9. 预备知识 第 9 章 IIR 数字滤波器设计罗劲洪 确定传输函数 的过程称为数字滤波器设计. 在大多数应用中, 关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标, 而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正 一种广泛应用的 IIR 滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数,IR 滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近 在设计数字传输函数 之前, 有两个关键的问题需要考虑 : 分析使用数字滤波器的整个系统的需求, 确定合理的滤波器频率响应指标. 确定所设计的滤波器是 IR 还是 IIR 数字滤波器.. 滤波器特性 : 通带 中, 阻带 中, : 通带截止频率 : 阻带截止频率 : 通带波纹 : 阻带波纹 : 通带峰值波纹 og db : 最小阻带衰减 og db 4.4 模拟低通滤波器的设计, for, for - / 模拟低通滤波器的归一化幅度指标 过渡比或选择性参数 : 分辨参数 : 4.4. 巴特沃兹逼近一个 阶模拟低通 Buttrorth 滤波器的 的幅度平方响应 : 巴特沃斯滤波器的设计 巴特沃斯滤波器可以由参数 和 完全确定 可以通过 指定通带截止频率 最小通带幅度 阻带截止频率和最大 阻带波纹来确定这两个参数, /, / 其中, : 通带截止频率 ; :. 阻带截止频率 og [ / ] og /. 3 og / og / 可由 和 或 确定 幅度响应 特点 : 通带内具有等波纹 ; 阻带内单调下降.Chbyhv 型逼近 该种滤波器 的幅度平方响应为 : 4.4.3 Chbyhv 逼近 和 若处, 幅度等于则 : 其中 :
.Chbyhv 型逼近 该滤波器有 : / / 幅度响应 阶数估计 : oh / oh / oh / oh / 与巴特沃斯滤波器的主要区别 :. Buttrorth 滤波器频率特性, 无论在通带与阻带都随频率而单调变化, 因此如果在通带边缘满足指标, 则在通带内肯定会有富裕量, 也就是会超过指标的要求, 因而并不经济. 更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内, 或均匀分布在阻带内, 或同时均匀在通带与阻带内, 这时就可设计出阶数较低的滤波器 这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成 特点 : 通带内单调下降 ; 阻带内具有等波纹 4.4.4 椭圆逼近 R / 其中 R x 是雅可比 Jobi 椭圆函数, 为与通带衰减有关的参数 特点 : 椭圆低通滤波器是一种零 极点型滤波器, 它在有限频率范围内存在传输零点和极点 椭圆低通滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性, 因此通带, 阻带逼近特性良好 3 对于同样的性能要求, 它比前两种滤波器所需用的阶数都低, 而且它的过渡带比较窄 og4 / 阶数估计 : og / ρ 四种滤波器的比较 : 巴特沃斯 : 通带和阻带均具有平滑幅度切比雪夫 I 型 : 通带内等波纹, 阻带平滑切比雪夫 II 型 : 阻带内等波纹, 通带平滑椭圆 : 通带 阻带内具有等波纹特性在相同条件下 阶数 波纹等, 过渡带宽度 : 巴特沃斯 > 切比雪夫 > 椭圆相位 : 巴特沃斯 切比雪夫在通带 3/4 内近似线性相位, 椭圆在通带 / 内近似线性相位 ρ ρ ρ 5 9 3 ρ 5 ρ 5 ρ 4.5 模拟高通 带通和带阻滤波器的设计 模拟高通 带通 带阻滤波器可以通过简单的频谱由低通原型滤波器得到 设计步骤 : 利用频谱变换, 由所需的模拟滤波器性能指标得到模拟低通滤波器的性能指标 低通原型滤波器设计 用相反的频谱变换将原型低通转换为所需的模拟滤波器. 模拟高通滤波器的设计 h, LP LP LP 变换 : 平面 平面
4.5. 模拟带通滤波器的设计 b 4.5.3 模拟带阻滤波器设计 b 9.. 数字滤波器指标 - 通带, 阻带 π for 最大通带衰减 : og db mx og mx 设 为采样频率, 和 分别为通带和阻带截止频率, 则归一化截止角频率为 : π, for π π π : 通带截止频率 : 阻带截止频率 : 通带波纹 : 阻带波纹 : 峰值通带波纹 og db : 最小阻带衰减 π π og db / π 归一化的数字低通滤波器幅度响应指标 9. IIR 滤波器设计的双线性变换法 9.. 滤波器类型的选择 IR 滤波器可以设计为线性相位, 并且总是稳定的 在多数情况下,IR 滤波器的阶数 IR 显著大于具有等效幅度响应的 IIR 滤波器阶数 IIR IR / IIR 通常为 的量级或更高. IIR 滤波器通常计算更简便 在很多应用中, 并不要求滤波器具有严格的线性相位, 在这些情况下, 通常会因计算简便而选择 IIR 滤波器. 双线性变换 有很多种变换方法可以将一个模拟传输函数 变换成一个数字传输函数, 从而使 域的数字传输函数保留 域的模拟传输函数的基本性质. 在这些变换中, 更多地使用双线性变换法来设计基于模拟原型滤波器变换的 IIR 数字滤波器 从 平面到 平面的双线性变换为 : 以上变换是一个一一映射, 它将 平面上的一点映射为 平面上的一点, 或将 平面上的一点映射为 平面上的一点 数字传输函数 和原型模拟传输函数 之间的关系为 : 3
双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从 的微分方程得到 的差分方程的一种变换 参数 表示数值积分的步长 y t t x τ dτ n n y n x τ dτ x τ dτ x τ dτ y n x τ dτ n n y[ n] y[ n ] { x[ n] x[ n ]} n n x n x n x τ dτ 双线性变换主要用在 : 用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标 用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波器的传输函数 参数 对 的表达式没有影响, 可以选择 来简化设计的过程 虚轴 单位圆 < < > > Im tn σ - R 令 :, tn tn 映射高度非线性, 由此引起的频率轴失真称为频率弯折. 低阶数字滤波器的设计 * 一阶巴特沃滋低通和高通滤波器 * 二阶带通和带阻数字滤波器二阶模拟陷波器的传输函数为 例一阶 Buttrorth 模拟低通滤波器的传输函数 : B 用双线性法, 得到低通 : B 同样, 高通可得 : 和 B B 4
5 B B 令 : 陷波频率 和 3-dB 陷波带宽 B 与常数 和 相关 / tn / tn B B o /π /π 9.3 低通 IIR 数字滤波器, Bu:.86689 5.84979.6586997 og og Choo 3,.58848 / ying biinr trnformtion to, gt th dird digit rnfr funtion: gnitud nd gin ron of hon bo:.397468.676858.59384.667 3
9.4 高通 带通和带阻 IIR 数字滤波器设计 第一种方法分为以下几个步骤 : St : 用式 tn 预畸所求数字滤波器 的数字频率指标, 从 而得到一个等价的模拟滤波器 的频率指标 St : 选取一种合适的频率变换, 将 的频率指标转换成原型低通滤波器 LP 的频率指标 St3: 设计模拟低通滤波器 LP. St4: 用步骤 中频率变换的逆变换将传输函数 LP 转换为. St5: 对传输函数 进行如式 9.4 所示的双线性变换, 从而得到所求的数字 IIR 传输函数 第二种方法分为以下几个步骤 : 步骤 : 用式 tn 预畸所求数字滤波器 的数字频率指标, 从 而得到一个等价的模拟滤波器 的频率指标 步骤 : 选取一种合适的频率变换, 将 的频率指标转换成原型低通滤波器 LP 的频率指标 步骤 3: 设计模拟低通滤波器 LP 步骤 4: 对传输函数 LP 进行双线性变换, 将其转换为 IIR 数字滤波器的传输函数 LP LP igning of LP LP 的数字频率指标 tn 与 相同类型的模拟滤波器频率指标 LP 原型低通滤波器 LP 的频率指标 步骤 5: 选取一种合适的谱变换将 LP 转换成所求的数字传输函数 LP 例 : 用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹 Buttrorth 低通滤波器, 技术指标为 :. 3π,. π,.5, 解 : 将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域.3π tn tn.595.π tn tn.349 模拟滤波器的选择因子.6377 og /.798 6.55 og/.954 取 7, 可用下两式来确定.55 选,.3669, 所求得的低通巴特沃兹滤波器为 7 7 / i / 3 采用双线性变换 i 7i 6
7 9.5 IIR 滤波器的谱变换 谱变换可以用来将给定的低通数字 IIR 传输函数 L 转换成另一个低通 高通 带通或带阻滤波器的数字传输函数. L 为了把一个有理的 L 变换成一个有理的, 必须为的一个有理函数 另外, 为了保证的稳定性, 应该将 平面单位圆的内部映射到平面的单位圆的内部. 为了保证将低通幅度响应映射成四种基本类型的幅度响应之一, 平面单位圆上的点必须映射成平面单位圆上的点. ẑ ẑ ẑ < < > > < > > < 为稳定的全通函数 ± ± ± L i i 实数或是以复共轭对的形式出现, 并且以保持传输函数的稳定 <. 低通滤波器到低通滤波器的变换 要把一个截止频率为 的原型低通滤波器 L 变换成另一个截止频率为的低通滤波器, 我们会用到变换 为实数 tn tn -.6.6 tn tn in in tn tn tn tn 利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以把截止频率为 的高通滤波器变换成截止频率为的另一个高通滤波器, 把中心频率为 的带通滤波器变换成另一个中心频率为的带通滤波器, 以及把中心频率为 的带阻滤波器变换成中心频率为的另一个带阻滤波器. 变换表带阻滤波器带通滤波器高通滤波器低通滤波器设计参数变换滤波器类型 in in o o tn ot o o tn tn o o 率 为预期高 低端截止频 率 为预期高 低端截止频. 其他变换 当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同, 即将这个限制条件加到表 7. 中的频谱变换, 可以得到修正的频谱变换为 率 带通滤波器的中心频 o
作业 : 9., 9.9b, 9., 9., 练习 9.6, 9.5. 8