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帅曳单
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1 梁之使用性及韌性 4- 前言自 97 年起 CI 規範將工作應力法更名為替代設計法, 並以強度設計法取代之現今 R.C 設計皆採強度設計法, 工作應力法似已無存在之必要, 但為何我們還要加以介紹, 其因在於 :. 結構物之設計除了須能抵抗外載重, 滿足強度上之要求外, 尚需滿足使用性之要求, 因此, 對於結構物在使用載重作用下, 所產生之撓度必需不會導致非主結構之受損, 除此之外, 在使用載重作用下, 構件可能產生之裂縫寬應避免過大, 以免滲漏而造成鋼筋生銹, 影響結構物使用年限. 工作應力法係以彈性理論為基礎, 考量結構物受力後維持在彈性範圍下之設計法, 瞭解工作應力法, 對整個 R.C 設計沿革, 會有較整體之認知 4- 工作應力設計一基本假設 ( 依規範之規定 ) 7

2 8 鋼筋混凝土. 斷面在撓曲前後, 平面仍維持平面, 不會因撓曲而產生翹曲現象, 即應變之小大與距中性軸之距離成正比. 在使用載重下, 容許應力範圍內, 混凝土應力與應變關係為一直線, 除深梁外, 應力之大小與距中性軸之距離成正比. 由於撓曲而生之拉應力, 全由鋼筋承受, 即不計混凝土之抗拉 4. 鋼筋與混凝土之彈性模數比 (n), 可用最相近整數, 但不得小於 6, 除用以計算撓度之 n 外, 輕質混凝土與一般混凝土強度相同時, 其彈性模數比 n 亦可假定相同規範建議之 n 值, 見表 4- 所示 5. 設計時, 拉力鋼筋可以相當之混凝土變換面積代替之, 混凝土變換面積應為 n 倍拉力鋼筋面積 6. 梁及版中如用拉力鋼筋及壓力鋼筋, 設計時須以 n 變換其壓力鋼筋面積, 惟鋼筋之容許壓應力不得大於容許拉應力 7. 其它有關工作應力之規定 : () 混凝土 (a) 容許撓曲壓應力 (b) 容許撓曲拉應力 ( 純混凝土牆或基腳 ) 0. 4 () 容許承壓應力 ( 全部面積承壓 ) 0. 0 () 鋼筋 (a) 容許拉應力 a 800 ~ 500 kg 400 kg / m / m 者, 者, a a 400 kg 700 kg / m / m 單向版跨度長小於.6 m 且鋼筋直徑小於 0 mm 者, a 0.5, 但 (b) 容許壓應力 a 00 kg / m a 螺箍壓構材, a 橫箍壓構材, a (0.4 ) 0.4 表 4- 常用 n 值 (kg/m )

3 第 4 章梁之使用性及韌性 9 n ( n 值不得小於 6)

4 40 鋼筋混凝土二轉換斷面法 (Tranormed Seion ehod) 又稱變形截面法由靜力學的觀念可知, 一均質且等厚度之材料, 其形心與重心, 必重合, 也就是說, 其形心與重心在同一位置上, 但如非均質材料, 就算等厚度, 但其形心與重心也不會重合以鋼筋混凝土梁斷面來說, 如視為混凝土 ( 內含粗細骨材水泥等等為非均質, 但我們將其視為單一材料 ) 與鋼筋二種材料, 為非均質, 但如以等量混凝土 (equivalen onree) 取代鋼筋, 則斷面變成單一材料, 再加上視混凝土為均質材料之假定, 則可知斷面之形心與重心重合, 此亦說明了中性軸必經斷面之重心欲以等量混凝土取代鋼筋, 該等量意指 :. 原鋼筋所能提供之抗拉力與等量混凝土所能提供之抗拉力必須相等. 原鋼筋受力後產生之應變, 其大小與等量混凝土受力後產生之應變相同如 : : 實際斷面之鋼筋斷面積 ; : 轉換斷面之等量混凝土面積 ; : 實際斷面之鋼筋應力 ; : 轉換斷面之等量混凝土應力由上述兩個條件, 得 Q E E E E E E n ( 彈性模數比 ) n n (4-) (4-) n 由式 (4-) 可知, 轉換成等量混凝土之面積為原鋼筋量之 n 倍, 另由式 (4-) 可知, 等量混凝土之拉應力為原鋼筋抗拉應力 ( 非降伏應力 ) 之倍本節闡述轉換斷面之觀念, 其最主要目的在於化成同一材料, 以 n

5 第 4 章梁之使用性及韌性 4 方便吾人求得形心位置 ( 即中性軸位置 ), 圖 4-(a) 為混凝土未開裂時之轉換斷面, 其中性軸距受壓外緣, 則

6 4 鋼筋混凝土 ( h ) ( b ) ( h ) b + ( n ) bh + ( n ) d bh + ( n ) ( d ) (4-) 對形心軸之慣性矩 I I g (omen o ineria o gro eion) b g [ + ( h ) ] + ( n ) ( d ) (4-4) 圖 4-(b) 所示為開裂後之轉換斷面, 其中性軸距受壓外緣對形心軸之慣性矩 ( b ) n ( d ) (4-5) I r (omen o ineria o raking ranormed eion) I r b + n ( d ) (4-6) 在材料力學中, 我們曾學過, 表撓曲應力, 為彎矩, 為 I 距中性軸之距離, I 為形心軸之慣性矩在 R.C 撓曲構件中, 當斷面所受之彎矩大小剛好使得拉力外緣之纖維所承受之撓曲拉應力, 大小等於混凝土之破裂模數 ( 即 r ) 時, 此彎矩稱為開裂彎矩, 此時, 斷面並無裂縫生成, 故 I I g, 此時開裂彎矩 r I g r (4-7) h d N. N. n b (a) ( n ) (b) 圖 4- 未開裂及開裂後轉換斷面

7 第 4 章梁之使用性及韌性 4 式中為開裂彎矩 ( kg - m) ; r 為破裂模數 ( ) (kg / m ) ; r I 為全斷面慣性矩 (m 4 ) ; g 為中性軸至受拉最外緣之距離 (m) 當構件承載工作載重, 而斷面承受工作彎矩之作用時, 如 r 時, 表示斷面未開裂, 慣性矩為 I g, 但當 > r 時, 斷面開裂, 其開裂程度隨之增加而增加, 通常取 r 時, 慣性矩為 I r, 當 r < < r 時之慣性矩, 稱為有效慣性矩, 以 I e 表之, 至於 Ie 之計算我們在撓度控制單元再介紹已知梁斷面尺寸, 梁寬 b 0 m, 梁深 60 m, 有效深度 d 50 m, 拉力筋量 #9, 0 kg / m, 求該斷面開裂前後之慣性矩 I g 及 I, r r 解 : (a) 求 I g 由式 (4-) 可求得未開裂 N. 位置, Q n 9 bh bh + ( n ) m 由式 (4-4) 可求得 + ( n ) + (9 ) (9 ) 6.45 d 0 kg / m I g b [ + ( h ) ] + ( n ) ( d ) 0 [.58 + (60.58) ] + (9 ) 6.45 (50.58) m 4 I r (b) 求由式 (4-5) 可求得開裂後 N. 位置

8 44 鋼筋混凝土 b n 由式 (4-6) 可求得 r I r ( d ) (50.58) 8.98 m b + n ( d ) ( ) 5948 m () 求混凝土之破裂模數 4 I r g 8.98 kg / m m 4 h m r r I g kg - m m O 斷面同例 4- 之梁, 如梁為簡支, 跨度情況下, 所能承受之最大均佈活載重? 4.8 m, 求該梁不產生開裂之解 : 梁自重 / m 使用載重 D L 工作彎矩 (0.4 + L ) l (0.4 + L ) 由前題知 r m L (0.4 + L ) / m L 6.09 O

9 第 4 章梁之使用性及韌性 45 三單筋梁之平衡鋼筋比 ( ρ e ) 工作應力法之平衡狀態與強度設計法不同, 其是指斷面之鋼筋與混凝土同時達到其容許應力時, 稱為平衡狀態圖 4- 平衡時, 鋼筋達容許應力 a, 混凝土達容許應力 a, 由內力圖力平衡 C T, 可得令 a a b ρ a kd, r 代入上式, 得另外, 由應變圖, 可得 e b a a a ρ bd d e a k ρ e (4-8) r Q e e E E a a E E a a d a e E kd d kd E E n, n k r k n k n + r, e k k a a E r a, kd 代入上式得 (4-9) 將式 (4-9), 代入式 (4-8), 得 n ρ e (4-0) r ( n + r)

10 46 鋼筋混凝土 d e a C N. a b d jd b e T b a b 應變圖圖 4- 內力圖平衡時之應變內力圖四單筋梁之應力分析及設計 ( 一 ) 分析當 ρ ρe 時, 斷面為鋼筋先達容許應力, 此時鋼筋應力 a, 混凝土應力 a, 同理, 當 ρ > ρe 時, 斷面為混凝土應力先達容許值, 此時, 鋼筋應力 < a, 混凝土應力 a 由圖 4- 之內力圖, 當 ρ ρe 時, 得 C b a T a a 對壓力作用點取力矩, 可得斷面所能抵抗之工作彎矩 a d (4-) b d ( d ) C a N. T b a a d (a) 梁斷面 (b) 轉換斷面 () 內力圖

11 第 4 章梁之使用性及韌性 47 圖 4- 單筋斷面之轉換斷面及內力圖

12 48 鋼筋混凝土此時混凝土之應力, 由力平衡得知為同理, 當 ρ > ρe 時, 得 C a a (4-) b a b T a 對拉力筋重心取力矩, 可得斷面所能抵抗之工作彎矩 ab d (4-) 此時鋼筋之應力, 由力平衡得知為分析步驟 :. 根據轉換斷面求 a b (4-4). 求 ρ 及 ρ e. 如 ρ ρe 則如 ρ > ρe 則 b n ( d ) a d, a b a b d, a b 梁斷面 b 0 m, h 54 m, d 46 m, 已知 #8, 50 kg / m, 400 kg / m 求 (a) 梁之開裂彎矩 r ;(b) 若斷面承受.5 - m 之彎矩作用, 其拉力筋所受之應力為何? 8 年二技解 : (a) Q 50 kg / m n 7

13 第 4 章梁之使用性及韌性 49 斷面未開裂時之轉換斷面, 其中性軸距受壓外緣, 由式 (4-) 得

14 50 鋼筋混凝土 bh + ( n ) d bh + ( n ) (7 ) m (7 ) 5.08 由式 (4-4) 得 I g r b [ + ( h ) ] + 0 [8.0 + ( m I g r ( 50) m ( n ) ( d ) 8.0) ] + (7 ) 5.08 (46 8.0) kg (54 8.0) - m (b) 斷面承受.5 -m 之彎矩作用, 該彎矩大於 r, 表示斷面已開裂, 故其中性軸距受壓外緣, 由式 (4-5) 得 (46 ) 求 ρ 及 4.88 m ρ e 5.08 ρ 0.0 bd 0 46 n ρe 0.08 r ( n + r) ρ < ρ e, 可知鋼筋應力先達容許值故知, 規範允許斷面所能承受之最大彎矩 a d kg - m m 但作用於斷面之彎矩為.5 -m>0.6 -m, 表示拉力筋所受應

15 第 4 章梁之使用性及韌性 5 力已超過規範允許上限值 a, 此雖為規範所不允許, 但仍可求其應力求拉力筋所受力應力在.5 -m 彎矩作用下, 對壓力作用點取力矩, 得 d 4.88 ( 5.08) kg / m O 梁斷面尺寸 b 0 m, d 50 m, # 7, 已知 0 kg / m, 800 kg / m, 求 (a) 該斷面所能承受之最大彎矩 ;(b) 若梁為簡支, 跨距 l 5. m, 梁上承受均佈活載重.8 /m, 如 h 57 m, 求混凝土及鋼筋之最大應力解 : (a) 求 b n ( d ) (50 ) 5.5 m 求 ρ 及 ρ e ρ bd n , ρe r ( n + r) Q ρ < ρ e, 鋼筋先達容許值, 故斷面所能承受之最大彎矩 a d kg - m m (b) 混凝土及鋼筋之最大應力必發生於最大彎矩處求梁自重 D / m

16 5 鋼筋混凝土求工作載重 D + L / m 求最大彎矩 ma l m 8 8 因為最大彎矩 7.9 -m 很接近規範所允許之彎矩 7.9 -m, 故可知在 7.9 -m 之彎矩作用下, 斷面已開裂, 故其中性軸距受壓外緣之距離, 由 (a) 小題求得為 5.5 m 對拉力筋重心取力矩, 得 kg / m b d < a kg / m (O.K) 對壓力作用點取力矩, 得 kg d / m < a kg / m (O.K) O ( 二 ) 設計單筋矩形斷面梁, 混凝土壓力區所能承受最大壓力為 C a a b 對拉力筋重心取力矩, 我們可以得到, 混凝土所能抵抗之最大彎矩為代入上式, 可得 Q Ca d k kd, j a b d akjbd (4-5) 當作用於斷面上之工作彎矩 > 時, 此表示混凝土之應力會大於規範允許值 a, 在此情形下, 可考慮加大壓力區受壓面積或添加壓力筋以使 a 但當時, 可確知 a, 此為單筋情形此時對壓力作用點取力矩可得

17 第 4 章梁之使用性及韌性 5 設計步驟 :. 求工作載重 a a jd. 求工作彎矩. 求設計常數 n a k, r, j k n + r a 4. 求混凝土所能抵抗之最大彎矩 akjbd 5. 如, 採單筋設計 jd ; 如 >, 採雙筋設計 6. 選排筋 a jd (4-6) 一簡支矩形斷面梁, 跨徑 l 6 m, 梁寬 b 0 m, 有效深度 d 5 m, 已知梁承受均佈靜載重 0.5 /m ( 含梁自重 ) 均佈活載重 /m, kg / m, kg / m, 試設計之解 : (a) 求工作載重 (b) 求工作彎矩 () 求設計常數 D + L / m m 8 l 8 Q r 0 kg a a / m n 9 n 9 k k 0.78, j n + r (d) 求混凝土所能抵抗之最大彎矩 akjbd (0.45 0) kg - m m

18 54 鋼筋混凝土 (e) Q < 採單筋設計 jd a m () 選排筋採用 -#7 ( ).9.76 m > 0.6 m (O.K) 提供 Chek b min [ ].6 m < 0 m (O.K) O 已知矩形斷面簡支梁, 跨徑 6 m, 於梁中點處承受一集中靜載重, 集中活載重, 如 kg / m, kg / m, 求 b d 及解 : (a) 求工作載重 (b) 求工作彎矩 () 求設計常數 P PD + PL + 5 P l m 4 4 r a a n 9 k 0. n + r k j (d) 求混凝土所能抵抗之最大彎矩 akjbd bd (e) 假設可採單筋設計 ) (.988 bd bd.988 bd m 取 d b 代入上式, 可得 b.75 m 取 b 5 m, 則 d 46. m 取 d 50 m Chek.988 bd m > (O.K) kg - m

19 第 4 章梁之使用性及韌性 55 () 求 jd a m (g) 選排筋採用 -#8 ( ) m > 9.9 m (O.K) 提供 Chek b min m < 5 m (O.K) O 五雙筋梁之應力分析及設計鋼筋混凝土梁的壓力區混凝土承受壓力作用, 會隨著時間之增加, 混凝土產生潛變, 此潛變所形成之壓力傳至壓力筋, 會使壓力筋的實際應力高出彈性分析 ( 不考慮潛變之影響 ) 所得之值, 且約為鋼筋起始應力 ( 受力初期由彈性分析求得之應力值 ) 的倍故規範規定, 須以 n 變換其壓力鋼筋面積, 惟鋼筋之容許壓應力不得大於容許拉應力是故, 如以表示壓力筋轉換成等值混凝土時, 該等值混凝土之應力, 則壓力筋之應力 n, 依前述規範之規定, 可知當 n a 時, 取 n n > a 時, 取 a N. (n ) d d d a d d a C a T n T b (a) 轉換斷面 (b) 轉換應力 () 內力圖圖 4-4 雙筋斷面轉換

20 56 鋼筋混凝土因此, 在 n a 時, 我們可採用轉換斷面法來求解中性軸的位置, 但當 n > 時, 則須藉由內力平衡之方式求解中性軸的位置 ( 一 ) 分析 a 在應力分析時, 我們可採之分析步驟為 :. 假設 n a, 則可採轉換斷面法求解中性軸位置由圖 4-4(a) 所示之轉換斷面, 假設受壓外緣至中軸之距離為, 則對中性軸面積一次矩和為零, 可得 b 解之, 即可求得值 + ( n ) ( d ) n ( d ) (4-7). 假設混凝土應力先達容許值, 由圖 4-4(b) 可求得拉力筋轉換成等值混凝土時, 該等值混凝土之應力 ( d ) a < n a (4-8) ( d ) a a (4-9) n. 式 (4-8) (4-9) 都符合, 則表步驟 () () 假設正確, 此時混凝土所允許承受之壓力 Ca ab 壓力筋所允許承受之壓力 T ( n ) 拉力筋所允許承受之拉力 T n 對拉力筋重心取力矩得 Chek C a + T T Ca d + T ( d d ) (4-0) 4. 如式 (4-8) 符合, 但式 (4-9) 不符合, 此表混凝土先達容許應力之假設正確, 但步驟 () 不正確, 則由力平衡求解中性軸位置 C a T ( a b n )

21 第 4 章梁之使用性及韌性 57 但規範規定 n > a 時, 以 a 代替 n, 故知

22 58 鋼筋混凝土 T (n ) ( ) T n 由力平衡 C a + T T, 可解得值 a Ca d + T ( d d ) 參見式 (4-0) 5. 如式 (4-8) 與式 (4-9) 皆不符合, 則 C b d T ( ) T a a n a b 由力平衡 C + T T 可解得值對拉力筋重心取力矩, 得 C d + T ( d d ) 設矩形斷面之梁如圖 4-5 所示, 受正彎矩作用, 已知 50 kg / m, 400 kg/m,. m, m, 在工作載重作用下, 使拉力筋達 0.5 時, 求其工作彎矩 8 年乙特 7 m 5 m 66 m 解 : (a) 假設 n, 由式 (4-7) 得 a ( 7) (66 ) m 圖 4-5 (b) 假設混凝土先達容許值, 由式 (4-8) 得 n a d 00 kg a / m ( a kg / m 為題目要求 )

23 第 4 章梁之使用性及韌性 59 < n a 假設正確, 混凝土先達容許值由式 (4-9) 得 ( d ) a 0.78 kg / m a kg /m ( a 700 kg / m n 7 <.4 kg / m 表 () 之假設正確 () 求工作彎矩 Ca ab kg T (n ) ( 7 ) kg T (0.5 ) ( 拉力筋達 kg 為題目之要求 ) 為規範規定 ) Chek C a + T T Ca d + T ( d d ) kg - m m O ( 二 ) 設計其設計基本理念是, 最先判斷能否採單筋設計, 不行才採雙筋設計, 設計步驟為 :. 求混凝土允許承受之最大彎矩 akjbd 如則可採單筋設計 jd. 如 < 則採雙筋設計根據雙力偶法, 將雙筋斷面拆解成單筋斷面與鋼筋兩部分, 如圖 4-6 所示, 其 +, +, 圖 4-6(b) 之單筋斷面, 其混凝土允許承受之最大彎矩 akjbd a

24 60 鋼筋混凝土 jd a

25 第 4 章梁之使用性及韌性 6 + (a) (b) () 圖 4-6 雙力偶法示意圖. 圖 4-6() 所示之鋼筋組合, 其須分擔之彎矩對壓力筋重心取力矩故知, 所求拉力筋量 a ( d d ) + + jd a a ( d d ) 4. 求壓力筋量由圖 4-6(b) 之轉換斷面, 求壓力筋所在位置處之混凝土應力如 n 則 a n > a 則 a (n ) ( d d ) ( a )( d d ) ( kd d ) kd 已知梁斷面尺寸 b 0 m, d 50 m, d 7 m, 0 kg / m, 800 kg / m, 如梁跨徑 l 5 m, 梁為簡支, 梁上承受均佈載重. /m ( 含自重 ), L.6 / m, 求所需鋼筋 D 解 : (a) 求工作載重 W D + L 4.8 / m (b) 求工作彎矩 l m

26 6 鋼筋混凝土 () 求混凝土允許承受之最大彎矩 akjbd

27 第 4 章梁之使用性及韌性 6 Q Q a n kg / m, k n + r k 0.78, j kg - m m < 故採雙筋設計 (d) 採雙力偶法由步驟 () 已知.7 - m (e) a m jd a m ( d d ) 故所需拉力筋量 () 求壓力筋量 - m m a( kd d ) 94.5( ) 59.5 kg /m kd n 07 kg / m < m (n ) ( d d ) ( 9 ) 59.5 (50 7) a 5 O 4- 撓度控制為滿足使用性之需求, 避免構件因撓度過大, 而使其上之非結構體受損或使使用者產生不安全之感覺, 故有進行撓度控制之必要規範規定, 鋼筋混凝土撓曲構材, 須有適當勁度以限制其撓度及變形, 使構造在使用載重時, 不致影響其強度及使用規範在撓度控制設計之規定有二 :. 採用最小厚度或深度之簡化方式控制撓度 ( 詳見表 4-), 如最小厚度或深度大於等於表 4- 之規定, 則表撓度沒問題, 如否, 則需採步驟

28 64 鋼筋混凝土, 做進一步之計算其撓度

29 第 4 章梁之使用性及韌性 65 表 4- 最小版厚或梁深 ( l 為跨度, 單位為 m) 構材類別簡支梁一端連續梁兩端連續梁懸臂梁單向版 l / 0 l / 4 l / 8 l / 0 梁或單向肋版 l / 6 l /8. 5 l / l / 8 說明 :. 單向版及梁之撓度, 除非先經計算證明較小厚度對結構無不良影響外, 其最小厚度或深度, 在構材上無隔間牆或其他建物足以產生較大撓度之限制下, 不得小於本表之規定. 表列只適用於混凝土單位重為. / m 之常重混凝土及 400 kg / m 之非預力構材, 如為輕質混凝土單位重 W.4 ~.9 / m 時, 表值須乘以修正因子 [( W ),.09] ma, 如 (0.4 + ) 7000 不等於 400 kg / m 時, 表值乘修正因子. 撓度計算 : () 依規範之規定, 即時撓度可依載重以通用彈性撓度公式計算之, 常用之撓度計算公式, 請參見圖 4-7 所示 () 混凝土之彈性模數請參見第章所述

30 66 鋼筋混凝土 EI m b 6 0 l Δ 中點時當 m l b () a l b 時當中點 b a EI b Pb Δ 48 ) 4 ( l (b) a Δ Δ / l l / EI l Δ (a) Δ P 圖 4-7 常用撓度計算公式

31 第 4 章梁之使用性及韌性 67 l Δ l B (d) l B Δ 5l Δ ( 48EI + 0 當, B 為固定端時 4 l Δ 8EI B l 4 l Δ中點 84 EI B ) (e) a l ( ) P b Δ Pl Δ (l a) 6EI 當 b 0 時 a l Pl Δ EI m l Δ ml Δ EI (g) Δ P Pl Δ 9EI l / l / (h) 圖 4-7 ( 續 )

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Microsoft Word - chap5.doc 第五章撓曲應力一撓曲應變一撓曲應變二斷面正應力三斷面慣性矩四斷面剪應力五剪力流六合成斷面的應力 ( 一 ) 撓曲應變的假設假設 :. 對稱直樑斷面至少有一對稱軸. 純彎矩彎曲斷面上僅有彎矩作用. 對稱彎曲彎矩指向垂直於對稱軸結果 : 樑受正彎矩作用時產生凹面向上的彎曲樑的頂部縮短, 底部伸長撓曲後斷面仍保持為平面, 無縐曲 ( 二 ) 中性軸與中性面曲面向上撓曲的直樑, 頂部的直線縮短,