 中 : 为 物 质 密 度, e 为 单 位 质 量 的 物 质 所 包 含

4 3712 岩 石 力 学 与 工 程 学 报 24 年 的 内 能, 为 总 应 力 张 量, 为 一 点 的 质 心 速 度 矢 量, q 为 单 位 面 积 系 统 与 外 界 的 热 流 通 量, 为 第 种 组 分 在 力 场 中 的 扩 散 流, F 为 作 用 在 单 位 质 量 的 第 种 组 分 上 的 体 力 式 (19) 右 边 第 3 项 为 物 质 输 运 扩 散 所 引 起 的 势 能 增 加, 其 在 本 研 究 中 对 总 内 能 影 响 很 小, 故 可 以 忽 略 另 外, 根 据 流 体 力 学 中 的 基 本 假 设, 总 应 力 张 量 可 以 写 作 一 个 标 量 的 静 压 力 p 和 一 个 ( 粘 性 ) 应 力 张 量 之 和 [7], 即 pδ + (2) = 根 据 非 平 衡 态 热 力 学 理 论, 式 (2) 中 p 又 可 看 作 保 守 应 力, 为 耗 散 应 力 张 量 故 将 式 (2) 代 入 式 (19), 能 量 守 恒 方 程 可 变 为 de pδ & ε & ε + (21) = + 式 中 : ε& 为 应 变 速 率 将 岩 体 分 为 岩 石 和 冰 体 2 个 部 分, 而 由 于 岩 体 中 岩 石 和 冰 体 的 内 变 量 形 式 不 同, 这 里 分 别 推 导 两 者 所 遵 守 的 能 量 守 恒 方 程 的 具 体 表 示 形 式 (1) 岩 石 部 分 设 单 位 质 量 介 质 的 熵 为, 在 局 域 平 衡 假 设 的 基 础 上, 不 考 虑 物 质 扩 散,Gbb 关 系 为 d 1 de p d = + (22) T T 1 式 中 : 为 体 积 度, 并 且 = 将 式 (21) 代 入 式 (22), 有 d 1 = ( pδ & ε + & ε + q ) (23) 2 T T 对 于 理 想 热 弹 性 体,e 和 为 应 变 ε 和 绝 对 温 度 T 的 函 数, 表 示 为 e = e( ε, T ), = ( ε, T ) 对 于 含 裂 隙 的 岩 体, 其 在 冻 结 温 度 下, 考 虑 裂 隙 的 萌 生 和 扩 展, 引 入 裂 隙 密 度 η, 它 也 作 为 e 和 的 变 量 故 有 d C 1 δp = δ T T 式 中 : C 为 定 容 热 容 由 式 (23),(24), 得 C p Tδ T ε ε q ε 1 η + T (24) ε η + T pδ & ε T ε& - q + = (25) 根 据 Duhael-Neuann 原 理, 可 以 不 考 虑 岩 石 中 粘 滞 耗 散 的 影 响, 并 且 保 守 应 力 对 熵 产 生 的 影 响 也 可 以 忽 略, 故 式 (25) 简 化 为 C Tβ ε η + T q + T = 其 中, ε (26) p β = δ (27) T 将 式 (26) 引 入 到 冻 结 温 度 下 的 岩 石 中, 有 ( 1 C + T, ε (1 T β η T q + (1 T = (28) 式 (28) 即 为 冻 结 温 度 下 岩 石 的 能 量 守 恒 方 程 的 最 终 表 示 形 式 (2) 冰 体 部 分 冻 结 温 度 下, 冰 体 的 熵 产 生 为 绝 对 温 度 T 体 积 V 的 函 数, 即 = ( T, V ) 故 有 d C 1 P dv = + T T d (29) t C 由 式 (23),(29) 得 + Tς β, pδε& ε& q + = (3) 根 据 式 (15), P / T = ς β 为 常 数 冻 结 温 度 下, 不 考 虑 冰 体 粘 滞 耗 散, 将 式 (3) 引 入 到 冰 体 中 去, 有 + nt ς n C + T, β, V q + n = (31) 式 中 : C 为 冰 的 定 容 热 容, 为 冰 的 变 形 速 率 矢 量 式 (31) 即 为 冻 结 温 度 下, 岩 体 中 冰 的 能 量 守 恒 方 程 的 最 终 表 示 形 式 +

5 第 23 卷 第 21 期 徐 光 苗 等. 冻 结 温 度 下 岩 体 THM 完 全 耦 合 的 理 论 初 步 分 析 冰 与 岩 石 的 膨 胀 耦 合 冻 结 温 度 下, 饱 和 岩 体 中 的 水 发 生 冻 结 ( 水 在 自 由 状 态 下 冻 结 时 体 积 膨 胀 率 达 9%), 从 而 对 岩 石 发 生 冻 胀 作 用 而 岩 石 在 冻 结 温 度 下, 体 积 即 使 发 生 膨 胀, 膨 胀 变 形 也 远 没 有 冰 体 的 大, 故 其 会 对 冰 体 产 生 约 束 作 用 [8] 因 此, 如 何 确 定 其 约 束 协 调 关 系 对 于 求 解 所 推 导 的 控 制 方 程 起 决 定 作 用 在 式 (15) 中 假 定 冻 胀 力 表 现 为 各 向 同 性 是 因 为 孔 隙 是 近 似 均 匀 分 布 的, 孔 隙 水 在 冻 结 时 发 生 膨 胀, 宏 观 上 冻 胀 力 在 各 个 方 向 上 是 相 等 的 而 在 实 际 裂 隙 岩 体 中, 冻 胀 力 沿 裂 隙 壁 发 生, 表 现 为 各 向 异 性 若 设 冰 体 在 自 由 状 态 下 冻 结 时 的 膨 胀 变 形 张 量 为 ε, 而 岩 体 实 际 受 冻 胀 影 响 的 变 形 张 量 为 ε, 则 冰 所 受 到 的 冻 胀 约 束 力 P 可 近 似 表 示 为 r P = ( ε ε ) (32) D 式 中 : D r 为 4 阶 张 量, 它 可 以 表 示 岩 体 的 综 合 弹 塑 性 不 变 张 量 ; ε 和 ε 可 由 冰 的 低 温 冻 结 试 验 和 饱 和 岩 石 的 低 温 压 缩 试 验 确 定, 该 部 分 试 验 数 据 将 在 后 面 的 研 究 中 给 出 另 外, 式 (15) 中 引 入 的 冰 的 膨 胀 折 减 系 数 ς 可 以 表 示 为 ε ε ς = ξ( T, (33) ε 式 中 : ε, ε 分 别 为 冰 的 自 由 膨 胀 率 和 岩 体 的 体 积 应 变 率 ; ξ ( T, 为 岩 石 的 膨 胀 耦 合 系 数, 是 岩 体 孔 隙 度 和 温 度 的 函 数, 当 温 度 越 低 孔 隙 度 越 大 时, 其 值 越 大, 反 之 亦 然 4 结 语 学 和 连 续 介 质 力 学 理 论, 推 导 了 冻 结 温 度 下 岩 体 THM 完 全 耦 合 的 控 制 方 程 与 国 内 外 关 于 此 方 面 的 研 究 相 比, 考 虑 了 岩 体 中 冰 体 与 岩 石 的 膨 胀 耦 合 效 应 及 冻 结 温 度 下 岩 石 与 冰 的 密 度 变 化 等, 从 理 论 上 建 立 了 适 合 寒 区 各 种 低 温 岩 石 工 程 的 热 力 学 模 型 而 所 建 立 的 THM 完 全 耦 合 的 热 力 学 模 型 的 数 值 分 析 和 试 验 研 究 工 作 将 在 后 面 的 研 究 中 进 行 阐 述 参 考 文 献 1 赖 远 明, 刘 松 玉, 邓 学 钧 等. 寒 区 大 坝 温 度 场 和 渗 流 场 耦 合 问 题 的 非 线 性 数 值 模 拟 [J]. 水 利 学 报,21,(8):26~31 2 赖 远 明, 吴 紫 汪, 朱 元 林 等. 寒 区 隧 道 温 度 场 渗 流 场 和 应 力 场 耦 合 问 题 的 非 线 性 分 析 [J]. 岩 土 工 程 学 报,1999,21(5):529~533 3 赖 远 明, 喻 文 兵, 吴 紫 汪 等. 寒 区 圆 形 截 面 隧 道 温 度 场 的 解 析 解 [J]. 冰 川 冻 土,21,23(2):126~13 4 Neaupane K M,Yaabe T,Yohnaka R. Sulaton o a ully coupled thero-hydro-echancal yte n reezng and thawng rock[j]. Internatonal Journal o Rock Mechanc and Mnng Scence,1999,36(5):563~58 5 Yaabe T,Neaupane K M. Deternaton o oe thero-echancal properte o Srahaa anone under ubzero teperature condton[j]. Internatonal Journal o Rock Mechanc and Mnng Scence,21,38(7):1 29~ Neaupane K M,Yaabe T. A ully coupled thero-hydro-echancal nonlnear odel or a rozen edu[j]. Coputer and Geotechnc, 21,28(8):613~637 7 李 如 生. 非 平 衡 态 热 力 学 和 耗 散 结 构 [M]. 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社, 赖 远 明, 吴 紫 汪, 朱 元 林 等. 寒 区 隧 道 冻 胀 力 的 粘 弹 性 解 析 解 [J]. 铁 道 学 报,1999,21(6):7~74 通 过 作 适 当 简 化 假 定, 根 据 不 可 逆 过 程 热 力

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