60 湖南科技大学学报 ( 自然科学版 ) 2014 年第 29 卷单周期信号较多, 而复杂的非周期信号相对较少. 在信号传输过程, 利用混沌信号作载体来隐藏需要传送的简单周期信号,

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1 1 第 29 卷第 3 期 2014 年 9 月湖南科技大学学报 ( 自然科学版 ) JournalofHunanUniversityofScience&Technology(NaturalScienceEdition) Vol.29No.3 Sept.2014 doi: /j.cnki 分数阶 L u 混沌系统的同步控制新方法研究 1 谭文, 罗健, 吕明阳, 陈敏 ( 湖南科技大学信息与电气工程学院, 湖南湘潭 ) 摘要 : 应用分数阶系统稳定性理论, 针对 L u 分数阶混沌系统, 设计了一种同步控制新方法. 仅在分数阶混沌响应系统中添加一个控制器, 便可使该系统之间达成有效同步. 为了提高通信系统的保密性, 实现复杂的非周期信息的安全传输, 基于混沌模拟通信技术, 将该方案应用到混沌掩盖保密通信中. 在接收端利用同步后的混沌信号进行去掩盖, 从而恢复出有用信息. 同时给出了理论分析与数值仿真结果. 关键词 : 分数阶混沌系统 ; 混沌同步 ; 保密通信 ;L u 混沌系统 ; 分数阶微分 ; 渐近稳定中图分类号 :TP13 文献标志码 :A 文章编号 : (2014) Anovelsynchronizationcontrolerforfractional orderl uchaoticsystem TANWen,LUOJian,LVMingyang,CHENMin (SchoolofInformationandElectricalEngineering,HunanUniversityofScienceandTechnology,Xiangtan411201,China) Abstract:Anewcontrolerdesignmethodwasproposedtosynchronizeaclasoffractional orderchaotic systemthroughthestabilitytheoryoffractionalcalculus.inordertomakeefectivesynchronizationbetweentwo fractionalordersystems,onesuitablecontrolerneedtobeaddedtothesystem only.inordertoimprovethe system ofcommunicationsecurityand theimplementation ofthesecuretransmision ofcomplexaperiodic information,theschemewasappliedtochaosmaskingsecurecommunicationbasedonchaoticcommunication technology.theusefulinformationwasproperlyrecoveredatthereceiverthroughchaosunmasking.finaly, numericalsimulationsaswelasthetheoreticalanalysiswereprovided. Keywords:fractionalorderchaoticsystem;chaossynchronization;securecommunication;L uchaotic system;fractionalcalculus;asymptoticalstability 混沌同步的概念与方法由 Pecora 和 Carol 提出之后 [1], 众多学者展开了对混沌的深入研究, 并提出了不同类型的同步控制策略 [2-6], 发现在分数阶系统同样存在混沌与超混沌现象. 因为分数阶系统更具普遍性和更大的密钥空间, 所以, 分数阶混沌系统的同步控制有很好的应用前景. 文献 [2-3] 采用滑模主动控制方法实现混沌同步, 文献 [4] 研究了一个超混沌系统特性, 发现阶数为 2.88 时便出现混沌现象.Arman 利用卡尔曼滤波器对分数阶混沌系统的同步通讯特性做了分析 [5] ;DENG 将分数阶同步控制应用于多媒体保密通讯 [6]. 虽然上述方法能够实现混沌系统之间的同步, 但是需要设计至少 2 个控制器, 导致系统更加复杂, 使用成本提高. 另据文献分析发现, 在保密通信中研究简收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金重点资助项目 ( ); 湖南省自然科学基金资助项目 (09J3117,14J3107,14J3108); 江苏省自然科学基金资助项目 (BK ); 教育部重点项目 (211118); 湖南省科技计划项目 (2013TZ2017,2013FJ3156, 2013GK3090,B11125); 湖南科技大学研究生创新基金项目 (S130022) 通信作者 : 谭文 (1968-), 男, 湖南益阳人, 博士, 教授, 主要从事智能控制与应用非线性混沌系统机理及其控制研究 @qq.com

仅在分数阶混沌响应系统中添加一个控制器, 便可使该系统之间达成有效同步. 为了提高通信系统的保密性, 实现复杂的非周期信息的安全传输, 基于混沌模拟通信技术, 将该方案应用到混沌掩盖保密通信中.

2 60 湖南科技大学学报 ( 自然科学版 ) 2014 年第 29 卷单周期信号较多, 而复杂的非周期信号相对较少. 在信号传输过程, 利用混沌信号作载体来隐藏需要传送的简单周期信号, 保密性低. 实际通讯中, 待发射的信号随机性强, 因此开展复杂非周期信号在混沌保密通信中的研究具有较好的理论意义与实际应用价值 [7-10]. 为此, 本文首先针对 L u 分数阶混沌系统, 仅在对应的响应系统中添加单个控制输入, 便可实现状态同步, 极大地节省了控制成本. 随后, 基于混沌隐藏技术, 对混沌保密通信方式进行了研究. 图 1. 明显地, 对于系统状态变量, 当特征值 λ 使 arg(λ) >qπ/2, 那么系统 (3) 便渐近稳定. 不难发现, 分数阶混沌系统与对应的整数阶混沌系统 X 1 =F(X 1 ). (8) 比较, 其稳定区间要大. 推论 1 若整数阶混沌系统是稳定的, 那么其对应的分数阶混沌系统渐近稳定. 1 分数阶微分描述及其逼近特性目前分数阶微分定义有几种, 本文利用经典的 Caputo 定义 [11] : D x(t)=jn- x (n) (t),>0. (1) 式中,n 为首个不小于的整数,J β 是 β 阶 Riemann-Liouvile 积分算子, 表述如下 : J β y(t)= Г(β) 1 t y(τ) 0 (t-τ) 1-βdτ. (2) 式中,Г( ) 为伽马函数,0<β 1. 若设所研究的分数阶系统为 d q X 1 dt =F(X 1). (3) q 式中,X 1 R n 1,F(X 1 ) = (f 1 (X 1 ),f 2 (X 1 ),, f n (X 1 )) T, 同时 q (0,1]. 设系统 (3) 为零, 即 F(X 1 )=0. (4) 则对应的响应系统为 d q X 2 dt =F(X 2)+u(t). (5) q 式中,X 2 R n 1,u(t) 为控制输入信号. 若系统 (3) 与系统 (4) 之间的误差为 e(t) = X 1 (t)-x 2 (t), 则误差系统表达式为 d q e dt q =F(X 1)-F(X 2 )-u(t). (6) Matignon 研究了分数阶系统稳定的充分必要条件 [12]. 其问题本质是将系统同步变换成误差系统的稳定性分析. 为便于后续分析, 先给出相关稳定性的定理. 引理 1 系统 (3) 渐近稳定, 当且仅当对任意特征值 λ, 均满足 arg(λ) >qπ/2. (7) 那么,q>2arctan( lm(λ) Re(λ) )/π 时, 系统 (3) 存在混沌现象. 阶次为 q 的分数阶系统, 其稳定区域见图 1 分数阶系统的稳定区域 2 分数阶 L u 混沌系统描述分数阶 L u 混沌系统可表述如下 : d x 1 dt =a(y 1 -x 1 ); d y 1 dt =-x 1z 1 +by 1 ; d z 1 dt =x 1y 1 -cz 1. (9) 式中,a=35,b=28,c=3; 若系统 (9) 右边均为零, 则计算出系统的 3 个平衡点为 S 0 =(0,0,0), S 1 =(9.1652,9.1652,28),S 2 =( , ,28). 对应的雅克比矩阵为 J= -z 28 -x. (10) y x -3 上述平衡点对应特征值如下,S 0 处 :λ 1 =35, λ 2 =-28,λ 3 =3;S 1 处 :λ 1 = ,λ 2 = i,λ 3 = i;S 2 处 :λ 1 = ,λ 2 = i,λ 3 = i. 根据引理 1 得知, 若 > 2arctan( /4.8768)/π 0.82, 也即 0.82 <<1 时, 分数阶 L u 混沌系统存在混沌现象. 图 2 呈现了 =0.9 时混沌吸引子相图, 很清楚可以看到该系统确实出现了混沌现象.

为此, 本文首先针对 L u 分数阶混沌系统, 仅在对应的响应系统中添加单个控制输入, 便可实现状态同步, 极大地节省了控制成本. 随后, 基于混沌隐藏技术, 对混沌保密通信方式进行了研究. 图 1.

3 第 3 期谭文, 等 : 分数阶 L u 混沌系统的同步控制新方法研究 61 图 2 分数阶混沌 Lü 系统的吸引子 (=0.9) 3 分数阶 L u 混沌系统同步为了实现系统同步, 接下来研究控制器的设计问题. 将系统 (9) 当作驱动系统, 其对应的响应系统为 d x 2 dt =a(y 2 -x 2 ); d y 2 dt =-x 2z 2 +by 2 +u 1 ; d z 2 dt =x 2y 2 -cz 2. (11) 式中,u 1 是输入信号. 目标是实现系统 (9) 和系统 (11) 之间的同步, 令系统误差为 { e 1 =x 1 -x 2 ; e 2 =y 1 -y 2 ; (12) e 3 =z 1 -z 2. 将式 (9) 和 (11) 代入式 (12), 则误差动态方程组为 d e 1 dt =a(e 2 -e 1 ); d e 2 dt =-z 1e 1 +be 2 -x 2 e 3 -u 1 ; d e 3 dt =-ce 3 +x 2 e 2 +y 1 e 1. 下面研究 3 种不同的控制信号作用情形. (13) u 1 =e 1 z 1 +x 2 e 3-2be 2. (14) 将式 (14) 代入式 (13), 有 : d e 1 dt =a(e 2 -e 1 ); d e 2 dt =-be 2; d e 3 dt =-ce 3 +x 2 e 2 +y 1 e 1. 而其相应的整数阶误差系统为 (15) de 1 dt =a(e 2 -e 1 ); de 2 dt =-be 2; de 3 dt =-ce 3 +x 2 e 2 +y 1 e 1. (16) 对系统 (16) 采用线性化处理, 得到雅克比矩阵为 -a a 0 A = 0 -b 0. (17) y 1 x 2 -c 显然, 矩阵 A 的特征根为 -a,-b,-c. 因为 a,b,c 取值均大于零, 特征根均小于零, 于是系统 (16) 稳定. 根据推论 1 得出, 分数阶误差系统 (15) 渐近稳定. 即当 t 时,e 1 (t),e 2 (t) 和 e 3 (t) 均趋近零,2 个分数阶 L u 混沌系统可以实现有效同步. u 1 =e 1 z 1 +x 2 e 3 -be 2. (18) 将式 (18) 代入式 (13), 得到误差系统 : d e 1 dt =a(e 2 -e 1 ); d e 2 dt =0; d e 3 dt =-ce 3 +x 2 e 2 +y 1 e 1. 其对应的整数阶误差系统为 de 1 dt =a(e 2 -e 1 ); de 2 dt =0; de 3 dt =-ce 3 +x 2 e 2 +y 1 e 1. (19) (20) 同样, 对系统 (20) 作线性化处理后, 其雅克比矩阵为 -a a 0 Α = (21) y 1 x 2 -c 此时, 矩阵特征根为 -a,0,-c. 该控制信号使系统产生了包含特征值为 0 的雅可比矩阵, 整数阶混沌系统 (20) 处于临界稳定状态. 由推论 1 无法判断对应分数阶误差系统 (19) 的稳定性. 但仿真实验过程发现, 在该控制输入作用下,2 个分数阶 L u 混沌系统同样实现了有效同步.

目标是实现系统 (9) 和系统 (11) 之间的同步, 令系统误差为 { e 1 =x 1 -x 2 ; e 2 =y 1 -y 2 ; (12) e 3 =z 1 -z 2.

4 湖南科技大学学报自然科学版４年第卷将式代入式得出分数阶误差系统其整数阶误差动态方程为图４系统与系统三相同步误差的时间响应４同步控制方法应用于保密通信采用前面类似方法处理得到式４的雅克比矩阵Ａ曲线根据混沌掩盖技术和通信原理将所设计方法运用到保密通信其原理框图如图所示这里为驱动系统的混沌信号是响应系统个特征显然矩阵Ａ的特征根为的混沌信号为待传送的有用信号ｍ为待传输信号和混沌信号的混合信号ｍｍｍ为去掩盖之后得到的有用信号值均小于其中一个特征值随时间而变化误差系统４稳定再根据推论可知其对应的分数阶误差系统稳定即个分数阶Ｌ混沌系统之间达到有效同步４仿真实验由于篇幅所限这里只对最后一种控制信号产生的结果进行分析实验过程取分数阶驱动系统的初始值为４相应的响应系统的初始值为同步实验结果如图和图４所示系统与系统在内图通信系统的混沌掩盖技术即可同步实验结果与理论分析相吻合实验过程中取随机信号作为有用传输信息以保证实施方案的通用性图是在发送端采用混沌信号作载体以此隐藏所要传送的信息不难发现通过混沌信号载波之后待发送的信号与原来比较截然不同达到了遮掩所要传送信息的目的有效提高通信系统的保密性在接受端利用混沌同步特后经过达成性解调出所传输的信息同步解调之后的信号ｍｍ准确再生了所要传送的信息从而在一定程度上改善了通信系图系统和系统的同步状态曲线统的保密性

仿真实验由于篇幅所限这里只对最后一种控制信号产生的结果进行分析实验过程取分数阶驱动系统的初始值为４相应的响应系统的初始值为同步实验结果如图和图４所示系统与系统在内图通信系统的混沌掩盖技术即可同步实验结果与理论分析相吻合实验过程中取随机信号作为有用传输信息以保证实施方案的通用性图

5 第期谭文等分数阶Ｌ混沌系统的同步控制新方法研究４ＷＸＬＨＳＳＳｗｍＪＰＬＡＡｍＫＢＫＦＮＰＡｍｍｍｍＫｍＪＣｍｍＮＳＮｍＳｍ４ＤＹＳＱＫＹＦＬｍｍｍ图混沌保密通讯结论ＪＩＣＣｍｍＣＳｍＸＸＨＧｊ提出了一类分数阶混沌系统控制器的新的设ｍｍｍＪ计方法运用单个控制信号便能完成混沌同步同ＥＵＲＡＳＩＰＪＡＳＰ时利用混沌时间序列对初始条件的敏感性以及它４的类噪声特性基于收发双方的混沌同步一定程ＺＡＡＡＲｑａｏ度提高通信系统的保密性给出的实验结果与理论分析是一致的而且该方法不仅适用于慢变信号ＣｍｍＮＳＮｍ的混沌保密通信而且在影像处理等领域有实际应用价值ｍｍｍＪＳｍＴＷＪＦＬＨＣＸＳｍ参考文献ＰＣＳｍＪ４４ＰＲｗｌＭｍｍＳＴＭｍｍＨＳＪＪＡＭｍ蒋逢灵分数阶混沌系统同步及其在保密通信中的应用Ｄ湘潭湖南科技大学ＣＭＬｍｗＱｍｍｍｑＪＡＪＰＡＧ４ＡｗＳＫＳＭＤＳＳＭＤＳｍｍｑｗＭＪＣＳＦ４ＬＦＩＭＡＣＳＩＥＥＥＳＭＣ

度提高通信系统的保密性给出的实验结果与理论分析是一致的而且该方法不仅适用于慢变信号ＣｍｍＮＳＮｍ的混沌保密通信而且在影像处理等领域有实际应用价值ｍｍｍＪＳｍＴＷＪＦＬＨＣＸＳｍ参考文献ＰＣＳｍＪ４４ＰＲｗｌＭｍｍ

5. 閱讀下文, 推斷內最適合填入的詞語依序為何? 人也真是一個絕字, 一邊向左, 一邊向右, 一副的樣子, 偏又相連著, 各說各話各走各路, 卻又人, 這麼一個簡單的字, 竟包含如此

5. 閱讀下文, 推斷內最適合填入的詞語依序為何? 人也真是一個絕字, 一邊向左, 一邊向右, 一副的樣子, 偏又相連著, 各說各話各走各路, 卻又人, 這麼一個簡單的字, 竟包含如此 103 學年度四技二專統一入學測驗國文試題一選擇題 ( 一 ) 綜合測驗 20 題 1. 下列各組內的字, 何者讀音不同? (A) 諮諏善道 / 渡大海, 入荒陬 (B) 傴僂提攜 / 嘔啞嘲哳難為聽 (C) 跫音不響 / 秋蟬兒噪罷寒蛩兒叫 (D) 形容枯槁 / 阿縞

60 湖 南 科 技 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 2014 年 第 29 卷 单 周 期 信 号 较 多, 而 复 杂 的 非 周 期 信 号 相 对 较 少. 在 信 号 传 输 过 程, 利 用 混 沌 信 号 作 载 体 来 隐 藏 需 要 传 送 的 简 单 周 期 信 号,

60 湖南科技大学学报 ( 自然科学版 ) 2014 年第 29 卷单周期信号较多, 而复杂的非周期信号相对较少. 在信号传输过程, 利用混沌信号作载体来隐藏需要传送的简单周期信号,