第 2 期章劲鸥 : 关于环上长方矩阵的加权群可逆性 147 在文献 [3] 中, 讨论了任意带有单位元环上的正则方阵矩阵 T 的群逆 T 的性质. 对于 T = P AQ, 如果 A 是正则的, P A 与

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乃樊
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1 2013 年 4 月第 29 卷第 2 期纯粹数学与应用数学 Pure and Applied Mathematics Apr Vol. 29 No. 2 关于环上长方矩阵的加权群可逆性章劲鸥 ( 宁波大学数学系, 浙江宁波 ) 摘要 : 研究任意环上长方矩阵的加权群逆和加权 {1, 5}- 逆利用矩阵分解, 得到了长方矩阵积的加权群逆存在的一些等价条件和计算方法及任意环上长方矩阵的加权 {1, 5}- 逆的刻画表达式得到的定理推广了有关方阵群逆和 {1, 5}- 逆的相关结果结果还可适合应用于加法范畴中的态射关键词 : 环 ; 长方矩阵 ; von Neumann 正则 ; 加权群逆中图分类号 :O153.3,O 文献标识码 :A 文章编号 : (2013) DOI: /j.issn 预备知识和引理设 R 是具有单位元 1 的环, M m,n (R) 为 R 上的 n 阶矩阵环. M n (R) 表示环 R 上的所有 m n 矩阵组成的集合. 给定环 R 上的 m n 矩阵 A, 如果存在一个 n m 矩阵 A, 使得 AA A = A, 那么称矩阵 A 是 von Neumann 正则的, 且矩阵 A 称为 A 的 von Neumann 逆. 给定 M n,m (R). 对于环 R 上一个 m n 矩阵 T, 如果存在矩阵 G M n,m (R) 满足 (1) T G T = T ; (2) G T G = G; (5) T G = G T, 那么称 T 为加权群可逆的, 那么 G 称为 T 的一个加权群逆. 如果 T 的加权群逆存在, 那么它一定是唯一的 [1], 记为 T. 对于 X M n,m (R), 如果 X 满足上述条件 (1) 和 (5), 那么 X 称为 T 的加权 {1, 5}- 逆, 记为 T. 用 T {1, 5} 表示 T 的所有加 - 权 {1, 5}- 逆组成的集合. 如果 m = n 且 = I n ( 单位矩阵 ), 那么 T 的加 - 权群逆就是 T 的群逆 [2-6], 且 T 的加权 {1, 5}- 逆就是 T 的 {1, 5}- 逆 [4]. 收稿日期 : 基金项目 : 宁波市自然科学基金 (2012A610034). 作者简介 : 章劲鸥 (1974-), 硕士, 讲师, 研究方向 : 矩阵论.

长方矩阵的加权 {1, 5}- 逆的刻画表达式得到的定理推广了有关方阵群逆和 {1, 5}- 逆的相关结果结果还可适合应用于加法范畴中的态射关键词 : 环 ; 长方矩阵 ; von Neumann 正则 ; 加权群逆中图分类号 :O153.3,O151.

2 第 2 期章劲鸥 : 关于环上长方矩阵的加权群可逆性 147 在文献 [3] 中, 讨论了任意带有单位元环上的正则方阵矩阵 T 的群逆 T 的性质. 对于 T = P AQ, 如果 A 是正则的, P A 与 A 生成相同的左理想, 且 AQ 与 A 生成相同的右理想, 则 T 存在, 当且仅当 U = AQP AA + I n AA 是可逆的. 或者当且仅当 V = A AQP A + I n A A 是可逆的. 于是有 T = P U 1 AV 1 Q = P U 2 AQ = P AV 2 Q. 在本文中, 想把这些结果从方阵推广到 m n 矩阵, 将给出长方矩阵积 P AQ 的加权群可逆的一些等价条件, 这里 A M k,l (R) 是正则的, 且 P M m,k (R), Q M l,n (R), 且存在 P M k,m (R) 和 Q M n,l (R) 满足 P P A = A = AQQ. 而且, 还给出了任意环上长方矩阵的加权群逆和加权 {1, 5}- 逆的刻画表达式. 得到的结果推广了有关方阵群逆的结果. 结果还可适用于加法范畴中的态射. 2 加权群逆设 A M k,l (R) 是正则的. 给出矩阵 T = P AQ 有加 - 权群逆的充要条件. 下面给出两个矩阵 : U = AQ P AA + I k AA, (1) V = A AQ P A + I l A A. (2) 现在可以得到 : 引理 2.1 设 A M k,l (R) 是正则的, 且 T = P AQ, P M m,k (R) 且 Q M l,n (R). 那么下列条件是等价的 : (i) UM k (R) = M k (R); (ii) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R); (iii) V M l (R) = M l (R). 如果另加 M k (R)A = M k,m (R)P A, 那么上面各条件等价于 (iv) T T M n,l (R) = T M n,l (R), AM l (R) = AQM n,l (R). 证明 (i)= (ii): 因为 UM k (R) = M k (R), 所以 AQ P AM l,k (R) = AA AQ P AA M k (R) = AA (AQ P AA + I k AA )M k (R) = AA UM k (R) = AA M k (R) = AM l,k (R).

于是有 T = P U 1 AV 1 Q = P U 2 AQ = P AV 2 Q.

3 148 纯粹数学与应用数学第 29 卷因此, (ii) 得证. (ii)= (i): 因为 AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R) 及 A M l,k (R), 所以存在 X M l,k (R) 使得 AQ P AX = AA. (3) 记 U = AX + I k AA. 则, UU = (AQ P AA + I k AA )(AX + I k AA ) = AQ P AA AX + I k AA = AQ P AX + I k AA = I k. 因此, (i) 得证. (ii)= (iii): 记 V = A AXA + I l A A, 其中 X 是 (ii)= (i) 的证明过程中. 则 V V = (A AQ P A + I l A A)(A AXA + I l A A) = A AQ P AA AXA + I l A A = A AQ P AXA + I l A A = I l. 因此, (iii) 得证. (iii)= (ii): 因为 V M l (R) = M l (R), 所以 V M l,k (R) = M l,k (R). 则 AQ P AM l,k (R) = AA AQ P AM l,k (R) = A(A AQ P A + I l A A)M l,k (R) = AV M l,k (R) = AM l,k (R). 因此, (ii) 得证. (ii)= (iv): 因为 AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R), 所以 AM l (R) = AA AM l (R) AQ P AM l,k (R)AM l (R) AQM n,l (R). 显然, AM l (R) AQM n,l (R). 因此, AM l (R) = AQM n,l (R). 又 T M n,l (R) = P AA AQM n,l (R) P AM l,k (R)AQM n,l (R) = P AQ P AM l,k (R)AQM n,l (R) P AQ P AM l (R) = P AQ P AQM n,l (R) = T T M n,l (R). 显然, T T M n,l (R) T M n,l (R). 得到结论, T T M n,l (R) = T M n,l (R).

则 V V = (A AQ P A + I l A A)(A AXA + I l A A) = A AQ P AA AXA + I l A A = A AQ P AXA + I l A A = I l. 因此, (iii) 得证. (iii)= (ii): 因为 V M l (R) = M l (R), 所以 V M l,k (R) = M l,k (R).

4 第 2 期章劲鸥 : 关于环上长方矩阵的加权群可逆性 149 (iv)= (ii): 因为 AM l (R) = AQM n,l (R) 及 P AQ P AQM n,l (R) = P AQM n,l (R), P AM l,k (R) = P AA AM l,k (R) P AM l (R)M l,k (R) = P AQM n,l (R)M l,k (R) = P AQ P AQM n,l (R)M l,k (R) P AQ P AM l,k (R). 显然, P AQ P AM l,k (R) P AM l,k (R). 因此, P AQ P AM l,k (R) = P AM l,k (R). 由 M k (R)A = M k,m (R)P A 知, 存在 P M k,m (R) 使得 A = P P A. 于是 AQ P AM l,k (R) = P P AQ P AM l,k (R) = P P AM l,k (R) = AM l,k (R). 同样地, 可以得到下列结果. 引理 2.2 设 A M k,l (R) 是正则的, T = P AQ, 且有 P M m,k (R), Q M l,n (R). 则下列条件是等价的 : (i ) M k (R)U = M k (R); (ii ) M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A; (iii ) M l (R)V = M l (R). 如果 AM l (R) = AQM n,l (R) 成立, 它们都是等价的. (iv ) M k,m (R)T T = M k,m (R)T 且 M k (R)A = M k,m (R)P A. 注 1 对于 T = P AQ, 其中 A M k,l (R) 是正则的, P M m,k (R),Q M l,n (R), 可以得到下列结论. 1. 如果存在 P M k,m (R) 且 Q M n,l (R) 满足 P P A = A = AQQ ( 即 M k (R)A = M k,m (R)P A 且 AM l (R) = AQM n,l (R)), 那么下列两组条件分别等价的 : (i) UM k (R) = M k (R), (ii) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R), (iii) V M l (R) = M l (R),

于是 AQ P AM l,k (R) = P P AQ P AM l,k (R) = P P AM l,k (R) = AM l,k (R). 同样地, 可以得到下列结果. 引理 2.2 设 A M k,l (R) 是正则的, T = P AQ, 且有 P M m,k (R), Q M l,n (R).

5 150 纯粹数学与应用数学第 29 卷 (iv) T T M n,l (R) = T M n,l (R); (i ) M k (R)U = M k (R), (ii ) M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A, (iii ) M l (R)V = M l (R), (iv ) M k,m (R)T T = M k,m (R)T. 因此, (i) 和 (i ) 等价当且仅当 U 是可逆的, (iii) 和 (iii ) 等价当且仅当 V 是可逆的, 且有 U 1 = AX + I k AA = AY AA + I k AA, (4) V 1 = A AXA + I l A A = Y A + I l A A, (5) 这里 X 和 Y 分别是 AQ P AX = AA 和 A A = Y AQ P A 方程的解. 2. 记 Ū = AQ T P AA + I k AA, (6) V = A AQ T P A + I l A A. (7) 则下列两组条件是分别等价的 : (i) ŪM k(r) = M k (R), (ii) AQ T P AM l,k (R) = AM l,k (R), (iii) V M l (R) = M l (R); (i ) M k (R)Ū = M k(r), (ii ) M l,k (R)AQ T P A = M l,k (R)A, (iii ) M l (R) V = M l (R), 即 Ū = U 2, V = V 2. (8) 3. 下列条件也是等价的 : (1) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R) 且 M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A; (2) 矩阵方程 AQ P AX = AA 和 Y AQ P A = A A 有解 ; (3) AQ T P AM l,k (R) = AM l,k (R) 且 M l,k (R)AQ T P A = M l,k (R)A; (4) 矩阵方程 AQ T P AX = AA 和 Y AQ T P A = A A 有解. 下面, 给出任意环上长方矩阵的加权群逆存在的一些等价条件. 定理 2.1 给定 T = P AQ, 且 A M k,l (R) 是正则的, P M m,k (R), Q M l,n (R), 则下列条件是等价的 : (i) U 是可逆的 ; (ii) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R), M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A; (iii) V 是可逆的 ; (iv) T 存在且有 AM l (R) = AQM n,l (R), M k (R)A = M k,m (R)P A.

= Y AQ P A 方程的解. 2. 记 Ū = AQ T P AA + I k AA, (6) V = A AQ T P A + I l A A.

6 第 2 期章劲鸥 : 关于环上长方矩阵的加权群可逆性 151 此外, 有 T = P U 1 AV 1 Q = P U 2 AQ = P AV 2 Q, (9) 其中 U 1 = AX + I k AA = AY AA + I k AA, V 1 = A AXA + I l A A = Y A + I l A A, AQ P AX = AA, A A = Y AQ P A. 证明由引理 2.1 和引理 2.2 知, (i), (ii) 和 (iii) 是等价的. (i)= (iv): 为了计算 T, 注意到 : UA = AQ P A = AV. 因此 U 1 A = AV 1, (10) U 1 AQ P A = A = AQ P AV 1. 记 G = P U 1 AV 1 Q. 则有 T G T = P AQ P U 1 AV 1 Q P AQ = P AQ P U 1 U 1 AQ P AQ = P AQ P U 1 AQ = P AQ P AV 1 Q = P AQ = T. G T G = P U 1 AV 1 Q P AQ P U 1 AV 1 Q = P U 1 AV 1 Q P AQ P AV 1 V 1 Q = P U 1 AV 1 Q P AV 1 Q = P U 1 U 1 AQ P AV 1 Q = P U 1 AV 1 Q = G. T G = P AQ P U 1 AV 1 Q = P AQ P AV 1 V 1 Q = P AV 1 Q = P U 1 AQ = P U 2 AQ P AQ = P U 1 AV 1 Q P AQ = G T. 因此, T = G = P U 1 AV 1 Q. 根据 (10) 式, 也有非对称形式 : T = P U 2 AQ = P AV 2 Q. 则根据 (4) 和 (5) 式可以得到 U 1 和 V 1 的表达式. (iv)= (ii): 因为 T 存在, T T T = T 且有 T T M n,l (R) = T M n,l (R). 又因为 M k (R)A = M k,m (R)P A 和 AM l (R) = AQM n,l (R), 根据引理 2.1, (ii) 得证. 推论 2.1 给定 T = P AQ, 且 A M k,l (R) 是正则的, P M m,k (R) 且 Q M l,n (R), 则下列条件是等价的 :

则有 T G T = P AQ P U 1 AV 1 Q P AQ = P AQ P U 1 U 1 AQ P AQ = P AQ P U 1 AQ = P AQ P AV 1 Q = P AQ = T.

7 152 纯粹数学与应用数学第 29 卷 (i) Ū 是可逆的 ; (ii) AQ T P AM l,k (R) = AM l,k (R), M l,k (R)AQ T P A = M l,k (R)A; (iii) V 是可逆的 ; (iv) T 存在且 AM l (R) = AQM n,l (R), M k (R)A = M k,m (R)P A. 而且 T = P Ū 1 AQ = P A V 1 Q, (11) 其中 Ū 1 = AX + I k AA = AY AA + I k AA, (12) V 1 = A AXA + I l A A = Y A + I l A A, (13) AQ T P AX = AA, A A = Y AQ T P A. 推论 2.2 对于 T = P AQ, 其中 A M k,l (R) 是正则的, P M m,k (R) 且 Q M l,n (R), 如果存在 P M k,m (R) 和 Q M n,l (R) 满足 P P A = A = AQQ, 那么下列条件是等价的 : (i) T 存在 ; (ii) U 是可逆的 ; (iii) Ū 是可逆的 ; (iv) V 是可逆的 ; (v) V 是可逆的 ; (vi) 矩阵方程 AQ P AX = AA 和 Y AQ P A = A A 有解 ; (vii) 矩阵方程 AQ T P AX = AA 和 Y AQ T P A = A A 有解. 也可以设定 AQ = ˆQ, P A = ˆP 和 T = ˆP A ˆQ. 可以得到 : 定理 2.2 假定 A 是正则的, 且有 AA A = A, AM l (R) = ˆQM n,l (R), M k (R)A = M k,m (R) ˆP 和 U = ˆQ ˆP A + I k AA, V = A ˆQ ˆP + Il A A. 则, 下列两组条件分别是等价的 : (i) UM k (R) = M k (R), (ii) ˆQ ˆP M l,k (R) = AM l,k (R), (iii) V M l (R) = M l (R), (iv) T T M n,l (R) = T M n,l (R); (i ) M k (R)U = M k (R), (ii ) M l,k (R) ˆQ ˆP = M l,k (R)A, (iii ) M l (R)V = M l (R), (iv ) M k,m (R)T T = M k,m (R)T. 在这种情况下, 如果 T 存在, 则有 T = ˆP A U 1 AV 1 A ˆQ = ˆP V 2 A ˆQ = ˆP A U 2 ˆQ.

2 对于 T = P AQ, 其中 A M k,l (R) 是正则的, P M m,k (R) 且 Q M l,n (R), 如果存在 P M k,m (R) 和 Q M n,l (R) 满足 P P A = A = AQQ, 那么下列条件是等价的 : (i) T 存在 ; (ii) U 是可逆的 ; (iii) Ū 是可逆的 ; (iv) V

8 第 2 期章劲鸥 : 关于环上长方矩阵的加权群可逆性 153 若 m = n = l = k 且 = I n, 则定理 2.2 的结果就变成了文献 [3] 定理 2 的结果. 注 2 请注意由于在定理 2.1 中的第二个条件, 不涉及 A, 结果与 A 的选择无关. 换句话说, 如果 U 对于特殊 A 是可逆的, 那么对于任何 A 都是可逆的. 3 加权 {1,5}- 群逆这一节中, 讨论在任意环上的长方矩阵的加 - 权 {1, 5}- 逆. 对于 T M n,m (R), 如果 T 存在, 则 T {1, 5} =. 反之, 如果 T {1, 5} =, 那么 T T T 是 T 的加 - 权群逆. 因此, 可以得到以下结论. 定理 3.1 设 T M m,n (R). 则下面条件是等价的 : (i) T 存在 ; (ii) T {1, 5} =. 在这种情况下, 有 T = T T T. (14) 定理 3.2 设 T M m,n (R). 如果 T {1, 5} =, 那么 T {1, 5} = { T + (I m T T )X(I n T T ) X M m,n(r) }. (15) 证明记 G = T + (I m T T )X(I n T T ). 则因此, G T {1, 5}. T G T = T, T G = T T = T T = G T. 反之, 如果 G T {1, 5}, 给定 T 因为 T G = G T, T T T {1, 5}, 那么 G = T + G T T G T T. + T G T G T T = T 设定 X = G. 从 T T = T T, 可以得到因此 T + G T T T G T. T X(I n T T ) = (I m T T )X T = 0. G = G (I m T T )X T T T T X(I n T T ) = G + 2T T X T T X T T T T X = T + X X T T T T X + T = T + (I m T T )X(I n T T ). T X T T

反之, 如果 T {1, 5} =, 那么 T T T 是 T 的加 - 权群逆. 因此, 可以得到以下结论. 定理 3.1 设 T M m,n (R). 则下面条件是等价的 : (i) T 存在 ; (ii) T {1, 5} =. 在这种情况下, 有 T = T T T. (14) 定理 3.2 设 T M m,n (R).

9 154 纯粹数学与应用数学第 29 卷对于 T = P AQ, 其中 A M k,l (R) 是正则的, P M m,k (R) 和 Q M l,n (R), 可以得到下面结论. 推论 3.1 设 T = P AQ M m,n (R). 如果 T {1, 5} =, A M k,l (R) 是正则的且存在 P M k,m (R) 和 Q M n,l (R) 满足 P P A = A = AQQ, 那么 T {1, 5} = { P U 2 AQ + (I m P U 2 AQ T )X (I n T P U 2 AQ) X M m,n (R) }. (16) 值得注意的是, 上述结果同样适用于加法范畴中的态射. 如果 m = n 且 = I n, 则定理 3.1 和定理 3.2 的结果恰好是文献 [4] 中的定理 1 和定理 6 的结果. 参考文献 [1] Cline R E, Greville T N E. A Drazin inverse for rectangular matrices[j]. Linear Algebra Appl, 1980,29: [2] Gouveia M C, Puystjens R. About the group inverse and Moore-Penrose inverse of a product[j]. Linear Algebra Appl, 1991,150: [3] Hartwig R E, Puystjens R. The group inverse of a companion matrix[j]. Linear and Multilinear Algebra, 1997,43: [4] Cao Yongzhi, Zhu Ping. On Generalized Inverses of Morphisms with Universal Factorization[J]. Acta Mathematica Sinica, 2001,44(3): [5] 尹幼奇, 岑建苗. 环上矩阵的加权 Moore-Penrose 逆 [J]. 绍兴文理学院学报 : 自然科学版, 2005,25(7): [6] 张仕光, 刘晓冀. 环上矩阵的加权 Moore-Penrose 逆 [J]. 广西民族学院学报 : 自然科学版, 2006,12(1): On weighted group invertibility for rectangular matrices over an arbitrary ring Zhang Jinou (Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo , China) Abstract: The weighted group inverses of rectangular matrices and the weighted {1, 5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring are studied. Using Matrix decomposition method,first, the weighted group inverse of a rectangular matrix product P AQ for which there exist P and Q such that P P A = A = AQQ can be characterized and computed. Moreover, the expressions are given for the weighted {1, 5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring. This generalizes recent results obtained for the group inverse of square matricesand the weighted {1, 5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring. The results also apply to morphisms in (additive) categories. Key words: ring, rectangular matrix, von Neumann regular, weighted group inverse 2010 MSC: 15A09

(16) 值得注意的是, 上述结果同样适用于加法范畴中的态射. 如果 m = n 且 = I n, 则定理 3.1 和定理 3.2 的结果恰好是文献 [4] 中的定理 1 和定理 6 的结果. 参考文献 [1] Cline R E, Greville T N E.

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的 5 ( 一 ) 微积分学基本定理当函数的可积性问题告一段落, 并对定积分的性质有了足够的认识之后, 接着要来解决一个以前多次提到过的问题在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一变限积分与原函数的存在性设 f 在 [,] 上

第 2 期 章 劲 鸥 : 关 于 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 可 逆 性 147 在 文 献 [3] 中, 讨 论 了 任 意 带 有 单 位 元 环 上 的 正 则 方 阵 矩 阵 T 的 群 逆 T 的 性 质. 对 于 T = P AQ, 如 果 A 是 正 则 的, P A 与

第 2 期章劲鸥 : 关于环上长方矩阵的加权群可逆性 147 在文献 [3] 中, 讨论了任意带有单位元环上的正则方阵矩阵 T 的群逆 T 的性质. 对于 T = P AQ, 如果 A 是正则的, P A 与