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密钱
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1 三微扰计算 : 考虑长度 L=Na 的一维晶体 ħ dd yy m ddxx + U x ψψ xx = Eψψ(xx) 周期性势场 : U(x)=U(x+ a) a 为晶格常数因其周期性, 可作 Fourier 展开 : U x = U + UU nn exp(i ππππππ aa ) nn 其中 U = 1 LL LL UU x dx = U 势能平均值 U 视为常数 U = 1 LL LL UU x exp( i ππππππ aa )dx 根据近自由电子模型,U n 为微小量电子势能为实数,U(x)=U*(x), 得 Un*=U -n

2 1. 非简并微扰 Hψψ = E(k)ψψ 这里, 单电子哈密顿量为 : 零级近似 dd HH = ħ m ddxx + U x = ħ dd m ddxx + U + nn UU nn exp i ππππππ aa dd ddxx + U HH = ħ m 代表周期势场的起伏作为微扰项处理 HH = UU nn exp nn i ππππππ aa = H + H

3 分别对电子能量 E(k) 和波函数 ψ(k) 展开 E k = E () + E (1) + E () + ψψ k = ψψ () + ψψ (1) + ψψ () + 将以上各展开式代入 Scrödinger 方程中, 得零级近似 HH ψψ () = E () ψψ () 一级近似 HH ψψ (1) + HH ψψ () = E () ψψ (1) +E (1) ψψ () 二级近似 HH ψψ () + HH ψψ (1) = E () ψψ () +E (1) ψψ (1) + E () ψψ () 零级近似方程 HH ψψ () = E () ψψ () 能量本征值 :( 令 U =) () ħ E = m + U = ħ m

4 一级近似相应的波函数 : ψψ () = 1LL eeiiiiii 正交归一性 LL ψψ k ψψ dx = = δ k 一级微扰方程 (1) () () (1) (1) () HH ψψ + HHHHH = E ψψ +E ψψ 令代入上式 ψψ (1) = ll aa ll (1) ψψll () (1) () () aa ll EEll ψψll + H () () (1) () () () ψψ = EE aa ll ψψll + EE ψψ ll ll 两边同左乘 Ψ ()* k 并利用本征函数正交归一性积分得 (1) () aa EE + () (1) (1) Hk k = EE aa + EE δδk k 其中 LL H k k = ψψ k HH ψψ dx = HH

5 当 k = k 时 aa 1 EE + H k k (1) E = H LL (1) 1 E = L ee ikx 或者 LL = EE aa 1 + EE 1 δδ k k LL = ψψ HH ψψ dx = HH nn UU nn exp i ππππππ aa ee ikx dx = (1) 1 E = L ee ikx (U U )ee ikx dx = 1 L Udx U = U U = 即 : 能量的一级近似为 LL

6 当 k k 时, aa 1 EE + H k k ψψ 1 = EE aa 1 + EE 1 δδ k k (1) H a = k k EE EE = H k k EE EE ψψ 由于一级微扰能量 E k (1) =, 所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量, 方法同上

7 补充 : 按照量子力学一般微扰理论的结果, 本征值的一二级修正项为 : (1) E k = UU () UU E k = EE k EE 波函数的一级修正为 : ψψ 1 UU = EE EE ψψ

8 二级近似令 ψψ () = ll aa ll () ψψll () 代入二级微扰方程中可求得二级微扰能量 : 这里 HHH LL = = 1 LL EE () = k k ψψ k HH ψψ dddd = k HH k = 1 LL LL UU nn exp i k k ππππ aa nn HHH () () EE EEk LL ee ik x x dddd nn = UUUU 当 k = k + πn/a 当 k k + πn/a UU nn exp i ππππππ aa ee iiiiii dddd

9 当 k = k + πn/a, 于是求得电子能量为, () () π E = E + E = m + k k = π m + nn π mm UUUU π HH () () EE Ek ( + πn/a) 电子波函数为 () (1) () HH ψψ = ψψ + ψψ = ψψ + () () k k EE ψψ () k Ek = 1 mmuu nn exp(iiiiinx/a) LL eeiiiiii 1 + nn π ( + πn/a) π

10 ψψ = e iiiiii uu (xx) 其中 uu (xx) 1 LL 1 + mmuu nn exp(iiiiinx/a) nn π ( + πn/a) π 容易证明 u k (x)= u k (x+a), 是以 a 为周期的周期函数可见, 将势能随位置变化的部分当作微扰而求出的近似波函数的确满足 Bloc 定理这种波函数由两部分组成 : 第一部分是波数为 k 的行进平面波 1LL eeiiiiii 第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波因子 1 mmuu nn LL π ( + πn/a) π 是波数为 k =k+πn/a 的散射波的振幅

11 在一般情况下, 由各原子产生的散射波的位相各不相同, 因而彼此相互抵消, 周期场对行进平面波的影响不大, 散射波中各成分的振幅均较小, 可以用微扰法处理但是, 如果由相邻原子所产生的散射波 ( 即反射波 ) 成分有相同的位相, 如行进平面波的波长 λ=π/ k 正好满足条件 a=n λ 时, 相邻两原子的反射波就会有相同的位相, 它们将相互加强, 从而使行进的平面波受到很大干涉这时, 周期场的影响就不能当作微扰了当 () () () E = Ek = E+πn/a 即 π ( + πn/a) m = π m 散射波中, 这种成分的振幅变得无限大, 一级修正项太大, 非简并微扰不适用了由上式可求得 k = nπ 或 n λ = a a 这实际上是 Bragg 反射条件 a sinθ=nλ 在正入射情况 ( sinθ=1 ) 的结果

12 . 简并微扰当非简并微扰已不适用 ħ () () () E = Ek = E+πn/a m = ħ ( + πn/a) m = ( + πn/a) = ( + G nn )

13 这正是布里渊区边界方程也就是说, 在布里渊区边界上 k = nπ = k nπ a a = nπ a 这时, 这两个态的能量相等, 为简并态必须用简并微扰来处理可以认为 ψψ () = 1LL eeiiiiii () ψψ = 1LL eeii xx 互为行进波和反射波, 因此零级近似的波函数是这两个波的线性组合实际上, 在 k 和 k 接近布里渊区边界时, 即 = nπ a (1 ΔΔ) = nnnn a (1 + ΔΔ)

14 ΔΔ 1 时, 散射波已经相当强了, 因此, 零级近似的波函数也必须写成必须写成 ψψ () () () = Aψψ + Bψψ = A 1LL eeiiiiii + B 1 LL eeii xx

15 代入 Scrödinger 方程 H + H ψψ = Eψψ () H + H Aψψ + Bψψ = E Aψψ + Bψψ 利用 H ψψ = E ψψ,h ψψ k = E k ψψ k 得 A E E H ψψ + B E E H ψψ =

16 上式分别左乘 ψ k () * 或 ψ k () *, 并利用本征函数的正交归一性, 积分得由于当 EE E A H BB = H AA + EE E BB = H = k HH k = Un H = k HH k k = k + π a nn 时 = k HH k = Un EE E A U nn BB = U nn AA + EE E BB =

17 方程组由非零解的条件, 即久期方程为 EE E U nn 解得 = U nn EE E E ± = 1 E + E ± E E + 4 UUUU 这里 E = E = π m = π m = π m π m nπ a nπ a (1 ΔΔ) (1 + ΔΔ)

18 (1) E E UUUU 这表示 k 和 k 离布里渊区边界还较远, 因而 k 态和 k 态的能量还有较大的差别, 这时将上式作 Taylor 展开得 :( 设 ΔΔ > ) EE + E UUUU + E E EE E UUUU E E 对应于 E < E 的情况, 上式的结果与前面所讨论的非简并微扰计算的结果相似, 只不过当行进波为 k 态时, 在所产生的散射波中只保留了 k 态的影响 ; 而当行进波为 k 态时, 只保留了 k 态的影响即只考虑 k 和 k 在微扰中的相互影响, 而将影响小的其他散射波忽略不计了影响的结果是使原来能量较高的 k 态能量升高, 而能量较低的 k 态的能量降低, 即微扰的结果使 k 态和 k 态的能量差进一步加大 ( 能级间的排斥作用 )

19 () E E UUUU 这表示 k 和 k 很接近布里渊区边界的情况, 将 E ± 展开得 E ± 1 E + E ± UUUU + E E 4 UUUU 由 E π nπ = (1 ΔΔ) = Tn(1 ΔΔ) m a E π nπ = (1 + ΔΔ) = Tn(1 + ΔΔ) m a

20 其中 π nπ Tn = m a 为在布里渊区边界处 k = nπ 自由电子的动能得 a EE + = Tn + UUUU + ΔΔ TTTT EE = Tn UUUU ΔΔ TTTT TTTT UUUU + 1 TTTT UUUU 1 以上的结果表明, 两个相互影响的态 k 和 k, 微扰后的能量分别为 E+ 和 E-, 当 Δ > 时, k 态的能量比 k 态高, 微扰后使 k 态的能量升高, 而 k 态的能量降低当 Δ 时,E± 分别以抛物线的方式趋于 Tn± Un

21 对于 Δ<, k 态的能量比 k 态高, 微扰的结果使 k 态的能量升高, 而 k 态的能量降低从以上的分析说明, 由于周期场的微扰,E(k) 函数将在布里渊区边界 k=±nπ/a 处出现不连续, 能量的突变为 Eg = E + E = UUUU 这个能量突变称为能隙, 即禁带宽度, 这是周期场作用的结果而在离布里渊区边界较远处, 电子的能量近似等于自由电子的能量, 且是 k 的连续函数, 这时周期场对电子运动的影响很小, 电子的运动性质与自由电子基本相同

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nanobelt-superlattice-7.doc 第五章能带理论能带论是目前研究固体中的电子状态, 说明固体性质最重要的理论基础它的出现是量子力学与量子统计在固体中应用最直接最重要的结果能带论不但成功地解决了经典电子论和 Sommerfeld 自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问题, 而且成为解释所有晶体性质 ( 包括半导体绝缘体等 ) 的理论基础固体物理中这个最重要的理论是一个青年人首先提出的, 198 年 3 岁的 Bloch