CH 31

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秃矿申
5 years ago
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1 CH 31 像與光學儀器 1

2 2 目錄 31.1 面鏡成像 32.2 透鏡成像 32.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 31.4 光學儀器

3 面鏡成像顯微鏡望遠鏡照相機隱形眼鏡掃描器以及你的眼睛, 都是利用反射或折射來成像 (image ) 而提供現實世界的視覺呈現有些狀況中, 光確實從像進入我們的眼睛, 這樣的像稱為實像 (real image); 而其它的情形則是, 光看起來有如從像位置出來, 則該像稱為虛像 (virtual image) P. 549

4 面鏡成像平面鏡圖 31.1a 顯示從箭頭尖端離開的三道光線 P. 549

5 面鏡成像圖 31.1b 重複了成像定位的過程, 這次用的是垂直反射的光線, 同樣的方法可以找到箭號的底端, 因此箭頭與底端的連線即為完整的箭號, 成像結果如圖 31.1b 所示 P. 550

6 面鏡成像在平面鏡中的像, 保有物體的高度以及垂直向上的取向, 但所成的像與物體是相向的這個前後反向使得右手的像看起來為左手 ( 圖 31.2) P. 550

7 面鏡成像曲面鏡最佳曲面鏡為拋物面, 是因所有平行拋物線軸直線與拋物線之法線所夾之角, 與另一條連接特定點之直線與法線所夾的角相等, 此特定點稱焦點 (focus 或 focal point)( 圖 31.3) P. 550

8 面鏡成像由於球面的製作比較容易, 所以事實上有很多聚焦的鏡子為球面的形狀, 由此而產生的輕微變形, 稱為球面像差 (spherical aberration), 著名的例子為哈伯太空望遠鏡的面鏡, 由於該面鏡磨成不正確的曲面而造成了相當大的像差 ( 圖 31.4) P. 550

9 9 P. 550

10 面鏡成像正常來說, 使面鏡成為整個球面中的一小部分可以將球面像差減至最小, 在此狀況下, 焦距 ( focal length) 亦即鏡頂到焦點的距離會遠大於面鏡的尺寸, 因此大部分入射於面鏡的光線幾乎與鏡軸平行, 也只有這樣的近軸光線 (paraxial ray ) 才能使近似拋物面的球面具有精確的聚焦, 但為了清楚起見, 所畫的面鏡圖通常會具有誇大的曲率, 因此並非所有光線都呈現近軸的情形 P. 550

11 面鏡成像在圖 31.6a 中我們看到物體位於面鏡曲率中心 C 的後方, 形成倒立縮小的像, 光確實從此像出來, 因此為實像 P. 551

12 面鏡成像如果從圖 31.6a 之面鏡左方朝面鏡觀看, 會看到像顯現於鏡子前方的空間 ( 圖 31.7) P. 551

13 面鏡成像隨著物體往前移動比較靠近面鏡時, 實像逐漸變大, 當物體位於曲率中心與焦點之間時, 像比物體大並且更為遠離面鏡 ( 圖 31.6b) P. 551

14 面鏡成像當來自物體的光線比焦點還靠近面鏡時, 光線在反射後發散開來, 對觀察者而言, 這兩條光線有如從鏡後的某個點發出, 因此為虛像, 在此情形為放大正立的像 ( 圖 31.6c) P. 551

15 15 P. 551

16 面鏡成像凸面鏡凸面鏡在球形曲面的外側上反射光線, 由於造成光線發散因此只形成虛像 ( 圖 31.8 ) P. 551

17 面鏡成像在各種需要將廣大區域的像收錄於小空間的狀況下 ( 圖 31.9), 凸面鏡便會派上用場 P. 552

18 面鏡成像面鏡方程式描繪光線圖可以對成像獲得直覺上的感受, 而更為準確的成像位置與大小則可由面鏡方程式 ( mirror equation) 求得, 這是我們接下來要推導的這次將利用列於解題技巧 31.1 的特別光線 (1) 及 (3) 來找到像, 圖 31.10a 呈現這兩道光線, 光線 (1) 平行於鏡軸, 而光線 (3) 入射鏡心 P. 552

19 19 P. 552

20 面鏡成像由於入射於鏡心的光線以對稱於鏡軸的方式反射, 因此兩個陰影的三角形相似, 定義放大率 ( magnification)m 為像高 h' 與物高 h 的比值, 因此放大率與像距 ( 像與面鏡的距離 ) 對物距 ( 物體與面鏡的距離 ) 比相同, 將倒立像的高度定義為負值, 因此從圖 31.10a 有 P. 552

21 面鏡成像在這裡物體和像皆位於面鏡前方, 因此物距 s 和像距 s 為正值, 而方程式 31.1 中的負號表示此時的情形為倒立的像另外, 從圖 31.10a 中物體的位置也可以知道 M < 1, 這表示像為縮小而非放大 P. 552

22 面鏡成像圖 31.10b 只顯示光線反射後通過焦點, 除此之外其餘都與圖 31.10a 相同, 圖中也標示了焦距 f, 另外將另一對相似三角形以陰影表示, 從圖中可以得到 h'/h = (s' f )/f, 這裡也將 h' 加上負號, 因為我們已經定義倒立像之 h' 為負值, 而在比較相似三角形的邊長時要取正 P. 552

23 面鏡成像方程式 31.1 顯示比值 h'/h 為放大率 M = s'/s, 因此有 s'/s = (s' f )/f, 或將方程式兩邊同除以 s' 並重新整理可以得到 P. 552

24 面鏡成像雖然藉由實像來推導此面鏡方程式, 它也適用於虛像的情形, 但規則是像位於面鏡後方時像距 s' 要取負另外只要將焦距取負, 則方程式也可以處理凸面鏡的情形表 31.1 總結了面鏡成像和符號規則 P. 552

25 25 P. 553

26 面鏡成像藉由與圖相似但描繪通過曲率中心之光線圖, 可以求得曲面鏡另一個有用的性質 : 焦距長度的大小為半徑的一半 : 應用題第 30 題要證明上面的結果 P. 552

27 例題 31.1 凹面鏡 : 哈伯太空望遠鏡 27 在組裝哈伯望遠鏡時, 一位技術人員站在望遠鏡之凹面鏡前方 3.85 m 處 ( 圖 31.11), 已知望遠鏡的焦距為 5.52 m, 求該技術人員像的 (a) 位置, 和 (b) 放大率 P. 553

28 28 例題 31.2 凸面鏡 : 侏羅紀公園在電影侏羅紀公園中, 當暴龍追逐汽車時, 車內驚嚇的乘客看著側面之後照凸面鏡, 面鏡上印有警告文字鏡中所見物體比實際遠如果面鏡的曲率半徑為 12 m, 且暴龍與面鏡的實際距離為 9.0 m, 求恐龍看起來的大小縮小為原來的幾倍? P. 554

29 透鏡成像透鏡 (lens) 是一個利用折射成像之透明材質就如面鏡一樣, 透鏡分為凹透鏡和凸透鏡, 但不同的是, 光會通過透鏡而只會在面鏡上反射, 因此兩者互為相反 P. 554

30 透鏡成像凸透鏡將平行光線會聚於焦點 (focal point ), 因此為會聚透鏡 (converging lens)( 圖 31.14) P. 554

31 透鏡成像凹透鏡為發散透鏡 ( diverging lens), 它將平行光線折射使得平行光線看起來有如從共同的焦點發散出來如同凸面鏡一樣, 凹透鏡只會形成虛像 ( 圖 31.15) P. 554

32 透鏡成像首先來探討薄透鏡 (thin lens), 是指透鏡之厚度相對於兩個表面的曲率半徑來說相當小雖然光進入透鏡時發生折射, 出去時又再次折射, 但在薄透鏡的近似條件下, 由於兩個表面相當接近, 因此可以將光視為在通過透鏡之中央平面時只經歷了一次折射與面鏡情況不同的是, 光可以從透鏡的兩邊進入而通過, 這表示透鏡具有兩個焦點, 各自位於透鏡的一邊 ; 對薄透鏡而言, 兩邊的焦距相同, 所以透鏡的取向為何並不重要 P. 554

33 透鏡成像描繪薄透鏡的成像圖顯示物體相對於會聚透鏡之不同位置所描繪的光線, 在圖 31.17a 中看到物體位於兩倍焦距外時, 在透鏡另一邊產生縮小倒立實像, 由於光線確實從該像發出, 因此不需要藉由透鏡就可以看見像當物體往透鏡移動時, 像則會遠離透鏡且變大, 在物與透鏡的距離為一至兩倍焦距之間時, 像移到 2f 之外且為放大的像 ( 圖 31.17b) P. 555

34 透鏡成像當物體移至焦點之內時, 會產生放大虛像, 但觀察者只能藉由透鏡才看得到 ( 圖 31.17c) P. 555

35 35 P. 555

36 透鏡成像圖顯示發散透鏡的光線描繪如同凸面鏡一樣, 這個透鏡只能產生縮小的正立虛像, 它也只能藉由透鏡才能看見, 而即使物體移動至焦距之內也不會改變圖的基本幾何原理 P. 555

37 透鏡成像量化的處理 : 透鏡方程式從圖可知三角形 OAB 和 IDB 為相似三角形, 因此如同面鏡一樣, 像的放大率為 P. 556

38 透鏡成像這裡也是一樣, 高度為負代表倒立的像圖中兩個陰影三角形也是相似, 因此 h'/(s' f ) = h/f, 將方程式 31.4 代入並整理方程式可得這個結果與面鏡方程式 31.2 相同 P. 556

39 39 P. 556

40 透鏡成像圖以曲線圖的方式描述物體在不同位置之成像的大小與類別雖然以實像的情形來推導方程式 31.5, 它也適用於虛像的狀況, 但需要把像距定義為負, 此時像與物位於透鏡的同一側表 31.2 中總結透鏡成像情形, 包括相關的符號規則在內 P. 556

41 41 P. 556

42 42 P. 556

43 例題 31.3 使用透鏡方程式 : 小字體 43 你使用焦距 21 cm 的放大鏡 ( 會聚透鏡 ) 在讀電話簿 ( 圖 31.21), 則你應將透鏡放在距離頁面多遠才會看見放大三倍的字體? P. 557

44 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 44 曲面折射圖顯示一個透明材質其折射率為 n 2 且曲面的半徑為 R, 材質外部為折射率 n 1 的介質接下來要證明圖 31.22a 中所顯示者 : 點物體 O 所發射出的光線在折射後聚焦於同一個像點 I 我們的證明只在近軸的近似條件下才成立, 亦即所有的光線與光軸之夾角為很小, 而與面鏡相同的是, 在我們的圖中不一定會把這些角度畫得很小 P. 557

45 45 P. 557

46 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 46 圖 31.22b 顯示了單一光線的折射情形, 由於所有標示的角度皆很小, 因此可以取近似值 sin x tan x x, 其中 x 為弧度現在司乃耳定律 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 變成 n 1 θ 1 = n 2 θ 2 從三角形 BCI 和 OBC 有 θ 2 = β γ 以及 θ 1 = α + β, 所以司乃耳定律成為 n 1 (α + β) = n 2 (β γ) 另外, 在小角度的近似下, 弧度 BA 很接近直線, 因此有 α tan α BA/s, 其中 s = OA 為物體與折射面的距離同樣地,β BA/R 以及 γ BA/s' P. 557

47 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 47 現在可以將司乃耳定律表為在消去 BA 並重新整理後得到 P

48 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 48 上面並沒有出現 α, 這表示此物距和像距關係式對所有滿足小角度之近似條件的光線皆成立, 換句話說, 圖 31.22a 為正確 : 所有這樣的光線皆會聚於同一個焦點 I 方程式 31.6 雖然是從實像的情形所推導而來, 但如同前面所說的只要將像距取負, 它也可以適用於虛像的情況如果把 R 取負, 它也適用於凹面的情形甚至也可以取 R = 而應用於平面 P. 558

49 49 例題 31.4 曲面折射 : 圓柱水族箱直徑為 70.0 cm 的圓柱形水槽由塑膠薄壁所做成, 如果水槽內的魚與水槽壁的距離為 15.0 cm, 對在外面直接注視該魚的貓而言, 魚的距離看起來多遠? P. 558

50 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 50 厚透鏡和薄透鏡圖為厚度 t 以及折射率 n 的透鏡, 置於 n = 1 的空氣中物體 O 1 位於距離透鏡左表面為 s 1 處, 該表面的成像為 I 1, 此像對右表面而言如同一個物體, 因此又稱為 O 2, 它在右表面的折射形成第二個像 I 2, 要連結初始像 O 1 與最終像 I 2 的關係 P. 558

51 51 P. 558

52 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 52 在左表面, 方程式 31.6 中的物理量變成由於 O 1 的位置很接近透鏡, 因此 I 1 為虛像, 亦即 s 1 為負值 P. 559

53 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 53 現在再將方程式 31.6 應用到右表面, 此時 I 1 為物體, 其物距 s 2 為 t s' 1, 因為 s' 1 為負另外, 在右表面有 s' = s' 2,n 1 = n 以及 R = R 2, 其中 R 2 為負, 因為在此情形下, 右表面凹向要成像的物體 (I 1, O 2 ), 所以方程式 31.6 應用在右表面為 P. 559

54 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 54 接下來令透鏡為無限薄以至於 t 0, 然後再將兩方程式相加, 則居於中間成像的項 n/s' 1 消去, 只剩下第一個物距以及最後的像距, 將下標 1 和 2 去除而得到 P. 559

55 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 55 此方程式的左邊與方程式 31.5 的右邊相同, 而方程式 31.5 的右邊為 1/f, 因此令兩方程式的右邊相等而得到焦距, 這就是造鏡者公式 (lensmaker's formula): 這裡仍然與前面相同, 亦即半徑可以為正或負 P. 559

56 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 56 對圖而言,R 1 為正, 因為左表面凸向物體, 而 R 2 為負, 因為右表面凹向物體, 它也是中間像 I 1 雖然利用中間像為虛像的情形推導方程式 31.7, 但對薄透鏡焦距而言, 造鏡者公式為一般性的結果透鏡具有各式各樣的形狀 ( 圖 31.25), 中間較厚者為會聚透鏡, 此時從方程式 31.7 可以得到正的焦距, 而中間較薄者為發散透鏡, 則其焦距 f 為負但如果圍繞透鏡之介質的折射率大於透鏡, 則這兩個結果會反過來 P. 559

57 57 P. 559

58 58 例題 31.5 造鏡者公式 : 平凸透鏡求圖中平凸透鏡之焦距的關係式, 已知其折射率為 n, 曲面的半徑為 R P. 559

59 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 59 透鏡像差透鏡展現了好幾個光學缺陷先前在面鏡時已提過了球面像差 (spherical aberration ), 這個相同的缺陷在球面透鏡 ( 圖 31.26a) 也存在 P. 560

60 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 60 如果只利用透鏡的中央部分, 則可以消除具有較大角度的光線 ( 圖 31.26b), 而得到較清晰的聚焦 P. 560

61 31.3 透鏡內部之折射 : 細節的部分 61 色像差 (chromatic aberration) 是因為折射率隨波長而改變, 導致不同顏色的光在不同點聚焦高品質的光學系統利用複合透鏡來將此效應降至最小, 此複合透鏡由具有不同折射率的材質所構成另外當透鏡在不同方向具有不同的曲率半徑時, 則形成像散 (astigmatism), 這是人眼常見的缺陷 ( 譯註 : 俗稱散光 ), 可以用具有補償不對稱曲度的眼鏡或隱形眼鏡進行矯正 P. 560

62 光學儀器眼睛我們的眼睛為複雜的光學系統, 其中具好幾個折射面以及用來改變焦距與接收光量的機制 ( 圖 31.27) P. 560

63 31.4 光學儀器近視的人其眼睛在視網膜的前方成像, 這使得遠方的物體看起來模糊 ( 圖 31.

63 光學儀器近視的人其眼睛在視網膜的前方成像, 這使得遠方的物體看起來模糊 ( 圖 31.28a), 使用發散的矯正透鏡可以產生較近的中間像, 因而使近視眼睛可以聚焦 ( 圖 31.28b) P. 560

64 光學儀器對遠視的人而言, 近物在視網膜的後方成像, 會聚矯正透鏡可以改善此狀況 ( 圖 31.29) 即使正常的眼睛, 也無法對於比所謂近點 (near point) 還近許多之物體聚焦, 這個距離約 25 cm P. 560

65 光學儀器處方上所開之矯正透鏡以折光度 (diopter) 指定矯正率 P, 折光度定義為焦距 ( 以公尺為單位 ) 的倒數, 因此折光度為 1 的透鏡其焦距為 f = 1 m, 而折光度為 2 則是 f = 0.5 m, 後者使光線彎折的程度較大因此矯正的效果也較大就如同焦距 f 之正負號所代表的透鏡類別, 矯正率為正或負的透鏡分別代表會聚鏡片或發散鏡片 ( 譯註 : 將折光度乘以 100 即為我們所說的鏡片度數 ) P. 561

66 66 觀念題 31.1 弄亂的隱形眼鏡你和你室友的拋棄式隱形眼鏡盒混在一起, 其中一盒標示 1.75 折光度, 而另一盒為 +2.5 折光度, 你為遠視, 你室友為近視, 則哪一盒隱形眼鏡是你的? P. 562

67 例題 31.6 鏡片的矯正率 : 眼鏡遺失! 67 在渡假時你遺失了閱讀眼鏡, 沒有它你的眼睛無法對 70 cm 內的物體聚焦, 還好你可以在藥房買到非處方的眼鏡, 所販賣的眼鏡度數以 0.25 折光度的倍數增加, 那你應該買什麼樣的眼鏡才能看清楚標準為 25 cm 的近點? P. 562

68 光學儀器照相機相機與眼睛非常類似, 差別只是電子偵測器或底片取代了光感應視網膜相對於眼睛改變水晶體的形狀以因應不同的物距, 相機則是移動其剛硬的透鏡來改變像距簡單的傻瓜相機利用紅外線光束來測定物距, 接著再自動調整鏡頭的位置以得到最佳的聚焦相機也依周遭的光照條件來調整透鏡的孔鏡與曝光時間放大鏡頭則利用可動元件來改變焦距, 以得到廣角以及遠距離的視野 P. 562

69 光學儀器放大鏡和顯微鏡檢視非常小的物體時, 需要將它們移到人眼無法聚焦之 25 cm 近點以內的位置, 然後再利用透鏡使它放大而位於我們可以聚焦之較遠的距離物體真實像的大小並不重要, 重要的是物體看起來有多大, 而這取決於它佔據了我們多少視野角放大率 (angular magnification)m, 為透過透鏡觀看物體之對角與肉眼觀看位於 25 cm 近點之對角的比值 P. 562

70 光學儀器圖 31.30a 顯示後者之對角 ( 單位為弧度 ) 的近似值為 α = h/25 cm, 其中 h 是物體高度 P. 562

71 光學儀器當眼睛接近透鏡且物體恰好位於焦距內時我們看起來最舒適, 此時會在遠處形成一個放大的虛像, 圖 31.30b 顯示出此像角非常接近 h/f P. 562

72 光學儀器因此角放大率為 P. 563

73 光學儀器單一透鏡在像差不影響成像品質前, 可以產生大約四倍的角放大率, 要獲得更大的放大率需要利用一個以上的透鏡在複顯微鏡 (compound microscope) 中, 具有較短焦距的物鏡 (objective lens) 先形成放大的實像, 此像再透過第二個透鏡也就是目鏡 (eyepiece) 來觀看, 目鏡的功能即為簡單的放大鏡 ( 圖 31.31) P. 563

74 74 P. 563

75 光學儀器此顯微鏡的安排為所要觀看之物體恰好位於物鏡的焦點外, 而且其所形成的像恰好落在目鏡的焦距內, 如果兩個透鏡的焦距相較於透鏡間的距離為很小, 則物鏡的物距大約為物鏡的焦距 f 0, 且最後的像距大約為兩透鏡的間隔 L P. 563

76 光學儀器物鏡所成之實像比物體大, 其放大倍率為像距和物距的比值即 M 0 = L/f 0, 目鏡會使實像看起來更大, 放大率則是角放大率 m = 25 cm/f e, 因此顯微鏡的總放大率為符號規則與前面相同, 負號表示倒立的像 P. 563

77 光學儀器望遠鏡望遠鏡收集遠方物體的光線, 它可能用來成像或將光傳送到儀器做分析現代的天文儀器為不可調整的反射望遠鏡 (reflector), 它利用面鏡作為收集光的主要元件小型手持的望遠鏡雙筒望遠鏡攝遠鏡頭都是折射望遠鏡 (refractor), 它們是利用透鏡來收集光線 P. 563

78 光學儀器簡單的折射望遠鏡由物鏡和目鏡所組成, 物鏡將遠物成像於焦點上, 再以目鏡觀看該像 ( 圖 ) 由於物鏡與目鏡的焦點幾乎重合, 因此在物鏡焦點上的實像再透過目鏡來觀察時會形成放大很多的虛像角放大率為最後成像的對角 β 與實際物體的對角 α 的比值, 圖顯示的比值為 P. 563

79 79 P. 564

80 光學儀器由於實像為倒立而虛像為正立, 因此雙透鏡折射望遠鏡會得到倒立的像, 這對天文工作而言並沒問題, 但在地球上使用的望遠鏡會設計一個額外的透鏡, 它可以為發散目鏡或一組反射稜鏡, 以產生正立的像 P

81 光學儀器反射望遠鏡比折射望遠鏡具更多的優點由於面鏡前表面具有反射鍍膜, 因此光不會通過玻璃因而消除了色像差, 另外就是面鏡的整個背表面被支撐起來, 不像透鏡只能由邊緣固定, 因此反射望遠鏡可以相當大最大的折射望遠鏡具有直徑 1 m 的透鏡, 而大型反射望遠鏡可以達到 10m P. 564

82 光學儀器更大的望遠鏡在進行中, 包括將建在智利的 24 m 巨型麥哲倫望遠鏡 ( Giant Magellan Telescope ), 計劃興建在夏威夷毛納基山頂的 30 m 望遠鏡 (Thirty Meter Telescope, 圖 31.33) P. 564

83 光學儀器望遠鏡更常被用來作為光桶, 也就是用來收集遙遠光源, 但由於太過於微弱, 即使今日的大型光學望遠鏡也難以成像因此要使用副鏡將光線傳送至某焦點, 以便讓固定在望遠鏡之儀器方便做分析另外還有用光纖來將主鏡所收集到的光線傳送至固定的儀器圖顯示反射望遠鏡常見的三種設計 P. 564

84 84 P. 564

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TH8-2.¼Æ¾Ç¦ÒÃDch26.3®Õ²M 第 26 章成像與光學儀器 26-1 1. 平面鏡與水平線夾角為 20, 有箭矢 AB 在鏡面上方, 恰成像於水平線上, 如圖, 求 AB 的方位與水平線夾角 θ 為多大? 難易度 : 解答 : 物 AB 經鏡 MN 成像於 A'B' 上, 若將 MN 旋轉 20 至 MN 0,AB 旋轉 θ 至 AB 0, 使, 則 AB 0 的物經 MN 0 的鏡成像於 A'B', 若像不動鏡面旋轉 20 時則物