136 隧道建设第 31 卷的现有结论和第二类拉格朗日方程, 分析了爆炸荷载作用下端部弹性与阻尼支承对梁动态响应的影响 ; 方 [3] 秦采用理论与数值分析方法分别研究了在门上和在端部设置弹簧和阻尼器提高防护门抗力的可行性和 [4-5] 有效性 ; 宋春明研究了柔性动边界梁拱在横向撞击作用下的动

Size: px

Start display at page:

Download "136 隧道建设第 31 卷的现有结论和第二类拉格朗日方程, 分析了爆炸荷载作用下端部弹性与阻尼支承对梁动态响应的影响 ; 方 [3] 秦采用理论与数值分析方法分别研究了在门上和在端部设置弹簧和阻尼器提高防护门抗力的可行性和 [4-5] 有效性 ; 宋春明研究了柔性动边界梁拱在横向撞击作用下的动"

港魏
5 years ago
Views:

1 第 31 卷增刊年 8 月隧道建设 TunnelConstruction Vol.31 Sup.1 Aug 地震荷载作用下柔性支撑梁的动力响应分析柳锦春, 还毅, 陈力 ( 解放军理工大学工程兵工程学院, 南京 ) 摘要 : 提高结构在地震时的承载能力通常是从材料截面形状等方面来考虑在构件端部设置一定的约束支承也可以提高构件的抗震能力为此, 必须研究特定约束条件下梁在地震作用下的动力响应, 这些约束表现为弹性支承刚度和阻尼特性文中提出了一种等效单自由度分析方法, 应用拉格朗日方程建立了端部弹性与阻尼支承梁的动力方程, 并将动力计算结果与有限元计算结果对比验证单自由度分析方法的正确性应用上述方法对地震作用下柔性支承梁的跨中相对位移端部绝对位移以及弹性刚度阻尼系数的敏感性进行了分析讨论结果表明 : 等效单自由度分析方法计算准确, 可以精确分析地震作用下柔性支撑梁的动力响应 ; 合理设置弹性支承或弹性阻尼支承可以有效减小梁跨中与端部的相对位移, 从而提高结构的抗震能力 ; 但采用柔性支承减小构件相对位移的同时可能会增大构件端部的绝对位移关键词 : 地震荷载 ; 弹性支承 ; 阻尼支承 ; 动力响应中图分类号 :TU 文献标志码 :A 文章编号 : X(2011) 增刊 AnalysisonDynamicResponseofBeamswithFlexibleSupports underseismicloads LIUJinchun,HUANYi,CHENLi (EngineringInstituteofCorpsofEnginers,PLAUniv.ofSci.& Tech.,Nanjing210007,China) Abstract:Muchatentionhasbeenpaidtothepropertiesofmaterialsandtheshapesofcros sectionsofbeamsinorder toincreasetheresistanceofseismicloadingstructures.theseismicresistanceofbeamscouldbealsoincreased efectivelybysetingsomespecialconstrainedconditionatthesupports.thedynamicresponseofbeamsisinvestigated withflexiblesupportsconditionwhichshowtheelasticanddampingfeature.a simplifiedequivalentdofanalytical methodofthebeamwithspringsanddamperswasestablishedonbasisofsecondarylagrange'sdynamicequations.the dynamicresponse(relativedisplacementofthemid span,theabsolutedisplacementofthesupports,theinfluencesof thestifnesanddampingcoeficientandetc.)ofbeamsisanalyzed,thetheoreticalresultsarevalidatedbyabaqus numericalsimulationmethod,whichshowsthattheequivalentdofanalyticalmethodcouldpreciselydescribethe dynamicresponseofbeamswithflexiblesupportssubjectedtoseismicloading,andsetingspringsanddampersatthe supportscouldreducedthedisplacementofthemid spanrelativetothesupportsefectively,butitmayincreasedthe absolutedisplacementsatthesupports. Keywords:seismicload;elasticsupport;dampingsupport;dynamicresponse 0 引言汶川地震中, 建筑结构破坏十分严重因此, 改善结构在地震等强动载作用下的承载能力已成为结构工程领域十分关注的问题通常提高结构构件的承载能力是从材料截面形状及结构形式等方面入手以往 [1] 的研究表明 : 合理设置一定的约束支承也可以提高构件的抗力一般情况下, 这些约束表现为弹性支承刚度和阻尼, 这里统称为柔性支撑柔性支承构件在航空桥梁和地下工程中都有广泛的应用目前, 对刚性支承梁和简单支撑梁的动力响应研究较多, 理论也较为成熟, 而对具有柔性支撑梁的动力响应则研究较少一些学者也曾对此问题展开研究, 文献 [2-3] 应用梁在刚性支承条件下动力响应收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金重大研究计划培育项目 ( ) 作者简介 : 柳锦春 (1973 ), 男, 副教授, 主要从事综合防灾减灾及工程防护方向研究

2 136 隧道建设第 31 卷的现有结论和第二类拉格朗日方程, 分析了爆炸荷载作用下端部弹性与阻尼支承对梁动态响应的影响 ; 方 [3] 秦采用理论与数值分析方法分别研究了在门上和在端部设置弹簧和阻尼器提高防护门抗力的可行性和 [4-5] 有效性 ; 宋春明研究了柔性动边界梁拱在横向撞击作用下的动力响应然而目前的研究主要集中在端部为弹性支承时梁的固有振动分析和爆炸冲击作用下的动力分析方面, 对地震荷载作用下柔性支撑梁的动力响应研究不够由于柔性支撑结构的动力响应不仅取决于结构的固有特性, 还与支承和约束条件密切相关, 完全刚性支承理论已不适用因此正确分析结构的动力特性以及支承边界条件对结构动力响应的影响, 对于结构计算与设计提供理论依据, 具有重要的工程意义本文利用梁在静力作用下的动力响应的现有解答, 以梁端部的竖向位移为广义位移, 应用第二类拉格朗日方程建立了端部弹性与阻尼同时支承梁的动力方程, 分析了端部弹性与阻尼支承对梁动态响应的影响, 并提出合理的弹性和阻尼支承设置方式来减小结构的变形, 以此来提高地震荷载作用下结构的承载能力 1 等效单自由度简化分析模型的建立 1.1 系统的位移当结构受到地震作用时, 往往是结构主体部分带动构件的振动, 梁与支承结构相互作用, 共同变形因此, 本文将地震作用下柔性支撑梁动力响应问题简化为梁端部受到地震加速度的作用从而引起的强迫振动问题假定梁两端承受的地震荷载为正弦形式的加速度, 即 a=a m sin20πt (1) 式中 :a m 为载荷峰值,t 为时间变量复杂的动力分析表明, 结构承受动载作用, 若求最大动位移和最大动弯矩, 当只要求一般计算精度时, 则可只考虑少数 n 个低主振型, 甚至只考虑一个最低主振型, 完全可忽略高次振型的影响如作用于两端支承的构件的动载均按同一规律随时间变化, 构件的挠曲线形状虽然随时间改变但其变化程度往往不大, 这时可以近似假定构件是按某一固定不变的振型振动通常可取动载作为静力作用时的静挠曲线形状作为振型因此本文的分析中可采用等效单自由度体系近似动力分析方法对柔性支撑梁的动力响应进行研究图 1 是地震荷载作用下弹性与阻尼支承梁的计算模型距 A 端 x 处,t 时刻梁的位移可表示为端部位移和相对于端部位移之和, 即 y(x,t)=y A (t)+ (y B(t)-y A (t)) x+y l r (x,t)= y A (t)+ (y B(t)-y A (t)) x+y(t)φ(x) l (1) 式中 :y A (t) 和 y B (t) 分别为梁端点 A 和 B 的竖向位移,l 为跨长,y r (x,t) 是梁 x 处相对于端部的竖向位移, 可表示为 y r (x,t)=y(t)φ(x), 其中 Y(t) 为梁跨中的竖向位移,Φ(x) 为梁的振型图 1 模型示意图 Fig.1 Modelofelementswithflexiblesupports 可取图 1 的半跨梁来分析已知跨长为 l/2, 在悬臂端作用有静集中载荷 p 的悬臂梁挠曲线方程为 ( ) v(x)= px2 3l -x, (2) 6EI 2 由此可知悬臂端处挠度为 f=pl 3 /24EI 根据运动的相对性, 可取长为 l 的梁由于端部支座扰动引起的振动近似振型为 Φ(x)= v-f f =-4x3-6lx 2 +l 3 l 3 (3) 1.2 梁的动能和势能由梁和不计质量的弹簧和阻尼器组成的系统的动能 T 可写为将式 (4) 代入式 (5) 得 T= 1 2 l 0m y T= 1 2 l 0my 2 dx (5) ( y A + ) B -y A 3 x-y 4x 3-6lx 2 +l 3 l l 系统势能 V 由 2 个弹簧和梁的势能组成 2 dx (6) V= 1 2 k(y A -y 0A ) k(y B -y 0B ) EIY2 l 3 (7) 1.3 广义力对应于广义坐标 y A 的广义力为 -c(y A -y 0A), 对应于广义坐标 y B 的广义力为 -c(y B -y 0B), 对应于广义坐标 Y 的广义力为零, 其中 c 为端部支承阻尼系数 1.4 动力方程系统的拉格朗日函数可写为 L=T-V, (8) 将式 (5) 式 (8) 代入第二类拉格朗日方程

3 增刊 1 柳锦春, 等 : 地震荷载作用下柔性支撑梁的动力响应分析 137 d dt ( L )- L =Q q j (9) q j j 其中,q j 为广义坐标 (y A,y B 和 Y) ( ) d L dt y A 即 d ( L ) dt y B d L dt ( ) - L Y Y =0 - L y A =-c(y A -y 0A) - L y B =-c(y B-y 0B) (10 ) 方程 (10) 为常微分方程组, 可用 Runge-Kuta 等数值方法求解方程具体建立和求解借助于软件 Maple 来完成 (a) 支座 A 输入加速度 2 等效单自由度简化分析模型验证为了检验等效单自由度模型分析地震荷载作用下柔性支撑问题的可靠性, 本文针对典型算例, 将等效单自由度简化分析模型计算结果和 ABAQUS 有限元计算结果进行对比分析在如图 1 所示的模型中, 取梁长 l=2m, 梁截面为 b h=0.1m 0.1m, 弹性模量 E=200GPa, 支座两端承受大小不同的正弦形式的加速度, 如图 2 所示, 其数学表达式为 :a A =5sin20πt,a B = 2sin20πt, 其中 t 为荷载作用时间, 总的作用时间取 1s 弹性刚度和阻尼系数分别取一组较小值和一组较大值 :1) 总弹簧刚度系数为 k=800n/m, 总阻尼系数为 c =100Ns/m;2) 总弹簧刚度系数为 k=80000n/m, 总阻尼系数为 c=8000ns/m ABAQUS 有限元计算模型如图 3 所示, 弹簧和阻尼器各有 8 个, 其他计算参数与单自由度计算参数一致等效单自由度模型和 ABAQUS 有限元计算结果如图 4 图 5 所示由图 4 图 5 可知, 单自由度模型和有限元方法得出的梁端部和跨中位移基本一致, 以 ABAQUS 有限元计算结果为标准, 单自由度模型计算结果误差不超过 1% 总的来说, 等效单自由度简化分析模型的计算结果和 ABAQUS 有限元的计算结果吻合较好造成端部位移误差的原因与弹簧阻尼器的离散设置以及梁相对振型假设与实际情况不一致等有关由以上分析可知, 采用本文的等效单自由度模型可以很好的分析柔性支撑梁的动力响应问题同时, 分析上述两种刚度系数和阻尼系数的计算结果可以得出 : 当弹簧刚度阻尼系数非常大时, 端点跨中各点的位移时程接近无弹簧阻尼支承时 ( 即弹簧刚度无穷大时 ) 的情况, 此时的弹性阻尼边界达不到减震隔振的效果, 因此, 必须对柔性支承的弹性刚度系数和阻尼系数对构件动力响应的影响展开研究 (b) 支座 B 输入加速度图 2 加速度时程曲线 Fig.2 Time dependentcurvesofacceleration 图 3 有限元计算模型 Fig.3 Finiteelementmodel (a) 端部 A 位移时程曲线

4 138 隧道建设第 31 卷 (b) 跨中位移时程曲线 (c) 端部 B 位移时程曲线图 5 k=80000n/m c=8000ns/m 计算结果 Fig.5 Calculationresultsofk=80000N/mandc=8000Ns/m 3 分析及其讨论 (c) 端部 B 位移时程曲线图 4 k=800n/m c=100ns/m 计算结果 Fig.4 Calculationresultsofk=800N/mandc=100Ns/m (a) 端部 A 位移时程曲线 (b) 跨中位移时程曲线利用数值方法, 研究弹性支承与阻尼支承对梁动力响应的影响分析过程中, 引入 2 个无量纲参数 : 端点最大位移比 (y m ) 和跨中最大位移比 (y c ) 端点最大位移比 (y m ) 定义为端点 A 位移的最大值 y am 与无弹性阻尼支承梁在同样动载荷作用时端点 A 最大位移 y sm 之比, 即 y m =y am /y sm 跨中最大位移比(y c ) 定义为弹性阻尼支承梁跨中相对于端点的位移的最大值 y rm 与无弹性阻尼支承梁在同样动载荷作用时跨中最大位移 y sm 之比, 即 y c =y rm /y sm 图 6 是端点最大位移比与端部弹性支承系数和端部阻尼支承系数的关系图图 7 是跨中最大位移比与端部弹性支承系数和端部阻尼支承系数的关系图由图 6 可见, 随着刚度系数的增大, 端部最大位移比 (y m ) 先增大后减小 ; 当刚度系数较小时,y m 随着阻尼系数的增大而增大 ; 当刚度系数较大时,y m 随着阻尼系数的增大而减小通常, 引起构件内力变化的主要是构件端部的相对位移, 减小梁端部的相对位移, 可以有效地提高其承载能力, 因此在工程应用中往往更加关心的是构件的相对位移由图 7 可见, 跨中最大位移比 (y c ) 与刚度系数和阻尼系数的关系相当复杂, 随着刚度系数的增大, 跨中最大位移比先增大再降低而后又逐渐增大 ; 当刚度较小时,y c 随着阻尼系数的增大而减小 ; 当刚度一定大时,y c 随着阻尼的增大而增大 ; 当刚度很大时,y c 随着阻尼的增大而减小图 8 是 y c 0.95 时 k 和 c 的取值范围, 由该图可知, 在地震荷载作用下, 通过单独设置弹性支承或者同时设置弹性阻尼支承的方式可以有效提高构件的抗力, 但弹性刚度与阻尼刚度必须慎重选取设置弹性阻尼支承减小构件相对位移的同时有可能会增大构件端部的绝对位移

增刊 1 柳锦春, 等 : 地震荷载作用下柔性支撑梁的动力响应分析 139 过无弹性阻尼支承梁端部的绝对位移, 这与上述分析得到的结论是一致的图 6 y m 与 k 和 c 的关系 Fig.6 Relationshipamongy m,kandc (a)0.25s 图 7 y c 与 k 和 c 的关系 Fig.7 Relationshipamongy c,kandc (b)0.5s (c)0.

5 增刊 1 柳锦春, 等 : 地震荷载作用下柔性支撑梁的动力响应分析 139 过无弹性阻尼支承梁端部的绝对位移, 这与上述分析得到的结论是一致的图 6 y m 与 k 和 c 的关系 Fig.6 Relationshipamongy m,kandc (a)0.25s 图 7 y c 与 k 和 c 的关系 Fig.7 Relationshipamongy c,kandc (b)0.5s (c)0.75s 图 8 y c 0.95 时 k 和 c 的取值 Fig.8 Relationshipbetweenkandcwheny c 0.95 图 9 是有弹性阻尼 (k=500n/m c=20ns/m) 与无弹性阻尼 2 种支承条件下梁的位移分布曲线, 图 10 是 2 种支承条件下梁跨中相对与端点 A 的位移时程曲线由图 9 和图 10 可得出, 在地震荷载作用下, 弹性阻尼支承梁可以有效减小构件的相对位移, 在 k=500 N/m c=20ns/m 的弹性阻尼支承作用下梁的跨中相对端点 A 的最大位移为 0.020m, 无弹性阻尼支承梁的跨中相对端点 A 的最大位移为 0.025m, 相差 20% 但在一定时刻内弹性阻尼支承梁端部的绝对位移会超 (d)1s 图 9 不同时刻梁的位移分布 (k=500n/m,c=20ns/m) Fig.9 Displacementofbeamatdiferenttime

6 140 隧道建设第 31 卷参考文献 (References): 图 10 跨中相对位移时程曲线 Fig.10 Time dependedcurvesofrelativedisplacementatmid span 4 结论地震荷载作用下, 柔性支撑梁支座会产生一定的位移, 因此其动力响应比刚性支承梁复杂许多本文应用梁在刚性支承条件下动力响应的现有结论和第二类拉格朗日方程, 建立了地震荷载作用下弹性与阻尼支承梁的动力方程, 运用建立的动力方程对地震荷载作用下弹性阻尼支承梁的动力响应进行了较为系统全面的研究, 并与有限元计算结果进行比较分析, 主要结论有 : 1) 本文建立的动力方程物理意义明确, 易于推广应用于其它非刚性支承梁的动力分析运用文中的等效单自由度分析方法对弹性阻尼支承梁进行动力响应分析, 其计算结果与有限元计算结果基本一致, 可以运用该方法较为准确的分析地震荷载作用下柔性支撑梁的动力响应问题 2) 在地震荷载作用下, 合理设置弹性支承或者弹性阻尼支承的方式能够有效提高构件的抗震能力, 但采用该措施减小构件相对位移的同时可能会增大构件端部的绝对位移 [1] 方秦, 杜茂林. 爆炸荷载作用下弹性与阻尼支承梁的动力响应 [J]. 力学与实践,2006,28(2):53-56.(FANG Qin, DU Maolin. Dynamic response ofan elasticaly supportedbeamswithdampingsubjectedtoblastloads[j]. MechanicsinEngineering,2006,28(2):53-56.(in Chinese)) [2] DuMaoLin,FangQin,ChenLi.AnalyticalandNumerical PredictionforDynamic Responsesofan Elasticaly and DamplySupportedBeam SubjectedtoBlastLoads[C]// Proc.The 9th International Symposium on Structural EngineeringforYoung Experts.Beijing: Science Pres, [3] 方秦, 陈力, 杜茂林. 端部设置弹簧和阻尼器提高防护门抗力的理论与数值分析 [J]. 工程力学,2008,25(3): (FANGQin,CHENLi,DUMaolin.Theoretical andnumericalinvestigationsintotheefectsofspringsand dampers supported on ends on the increasing ofthe resistanceofblastdoors[j].engineeringmechnics,2008, 25(3): (inChinese)) [4] 宋春明, 王明洋, 唐正国. 柔性动边界梁在横向撞击下的动力响应 [J]. 解放军理工大学学报,2008,9(2): (SONGChunming,WANGMingyang,TANGZhengguo. Dynamicresponseofbeamswithflexiblesupportssubjectto transversalimpact[j].journalofplauniversityofscience andtechnology,2008,9(2): (inchinese)) [5] 宋春明, 王明洋, 王德荣. 爆炸荷载作用下柔性动边界拱的动力响应分析 [J]. 兵工学报,2008,29(7): (SONGChunming,WANGMingyang,WANGDerong. Analysisofdynamic responses ofarches with flexible supportssubjectedtoblastloads[j].actaarmamentar, 2008,29(7): (inChinese))

标题

第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik