解析面积等于 1 平方厘米的三角形有 3 个. 面积等于平方厘米的三角形有 8 个. (1) 面积等于 1 平方厘米的分类统计如下 : 1 3 底为, 高为 1 底为, 高为 1 底为 1, 高为 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 底为 1, 高为底为,

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钻苏
5 years ago
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用 N 表示多边形内部格点,L 表示多边形周界上的格点,S 表示多边形面积, 请同学们分析前几个例题的格点数. L 我们能发现如下规律 : S N 1. 这个规律就是毕克定理.

1 格点型面积例题精讲板块一正方形格点问题在一张纸上, 先画出一些水平直线和一些竖直直线, 并使任意两条相邻的平行线的距离都相等 ( 通常规定是 1 个单位 ), 这样在纸上就形成了一个方格网, 其中的每个交点就叫做一个格点. 在方格网中, 以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形, 例如, 右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形. 那么, 格点多边形的面积如何计算? 它与格点数目有没有关系? 如果有, 这两者之间的关系能否用计算公式来表达? 下面就让我们一起来探讨这些问题吧! 用 N 表示多边形内部格点,L 表示多边形周界上的格点,S 表示多边形面积, 请同学们分析前几个例题的格点数. L 我们能发现如下规律 : S N 1. 这个规律就是毕克定理. 毕克定理若一个格点多边形内部有 N 个格点, 它的边界上有 L 个格点, L 则它的面积为 S N 1. 例 1 用 9 个钉子钉成相互间隔为 1 厘米的正方阵 ( 如右图 ). 如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形, 这样得到的三角形中, 面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少? 面积等于平方厘米的三角形有多少个? 1

2 解析面积等于 1 平方厘米的三角形有 3 个. 面积等于平方厘米的三角形有 8 个. (1) 面积等于 1 平方厘米的分类统计如下 : 1 3 底为, 高为 1 底为, 高为 1 底为 1, 高为 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 底为 1, 高为底为, 高为 1 底为 1, 高为 3 =6( 个 ) =4( 个 ) =4( 个 ) 所以, 面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有 : =3( 个 ). () 面积等于平方厘米的分类统计如下 : 3 =6( 个 ) 1 =( 个 ) 所以, 面积等于平方厘米的三角形的个数有 :6+=8( 个 ). 例如图, 4 4 的方格纸上放了 16 枚棋子, 以棋子为顶点的正方形有个. 解析根据正方形的大小, 分类数正方形. 共能组成五种大小不同的正方形 ( 如右图 ). 1 1的正方形 :9 个 ; 的正方形 :4 个 ; 3 3 的正方形 :1 个 ; 以 1 1正方形对角线为边长的正方形 :4 个 ; 以 1 长方形对角线为边长的正方形 : 个. 故可以组成 ( 个 ) 正方形. 例 3 判断下列图形哪些是格点多边形? ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解析根据格点多边形的定义可知, 图形的边必须是直线段, 顶点要在格点上! 所以只有 ⑴ 是格点多边形.

3 例 4 如图, 计算各个格点多边形的面积. ⑴ ⑵ ⑶ 解析本题所给的图形都是规则图形, 它们的面积运用公式直接可求, 只要判断出相应的有关数据就行了. 方法一 : 图 ⑴ 是正方形, 边长是 4, 所以面积是 ( 面积单位 ); 图 ⑵ 是矩形, 长是 5, 宽是 3, 所以面积是 ( 面积单位 ); 图 ⑶ 是三角形, 底是 5, 高是 4, 所以面积是 ( 面积单位 ); 图 ⑷ 是平行四边形, 底是 5, 高是 3, 所以面积是 ( 面积单位 ); 图 ⑸ 是直角梯形, 上底是 3, 下底是 5, 高是 3, 所以面积是 ( 3 5) 3 1 ( 面积单位 ); 图 ⑹ 是梯形, 上底是 3, 下底是 6, 高是 4, 所以面积是 ( 3 6) 4 18 ( 面积单位 ). 巩固如果两格点之间的距离是, 能利用刚计算的结果说出相应面积么?( 教师总结 : 面积数值均扩大 4 倍.) 方法二 : 以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外, 我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发, 即用割补法或扩展法分别转化成长方形来求. 这一种方法很重要, 在下面的题目中我们还将使用这种方法! 如图 ⑶, 我们利用扩展法将其转化, 如图所示, 从图中易知三角形面积是长方形面积的一半. 如图 ⑷, 我们利用割补法将其阴影部分面积平移到右边, 转化成一个长方形, 从中易得平行四边形面积. 同理, 图 ⑸ ⑹ 也可利用同样的思想. ⑷ ⑸ ⑹ 例 5 如图 (a), 计算这个格点多边形的面积. I II III (a) (b) 解析方法一( 扩展法 ). 这是个三角形, 虽然有三角形面积公式可用, 但判断它的底和高却十分困难, 只能另想别的办法 : 这个三角形是处在长是 6 宽是 4 的矩形内, 除此之外还有其他三个直角三角形, 如下右图 (b), 这三个直角三角形面积很容易求出, 再用矩形面积减去这三个直角三角形面积, 就是所要求的三角形面积. 矩形面积是 ; 直角三角形 Ⅰ 的面积是 : 6 6 ; 直角三角形 Ⅱ 的面积是 : 4 4 ; 直角三角形 Ⅲ 面积是 4 4 ; 所求三角形的面积是 4 ( 6 4 4) 10 ( 面积单位 ). 方法二 ( 割补法 ). 将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形, 如 (c) 图. 因此三角形的面积是 : ( 面积单位 ). (c) 例 6 ( 新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题 ) 右图是一个方格网, 计算阴影部分的面积. 3

解析扩展法. 把所求三角形扩展成正方形 ACD 中. 这个正方形中有四个三角形 : 一个是要求的 AEF ; 另外三个分别是 : AE FEC DAF, 它们都有一条边是水平放置的, 易求它们的面积分别为 1.5cm, cm, 1.5cm. 所以, 图中阴影部分的面积为 : 3 3 ( 1.5 ) 4 ( cm ). 例 7 分别计算图中两个格点多边形的面积.

4 解析扩展法. 把所求三角形扩展成正方形 ACD 中. 这个正方形中有四个三角形 : 一个是要求的 AEF ; 另外三个分别是 : AE FEC DAF, 它们都有一条边是水平放置的, 易求它们的面积分别为 1.5cm, cm, 1.5cm. 所以, 图中阴影部分的面积为 : 3 3 ( 1.5 ) 4 ( cm ). 例 7 分别计算图中两个格点多边形的面积. ⑴ ⑵ 解析利用扩展法和割补法我们都可以简单的得到 ⑴ 的面积均为 9 面积单位.⑵ 的面积均为 10 面积单位. 点评一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢? 格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢? 下面我们就来探讨一下! 在巩固中, 我们发现两个图形面积相等. 进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是 8 个 ; 第二个图形边界上的格点数是 10 个, 包含在图形内的格点数也相等, 都是 6 个. 巩固求下列各个格点多边形的面积. ⑴ 解析 ⑴ L 1 ; N 10, ⑵ L 10 ; 16 ⑶ L 6 ; 1 ⑷ L 10 ; 13 ⑵ L 1 S N ( 面积单位 ); N L 10, S N ( 面积单位 ); N L 6, S N ( 面积单位 ); N L 10, S N ( 面积单位 ). ⑶ ⑷ 用 N 表示多边形内部格点,L 表示多边形周界上的格点,S 表示多边形面积, 请同学们分析前几个例题的格点数. 4

5 L 我们能发现如下规律 : S N 1. 这个规律就是毕克定理. 毕克定理若一个格点多边形内部有 N 个格点, 它的边界上有 L 个格点, L 则它的面积为 S N 1. 例 8 我们开始提到的乡村小屋的面积是多少? 解析图形内部格点数 N 9 ; 图形边界上的格点数 L 0 L S N 1 18 ( 单位面积 ). ; 根据毕克定理, 则例 9 右图是一个 8 1 面积单位的图形. 求矩形内的箭形 ACDEFGH 的面积. A H G C E F D 解析箭形 ACDEFGH 的面积 ( ) 4 8 ( 4 1) ( 面积单位 ). 例 10 右图中每个小正方形的面积都是 1, 那么图中这只狗所占的面积是多少? 解析图形内部格点数为 54, 图形周界上格点数为 19. 所以图形的面积为 : ( 面积单位 ). 巩固如图, 每一个小方格的面积都是 1 平方厘米, 那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米? 5

请你在图上选 7 个格点, 要求其中任意 3 个格点都不在一条直线上, 并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能大. 那么, 所围图形的面积是平方厘米. 解析为了使这 7 个点围成最大的面积, 这 7 个点应尽量在正方形的边或顶点上, 如图选取 7 个点, 围成面积最大. 最大面积为 5 5 0.5 3 3.5 ( 平方厘米 ).

6 解析方法一 : 正方形格点阵中多边形面积公式 :(N+ L -1) 单位正方形面积, 其中 N 为图形内格点数,L 为图形周界上格点数. 有 N=4,L=7, 则用粗线围成图形的面积为 :(4+ 7-1) 1=6.5( 平方厘米 ) 方法二 : 如右上图, 先求出粗实线外格点内的图形的面积, 有 1=3 =1.5,= =1,3= =1,4= =1,5= =l,6= =1, 还有三个小正方形, 所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l =9.5, 而整个格点阵所围成的图形的面积为 16, 所以粗线围成的图形的面积为 :16-9.5=6.5 平方厘米. 例 11 ( 小学数学奥林匹克竞赛试题 ) 5 5 的方格纸, 小方格的面积是 1 平方厘米, 小方格的顶点称为格点. 请你在图上选 7 个格点, 要求其中任意 3 个格点都不在一条直线上, 并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能大. 那么, 所围图形的面积是平方厘米. 解析为了使这 7 个点围成最大的面积, 这 7 个点应尽量在正方形的边或顶点上, 如图选取 7 个点, 围成面积最大. 最大面积为 ( 平方厘米 ). 例 1 ( 保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题 ) 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 1 日开幕, 下面的图形中, 每一个小方格的面积是 1, 那么 7 1 三个数字所占的面积之和是多少? 解析要计算三个数字所占的面积之和, 可以先分别求出每个数字所占的面积. 显然, 图中的三个数字都可以看作格点多边形, 根据毕克定理, 可以很方便地求出每个数字所占的面积. 值得注意的是 : 数字 7 内部有两个格点, 而数字和 1 内部都没有格点. 7 所占的面积为 : ; 所占的面积为 : ;1 所占的面积为 : 所以, 这三个数字所占的面积之和为 : 例 13 ( 第六届从小爱数学邀请赛试题 ) 两个边长相等的正方形各被分成 5 个大小相同的小方格. 现将这两个正方形的一部分重叠起来, 若左上角的阴影部分 ( 块状 ) 面积为 5.1cm, 右下角的阴影部分 ( 线状 ) 面积为 7.4cm, 求大正方形的面积. 6

解析块状部分与线状部分之间的部分称为 D, 则 D 与前者共 14 个方格, 与后者共 17 个方格, 19 因此每个方格的面积是 ( 7.4 5.1)( 17 14) ( cm ) 5 大正方形的面积为 19cm.

上述三块面积之和为 3 9 11 3. 因此, 阴影四边形 CEPQ 面积为 54 3 31. 板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指 : 每相邻三点成或, 所形成的三角形都是等边三角形. 规定它的面积为 1, 以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.

7 解析块状部分与线状部分之间的部分称为 D, 则 D 与前者共 14 个方格, 与后者共 17 个方格, 19 因此每个方格的面积是 ( )( 17 14) ( cm ) 5 大正方形的面积为 19cm. 例 14 ( 第六届华杯赛试题 ) 图中正六边形 ACDEF 的面积是 54,AP=PF,CQ=Q, 求阴影四边形 CEPQ 的面积. 解析如图, 将正六边形 ACDEF 等分为 54 个小正三角形. 根据平行四边形对角线平分平行四边形面积, PEF 面积 3, CDE 面积 9, 四边形 AQP 面积 11. 上述三块面积之和为因此, 阴影四边形 CEPQ 面积为板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指 : 每相邻三点成或, 所形成的三角形都是等边三角形. 规定它的面积为 1, 以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形. 关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式 : 如果用 S 表示面积,N 表示图形内包含的格点数,L 表示图形周界上的格点数, 那么有 S N L, 就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的倍与周界上格点数的和减去. 例 15 如图 (a), 有 1 个点, 每相邻三个点成或, 所形成的三角形都是等边三角形. 计算三角形 AC 的面积. A (a) C A E F D (b) C A Ⅰ Ⅰ' Ⅲ Ⅱ' Ⅱ Ⅲ' (c) C R A H E F D C G (d) 7

8 解析方法一: 如图 (b) 所示, 在 AC 内连接相邻的三个点成 DEF, 再连接 DC EA F 后是 AC 可看成是由 DEF 分别延长 FD DE EF 边一倍一倍二倍而成的, 由等积变换不难得到 S ACD, S AE 3, S FC 4, 所以 S ( 面积单位 ). 方法二 : 如图 (c) 所示, 作辅助线把图 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 分别移拼到 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 的位置, 这样可以通过数小正三角形的方法, 求出 AC 的面积为 10. 方法三 : 如图 (d) 所示 : 作辅助线可知 : 平行四边形 ARE 中有 6 个小正三角形, 而 AE 的面积是平行四边形 ARE 面积的一半, 即 S 3, 平行四边形 ADCH 中有 AE 4 个小正三角形, 而 ADC 的面积是平行四边形 ADCH 面积的一半, 即 S. 平行四边形 FGC 中有 8 个小正三角形, 而 FC 的面积是平行四 ACD 边形 FGC 的一半, 即 : S FC 4. 所以 S ( 面积单位 ). 巩固如图, 每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形, 计算 AC 的面积. A C 解析因为 N 5 ; L 3: 所以 S N L ( 面积单位 ). 例 16 求下列格点多边形的面积 ( 每相邻三个点或成面积为 1 的等边三角形 ). ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解析 ⑴ L 7 ; N 7, S N L ( 面积单位 ); ⑵ L 5 ; N 8, S N L ( 面积单位 ); ⑶ L 6 ; N 7, S N L ( 面积单位 ); ⑷ L 7 ; N 8, S N L ( 面积单位 ). 例 17 把大正三角形每边八等分, 组成如右图所示的三角形网. 如果大三角形的面积是 18, 求图中粗线所围成的三角形的面积. 解析图中有 ( 个 ) 小三角形, 那么一个小三角形的面积是 18 64, 图形内部格点数为 1, 图形周界上格点数为 4; 图形的面积为 : ( 面积单位 ), 进而得图形的面积为 :

法二 : 如下图, 我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个, 而将不完整的小正三角形分成 4 部分计算, 其中 1 部分对应的平行四边形面积为 4, 所以 1 部分的面积为, 3 4 部分对应的平行四边形面积分别为,8,6, 所以 3 4 部分的面积分别为 1,4,3.

9 例 18 如图, 如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米, 那么四边形 ACD 的面积是多少平方厘米? 解析法一 : 正三角形方形格点阵中多边形面积公式 :(N+L-)x 单位正三角形面积, 其中 N 为图形内格点数,L 为图形周界上格点数. 有 N=9,L=4, 所以用粗线围成的图形的面积为 :(9 +4-) 1=0( 平方厘米 ). 法二 : 如下图, 我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个, 而将不完整的小正三角形分成 4 部分计算, 其中 1 部分对应的平行四边形面积为 4, 所以 1 部分的面积为, 3 4 部分对应的平行四边形面积分别为,8,6, 所以 3 4 部分的面积分别为 1,4,3. 所以粗实线内图形的面积为 =0( 平方厘米 ). 例 19 把同一个三角形的三条边分别 5 等分 7 等分 ( 如图 1, 图 ), 然后适当连接这些等分点, 便得到了若干个面积相等的小三角形. 已知图 1 中阴影部分面积是 94 平方分米, 那么图中阴影部分的面积是平方分米. 1 解析图 1 中阴影部分占整个三角形面积的 5, 16 图中阴影部分占整个三角形面积的 49, 故图中阴影部分的面积为 94 例 0 将图中的图形分割成面积相等的三块 =00( 平方分米 ) 解析如右图所示. 例 1 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米, 问 : 大正六角星形面积是多少平方厘米? 9

解析如图, 涂阴影部分的小正六角星形可分成 1 个与三角形 PMN 全等 ( 能完全重叠地放在一起

有 6 4=4 个与三角形 PMN 全等的小三角形, 所以大正六角星形的面是小正六角星形的 3 倍,

解析将正六边形分成六个面积为 1 平方厘米的正三角形, 再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4

于是正六边形 ACDEF 被分成了 4 个小正三角形, 每一个小正三角形的面积是 6 4 0.

10 解析如图, 涂阴影部分的小正六角星形可分成 1 个与三角形 PMN 全等 ( 能完全重叠地放在一起 ) 的小三角形. 而图中的大正六角星形除去小正六角星形后. 有 6 4=4 个与三角形 PMN 全等的小三角形, 所以大正六角星形的面是小正六角星形的 3 倍, 即 48 平方厘米. 例 ( 第五届华杯赛试题 ) 正六边形 ACDEF 的面积是 6 平方厘米.M 是 A 中点, N 是 CD 中点,P 是 EF 中点. 问 : 三角形 MNP 的面积是多少平方厘米? 解析将正六边形分成六个面积为 1 平方厘米的正三角形, 再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4 个小正三角形. 于是正六边形 ACDEF 被分成了 4 个小正三角形, 每一个小正三角形的面积是 ( 平方厘米 ), 三角形 MNP 由 9 个小正三角形所组成, 所以三角形 MNP 的面积 ( 平方厘米 ). 例 3 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是平方厘米. 那么, 三角形 AC 的面积是平方厘米. S S S S ( 平方厘米 ) 解析 AC AD CD ACD 10

<4D F736F F D20B3F5B6FEC7EFBCBEB5DACBC4BDB2BFCEBAF3D7F7D2B5B4F0B0B8A3A8BCE2B6CBB0E0A3A92E646F63>

<4D F736F F D20B3F5B6FEC7EFBCBEB5DACBC4BDB2BFCEBAF3D7F7D2B5B4F0B0B8A3A8BCE2B6CBB0E0A3A92E646F63> 初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换旋转习题. 为等边内一点, = 3, = 3, 求证 : 以为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析绕点旋转到 ', 可得 ' 就是以为边构成的三角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64

解析 面积等于 1 平方厘米的三角形有 3 个. 面积等于 平方厘米的三角形有 8 个. (1) 面积等于 1 平方厘米的分类统计如下 : 1 3 底为, 高为 1 底为, 高为 1 底为 1, 高为 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 底为 1, 高为 底为,

解析面积等于 1 平方厘米的三角形有 3 个. 面积等于平方厘米的三角形有 8 个. (1) 面积等于 1 平方厘米的分类统计如下 : 1 3 底为, 高为 1 底为, 高为 1 底为 1, 高为 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 3 =6( 个 ) 底为 1, 高为底为,