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加革范
7 years ago
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1 產品在考慮有效期下之庫存模式之演算法研究蔣瑞祥稻江科技暨管理學院國際企業管理學系摘要此研究乃針對易腐產品的庫存模式作探討, 並透過搜尋演算法來界定過期產品的數量, 以評估有效期的影響庫存品除了會有退化的損耗以外, 過期而無法銷售也是一大損失故過期產品如何透過適當的排程或批量的控制來排除, 則是庫存模式中一項重要的課題研究中利用設置成本庫存成本退化成本過期成本及銷售損失等成本結構來探討可能的損失庫存的進出原則採取先進先出, 故文中利用搜尋演算法來計算連續的庫存模式中的過期產品量, 並決定最佳的批量生產週期及平均單位成本最後, 透過範例的說明, 可協助了解各項參數對模式的影響關鍵詞 : 庫存批量退化有效期 613 嘉義縣朴子市學府路二段 51 號 chiang.jh@msa.hinet.net Tel:

2 The study of algorithms for inventory model with expiration date Jui-Hsiang Chiang Department of International Business Administration, Toko University Abstract In this paper, we consider the expiration date for inventory model which takes the policy of first in first out. Besides the deterioration, items unsold until expiration date take a main part of cost in optimal lot size inventory model. According to the valid days, cases are discussed to evaluate the influence of expiration date. Possible losses include setup cost, holding cost, expired cost, deterioration cost and sell lost. The search algorithms are used to calculate the expired quantity. A numerical example is given to illustrate the implementation of the proposed mode. With the aid of the model, we can determine the optimal lot size, production cycle, average cost per unit time and a constructive policy to setup expiration date. Keywords: Inventory; lot sizing; deterioration; expiration date 47

3 壹簡介短有效期的產品, 例如牛奶與海鮮產品, 經常是容易腐壞的, 其在庫存模式中佔有其重要的地位在很多的生產情境中, 產品的產出率經常維持固定不變, 故在產銷期中, 生產的產品除了滿足需求外, 隨著時間的累積庫存量會逐漸增加當生產停止後, 客戶的需求則會由庫存來應付故產品的有效期如果不長, 可能的損失如 : 退化和過期等都可能導致欠撥的情行提早發生因為退化無法避免, 而過期卻可控制因此, 如何針對過期較敏感的產品的庫存加以控制以維持較低的平均成本, 並使得產品的生產更具經濟效益就有其複雜性及必要性而成本的結構亦需完整, 即除了銷售損失以外, 設置成本庫存成本退化成本及過期成本和它對總成本的影響都必須納入考量而本文的重點, 則是在探討上述問題的匹量問題 Mak (1982) 嘗試發展未充分供應訂單而欠撥的庫存系統的生產匹量模式, 其中庫存依尋指數退化的模式進行在此模式中, 利用逼近法來求取生產匹量和生產週期的最佳解 Raafat (1991) 等人針對 Mak 的退化生產 - 庫存模式提出平均總成本式的精確解, 並透過電腦的搜尋演算法以解得生產週期和庫存週期, 並和 Mak 的模式做一比較在既非完全欠撥也非完全損失訂單的假設下,Wee (1993) 針對退化且部分欠撥的產品提出一經濟生產策略的公式在他的文中, 需求欠撥的比例視為決策變數, 並透過解析解和數值解顯示其所建議的模式在範例中導致較低的成本當產品是高度易腐的且需求允許欠撥的情形下, 為了具生產成本效益,Abad (2000) 思考遵循指數退化的易腐產品及允許銷售損失下, 於有限的生產期間下發展數學模式來探討批量問題, 並証明此問題為一有限制式的非線性問題其凸性使問題的複雜性降低並保證可解得全域最佳解除此以外,Abad (2003a) 考慮與價格相當敏感的需求, 並將易腐產品的分析延伸至非易腐產品的領域 Abad (2003b) 則於下列二種促銷情況下, 研究持續一段時間的價格優惠 :(1) 產品零售時才適用折扣和 (2) 採購時才適用折扣 Bounkhel (2005) 等人則考慮兩種生產系統 : 在第一個模式中, 動態需求和退化率為時間和在庫量的一般函數 ; 第二個模式乃透過修正模式一使其更一般化他們使用最佳化控制理論 (Pontryagin maximum principle) 來處理需求與庫存水平相依並具以解出最佳的策略 Chen 和 Chen (2006) 建議一決策模式以解最佳生產匹量和排程, 而問題中考量以下因素 : 動態需求行銷規劃和產品退化等 Dye (2007) 等人則投入退化產品庫存模式的研究並首度針對此問題考慮兩個庫房 :(1) 自有庫房 -- 允許有缺貨, 和 (2) 租用庫房當訂單量超過自有庫房容量時使用, 並利用單位時間的最大利潤以決定租用時機 Hsu (2006) 等人則假設客戶的需求會隨著產品接近有效期而遞減以產品的有效期作為時程的規劃, 以發展季節型態需求的退化庫存模式 Hsu (2007) 等人進一步考慮不確定的前置期和可用的資本來發展針對會退化且有有效期限制的訂購策略, 來滿足有季節型態的需求 48

4 後續的文章結構如下 : 第二節描述假設和說明符號第三節說明庫存模式及所對應的微分方程控制方程式微分方程式的解和目標函數第四節則透過範例來說明模式的應用及各項參數對模式的影響結論及模式的應用價值則在最後一節呈現貳問題假設與符號說明針對欲建構的庫存模式, 我們採取下列一般常見的假設 : 1. 無限的規劃期 2. 固定的產出率 3. 指數函數的退化模式 4. 固定的需求率且小於產出率 5. 當庫存耗盡, 有部份需求欠撥 6. 生產週期內產品品質穩定 7. 考慮殘值後單位的退化成本已知 8. 沒有空間及預算的限制 9. 庫存採先進先出 10. 過期品在有效產品銷售完後處理以下乃是第三節模式推展所需的各項符號 : I(t) 時間 t 時的庫存水準 p 產品的產出率 ( 個 / 單位時間 ) d 產品的需求率 ( 個 / 單位時間 ) 損耗率 ( 假設為常數, 即屬指數退化 ) I(t) 時間 t 時的庫存損耗率 λ+γ 生產週期 (λ 和 Γ 為決策變數 ) β 產銷期的時距 ω 欠撥發生的時間點 ψ 過渡用的時距 c 每個產品的成本 c 1 c 2 每個生產週期的設置成本每個產品每單位時間的庫存成本 49

5 參庫存模式考慮欠撥的庫存模式在不考慮有效期的情況下, 含欠撥的庫存模式可以用圖 1 來說明 : 圖 1: 考慮欠撥的庫存模式由圖 1 可知, 當 t [0, β), 庫存以 p-d 的速率累積, 則庫存函數 I(t) 可以方程式 (1) 來表示 di + I = p d, I(0) = 0 (1) dt 則微分方程式 (1) 的解 (Wee, 1993) 為 : p d 當 t [0, β), It () = (1 e t ) (2) di 同理, 當 t [β,γ), I(t) 可表示為 + I = d, I(Γ) = 0 (3) dt 則微分方程式 (3) 的解 (Abad, 2003) 為 : d 當 t [β,γ), It () = ( e (Γ t) 1) (4) 假設當欠撥發生在 [Γ,Γ+ψ) 時段時, 顧客無法全數有耐心地等待, 故只有部份需求轉欠撥, 部份需求流失當 t [Γ,Γ+ψ), 納入欠撥的需求率只有 Bd 因此, It () = Bd, I( Γ ) = 0 (5) dt 當 t [Γ,Γ+ψ), 解方程式 (5) 可得 : It () = Bdt ( Γ ) (6) 當 t [Γ+ψ,Γ+λ), It () = p d, I( Γ+ λ) = 0 (7) dt 當 t [Γ+ψ,Γ+λ), 解方程式 (7) 可得 : I() t = ( p d)( t Γ ψ ) Bdψ (8) 50

6 已知 Γ 和 λ, 可解得 β 和 ψ 如下 : 在 t=β 時, 使方程式 (2)=(4), 可得 : ( ) p I β = d (1 e ) d β = ( e (Γ β ) 1) (9) 解方程式 (9) 求 β, 可得 : β 1 = β(γ) = ln(( p d + de Γ )/ p) (10) 在時間 Γ+ψ 的負的最大欠撥庫存為 I ( Γ + ψ ) = Bdψ (11) 因為 I( Γ+ ψ ) = Bdψ = ( p d)( Γ+ λ Γ ψ), 可解得 ψ = ( p d) λ (12) p (1 B) d 考慮有效期影響的欠撥庫存模式現在, 開始將有效期納入模式的發展中當 ω<γ, 意味著有庫存產品在 [0, Γ) 期間內有可能會過期因為欠撥發生於時間點 ω, 因此修正庫存模式如圖 2 所示 : I(t) 圖 2: 當 ω<γ 的欠撥庫存模式首先, 在已知 ω 下解 ψ, 然後再解 ω 步驟如下: ( 1) 先解 ψ 時間 Γ+ψ 的庫存為 I( Γ+ ψ ) = Bd( Γ+ ψ ω) (13) 因為 I( Γ+ ψ ) = Bd( Γ+ ψ ω) = ( p d)( Γ+ λ Γ ψ), 可得 ( p d) λ Bd( Γ ω) ψ = (14) p (1 B) d (2) 再解 ω 解 ω 將依下面二種情況來討論 : 因為產品的有效期只有 v 單位時間, 且庫存採先進先出 (FIFO) 檢視 β Γ 和 ν 的關聯性, 有可出現下列二種情況 : 情況 1: 假如 ν Γ, 則產品在 [0, Γ] 間的銷售都不會產生過期因此,ω=Γ 51

7 情況 2: 假如 β ν<γ, 則產品在 [0, β) 間不會產生過期, 但在 [β, Γ) 期間內的情形須進一步討論因為 β ν 且先進先出, 我們可以找到一時間點, 假設為 α, 使得 [0, β) 間的產品銷售是由 [0,α) 期間所生產的而在 β 的庫存量是由 [α, β) 間以生產率 p 的生產所逐漸累積而成的, 並用以滿足 [β, Γ) 間的需求因為方程式 (1) 的庫存累積率為 p-d, 為了有所區別, 此時段的庫存使用 I α (t) 來取代 I(t) 以區別庫存累積率 p-d 和 p 的差異 diα 當 t [ α, β), I α ( t ) 的微分方程式滿足 + Iα = p, Iα( α) = 0 (15) dt 微分方程式 (15) 的解為 : p 當 t [α,β), I () (1 ( t ) α t = e α ) (16) 令方程式 (16)=(4), 並代入 t = β, 可得 1 p+ d de( β) ln( ) β Γ α = (17) pe 因 α 是 β 的函數, 後續將使用 α 取代 α(β) 以簡化表示式因為 ν >β α, 透過下列演算法可求得 α 1 和 β 1, 其中 α<α 1 β 和 β<β 1 Γ( 見圖 3) 演算法 1: 步驟一 : α p 0, β, p 2, Min{ p 0 +v, Γ} p 3 步驟二 : 利用式子 Iα( p1) Iα( p0) = I( p2) I( p3) 來解 p 1 步驟三 : p 1 p 0, p 3 p 2, Min{ p 0 +v, Γ} p 3 步驟四 : 重覆步驟二直到 p 0 <β 且收斂或 p 0 =β, p 3 =Γ 步驟五 : p 0 α 1 若 β 1 =α 1 +ν 則滿足 Iα( α1) Iα( α) = I( β) I( β1) (18) α 1 和 β 1 代入方程式 (18) 可得 α1 = 1 peα de ( Γ v) ln( ) ( Γ β) p de (19) 情況 2-1: 當 β 1 =Γ, 則 [0, Γ) 間不會有過期的情形發生, 且 ω = Γ 情況 2-2: 當 β 1 =α 1 +ν<β+v< Γ, 生產止於 β 使得庫存中的產品在 β+v 後將變成過期品, 即 [0,Γ) 間會有過期發生進一步分析,[α 1,β) 間的時距等於 [β 1 =α 1 +ν, β+v) 間的時距且庫存採先進先出假設將 [α 1,β) 和 [β 1, β+v) 各 n 等分, 則 [α 1,β) 間的每一等分的產出將超過 [β 1, β+v) 間每一等分的的需求, 以致於會有過期產生為了方便過期量的計算, 暫時忽略先進先出的假設, 則存在一 α 1 <α 2 <β, 如圖 3 所示, 使得 52

8 Iα( β ) Iα( α2) = I( β1) I( β2) (20) I(t) 故 ω = β2 = β + v, 則總過期量為 I ( ω ) 圖 3:β ν<γ 下的欠撥庫存模式情況 2-3: 當 β 1 =α 1 +ν<γ β+v, 則 (1) 生產區間 [α 1,β) 大於等於需求區間 [β 1, Γ), 且 (2) p d 究其原因, 導因於指數退化才會使這二種情況同時發生透過搜尋演算法 (SP2), 可求得 α 2 且 α 1 α 2 <β 演算法 2: 步驟 1: Γ p 3, Γ-v p 0, β p 1 步驟 2: 透過 Iα( p1) Iα( p0) = I( p2) I( p3) 解 p 2 步驟 3: p 2 p 3, p 0 p 1, p 3 -v p 0 步驟 4: 重覆步驟 2 直到 α 1 <p 0 <β 且收斂或 p 0 =α 1, p 3 =β 1 步驟 5: p 0 α 2 若 α 2 =α 1, 則 ω =Γ 若 β>α 2 >α 1, 故過期量為 I( β1) I( β2) 則 ω 滿足 I( ω) = I( β1) I( β2) 目標函數在 [0,Γ+λ] 的庫存模式期間內, 包含下列各項成本 : 庫存成本 : w 2 0 () c I t dt (21) 欠撥成本 : 欠撥的期間 Γ+λ-ω 中, 平均欠撥量為 Bd( Γ + ψ ω) 個因此, 欠撥成本為 2 Bd( Γ+ ψ ω) c3 ( Γ + λ ω ) (22) 2 銷售損失成本 : 銷售損失量為 d(1 B)( Γ+ ψ ω) 個則對應的成本為 : cd 4 (1 B)( Γ+ ψ ω) (23) 過期成本 : 欠撥開始的時間點為 ω, 使得過期成本為 ci(ω) (24) 53

9 退化成本 : 假設產品退化後不具有殘值則總退化量為 pβ-dω I(ω) 個則退化成本為 :c(pβ-dω I(ω)) (25) 則在週期 [0, Γ+λ] 的總成本可表為 : F( Γ, λ) w Bd( Γ+ ψ ω) = c1+ c2 0 I() t dt+ c3 ( Γ+ λ ω) + c4d(1 B)( Γ+ ψ ω) 2 + c( pβ dω I( ω)) + ci( ω) (26) 因此, 此待解的問題可表示成 : F( Γ, λ) 最小化 Γ+ λ (27a) 限制式 Γ 0 (27b) λ 0 (27c) 肆範例以下的各項參數值 p=750 個 / 週 d=400 個 / 週 c=$20 / 個 c 1 =$1000/ 生產週期 c 2 = $2/ 個 / 週 c 3 =$4/ 個 / 週 c 4 =$10/ 個銷售損失 =0.3 B=0.7 和 v=0.5 週等將使用在本範例中, 以評估有效期的影響 Γ 和 λ 的最佳為解 Γ=0.883 和 λ =1.106 透過 Γ 和 λ 可解得 β=α 1 = β 1 =0.883 ψ=0.614 和 ω=0.883, 即 Γ ω 和 β 1 發生在同一點上而最大的庫存水平發生在時間點 β 且庫存量為 I(β)= , 而欠撥的最大庫存量為 I(Γ+ψ)= 因為 Γ=ω, 故過期量為 I(ω)=0.000( 即當 Γ 和 λ 為最佳值時, 產品過期的情形可避免 ), 產品因退化而損失的產量有 pβ-dω-i(ω)=21.655, 而最佳的生產匹量為 q=p(β+λ-ψ)= , 生產週期為 Γ+λ=1.989 伍結論本文中, 我們提出的庫存模式的生產週期依序涵蓋產銷期銷售期欠撥期及欠撥滿足期本模式的優點, 乃在於同時兼顧二種庫存可能的損耗 : 一為退化因素造成的, 一為超過有效期限造成的所考慮的成本包含有庫存成本欠撥成本銷售損失成本過期成本及退化成本等, 結構完整故可適用的產品總類較以往的研究寬廣透過本模式的建議, 產銷期可重新切割與調度, 以必免產品存放過久而超過有效期, 而必須面臨報廢的處置由範例中, 亦可觀察出最佳的生產匹量發生於無過期量處透過產銷期的重新排程, 空檔的時段對管理者而言, 除可投入第二產品的生產外, 亦可安排維護保養工作或歲修而不會影響整體訂單的滿足後續的研究, 將投入有效期較產銷期為短的庫存模式的建構因為 54

10 有效期特別短, 故可能換線的頻率會增加, 如何經確的切換產品線將是未來的研究重心與挑戰參考文獻 1. Abad, P. L. (2000). Optimal lot size for a perishable good under conditions of finite production and partial backordering and lost sale. Computers and Industrial Engineering, 38, Abad, P. L. (2003a). Optimal pricing and lot-sizing under conditions of perishability, finite production and partial backordering and lost sale. European Journal of Operational Research, 144, Abad, P. L. (2003b). Optimal price and lot size when the supplier offers a temporary price reduction over an interval. Computers & Operations Research, 30, Bounkhel, M., Tadj, L., & Benhadid, Y. (2005). Optimal control of a production system with inventory-level-dependent demand. Applied Mathematics E-Notes, 5, Chen, J. M. & Chen, L. T. (2006). Market-driven production lot-size and scheduling with finite capacity for a deteriorating item. Production Planning & Control, 17(1), Dye, C. Y., Ouyang L. Y., & Hsieh, T. P. (2007). Deterministic inventory model for deteriorating items with capacity constraint and time-proportional backlogging rate. European Journal of Operational Research, 178, Hsu, P. H., Wee, H. M. & Teng, H. M. (2006). Optimal lot sizing for deteriorating items with expiration date. Journal of Information and Optimization Sciences, 27(2), Hsu, P. H., Wee, H. M., Teng, H. M. (2007). Optimal Ordering Decision for deteriorating Items with Expiration Date and Uncertain Lead Time, Computers and Industrial Engineering, 52(4), Mak, K. L. (1982). A production lot size inventory model for deteriorating items. Computers and Industrial Engineering, 6, Raafat, F., Wolfe, P. & Eldin, H. (1991). An inventory model for deteriorating items. Computers and Industrial Engineering, 20, Wee, H. M. (1993). Economic production lot size model for deteriorating items with partial back-ordering. Computers and Industrial Engineering, 24,

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( ) ( ) * 22 2 29 2......................................... 2.2........................................ 3 3..................................... 3.2.............................. 3 2 4 2........................................