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坪僻惇石
5 years ago
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1 Lecture 4: Data Representation 数据的机器级表示第 4 讲数值数据的表示

2 数值数据的表示主要内容定点数的表示进位计数制定点数的二进制编码 - 原码补码补码移码表示定点整数的表示 - 无符号整数带符号整数浮点数格式和表示范围浮点数的规格化 IEEE754 浮点数标准单精度浮点数双精度浮点数特殊数的表示形式 C 语言程序中的整数类型浮点数类型十进制数表示

3 信息的二进制编码计算机的外部信息与内部机器级数据机器级数据分两大类 : 数值数据 : 无符号整数带符号整数带符号整数浮点数 ( 实数 ) 十进制数非数值数据 : 逻辑数 ( 包括位串 ) 西文字符和汉字计算机内部所有信息都用二进制 ( 即 :0 和 1) 进行编码用二进制编码的原因 : 制造二个稳定态的物理器件容易二进制编码计数计数运算规则简单正好与逻辑命题对应, 便于逻辑运算, 并可方便地用逻辑电路实现算术运算真值和机器数首先考虑数值数据的表示机器数 : 用 0 和 1 编码的计算机内部的 0/1 序列真值 : 机器数真正的值, 即 : 现实中带正负号的数 C 语言中哪些类型是数值数据? 哪些是非?

4 P.26 图 2.1 文字图表声音视频等各种媒体信息用户角度输入设备输出设备二进制编码表示的各种数据图树链表等结构化数据描述高级语言程序员角度指令系统能识别的基本类型数据低级语言程序员和系统设计者角度数值型数据非数值型数据二进制数二进制编码的十进制数逻辑数据西文字符和汉字整数 ( 定点数 ) 实数 ( 浮点数 ) 无符号整数有符号整数 BACK

5 数值数据的表示数值数据表示的三要素进位计数制定浮点表示如何用二进制编码即 : 要确定一个数值数据的值必须先确定这三个要素例如, 机器数的值是多少? 进位计数制十进制二进制二进制十六进制十六进制八进制数及其相互转换浮点表示 ( 解决小数点问题 ) 定 / 浮点表示定点整数定点小数定点小数浮点数 ( 可用一个定点小数和一个定点整数来表示 ) 定点数的编码 ( 解决正负号问题 ) 定点数的编码原码补码补码反码反码移码 ( 反码很少用 ) 答案是 : 不知道!

6 Sign and Magnitude ( 原码的表示 ) Decimal Binary Decimal 容易理解, 但是 : 0 的表示不唯一, 不利于程序员编程加减运算方式不统一需额外对符号位进行处理, 不利于硬件设计特别当 a<b 时, 实现 a- b 比较困难从 50 年代开始, 整数都采用补码来表示但浮点数的尾数用原码定点小数表示 Binary

7 补码特性 - 模运算 (modular 运算 ) 重要概念 : 在一个模运算系统中, 一个数与它除以模后的余数等价时钟是一种模 -12 系统假定钟表时针指向 10 点, 要将它拨向 6 点, 则有两种拨法 : 1 倒拨 4 格 :10-4 = 6 2 顺拨 8 格 :10+8 = 18 6 (mod 12) 模 12 系统中 : (mod 12) (mod 12) 则, 称 8 是 - 4 对模 12 的补码同样有 -3 9 (mod 12) -5 7 (mod 12) 等结论 1: 一个负数的补码等于模减该负数的绝对值结论 2: 对于某一确定的模, 某数减去小于模的另一数, 总可以用该数加上另一数负数的补码来代替补码 (modular 运算 ):+ and 的统一

8 模运算系统举例例 1: 钟表模运算系统假定时针只能顺拨, 从 10 点倒拨 4 格后是几点? 10-4 = 10+(12-4) = 10+8 = 6 (mod 12) 例 2: 4 位十进制数模运算系统假定算盘只有四档, 且只能做加法, 则在算盘上计算等于多少? =9828+( ) = = =7900(mod 10 4 ) 取模的含义就是只留余数, 高位的 1 被丢弃! 相当于只有低 4 位留在算盘上

9 运算器是一个模运算系统, 适合用补码表示和运算计算机中运算器只有有限位假定为 n 位, 则运算结果只能保留低 n 位, 故可看成是个只有 n 档的二进制算盘所以, 其模为 2 n 补码的定义假定补码有 n 位, 则 : 定点整数 :[X] 补 = 2 n + X (-2 n-1 X< 2 n-1-1,mod 2 n ) 定点小数 :[X] 补 = 2 + X (-1 X<1,mod 2) 当 n=4 时, 共有 16 个机器数 :0000 ~ 1111, 可看成是模为 2 4 的钟表系统真值范围为 :-8 ~ [-8,-1] is shifted to [8,15]. The modul here is

10 求特殊数的补码假定机器数有 n 位 1 [-2 n-1 ] 补 = 2 n - 2 n-1 = 10 0(n-1 个 0) (mod 2 n ) 2 [-1] 补 = 2 n = 11 1(n 个 1) (mod 2 n ) 3 [-1.0] 补 = = (n-1 个 0) (mod 2) 4 [+0] 补 = [-0] 补 = 00 0(n 个 0)

11 补码与真值之间的简便转换例 : 设机器数有 8 位, 求 123 和 -123 的补码表示如何快速得到 123 的二进制表示? 解 : 123 = = B - 100B = B -123= B [ ] 补 = = = (mod 2 8 ), 即 7BH [ ] 补 = = = = 各位取反, 末位加 1 = , 即 85H

12 Two s Complement ( 补码的表示 ) 正数 : 符号位 (sign bit) 为 0, 数值部分不变负数 : 符号位为 1, 数值部分各位取反, 末位加 1 变形 ( 模 4) 补码 : 双符号, 用于存放可溢出的中间结果 +0 和 -0 表示唯一 Decimal 补码变形补码值太大, 用 4 位补码无法表示, 故溢出! 但用变形补码可保留符号位和最高数值位 Decimal Bitwise Inverse 补码变形补码

13 如何求补码的真值根据补码各位上的权, 可以求出一个补码的值真值范围 : 当 N=4 时, 范围为 :-2 3 ~ ( 即 :-8 ~ +7) 当 N=32 时, 范围为 :-2 31 ~ 令 :[A] 补 = a n-1 a n-2 a 1 a 0 则 : A= -a n-1. 2 n-1 +a n-2. 2 n-2 + a a

14 Excess (biased) notion- 移码表示什么是 excess (biased) notation- 移码表示? 将每一个数值加上一个偏置常数 ( Excess / bias) 一般来说, 当编码位数为 n 时,bias 取 2 n-1 Ex. n=4: E biased = E+ 2 3 ( bias= 2 3 = ) -8 (+8) ~ (+8) ~ (+8) ~ (+8) ~ 为什么要用移码来表示指数 ( 阶码 )? 便于浮点数加减运算时的对阶操作例 :1.01 x x2 3 补码 :1111< 0011? (-1) (3) 简化比较 0 的移码表示惟一移码和补码仅第一位不同移码主要用来表示浮点数阶码! 1.01 x x2 3+4 移码 :0011< 0111 (3) (7)

15 Unsigned integer( 无符号整数 ) 机器中字的位排列顺序有两种方式 :( 例 :32 位字 : ) 高到低位从左到右 : 高到低位从右到左 : LSB MSB MIPS 采用高到低从左往右排列 Leftmost 和 rightmost 这两个词有歧义, 故用 LSB(Least Significant Bit) 来表示最低有效位, 用 MSB 来表示最高有效位一般在全部是正数运算且不出现负值结果的场合下, 可使用无符号数表示例如, 地址运算无符号数的编码中没有符号位在字长相同的情况下, 它的表示范围大于有符号数无符号数总是整数, 所以很多时候就简称为无符号数最大 8 位无符号整数是 B, 其值为 255

16 Signed integer( 带符号整数 ) 计算机必须能处理正数 (positive) 和负数 (negative),msb 表示数符有三种表示方式 Signed magnitude ( 原码 ) 用来表示浮点 ( 实 ) 数的尾数 One s complement ( 反码 ) 现已不用 Two s complement ( 补码 ) 50 年代以来, 所有计算机都用补码来表示定点 ( 整 ) 数为什么用补码表示带符号整数? 补码运算系统是模运算系统, 加减运算统一数 0 的表示惟一, 方便使用比原码和反码多表示一个最小负数与移码相比, 其符号位和真值的符号对应关系清楚

17 带符号数和无符号数的比较扩充操作有差别例如,MIPS 提供了两种加载指令 - 无符号数 :lbu $t0, 0($s0) ; $t0 高 24 位补 0 ( 称为 0 扩展 ) - 带符号整数 : lb $t0, 0($s0) ; $t0 高 24 位补符 ( 称为符号扩展 ) 数的比较有差异无符号数 :MSB 为 1 的数比 MSB 为 0 的数大带符号整数 : MSB 为 1 的数比 MSB 为 0 的数小例如,MIPS 中提供了不同的比较指令, 如 : - 无符号数 :sltu $t0, $s0, $s1 (set less than unsigned) - 带符号整数 : slt $t1, $s0, $s1 (set less than) 假定 : $s0= $s1= 则 :$t0 和 $t1 分别为多少? 答案 :$t0 和 $t1 分别为 0 和 1 溢出判断有差异 ( 无符号数根据最高位是否有进位判断溢出, 通常不判 ) MIPS 规定 : 无符号数运算溢出时, 不产生溢出异常

18 C 语言程序中的整数无符号数 :unsigned int ( short / long); 带符号整数 : int ( short / long) 常在一个数的后面加一个 u 或 U 表示无符号数若同时有无符号数和带符号整数, 则 C 编译器隐含将带符号整数强制转换为无符号数假定以下关系表达式在 32 位用补码表示的机器上执行, 结果是什么? 关系表达式 0 = = 0U -1 < 0-1 < 0U > U > > (int) U -1 > -2 (unsigned) -1 > -2 运算类型结果说明

19 C 语言程序中的整数关系表达式 0 = = 0U -1 < 0-1 < 0U > U > > (int) U -1 > -2 (unsigned) -1 > -2 类型无带无带无带带无结果 1 1 0* 1 0* 1* 1 1 说明 00 0B = 00 0B 11 1B (-1) < 00 0B (0) 11 1B (2 32-1) > 00 0B(0) 011 1B (2 31-1) > 100 0B (-2 31 ) 011 1B (2 31-1) < 100 0B(2 31 ) 011 1B (2 31-1) > 100 0B (-2 31 ) 11 1B (-1) > 11 10B (-2) 11 1B (2 32-1) > 11 10B (2 32-2) 带 * 的结果与常规预想的相反!

20 科学计数法 (Scientific Notation) 与浮点数 Example: mantissa ( 尾数 ) exponent( 阶码指数 ) 6.02 x decimal point radix (base, 基 ) Normalized form( 规格化形式 ): 小数点前只有一位非 0 数同一个数有多种表示形式例 : 对于数 1/1,000,000,000 Normalized ( 唯一的规格化形式 ): 1.0 x 10-9 Unnormalized( 非规格化形式不唯一 ): 0.1 x 10-8, 10.0 x for Binary Numbers: mantissa( 尾数 ) exponent( 指数 ) two x 2-10 binary point 基为 2 只要对尾数和指数分别编码, 就可表示一个浮点数 ( 即 : 实数 )

21 浮点数 (Floating Point) 的表示范围例 : 画出下述 32 位浮点数格式的表数范围 S 阶码 E 尾数 M 第 0 位数符 S; 第 1~8 位为 8 位移码表示阶码 E( 偏置常数为 128); 第 9~31 位为 24 位二进制原码小数表示的尾数 M 规格化尾数的第一位总是 1, 故规定第一位默认的 1 不明显表示出来这样可用 23 个数位表示 24 位尾数最大正数 : x =( ) x 最小正数 : x =(1/2) x 因为原码是对称的, 所以其表示范围是关于原点对称的可表示的负数零可表示的正数负上溢负下溢正下溢正上溢 - ( ) ( ) 机器 0: 阶码为 0 或落在下溢区中的数浮点数范围比定点数大, 但数的个数没变多, 故数之间更稀疏, 且不均匀 129 数轴

22 浮点数的表示 Normal format( 规格化数形式 ) : +/-1.xxxxxxxxxx two x 2 Exponent 32-bit 规格化数 : 31 0 S Exponent Significand 1 bit? bits? bits S 是符号位 (Sign) Exponent 用 excess (or biased) notation( 移码 / 增码 ) 来表示 Significand 表示 xxxxxxxxxxxxx, 尾数部分 ( 基可以是 2/ 4 / 8 / 16, 约定信息, 无需显式表示 ) 早期的计算机, 各自定义自己的浮点数格式问题 : 浮点数表示不统一会带来什么问题? 小数点前面总是 1, 故可隐含表示

来表示浮点数 This standard was primarily the work of one person, UC Berkeley math

23 Father of the IEEE 754 standard 直到 80 年代初, 各个机器内部的浮点数表示格式还没有统一因而相互不兼容, 机器之间传送数据时, 带来麻烦 1970 年代后期, IEEE 成立委员会着手制定浮点数标准 1985 年完成浮点数标准 IEEE754 的制定现在所有计算机都采用 IEEE754 来表示浮点数 This standard was primarily the work of one person, UC Berkeley math professor William Kahan. ieee754status/754story.html Prof. William Kahan

24 IEEE 754 Floating Point Standard Single Precision : ( Double Precision is similar ) S Exponent Significand 1 bit 8 bits 23 bits Sign bit: 1 表示 negative ; 0 表示 positive Exponent( 阶码 / 指数 ): 全 0 和全 1 用来表示特殊值! SP 规格化数阶码范围为 (-126) ~ (127) bias 为 127 (single), 1023 (double) Significand( 尾数 ): 规格化尾数最高位总是 1, 所以隐含表示, 省 1 位 bits ( single), ), bits (double) SP: (-1) S x (1 + Significand) x 2 (Exponent-127) DP: (-1) S x (1 + Significand) x 2 (Exponent-1023) 为什么用 127? 若用 128, 则阶码范围为多少? (-127) ~ (126)

25 Ex: Converting Binary FP to Decimal BEE00000H is the hex. Rep. Of an IEEE 754 SP FP number (-1) S x (1 + Significand) x 2 (Exponent-127) Sign: 1 => negative Exponent: two = 125 ten Bias adjustment: = -2 Significand: 1 + 1x x x x x = = = 1.75 Represents: ten x2-2 = (= x10-1 )

26 Ex: Converting Decimal to FP x Denormalize: Convert integer part: 12 = = Convert fractional part:.75 = = Put parts together and normalize: = x Convert exponent: = = The Hex rep. is C14C0000H

27 Normalized numbers( 规格化数 ) 前面的定义都是针对规格化数 (normalized form) How about other patterns? Exponent Significand Object anything Norms implicit leading 1 0 0? 0 nonzero? 255 0? 255 nonzero?

28 Representation for 0 How to represent 0? exponent: all zeros significand: all zeros What about sign? Both cases valid. +0: :

29 Representation for + /- :infinity In FP, 除数为 0 的结果是 +/-, 不是溢出异常. 为什么要这样处理? 可以利用 + /- 作比较例如 :X/0>Y 可作为有效比较 How to represent + /-? Exponent : all ones ( B = 255) Significand: all zeros + : : Operations 5 / 0 = +, -5 / 0 = - 5+(+ ) = +, (+ )+(+ ) = (+ ) = -, (- ) - (+ ) = - etc

30 Representation for Not a Number Sqrt (- 4.0) =? 0/0 =? Called Not a Number (NaN) - 非数 How to represent NaN Exponent = 255 Significand: nonzero NaNs can help with debugging Operations sqrt (-4.0) = NaN 0/0 = NaN op (NaN,x) = NaN + +(- ) = NaN + - (+ ) = NaN / = NaN etc.

31 Representation for Denorms( 非规格化数 ) What have we defined so far? (for SP) Exponent Significand Object 0 0 +/-0 Used to represent Denormalized numbers 0 nonzero Denorms anything Norms implicit leading /- infinity 255 nonzero NaN

32 Representation for Denorms 1.0 0x2-126 ~ 1.1 1x GAP Normalized numbers 0.0 0x2-126 ~ 0.1 1x Denorms (-1) s 0.aa a 2-126

33 Questions about IEEE 754 What s the range of representable values? The largest number for single: X 约 +3.4 X How about double? 约 +1.8 X What about following type converting: not always true! if ( i == (int) ((float) i) ) { How about printf ( true ); double? } True! if ( f == (float) ((int) f) ) { printf ( true ); } How about double? Not always true! How about FP add associative? FALSE! x = 1.5 x 10 38, y = 1.5 x 10 38, z = 1.0 (x+y)+z = ( 1.5x x10 38 ) +1.0 = 1.0 x+(y+z) = 1.5x (1.5x ) = 0.0

Introduction to Computer Systems /18-243, spring st Lecture, Jan. 12th

Introduction to Computer Systems /18-243, spring st Lecture, Jan. 12th 计算机组成原理习题课 1 授课老师 : 王浩宇 haoyuwang@bupt.edu.cn 1 练习 : 机器数的表示和相互转化练习 1: 当十六进制数 9B 和 FF 分别表示为原码补码反码移码和无符号数时, 所对应的十进制数各为多少 ( 设机器数采用一位符号位 )? 16 进制真值无符号数原码 ( 真值 ) 反码 ( 真值 ) 补码 ( 真值 ) 移码 ( 真值 ) 9BH 二进制十进制