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纣畸莘
7 years ago
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1 第六章靜定樑的位移一前言二雙重積公式三負荷微分方程式四重疊法一前言 ( 一 ) 撓曲曲線樑在受側向負荷時會產生變形 (deformation); 更精確稱為撓曲變形 (deflection) 因此會有垂直方向的位移(displacement) 樑變形後的曲線稱為撓曲曲線 (deflection curves) 或彈性曲線 (elastic curves) ( 二 ) 各種元件的變形曲線單元軸向力元件軸 ( 扭轉元件 ) 樑 ( 側向力元件 ) 斷面內力應變正向力 ; 貳 : 二扭矩 ; 參 : 一彎矩 ; 肆 : 二四 ( 一 ) 剪力五正應變 ; 貳剪應變 ; 參 : 一正應變 ; 伍 : 一三 :( 一 ) 應力張 ( 壓 ) 應力 ; 貳 : 二 ( 二 ) 扭剪應力參 : 二斷面正應力 ; 伍 : 二斷面剪應力 ; 伍 : 四變形伸長量 ; 貳 : 三扭轉角參 : 三位移 ; 陸 ( 二 ) 靜不定元件貳 : 四參 : 四柒

2 二雙重積分公式 ( 一 ) 公式由來由上一章得到撓曲時的曲率半徑 κ ρ 又從撓曲角公式得知所以 ρ v x M EI M EI 在許多教科書上都記為 EI y x M v x 或 EIy M 將此一公式經過兩次積分即可得到撓曲曲線, 故此公式稱連續 ( 雙重 ) 積分公式 (successive integration equations) 座標與符號規則在講義中樑的座標都採用第一象限, 且原點都在樑的左端 y x 若使用不同的座標系統公式的正負號將有不同 y EIy EIy M M EIy EIy M M x

3 ( 二 ) 雙重積分若 EI 為常數積分得 EIy M EIy Mdx + c dy 因為 y tan θ θ dx y 為彈性曲線的斜率, 亦即切線與水平線的夾角再度積分得 EIy Mdx + c x + c 所得函數 y 即為撓曲曲線方程式或稱位移方程式 ( 三 ) 邊界條件雙重積分公式有兩個常數, 必須有兩個邊界條件 ; 靜定樑的邊界條件如下. 簡支樑撓曲時在點無位移 y 在點無位移 y ( )

4 . 外伸樑. 懸臂樑 a b D 撓曲時 y a 在點位移為在點位移為 y ( a ) + 撓曲時 y 在點斜率為在點無位移 y

5 ( 四 ) 簡支樑的撓曲曲線例題求下列簡支樑的斷面剪力斷面彎矩方程式與分佈圖, 並求撓曲曲線的方程式與示意圖. a b 由靜力平衡求反力, 畫負荷分佈圖,再寫出負荷方程式 : R b ; R a 寫出負荷方程式 : 積分求斷面剪力方程式 R x x a q V R + x a 積分求斷面彎矩方程式 M Rx x a 由雙重積分公式得 EIy M 邊界條件 : y R x x a y R a b R 5

6 解微分方程式得 : EIy Rx x a + c EIy Rx x a c x + c y 代入邊界條件 : y c R ( a) + c 6 6 c a R 6 6 經整理得 : 位移方程式 : EIy b x 6 b x x a 6 斜率方程式 : [ ] b EIy x 6 b x a [ ( )] 6

7 Y 最大位移 : 在 y 處有最大位移若 a > b [ ] b x 6 b b x 代入位移方程式 : y max y b ( b ) b EI 9 此時在點的斜率為 ( b ) 6EI b y 此時在點的斜率為 y b 6EI b a ( a ) 6EI 負荷分佈圖 : ( ) R 斷面剪力分佈圖 : a b R R R a b 7

8 ( b ) b 6EI 位移圖斷面彎矩分佈圖 : b ab a b 斜率分佈圖 a b b a b ( a ) a 6EI ( b ) b 9 EI 特例負荷在簡支樑的中央 a b ( x x) EIy 8 x 8 EIy x 6 最大位移在 x x 8 此點位移為點的斜率為點斜率為 y max y 8EI y 6EI y 6EI 8

9 斷面彎矩分佈圖 : 例題求下列均勻負荷簡支樑的斷面剪力斷面彎矩方程式與分佈圖, 並求撓曲曲線的方程式與示意圖 q 斜率分佈圖 6EI 由靜力平衡求反力, 畫負荷分佈圖,再寫出負荷方程式 6EI R R q q 位移圖 R q R q 8EI 9

10 負荷方程式 : q R x q q x q 積分求斷面剪力方程式 V q + q x 積分求斷面彎矩方程式 M q x qx 由積分公式得 : EIy M q x 其邊界條件為 y y q x 解微分方程式得 q q x c + EIy 6 x EIy q x qx + c x + c 代入邊界條件得 y y c q q + c c q

11 代入整理得 q EIy x x + x q EIy x x + 6 在 y 時位移為最大 x 6x + x 此時 y max y 5q 8EI 在點的斜率為 q y EI 在點的斜率為 y q EI 負荷分佈圖 : R q 斷面剪力分佈圖 q 斷面彎矩分佈圖 q q 8 R q q

12 斜率分佈圖 : q EI 例題求下列簡支樑的斷面剪力斷面扭矩方程式與分佈圖, 並求撓曲曲線的方程式與示意圖 M 位移圖 q EI a b 由靜力平衡求反力, 畫負荷分佈圖,再寫出負荷方程式 : M M R ; R M 5q 8EI R a b R

13 負荷方程式 : M q x + M x a 積分求斷面剪力方程式 M V + M x a 積分求斷面彎矩方程式 M M x M x a 由積分公式得 : EIy M M x M x a 其邊界條件為 y y 解微分方程式得 M EIy x M x a + c M EIy x M x a 6 + c x + c 代入邊界條件 y c y 6 c M M a c + M M + 6 a

14 代入整理得 : M EIy x 6 x M x a a x M EIy ( x ) 6 M x a a [ ] [ ] 在點斜率 M M y + EI ( ) 6 EI a 在點的斜率 M M y EI EI a a [ ] 特例若 a,負荷在點 M EIy x 6 x 在 y 此時點斜率此時點的斜率 ( x ) M EIy 6 時有位移為最大 x x ymax y M - 9 EI y y M EI M 6EI

15 M 斜率分佈圖 M EI 負荷分佈圖 : M M 6EI R R 斷面剪力分佈圖 : 位移圖 M M 斷面彎矩分佈圖 : M M 9 EI 5

16 ( 五 ) 外伸樑的撓曲曲線例題求下列均勻負荷 q 與集中負荷外伸樑的斷面剪力斷面彎矩方程式與分佈圖,並求撓曲曲線的方程式與示意圖 q D 由靜力平衡求反力, 畫負荷分佈圖,再寫出負荷方程式 R R + q R q R D 負荷方程式 : q x + x q x + q x 5 + x 5 積分求斷面剪力方程式 V + x x + q x q x 5 x 積分求斷面彎矩方程式 M x + x q q x + x 5 + x 5 5 6

17 EIy M 由積分公式得 : x + x q q x + x 5 + x 其邊界條件 y y 5 解微分方程式得 : EIy x + x 8 8 q q x + x x + c 8 5 EIy x + x q q x + x 5 + x + c x + c 5 7

18 代入邊界條件得 : y + c + c y q 5 + c + c 連立解得 c c 7 8 代入得 EIy x + x 8 8 q q x + x x EIy x + x q q x + x x 7 x + 8 8

19 由於對稱而知在 x y max y + EI EI 時位移量為最大 EI EI 6 + EI 7 EI 在端點,D 的位移負荷分佈圖 : R 斷面剪力分佈圖 q R D D y y 8 EI 斷面彎矩分佈圖 D 9

20 ( 六 ) 懸臂樑的撓曲曲線例題求下列懸臂樑的斷面剪力斷面彎矩方程式與分佈圖, 並求撓曲曲線的方程式與示意圖 a b 由靜力平衡求反力, 畫負荷分佈圖,再寫出負荷方程式 : R + ; M a + R 負荷方程式 : q + x + a + x x a 積分求斷面剪力方程式 V + + a + x + x a 積分求斷面彎矩方程式 ( ) ( ) M + x a + + x a a b

21 由積分公式得 EIy M ( ) x ( a ) x a 其邊界條件為 y 解微分方程式得 y EIy ( + ) x ( a + ) x + x a + c EIy ( + ) x 6 ( a + ) x + x a 6 + c x + c 代入邊界條件 y y 位移方程式 : c c EIy ( + ) x 6 ( a + ) x + x a 6 斜率方程式 : EIy ( + ) x ( a + ) x + x a

22 特例 ; x x y EI 6 x x y EI 最大位移在自由端 ymax y 其斜率為 EI 負荷分佈圖 : R a b 斷面剪力分佈圖 : + 斷面彎矩分佈圖 : θ y EI a + b

23 例題斜率分佈圖求下列懸臂樑的斷面剪力斷面彎矩方程式與分佈圖, 並求撓曲曲線的方程式與示意圖 q 位移圖由靜力平衡求反力, 畫負荷分佈圖,再寫出負荷方程式並 : R q q ; M q M R

24 負荷方程式 : q q q x + x q q x x q x + 積分求斷面剪力方程式 q q V + x q q x x q x + + M 積分求斷面彎矩方程式 q q x q x q x q x + x 由積分公式得 : EIy M q q q x x 其邊界條件 : y y q x q x + 解微分方程式得 : q q q EIy x x x 8 6 q x q x + + c q q q EIy x x x 8 x q x 5 q x + + c x + c 6 6 5

25 代入邊界條件 y c y c 位移方程式 : EIy q q q x x x 8 q x 5 q x 斜率方程式 : q q q EIy x x x 8 6 q x q x + 5 特殊值 q y 9EI 且 x > 時 q q q EIy x x x 8 6 q x q x + y ( x ) - q 9EI y q 8EI 且 x > 時 EIy q q q x x x 8 q x 5 q x q q y( x ) x 8EI 9EI 5 5

26 負荷分佈圖 : q M 斜率分佈圖 R 斷面剪力分佈圖 : q 9EI 位移圖 q 斷面彎矩分佈圖 : q 6

27 三負荷積分方程式 ( 一 ) 公式由來由上節得到 : EIy M 若 EI 不是 x 的函數, 微分得 dm EIy V dx 若 EI 不是 x 的函數, 再微分得 dv EIy q x dx 因此得到負荷與位移的關係微分方程式 ( 二 ) 邊界條件負荷微分方程式為四階方程式, 必須有四個邊界條件 ; 靜定樑的邊界條件如下. 簡支樑撓曲時在端點不能承受彎矩 M y 在端點不能承受彎矩 M( ) 在點無位移 y 在點無位移 y ( ) y 7

28 . 外伸樑. 懸臂樑 a b D 撓曲時 M 在端點不能承受彎矩 y 在端點 D 不能承受彎矩 M( + a + b) 在點位移為 y ( a ) 在點位移為 y ( a ) y ( + a + b) + 撓曲時在點斜率為 y 在點無位移 y 在自由端不能承受彎矩 M( ) y 在自由端沒有剪力作用 V( ) y 8

29 ( 三 ) 應用負荷微分方程式例題求下列均勻負荷簡支樑的斷面剪力斷面彎矩方程式, 並求撓曲曲線的方程式由負荷微分方程式其邊界條件為 q EIy q x q y y y y 積分得再積分得 EIy M 再積分得 EIy V q x + c x + c q x + c EIy qx + cx + c x + c 6 再積分得 EIy qx + cx + cx 6 + c x + c 9

30 代入整理得代入邊界條件得 y c y c q y y 撓曲曲線方程式 : EIy c q q + c c q ( x x x) q + 斜率方程式 : ( x x ) q EIy + 6 彎矩方程式 M EIy ( x x) q 剪力方程式 : V EIy q q x 由剪力方程式求反力 : V V M M R R V R q V q R : M M

31 例題求下列集中彎矩負荷懸臂樑的斷面剪力斷面彎矩方程式, 並求撓曲曲線的方程式由負荷微分方程式其邊界條件為 M EIy q x y y M x y y 積分得再積分得 EIy M 再積分得 EIy V M x + c M x + c x + c EIy M x + cx + c x + c 再積分得 EIy M x + cx + cx 6 + c x + c

32 代入邊界條件得 y c y y c M c y c V EIy M x 由彎矩方程式求反力矩 : V M V M 代入整理得撓曲曲線方程式 : EIy M x 斜率方程式 : EIy M x 彎矩方程式 M EIy M x M : M R M M M 由剪力方程式求反力 : R V R M 剪力方程式 :

33 四重疊法重疊法適用於求樑之某一特定點的位移;且常用於求靜不定樑的反力方法簡單,但必須記憶一些常見負荷的基本公式 ( 一 ) 常用公式. 簡支樑中置集中負荷 θ θ 8EI δ max δ( ) θ θ 8EI 6EI 6EI

34 . 簡支樑均勻分佈負荷. 簡支樑旁置集中彎矩 q M θ θ θ δ max δ( ) θ θ 5q 8EI q EI q EI 5q 8EI δ max δ( ) θ θ M 9 EI M 6EI M EI θ M 9 EI

35 . 懸臂樑自由端有集中負荷. 懸臂樑自由端有集中彎矩 M EI M EI M δ max δ EI θ θ EI δ max δ M EI θ θ M EI 5

36 . 懸臂樑均勻分佈負荷 q q / q q Vx Mx x q 8EI q qx qx - 6 q qx M x qx - - q qx EIY -Mx qx - - qx qx q x ( 斜率 ) EIY ( 撓度 ) EIY + q x x > 8 δ max Y θ θ Y ' X > + x + q EI q 6EI 6

37 ( 二 ) 應用重疊法於懸臂樑例題求下列懸臂樑在點的位移 ( x) x x x x ( x) x x x 7

38 集中力產生的位移 } 彎矩產生的位移 } θ θ + θ c M ( ( )) x x x EI EI EI x x 集中力產生的位移 } 彎矩產生的位移 } δ δ + δ c M ( ( )) x x x EI EI EI x x 6 8

39 特殊值點在樑的中央 x θ δ - 8EI - 5 8EI 例題負荷不在自由端的懸臂樑求下列懸臂樑在點的位移 ; x x 點為自由端 x θ δ - EI - EI δ x x δ 9

40 x θ θ EI 點的位移 } 延長線產生的位移 } δ δ + δ x x + ( x) EI EI 點的斜率延長線長 6EI x 特殊值點在樑的中央 x θ δ ( x ) θ 8EI - 5 8EI 附和在自由端 x θ EI δ - EI 例題求下列懸臂樑在點的位移將兩個負荷分別考慮 : 點由產生的斜率 θ EI 8EI 點由產生的位移 δ EI EI 點由產生的斜率 θ θ 8EI

41 點由產生的位移點的位移 } 延長線產生的位移 } δ δ + δ ( ) ( ) + EI 8EI { 點的斜率延長線長 - 5 8EI 點由產生的斜率集中力產生的位移 } 彎矩產生的位移 } θ θ + θ M ( ( ) )( ) EI EI - 8EI 點由產生的位移集中力產生的位移 } 彎矩產生的位移 } δ δ + δ M ( ( ) )( ) EI 5-8EI EI

42 點由產生的斜率 θ - EI 點由產生的位移 δ 點斜率 - EI θ θ + θ - - 8EI EI 點斜率 θ θ + θ 點位移 - - 8EI 8EI δ δ + δ - EI - 5 8EI 點位移 δ δ + δ - 5 8EI - EI

43 特殊值點斜率 θ 點位移 5 8EI δ - 7 6EI 點斜率 θ - EI 點位移 δ - 7 8EI

44 ( 三 ) 應用重疊法求對稱簡支樑的位移例題求下列簡支樑最大的位移 / 8EI / / 8EI / / 5q / 8EI δ / EI 8EI δ / - 8EI θ θ EI ( )( ) EI

45 例題求下列簡支樑最大的位移 q q D / / / / / / q q + / / / ( ) q θ θ D 6EI q - 8EI D點的位移 } 延長線產生的位移 } δ δ + δ D q( ) q + ( ) 8EI 8 EI 點的斜率延長線長 - 7q 5 6 EI D 5

46 D D q + / / / θ θ D EI EI D點的位移 } 延長線產生的位移 } δ δ + δ D ( ) + ( ) EI EI 點的斜率延長線長 5 6 EI δ / / / ( ) ( q )( ) + EI q + EI 96EI δ δ + δ + δ EI 7q 5 5 EI 6 6 EI q + + EI 96EI 57q + EI EI 6

47 例題下圖所示之外伸樑, 求點的位移 q 將外伸樑在點分割成一簡支樑與一懸臂樑; 注意分割點上有斷面剪力 M M, 斷面剪力 R R 分別作用於左右斷面由靜力平衡得 : 做自由體圖, 求與點反力 R R q q q R +, R R q q R R i M R q + M M i M ; 因點無外力矩或反力矩作用 R 7

48 先考慮段, 分佈負荷與彎矩作用, 使點產生一斜率 θ ; 力產生的斜率 } 彎矩產生的斜率 } θ θ + θ ( ) q 6EI EI q 6EI EI θ 點因 θ 產生向上位移 δ ;但又由集中力作用產生向下位移斜率 θ } 產生的位移集中力產生的位移 } δ δ + δ q 6EI EI { EI 懸臂長 θ q EI EI 特殊值若 q θ 位移曲線示意圖 θ 8

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Microsoft Word - chap5.doc 第五章撓曲應力一撓曲應變一撓曲應變二斷面正應力三斷面慣性矩四斷面剪應力五剪力流六合成斷面的應力 ( 一 ) 撓曲應變的假設假設 :. 對稱直樑斷面至少有一對稱軸. 純彎矩彎曲斷面上僅有彎矩作用. 對稱彎曲彎矩指向垂直於對稱軸結果 : 樑受正彎矩作用時產生凹面向上的彎曲樑的頂部縮短, 底部伸長撓曲後斷面仍保持為平面, 無縐曲 ( 二 ) 中性軸與中性面曲面向上撓曲的直樑, 頂部的直線縮短,