幻灯片 1

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徘充
5 years ago
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1 4.5 晶体能带的对称性晶体具有对称性, 因而晶体中电子的运动状态也会具有对称性, 所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有对称性, 了解了这种对称性, 对于我们理解能带性质简化要处理的问题会很有帮助比如在计算和绘制空间的能带图时, 就可以充分利用其对称性质简化计算晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性, 它们都会反映到本征能量的对称性上晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同, 我们可以参照理解

2 一平移对称性 E G h E Bloch 定理一节中曾指出简约波矢表示原胞之间电子波函数位相的变化如果改变一个倒格矢量, 它们所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的, 也就是说和 +G h 是等价的从这点出发我们也可认为 E 是空间的周期函数, 其周期等于倒格矢简约波矢的取值范围就是倒易空间的 Wige-Seitz 原胞, 即第一布里渊区内我们利用这种平移对称性可以将第二 Billoui 区的每一块各自平移一个倒格矢而与第一 Billoui 区重合同理, 更高的 Billoui 区也可通过适当的平移与第一区重合, 因此我们可以把注意力仅限制在第一区内, 它包含了晶体能带的所有必要信息应特别注意, 这个表达式只是对同一能带才正确

3 E 函数的三种图象在空间中, 电子能量 E 函数有三种不同的表示方式, 称为三种布里渊区图象这三种表示方法是等价的, 可根据所考虑问题的方便选择不同的表示方法若波矢量在整个空间中取值, 这时每一个布里渊区中有一个能带, 第个能带在第个布里渊区中, 这种表示法称为扩展的布里渊区图象 Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ

4 若将波矢量限制在简约区中, 由于和 +G l 所对应的平移算符本征值相同, 也就是说, 和 +G l 标志的原胞间电子波函数的位相变化相同在这个意义上, 可以认为和 +G l 是等价的因此, 可以将限制在简约区中但是由于电子的能量分为若干个能带, 如将所有能带都表示在简约区中, 那么, 对于一个简约波矢, 就有若干个分立的能量值与之对应我们用来区分不同的能带 E 对于给定的能带, E 是的连续函数 E 的这种表示法称为简约布里渊区图象 Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ

5 实际上, 由于我们认为和 +G l 等价, 因而, E 的简约布里渊区图象中的第个能带, 实际上是由扩展布里渊区图象中从第个布里渊区中平移一个倒格矢 G l 而得来的由于认为和 +G l 等价, 因而可以认为 E 是空间中以倒格矢 G l 为周期的周期函数, 即 E = E + G l 而简约布里渊区是倒易空间的原胞, 以此原胞为重复单元进行平移操作可以得到整个空间, 这些单元都是等价的因此, 对于同一能带有 : E = E + G l E 的这种表示法称为周期布里渊区图象

7 扩展布里渊区简约布里渊区

8 二晶格点群对称性 E E 为晶体所属点群的任一点对称操作该式表明能带与晶格有相同的对称性证明 : 设为晶体哈密顿量的本征函数, 本征值为 E : Hˆ E 由于晶体在所属点群操作 Tα 下保持不变引入点群对称操作 Tα, 对任意函数 f 有 : T f f 1 相当于改变了坐标系

9 首先证明, 点群对称操作与 Hailtoia 对易 H V T 2 1 H V 1 1 HT V T T H HT

10 因为 Tα 与 H 对易, 若 ψ 是晶体薛定谔方程的解, 则 Tψ 也是方程的解, 并且与 ψ 有相同的能量本征值证明 : H E T H T E H T ET

11 设为晶体哈密顿量的本征函数, 本征值为 E 由于晶体在所属点群操作下保持不变, 则点群操作作用于本征函数的结果, ˆ E H i u e ', 1 1 i i u e u e T 1 α 是正交变换, 不改变两个矢量的点积大小 B A B A B A B A B A B A 1 1 1

12 即 Tα 作用于 Bloch 波函数的结果是把简约布里渊区的点变换到了 α 点即 -1 和所对应的能量本征值相等, 即有 : E E 点群操作下, 波函数的对称性 ', i u e T 一般情况下 : 在布里渊区的对称点或对称轴上有或 G ', i u e T 即波函数在 β 对称操作下, 只有周期函数部分发生变化

13 例子 : 简单立晶格的 Γ 点, =0,0,0,α 群和 β 群都是 O h 群考察紧束缚近似下,s 带和 p 带在 Γ 点的波函数 s 带 : s i s e s s s s T 1 因为求和包含了所有的格点 s s T 1 1 对称变化下 : 由于 s 轨道在任何点群对称操作下都是不变的, 所以 s s 1 即在点群所有操作下,s 带波函数变化到了自身, 这种变化称为 Γ 1 表象 s s T

14 p 带 : 即在点群所有操作下,p 带波函数变化等效于原子 p 轨道函数间的变化这个变化表现称为 Γ 15 表象 p p p p p p z z y y x x 点群操作下 : p p p p p p z z y y x x T T T 1 1 1

15 在晶体中电子运动的哈密顿算符是实算符, 即 H * =H 如果是方程的解, 那么 * 也是方程的解, 且这两个解具有相同的能量本征值即有 E E ˆ ˆ E H E H 三时间反演对称性 V H 2 2 1

16 同时按照 Bloch 定理有 : i i e e 因此,* 和 - 是相同的, 因而和 - 能量简并 : E E 这个结论不依赖于晶体的点群对称性, 不管晶体中是否有对称中心, 在空间中 E 总是有反演对称的这实际上是时间反演对称性的结果下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性

17 时间反演对称性 Tie evesal syety ˆ 1 T x Tˆ x ˆ 1 T L Tˆ L 1 Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ 1 E E ˆ * T,,,

18 Kaes 简并时间反演对称性 Tie evesal syety E E E 0 E 0 =0 时, 自旋向上和自旋向下能级简并

19 空间反演对称性 Ivesio syety x x ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ L L ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ E E ˆ *,,, T

20 不可约布里渊区 Ieducible Billoui-Zoe 利用空间中 E 具有与晶体点群完全相同的对称性, 可以在晶体能带计算和表述中把第一布里渊区分成若干个等价的小区域, 只取其中一个就足够了区域大小为第一布里渊区的 1/f,f 为晶体点群对称操作元素数如三维立方晶体 f = 48 不可约布里渊区中的点不能通过对称操作相互得到布里渊区其它所有的点都可以由不可约布里渊区的点的通过对称操作得到利用不可约布里渊区, 可以大大简化能带计算

21 以二维正方晶格为例, 二维正方晶格的点群是 C 4V 4, 所以, 对于一般位置 P, 在简约区中共有 8 个点与 P 点对称相关在这些点, 电子都有相同的能量 E 因此, 我们只需研究清楚简约区中 1/8 空间中电子的能量状态, 就可以知道整个空间中的能量状态了我们将这部分体积称为简约区的不可约体积依此类推, 对于立方晶系的 O h 3 点群, 只需研究 1/48 b 即可大大简化了计算工作 P y P P x

22 对于一般位置, 简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数但若在简约区中的某些特殊位置对称点对称轴或对称面上, 即在晶体点群中, 存在某些对称操作, 使得 = 或 =+G l - /a /a y M Z X x - /a 这时, 简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数在二维正方晶格的简约区中, 有以下特殊位置 : Γ 点线 0,0,0 X 点, 0 a a, M 点, a a Z 线 Σ 线,

23 简单立方晶格的简约区中的特殊位置 : 点 : 0,0,0 X 点 :,0,0 M,,0 a a a a a 点 : a a 点 :,, 点线 :,0,0 Z 点线 :,,0 点线 :,,0 S 点线 : a,, T 点线 :,, 点线 : a a,, S T X Z M

24 面心立方晶体的第一布里渊区 : 如果 fcc 的晶格常数为 a, 则其 0,0,0 z 倒格子的晶格常数为 4 a 2 X : 0,,0 a L :,, a a a 2 2 K :,,0 a a x y : 111 : 110 : 100

25 4.6 能态密度和费米面 : 与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同, 固体中电子的能级非常密集, 形成准连续的分布这时像孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的为了概括晶体中电子能级的状况, 我们引入能态密度的概念这个函数在讨论晶体电子的各种物理过程, 如输运发光等时非常重要费米面是固体物理中最重要的概念之一在自由电子论中费米面的重要性在于 : 只有费米面附近的电子才能参与热跃迁或输运过程, 它们决定着晶体的各种物理性质

26 一能态密度定义为单位能量间隔内的电子的状态数 N E li Z E dz 为能量在 E-E+dE 两等能面间的能态数考虑了电子自旋单位体积能态密度 : E 1 V li Z E y x 如果在空间中, 根据 E= 常数做出等能面, 在 E 和 E+ΔE 之间的状态数为 ΔZ 由于状态数在空间是均匀的, 密度为 V/2π 3, 因此 : V Z 3 2 dsd 其中 : d E E

27 Z V 2 3 ds E E 我们得到了能态密度的一般表达式 : N E V 2 3 ds E 无自旋与声子的态密度相似 N E V 4 3 ds E 考虑自旋

28 1. 自由电子的能态密度 E 在空间中, 能量为 E 的等能面是半径为的球面, 在球面上 2 2 能量色散关系 2 2E 2 de E 对给定 E 是常数 d V ds V V 2 N E E E 4 2 3/ 2 1/ 2 即 : N E ~ E 1/ 2

29 和自由电子态密度相比近自由电子的能态密度发生了明显变化受周期场的微弱影响, 近自由电子的等能面偏离自由电子的球形并受到布里渊区界面影响

30 2. 近自由电子的能态密度考虑周期场的影响, 在近自由电子情况下, 周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近, 而离布里渊区边界较远处, 周期场对电子运动的影响很小从原点出发, 等能面基本保持为球面, 在接近布里渊区边界时, 等能面开始向边界突出

31 周期场的微扰使布里渊区附近界面内的能量下降, 而等能面的凸出正意味着达到同样的能量 E, 需要更大的值, 当能量 E 超过边界上 A 点的能量 E A, 一直到 E 接近于在顶角 C 点的能量 E C 即达到第一能带的顶点时, 等能面将不再是完整的闭合面, 而成为分割在各个顶角附近的曲面

32 3. 多能带的影响

33 4. 紧束缚下的能态密度考虑简单立方晶格的 s 带, 只考虑最近邻的影响 : E s E 2J 1 cos 0 x y a cos a cos z a 带底 : 等能面为球型, 随 E 增大, 偏离自由电子的情况

34 a a a aj E z y x si si si 2 能量梯度能态密度 : si si si 8 cost E z y x a a a ds aj V E N 范霍夫奇点, 能量梯度为零的地方一般出现在布里渊区的高对称点

35 二费米面电子是费米子, 满足 Pauli 不相容原理在固体中, 它们基态的填充方式是由低能级向高能级填充例 : 自由电子气 : E N 个电子在空间填充半径为 F 的球, 球内包含的状态数恰好为 N, 2 V F N F 1/ 3 1/ 3 1/ 3 3 N V 8 1/ 3

36 几个重要概念 : 费米球 : 自由电子在空间的填充方式费米面 : 基态时空间中电子占据与非占据的分界面费米能 E F: 费米面对应的能量费米动量 : 费米面对应的动量费米球的半径费米动量费米速度量 p F F v F p F 费米波矢费米球 F E F

37 固体中的两种填充方式 : 1. 电子恰好填满最低的一系列能带, 更高的能带全部为空最高的满带称为价带, 最低的空带称为导带价带与导带间的能量称为能隙绝缘体 2. 除去被完全填满的能带外, 还有只被部分填充的能带这个部分填充的带也称为导带这时最高的占据能级被称为费米能级金属

38 GaAs 能带

39 Aluiu 能带 E F

40 一价碱金属半满填充

nanobelt-superlattice-7.doc

nanobelt-superlattice-7.doc 第五章能带理论能带论是目前研究固体中的电子状态, 说明固体性质最重要的理论基础它的出现是量子力学与量子统计在固体中应用最直接最重要的结果能带论不但成功地解决了经典电子论和 Sommerfeld 自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问题, 而且成为解释所有晶体性质 ( 包括半导体绝缘体等 ) 的理论基础固体物理中这个最重要的理论是一个青年人首先提出的, 198 年 3 岁的 Bloch