EM算法及其应用
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- 穰 羿
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1 EM 算法原理及其应用 罗维
2 大纲 基础知识 EM 算法应用举例 EM 算法及其证明 EM 算法的变种 2
3 EM 算法的名字由来 E 步 M 步 Expectation 期望 Maximization 最大化 EM(Expectation Maximization, 期望最大化 ) 算法 3
4 笼统的 EM 算法描述 Loop { E 步 : 求期望 (expectation) } M 步 : 求极大 (maximization) 什么函数关于什么分布的期望? 关于什么函数的最大化? 鸡生蛋, 蛋生鸡 4
5 When & What 1977 年由 Dempster 等人总结提出 一种优化算法框架, 用于含有隐变量 (hidden variable) 的概率模型参数的极大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE), 或极大后验概率估计 (Maximum A Posterior estimation, MAP) 5
6 [1] 机器学习十大算法 (ICDM2006) ( 英文 ) [2] 机器学习十大算法 (ICDM2006) ( 中文翻译 ) 6
7 涉及到的基本概念 无监督学习 生成式模型 隐变量 先验概率 后验概率 似然概率 7
8 无监督学习 无监督学习 : 样本没有标注 聚类 概率密度估计 变量说明 :X 表示样本 ( 标量 or 向量 ),y 表示标注 ( 标量 ) 方法 处理怎样的数据 模型举例 无监督学习 (X) k-means, HMM, GMM, plsa, LDA 有监督学习 (X, y) Naïve Bayes, NN, LR, ME, SVM, GBDT 半监督学习 (X) + (X, y) self-training, co-training, S3VM 强化学习 (action, state, award) Markov Decision Process(MDP) 8
9 生成式模型 生成式模型 带有一个故事 ( 称呼为生成故事 ) 方法对什么建模模型举例 生成式模型 P(X, y i ) Naïve Bayes, HMM, GMM, plsa, LDA 判别式模型 P(y i X) NN, LR, ME, SVM, GBDT 参考文献 : 9
10 隐变量 隐变量 (latent variable) 可能是建模时就带有隐变量, 也可能是为了求解方便而引入 含有隐变量, 通常的 MLE 估计 MAP 估计没法实施 模型 k-means HMM GMM topic model (E.g. plsa, LDA) IBM Model for Word Alignment 模型的隐变量是什么 样本所属的聚类中心点 隐含状态 (E.g. 词性 for 词性标注 ; 状态 for 其他序列标注模型 ) 样本所属的高斯分布 (Gaussian Distribution) topic 词语对齐 E.g. ( 布什与沙龙举行了会谈 ) (Bush held a meeting with Sharon) 10
11 先验概率 后验概率 似然概率 贝叶斯公式 X: 标量或者向量 Y: 标量或者向量 后验概率 似然概率 先验概率 11
12 涉及到的数学基础 凸集 (convex sets) 凸函数 (convex functions) Jensen 不等式 KL 距离 高斯分布 12
13 凸集 参考文献 : 13
14 凸函数 参考文献 : 14
15 Jensen 不等式 参考文献 : 15
16 KL 距离 KL 距离 又称 KL 散度 (Kullback Leibler divergence) 又称相对熵 (relative entropy) 2 个主要性质 非对称 :D(p(x) q(x)) 与 D(q(x) p(x)) 不一定相等 恒大于等于 0: 当且仅当 p(x)=q(x) 时, D(p(x) q(x)) = 0 参考文献 : 16
17 高斯分布 参考文献 :PRML 书的第 2.3 节 17
18 大纲 基础知识 EM 算法应用举例 EM 算法及其证明 EM 算法的变种 18
19 EM 算法应用 : 以 k-means 为例 一种聚类算法 当有数据集 {x 1, x 2, x 3,, x N } 时, 希望找到 K 个聚类中心点, 使得 最小 其中 : (1) r nk 是 1-of-K 编码的 K 维变量, 只有一个维度的值为 1, 其他维度的值为 0 表示节点 n 是否属于聚类 k (2) μ k 表示聚类 k 的中心点的向量 19
20 k-means 算法 目标函数有 2 类参数 r nk 和 μ k 要学习 算法流程 初始化 μ k Loop { E 步 } M 步 是一种坐标调参法 是一种 EM 算法 hard-em 20
21 k-means 算法 优点 方法简单, 易理解 缺点 局部最优解 计算量大 算法改进 k-means++: 效果优化 基于三角不等式的性能优化 基于 k-d 树的性能优化 21
22 EM 算法应用 : 以 GMM 为例 GMM: Gaussian Mixture Model 高斯混合模型 or 混合高斯模型 一种混合模型 一种概率密度估计模型 一种图模型 不但能做概率密度估计, 也可以做聚类 Soft-EM 算法 22
23 GMM 约束条件 : (1) (2) 引入隐变量 z,1-of-k 编码的 K 维向量 只有一个维度的值为 1, 其他维度的值为 0 23
24 GMM 计算条件概率 P(z x) ( 很重要的一个数 ) 优化目标函数 log-likelihood 24
25 EM for GMM 对 μ k 求偏导 对 Σ k 求偏导 对 π k 求偏导 进一步化简得到 其中 N k 是 25
26 EM for GMM 算法伪代码 26
27 EM for GMM 27
28 大纲 基础知识 EM 算法应用举例 EM 算法及其证明 EM 算法的变种 28
29 正经的 EM 算法陈述 以 EM for MLE 为例 鸡生蛋, 蛋生鸡 优化目标 ( 当 Z 为离散变量时 ) 变量说明 : X: 样本 Z: 隐变量 θ: 模型参数 {X, Z}: 完整数据 ;{X}: 不完整数据 P(X, Z θ) 好算 P(X θ) 不好算但 P(Z X, θ) 好算 29
30 30
31 EM 算法的收敛性证明 (1) 基于等式 P(X θ) = P(X, Z θ) / P(Z X, θ), 有 其中, 因为 KL(q p) 恒大于等于 0, 所以 L(q, θ) 是 ln P(X θ) 的下界 31
32 EM 算法的收敛性证明 (2) 假设当前轮 θ 的值为 θ old 固定 θ old, 寻找 q(z) 使得 L(q, θ old ) 最大 32
33 EM 算法的收敛性证明 (3) 为什么是 L(q, θ)? 将 q(z) = P(Z X, θ old ) 带入 L(q, θ) 表达式得到 伪代码中的 Q 函数 33
34 EM 算法的收敛性证明 (4) 固定 q(z), 寻找 θ new 使得 L(q, θ) 最大 34
35 EM 算法的效果示意图 35
36 思考 EM for PLSA? 隐变量 Z 表示主题 topic {D, W, Z} 表示完整数据 {D,W} 表示不完整数据 PLSA : Probabilistic Latent Semantic Analysis 概率潜在语义分析 36
37 EM for PLSA 参考文献 [1] Thomas Hofmann. Probabilistic Latent Semantic Analysis. UAI [2] 37
38 大纲 基础知识 EM 算法应用举例 EM 算法及其证明 EM 算法的变种 38
39 EM for MAP 极大后验概率估计 (Maximum A Posterior estimation, MAP) 优化目标 P(θ X) NOTE: 不同于 MLE 中的 P(X θ) 因为 P(θ X) = P(θ, X) / P(X), 所以有 ln P(θ X) = ln P(θ, X) - ln P(X), 继续展开有 ln P(X θ) 常量 P(θ) 是关于 θ 的先验分布 E 步不变,M 步加一项 ln P(θ) 后再求关于 θ 的最大值 39
40 Variational EM 当 E 步的 P(Z X, θ old ) 不好计算时 可以基于 KL 距离找个与 P(Z X, θ old ) 分布近似的 q(z) 来代替, 且 L(q, θ old ) 大于 L(q old, θ old ) 40
41 Generalization EM 当 M 步不能基于梯度直接给出新参数的解析解时 意味着 : 在 M 步, 还需要内嵌一个迭代算法计算 θ new 可以采用非线性优化算法 ( 比如共轭梯度法 ) 或者坐标调参法 Loop { E 步 : 求期望 (expectation) M 步 : 求极大 (maximization)loop { 计算 θ new_of_inner_loop } 得到 θ new } 41
42 Online EM Online learning vs batch learning Online EM vs batch EM 42
43 其他变种 融入 feature 后的 EM 算法 Taylor Berg-Kirkpatrick, et al. Painless Unsupervised Learning with Features. ACL
44 主要参考文献 Christopher M. Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning 李航. 统计学习方法 44
45 45 谢谢
误差建模
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第三章 對農企業法人取得農地使用權源
27 28 1 易 2 行 例 例 列 林 不 離. 路 冷 林 不 例 念 例 行 律 林 利 路 ( ) 林 ( ) ( ) 理 ( ) 29 30 3 參 31 32 33 4 利 利 利 類 略 略 例 列 六 34 5 便 35 6 理 度 年 行 91-1.5.3- -Q1(z) 理 36 7 力 切 力 ( ) 力 力 流 切 37 38 8 論 說 論 六 年 ( ) 六 六 年 論
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20 6 30 15 6 30 16 6 30 20 20 11 10 27
2 1 20 6 30 15 6 30 16 6 30 20 20 11 10 27 801-8511 050 (3530) 8380 http://www.customs.go.jp/moji/ http://www.customs.go.jp/ 1 4 10 5 7 11 8 6 6 3,180 2.1 6 4,533 29.5 5 4,157 18.4 4 5,732 23.1 9,023 1
02 1974 74 1983 162 1986 14 1979 75 1970 90 1977 69 443 1975 174 1967 10 11 1971 100 69 129 1986 226 129 1979 13 1990 381 1988 58 1986 24 20 30 50 1987 190 1989 158 159 42 1985 34 K.L. 1982 29 1987 39
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2005.7.21 KEK G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv 2+ + ds -
本讲要点
GCT GCT GCT p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q ( p q 1006 62701055 1 GCT 1006 62701055 2 GCT 1 2 3 1 / p q p q p q p q p q r 1006 62701055 3 GCT p q r p q r = + p q p q 2 p q p
3.1 ( ) (Expectation) (Conditional Mean) (Median) Previous Next
3-1: 3.1 ( )........... 2 3.1.1 (Expectation)........ 2 3.1.2............. 12 3.1.3 (Conditional Mean)..... 17 3.1.4 (Median)............ 22 Previous Next First Last Back Forward 1 1.. 2. ( ): ( ), 3.
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577 13681911 442 1019 1 120 107 155 60 1 4 8 1 4 209 1882 3 8 8 4 1 1987 154 18 1937 1983 1962 1978 1931 1933 1937 1979 1940 1941 1947 1948 1982 1985 1981 1984 6 20 1951 1981 5 IBM
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由社會發展趨勢探討國人睡眠品質
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从零构建支持向量机(SVM)
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北 京 科 技 大 学 学 生 手 册 ( 本 科 生 ) 学 生 工 作 部 ( 处 ) 二 〇 一 五 年 七 月 北 京 科 技 大 学 学 生 手 册 ( 本 科 生 ) 编 委 会 主 编 于 成 文 盛 佳 伟 编 委 ( 按 姓 氏 笔 画 排 序 ) 丁 煦 生 尹 兆 华 龙 洋 史 立 伟 曲 涛 刘 晓 东 杜 振 民 杨 雄 何 进 宋 波 张 卫 冬 张 卫 钢 张 文
桂林市劳动和社会保障局关于
桂 林 市 人 力 资 源 和 社 会 保 障 局 文 件 市 人 社 发 2012 60 号 桂 林 市 人 力 资 源 和 社 会 保 障 局 关 于 2012 年 秘 书 等 十 八 个 职 业 国 家 职 业 资 格 全 国 全 区 统 一 考 试 有 关 问 题 的 通 知 各 有 关 单 位 : 根 据 自 治 区 人 力 资 源 和 社 会 保 障 厅 关 于 做 好 2012 年 国
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南 工 (2015) 研 字 第 3 号 关 于 选 拔 2015 年 度 硕 博 连 读 研 究 生 的 通 知 各 有 关 学 院 : 为 适 应 我 国 构 建 社 会 主 义 和 谐 社 会 和 建 设 创 新 型 国 家 的 战 略 需 要, 加 快 拔 尖 创 新 人 才 的 培 养, 我 校 决 定 继 续 推 荐 和 选 拔 一 批 基 本 素 质 好 业 务 基 础 强 品 学 兼
年 6 月 29 日第 13 章深度生成模型 z y x (a) 带隐变量的生成模型 x (b) 带类别的生成模型 图 13.1 生成模型 13.1 概率生成模型 生成模型一般具有两个基本功能 : 密度估计和生成样本 密度估计给定一组数据 D = {x (i) },
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【第一类】
第 一 类 用 于 工 业 科 学 摄 影 农 业 园 艺 森 林 的 化 学 品, 未 加 工 人 造 合 成 树 脂, 未 加 工 塑 料 物 质, 肥 料, 灭 火 用 合 成 物, 淬 火 和 金 属 焊 接 用 制 剂, 保 存 食 品 用 化 学 品, 鞣 料, 工 业 用 粘 合 剂 [ 注 释 ] 本 类 主 要 包 括 用 于 工 业 科 学 和 农 业 的 化 学 制 品, 包
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所 内 要 闻 2016.03 免 费 测 水 随 着 生 活 水 平 的 提 高, 许 多 市 民 都 十 分 关 心 自 家 水 龙 头 里 流 出 的 自 来 水 是 否 洁 净 安 全 为 了 让 每 一 位 市 民 都 喝 上 放 心 水, 我 所 开 展 了 卫 生 监 督 协 管 员 生 活 饮 用 水 检 测 专 项 培 训, 这 标 志 着 我 所 针 对 全 市 所 有 乡 镇
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2019/4/29 1 补充 : 概率图及主题模型 2019/4/29 2 课程内容 第 1 章绪论 第 2 章布尔检索及倒排索引 第 3 章词项词典和倒排记录表 第 4 章索引构建和索引压缩 第 5 章向量模型及检索系统 第 6 章检索的评价 第 7 章相关反馈和查询扩展 第 8 章概率模型 第 9 章基于语言建模的检索模型 第 10 章文本分类 第 11 章文本聚类 补充 : 概率图及主题模型
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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Abstract To avoid the confusion of phonetic acoustic models between different languages is one of the most challenges in multilingual speech recogniti
以 狄 式 分 佈 為 基 礎 之 多 語 聲 學 模 型 拆 分 及 合 併 Multilingual Acoustic Model Splitting and Merging by Latent Dirichlet Allocation 葉 瑞 峰 Jui-Feng Yeh 國 立 嘉 義 大 學 資 訊 工 程 學 系 Department of Computer Science and Information
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hyshi@pku.edu.cn 2018 6 9 Content 1 PCA VS. RPCA 2 2 3 [1] star s1 star s2 star s3 algorithm s1 algorithm s2 stars, movie, song, MVP stars, award, eagle, two-time supergiant, constellation, aurigae hash,
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03-863-3531 E-mail jmwu@mail.ndhu.edu.tw /(1990/06-1994/06) (1988/06-1990/06) (1984/09-1988/06) / (1997/8) (1996/08-1997/07) () 1996 8 Associate Editor, International Journal of Neural Networks and Advanced
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00301127 MCMC I Target Tracking based on Laser Sensor Xulei Wang (School of Mathematical Sciences) Directed by Assistant Professor Jinshi Cui and Professor Hongbin Zha This paper describes a filter thought
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8 考研数学 ( 一 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 下列函数中, 在 处不可导的是 ( ) A. f ( ) si B. f ( ) si C. f ( ) cos D. f ( ) cos 答案 :(D) 解析 : 方法一 : f( ) f() si
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