4-5 曲線之切線 曲率及紐率
.1. 曲線切向量 切線 曲率
z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L
ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz >
ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx y y + λy z z + λz
切線的參數式方程式 x x + λx λ x x x y y + λy y y λ y z z + λz λ z z z
x x x λ y y y λ z z z λ x x x λ y y y z z z
x x x λ y y y z z z z z z y y y x x x 稱為切線的對稱式方程式
例題 4-17 求圓柱曲線 r < a cos, a sin, b > 在 π 6 處的切線向量與切線方程式
解 > < b a a r, sin, cos > < 6, 6 sin, 6 cos 6 π π π π b a a r > < 6, 1, 3 6 π π b a a r > < 6,, 3 6 π bπ a a r
< a a b > 解 r cos, sin, r < asin, acos, b > π π π r < asin, acos, b 6 6 6 > 1 3 r π < a, a, b 6 > a 3a r π <,, b 6 >
> < 6,, 3 6 π bπ a a r > < b a a r, 3, 6 π 在 6 π 處之切線方程式 b b z a a y a a x 6 3 3 π
為了進一步研究曲線之特性 我們引進弧長 s 做為曲線之參數 由於 s 是 的函數, 且 s d r d d
由於 s 是 的函數, 且 s d r d d 反之, 也是 s 的函數 s 因此曲線弧長 s 也可以做為曲線之參數 即曲線方程式可寫成 r r r s r s
d r 是單位切線向量 簡稱切向量 且記為 α 即 α d r
切向量的性質 1 α 與 d α d 互相垂直
d α d lim Δ s Δ Q Δ s 其中 Δ Q 表示 α s + Δ s 與 α s 的夾角 α s + Δ s Δ α s Δ Q α s
證明 α s α s + Δs 1 ΔQ Δ α s α s + Δs α s sin 解釋於黑板
d α lim Δs α s + Δs Δs α s d α α s + Δs α s lim Δ s Δs d α sin Δs ΔQ lim Δ s
d α sin Δs ΔQ lim Δ s d α ΔQ lim Δ s Δs d α lim Δ s ΔQ Δs
定義 4-4 稱 k s d r d α 為曲線 rs 在 s 點的曲率
當 k s 時 1 稱 ρ s k s 為曲線在 s 點的曲率半徑
以上討論的曲線方程式以弧長為參數 但大部分的實際問題 給出的曲線方程式不是以弧長為參數 如何由非弧長參數 來計算切向量 αs 與曲率 k s 可見下面的例子
例題 4-18 已知圓柱螺線 r < 4sin,4cos, 3 > 試求切向量 α s ks 與曲率
解 r < 4sin,4cos, 3 > r < 4cos, 4sin,3 > d 4cos + 4sin + r 3 16 + 9 5
α d r d r d d r d d d r < 4cos, 4sin,3 d r 5 > 1 < 4cos, 4sin, 3 5 >
> < 3, 4sin, 4cos 5 1 d r α > <, 4cos, 4sin 5 1 d dα d s k α d d d α d dα 5 1 4cos 4sin 5 1 + 5 4
.. 曲線的主法線向量 扭率
因為 α 是單位向量 所以 dα 與 α 互相垂直 已知 d α d d r d r
d r 若 時 則向量 β d r d r 1 k d α 是單位向量且與 α 垂直
定義 4-5 d r 稱向量 β d r 1 k d α 為曲線的主法線向量 請參閱下一頁的圖
n α β β 1 k d α α α, β 與 n 構成一個右手系, 且 n 1
d n 證明 : 平行於 β 因為 n 為單位向量 n d n 已知 n α d n d α α + n
d n α + n dα d n α + kn β d n α 則 則 d n α
d n α 又 d n n 因此 d n 平行於 β
定義 4-6 設 d r 則由 d n T s β s 所確定的函數 T s 稱為曲線在 s 處的扭率
因為 d n T s β s 且 β s 1 則 T s d n
k s d α 是曲線切向量 α 的夾角對弧長的變化率 同理 T s d n 是單位向量 n 的夾角對弧長的變化率
例 4-19 已知圓柱螺線 r < 4 sin,4 cos, 3 > 試求主法線向量 β 與 扭率 解答寫於黑板
例 4- 已知曲線 r 3 3 < a3,3a, a3 + > a > 試求曲率 k 與 扭率 T 解答寫於黑板
端點曲線的例子 二 只改變方向 而不改變模的 向量函數 它的端點曲線在 以原點為球心, 向量大小為半徑的球面上 稱為球面曲線
因此 x A x y A y z A z 稱為端點曲線 L 的參數式方程式
或寫成向量形式 r A i + A j + A k x y z < A, A, A x y z > 稱為端點曲線的向量式方程式
參數式方程式 向量式方程式 已知曲線的向量式方程式 很容易寫出曲線之參數式方程式 反之亦然
參數式方程式 向量式方程式之例子 圓柱螺線的參數式方程式為 x a cos y a sin z b
圓柱螺線的參數式方程式為 x a cos y a sin z b 圓柱螺線的向量式方程式為 r r a cosi + a sin j + bk < a cos, a sin, b >
例題 4-1 寫出點 p x, y, z 平行向量 a < a, a, a x y z > 的直線方程式
r OP + a 例題 4-1 之解答 p x, y, z a a OP M x, y, z o r
r OP + a r < x, y, z > + < a, a, a x y z > r < x + a, y + a, z + a x y z > 為直線之向量式方程式
向量函數的坐標型態 則稱 A 為變數 的向量函數 記作 A A 它的坐標形式 A A i + A j + A k x y z
.. 向量函數的導數 切線向量
定義 4- A : 向量函數 : 定數 Δ : 的增加量 Δ A A + Δ A : A 從自變數 變到 + 時的增量
z P Δ A Q A y A + Δ x L
若下列極限存在 A A A Δ + Δ Δ Δ A A A Δ + Δ Δ Δ Δ Δ lim lim 則稱此極限為向量函數 A 在 處的導數向量
記作 A A A d d A A Δ + Δ Δ Δ Δ Δ lim lim
若 > <,, A A A A y x 則 > <,, A A A d da A y x > < d da d da d da z y x,, k d da j d da i d da z y x + +
y yfx 的圖形 fa a x L: 過點 a,fa 的切線 L 的斜率 dy f a x a dx
z P Δ A Q A y A + Δ x L
Δ A 是 PQ 上一個向量 Δ 當 Δ > 時, 則與 Δ A 同方向 當 Δ < 時, 則與 Δ A 反方向
當 Δ 時,PQ 割線繞著 P 點轉動 且以點 P 處的切線為其極限的位置 因此, 向量 d A 在點 P 處的切線上 d 其方向指向 增大的方向
若 r A 是曲線的向量方程式 則 dr d A d 在曲線的切線上 d 而且指向增大的一方 我們稱 dr d A 為曲線 r A d d 的切線向量
例題 4-13 求三次扭曲線 r < a, b c >, 3 的切線向量 解 : r <, a, b c 3 > 所以曲線的切線向量為 r < a,b,3c >
導數向量的性質 設 f f 為純量函數 A A, B B, C C 為向量函數 則 1 d f A d df d A + f d A d
d d B A B d d A d B A d + 3 d d B A B d d A d B A d + 4,,,,,,,, d dc AB C d db A BC d da ABC d d + +
例題 4-14 試證 : 模為常數的向量函數與其導數向量函數 互相垂直 相當於證明 : A A
例題 4-14 的證明 : 設 A c 則 A A c d d [ ] d A A c d
[ ] c d d A A d d + A A A A A A A A 因此 A A
模為常數的向量為球面向量 因此其幾何意義為 : 球面曲線的切向量與球半徑垂直
.3. 弧長參數
前面所研究的曲線 r A 中參數 可以是時間參數或其他參數 其中一個非常重要的參數是弧長 S
若把曲線弧長 S 作為參數, 則曲線的眾多性質與公式有明確的意義 因此稱弧長 S 為曲線的自然參數
z P s Q r y r x L
弧長公式設曲線則 > <,, z y x r r + + z y x d r s
+ + z y x d r s z y x r s d d + +
d d s r r d r d r d dr dr r d d r dr r r d dr dr 1
d r d r d r 1 1 曲線弧長 s 做為曲線方程式的參數時 d r 切線向量 α 的模為 1 即切線向量是單位向量
練習 4-3 1. 求曲線 r < a sin, a sin, a cos > 在 π 3 的切線向量
解 : > < a a a r cos, sin, sin > < a a a r sin cos, cos, cos > < 3 sin 3 cos, 3 cos, 3 cos 3 π π π π π a a a r
> < 3 sin 3 cos, 3 cos, 3 cos 3 π π π π π a a a r > < 3 1, 1, 1 3 a a a r π > < a a a r 3,, 3 π
練習 4-3. 求圓柱曲線 r < cos,sin, > 在 π 4 的切線向量
解 : r < cos,sin, > r < sin,cos,1 > π π π r < sin,cos,1 > 4 4 4
π π π r < sin,cos,1 > 4 4 4 r π 4 <,,1 > r π 4 <,,1 >
練習 4-3. 求曲線 r < sin, cos, e > 在 的切線向量
解 : r < sin, cos, e > r < sin + cos,cos sin, e + e >
r解 : < sin + cos,cos sin, e + e > r < sin + cos,cos sin, e + e > <,1, 1>