升高二數學暑假作業 ( 請寫計算過程 ) 1. 在數線上有一個運動物體從原點出發,在此數線上跳動,每次向正方向或負方向跳 1 個單位,跳動過程可重複經過任何一點.若經過 6 次跳動後運動物體落在點 4 處,則此運動物體共有 種不同的跳動方法. 2. 擲一粒骰子三次,令 A 表示三次出現點數和為 9 的事件, B 表示三次出現點數積為 12 的事件,求 (1) n (A). (2) n (B). 3. 某動物園的遊園列車依序編號 1 到 7,共有 7 節車廂,今想將每節車廂畫上一種動物.如果其中的兩節車廂畫企鵝, 另兩節車廂畫無尾熊,剩下的三節車廂畫上貓熊,並且要求最中間的三節車廂必須有企鵝 無尾熊及貓熊,則 7 節 車廂一共有 種畫法. 4. 寫出樣本空間 S {1, 2, 3} 的所有事件為. 5. 某實驗室欲評估血液偵測老年癡呆症技術的誤判率 ( 即偵測錯誤的機率 ).共有 760 人接受此血液偵測技術實驗, 實驗前已知樣本中有 735 人未患老年癡呆症.實驗後,血液偵測判斷為未患老年癡呆症者有 665 人,其中真正未患 老年癡呆症有 660 人.試問此血液偵測技術的誤判率為. ( 化成最簡分數 ) 6. 有 5 種酒任意倒入 3 個不同的酒杯,每杯恰各倒入一種酒,共有 種倒法. 1
7.4725 的 (1) 正因數有 個, (2) 其中 3 的倍數有 個. 8. 用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖系列的四面體鋼架,圖中的小圈圈 表示焊接點,圖 1 有兩層共 4 個焊接點, 圖 2 有三層共 10 個焊接點,圖 3 有四層共 20 個焊接點.試問依此規律,推算圖 5 有六層共多少焊接點? 個. 圖 1 圖 2 圖 3 9. 某手機公司共有甲 乙 丙三個生產線,依據統計,甲 乙 丙所製造的手機中分別有 5%, 3%, 3% 是瑕疵品. 5 若公司希望在全部的瑕疵品中,由甲生產線所製造的比例不得超過 12,則甲生產線所製造的手機數量可占全部手機產量的百分比至多為 %. 10. 以 49 根火柴棒圍成如下圖的 n 個正方形,則 n. 11. 有十位同學數學成績分別為 78,54,72,85,76,58,62,67,51,77( 分 ),求 (1) 算術平均數為 分. (2) 中位數為 分. (3) 若每位同學成績各加 6 分,則 算術平均數變為 分, 中位數變為 分. 2
12. 有一群體有九位成員,其身高分別為 160,163,166,170,172,174,176,178,180( 單位:公分 ),此九人的 平均身高為 171 公分.今隨機抽樣 3 人,則抽到 3 人的平均身高等於母體平均身高的機率為. ( 化成最 簡分數 ) 13. 從 6 對夫婦中任選 4 人組成一委員會,求下列各方法數: (1) 任意選取,方法有 種. (2) 夫婦不能同時當選,方法有 種. 14. 設集合 S {1,2,,{1,2}},下列何者為真,請填入正確代號:. (A)1 S (B){1,2} S (C){1,2} S (D) S (E) S (F){ } S. 15. 彩票公司每天開獎一次,從 1,2,3 三個號碼中隨機開出一個.開獎時,如果開出的號碼和前一天相同,就要重 開,直到開出與前一天不同的號碼為止.如果在第一天開出的號碼是 3,則在第五天開出號碼同樣是 3 的機率是. ( 以最簡分數表示 ) 16. 設 A, B, C 為三集合,且 A B C,若 a A, b B, c C, d A, e B, f C,則下列何者為真,請填入 正確的代號:. (A)a C (B)b A (C)c A (D)d B (E)e A (F)f A. 17. 求 1 2 3 4 5 6 99 100. 3
18. 已知某地區人口近四年的成長率分別為 10%, 60%, 20%, 20%,則此地區人口這四年的平均成長率為 %. 19. 求下列各式之值: (1) C C 39 39 3x 2 x 1 2 3 4 5 10,則 C.(2) C C C C C. 12 x 2 2 2 2 2 20. 設集合 A {x 2 x 5}, B {x 2 x 7}, 求 (1)A B. (2)A B. 21. 從一個 10 人的俱樂部,選出一位主任 一位幹事和一位會計,且均由不同人出任,共有 種不同的方 法. 22. 棒球比賽每隊的先發守備位置有九個:投手 捕手 一壘手 二壘手 三壘手 游擊手 右外野 中外野 左外野各一位.某一棒球隊有 18 位可以先發的球員,由教練團認定可擔任的守備位置球員數情形如下: ( 一 ) 投手 4 位 捕手 2 位 一壘手 1 位 二壘手 2 位 三壘手 2 位 游擊手 2 位; ( 二 ) 外野手 4 位 ( 每一位外野手都可擔任右外野 中外野或左外野的守備 ); ( 三 ) 另外 1 位是全隊人氣最旺的明星球員,他可擔任一壘手與右外野的守備.已知開幕戰的比賽,確定由某位投手先發,而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定,並由人氣最旺的明星球員擔任一壘手守備,其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排,則此場開幕戰共有 種先發守備陣容. ( 當九個守備位置只要有一個球員不同時,就視為不同的守備陣容 ) 4
23. 某數學老師計算學期成績的公式如下:五次平時考中取較好的三次之平均值占 30%,兩次期中考各占 20%,期末 考占 30%.某生平時考成績分別為 68,82,70,73,85,期中考成績分別為 86,79,期末考成績為 90,則該生學 期成績為. ( 計算到整數為止,小數點以後四捨五入 ) 24. 在 (x 2y) 10 之展開式中 x 6 y 4 之係數為. 25.8 個人依 甲乙丙丁戊己庚辛 的順序橫坐一列,甲說: 我今年 10 歲,辛說: 我今年 52 歲,乙,丙,丁,戊,己,庚 6 人皆異口同聲的說: 坐在我左右的兩個人年齡加起來是我年齡的兩倍,則: (1) 庚今年 歲. (2) 乙,丙,丁,戊,己五人年齡的總和為 歲. 26. 調查某國家某一年 5 個地區的香煙與肺癌之相關性,所得到的數據為 (x i, y i ), i 1,2,3,4,5,其中變數 X 表示每人每年香煙消費量 ( 單位:十包 ), Y 表示每十萬人死於肺癌的人數.若已計算出下列數值: 5 xi 135, 5 2 xi 3661, 5 xy i i 2842, 5 yi 105, 5 2 yi 2209, i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 則 X 與 Y 的相關係數 r. n ( xi x)( yi y) xi yi n x y i 1 i 1 ( 參考說明:相關係數 r n n n n 2 2 2 2 2 2 ( xi x) ( yi y) xi n x yi n y i 1 i 1 i 1 i 1 n ) 5
27. 新新鞋店為與同業進行促銷戰,推出 第二雙不用錢 買一送一 的活動.該鞋店共有八款鞋可供選擇,其價 格如下: 款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 價格 670 670 700 700 700 800 800 800 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格 ( 例如:買一個 丁 款鞋,可送甲 乙兩款鞋之一 ).若有一位新新鞋 店的顧客買一送一,則該顧客所帶走的兩雙鞋,其搭配方法一共有 種. 28. 已知數列 a n 之前 n 項和 S n a 1 a 2 a n n 2 1,求 (1)a 1, (2)a 4, (3)a n. 29.50 個燈泡有 10 個是壞的,今任取三個,求含有壞的機率為. 30.12 生肖中,小林 小志 小玲三人中至少有兩人的生肖相同的機率為. 31. 甲 乙兩人欲向某人壽保險公司投保人壽保險,經保險公司精算師的精算後估計得知,甲 乙兩人再活 10 年的機率分別為 0.6 及 0.3,試求 (1) 兩人均再活 10 年的機率為. (2) 至少有一人再活 10 年的機率為. 6
1 2 6 32. 已知 a 0,若 ( ax ) x 展開後常數項為 1215,求 a. 33. 一等差數列 a 1, a 2, a 3,, a n,已知 a 1 a 3 a 5 15, a 1 a 3 a 5 45,若公差 d 為負數,則第 88 項 a 88. 34. 甲 乙 丙三人做數學題目,甲每做 3 題對 2 題,乙每做 4 題對 3 題,丙每做 5 題對 3 題,今三人同解一題,在 互不影響的情況下,此題被解出的機率為. 35. 袋中有 10 元紙鈔 20 張 100 元紙鈔 10 張 1000 元紙鈔 8 張,由袋中任取出 5 張,共有 種取法. 36. 求 (1 x 2 ) (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 10 展開式中, x 4 項的係數為. 37. 假設一個議題有甲 乙 丙三個方案, 12 個人採無記名投票表決,可以投廢票,開票的結果有 種可 能. 7
10 10 2 10 3 10 10 10 38. 求 C 2C 2 C 2 C 2 C. 0 1 2 3 10 39. 一個抽獎活動依排隊順序抽獎,輪到抽獎的人有一次抽獎機會,抽獎方式為丟擲一枚公正銅板,正面為中獎,反 面為沒中獎.獎品有三份,活動直到三份獎品都被抽中為止.則在排第四位的人可以抽獎的情況下,排第五位的人 可以抽獎的條件機率為. ( 化成最簡分數 ) 40. 全班男女生共 51 人,票選畢業旅行的目的地,每人限投一票,結果如表.現以簡單隨機抽樣,抽出兩人,若這兩 人都是女生,則這兩人都想去墾丁的機率是.( 以四捨五入取到小數兩位 ) 女 男 墾丁 10 10 澎湖 6 10 花東 9 6 41. 擲一公正骰子四次,出現點數依次為 x, y, z, u,求滿足 x y z u 的機率為. 12 12 2 12 12 12 0 1 2 12 42. 求 C ic i C i C. 8
43. 相同的蘋果 4 個,及相同的梨子 6 個,分給甲 乙二人,求下列各方法數: (1) 任意分,方法有 種. (2) 每人每種至少得 1 個,方法有 種. (3) 每人至少得 1 個,方法有 種. 44. 平面上有 10 個圓,均過一點 P,則此 10 個圓將平面最多分割成 個區域. 45. 小功家住在一棟 7 樓的電梯公寓,今天小功回家時有 5 人同時和小功一起進入 1 樓電梯欲往上,假設每人按下自 己想要到的樓層 ( 可相同或不同 ),請問電梯有 種停靠方式. ( 假設這期間電梯只會由下而上依次停靠 這 6 人所按的樓層. ) 46. 從玫瑰 菊花 杜鵑 蘭花 山茶 水仙 繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成一列,其中杜鵑及山茶都被選 到,且此兩盆花位置相鄰的排法有 種. 47. 隨機抽樣 100 位學生的數學期考成績,統計如表,試求 (1) 算術平均數 分. (2) 標準差 分.分數 0~10 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100 人數 0 0 5 15 25 20 15 10 5 5 48. 高三甲班共有 20 位男生 15 位女生,需推派 3 位同學參加某項全校性活動,班會中大家決定用抽籤的方式決定 參加人選.若每個人中籤的機率相等,則推派的三位同學中有男也有女的機率為. 9
49. 某次考試的平均分數為 30 分,標準差為 10 分,老師有感於學生考後認真訂正,決定將每個人的分數先加 100 分 再除以 2,則新的 (1) 平均分數為 分. (2) 標準差為 分. 50. 謙謙於年初購買一輛新車,售價是 60 萬元,售車人員告訴他:新車第一年的折舊率是 20%( 亦即車子的價錢只剩原來的 80%),以後每一年的折舊率是前一年車價的 10%,則: (1) 第二年年初時 (1 年後 ),該車價值為 元. (2) 第五年年初時 (4 年後 ),該車價值為 元. 51. 從盛滿 10 公升純酒精的容器中倒出 1 公升,然後用水填滿;再倒出 1 公升混合液,然後用水填滿;,這樣進行 5 次. (1) 按此程序進行 1 次後,問此時容器中有純酒精 公升. (2) 按此程序進行 2 次後,問此時容器中有純酒精 公升. (3) 按此程序進行 5 次後,問此時容器中有純酒精 公升. 52. 下表為五位同學的數學與物理的測驗成績,試問 1 號同學的 科較好. 編號 1 2 3 4 5 數學 85 80 84 72 94 物理 82 78 76 67 87 53. 將 庭院深深深幾許 七個字任意排列共有 種不同的排法. 10
54. 一玩具火車長鳴一次 3 秒,短鳴一次 2 秒,相鄰兩次鳴放間隔 2 秒,若歷時 30 秒,則共有 種不同的 鳴法. 55. 某燈泡公司有北 中 南三廠,產量比率為 30%, 30%, 40%,各廠產品不合格的比率依次為 1.5%, 1.2%, 1%, 某次在總倉庫中任意抽查產品一個,經檢驗為不合格,求此燈泡為南廠出品之機率為. 56. 圍棋名人賽,規定先贏 4 局者勝 ( 每局皆分勝負 ),最多 7 局就可產生名人,今由 B 君向名人 A 君挑戰,其前 3 局的成績為 A 君 1 勝 2 負,求 (1) 以後的比賽會有 種不同結局. (2)A 君可保名人頭銜的情形有 種. 57. 袋中有三個一樣大小的球,分別標示 10 分 20 分 30 分.重複自袋中取出一球後放回,記錄得分並累加,其中取出各球之機率皆相等. (1) 求抽三次後總分為 60 分的機率. (2) 遊戲 過三十 的規則是重複抽球,直到總得分大於或等於 30 分後停止,總得分恰為 30 分者輸,超過 30 分者贏.求贏得此遊戲之機率. 58. 袋中有七個白球,若干個黑球.今從袋中一次取出兩個球,已知此兩球同為白球的機率是 球? 7 22.請問袋中有幾個黑 11
59. 某銀行檢討 一年期 20 萬元的小額急用貸款,一年後還款 21 萬元 的申請資格.過去幾年的記錄顯示:申辦此 項貸款者一年後只有依約還款 21 萬元與違約不理 (1 元都不還 ) 兩種情形,沒有還一部分錢等其他情形發生;且 發現會還錢或不會還錢者與其年收入有關,兩者的累積次數分配部分圖形如下: 1200 1000 累 800 積 600 人數 400 200 不會還錢 900 750 800 500 600 400 10 20 30 40 50 60 年收入 ( 萬元 ) 60000 50000 累 40000 積 30000 人數 20000 10000 會還錢 17400 10000 4600 38100 29250 32200 10 20 30 40 50 60 年收入 ( 萬元 ) 問:一個年收入 30 萬元以下的貸款者,會還錢的機率為何? 答案 1.6 2.(1)25;(2)15 3.72 4., {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} 5. 2 19 6.125 7.(1)24;(2)18 8.56 9.30 10.16 11.(1)68;(2)69.5;(3) 74 75.5 12. 1 28 13.(1)495;(2)240 14.ABCDEF 15. 3 8 16.AEF 17.169150 18.20 19.(1)66;(2)165 20.(1){x 2 x 7};(2){x 2 x 2} 21.720 22.192 23.84 24.3360 25.(1)46;(2)140 26.0.875 27.21 28.(1)2;(2)7; (3) a n 2 ( n 1) 2n 1 ( n 2) 29. 243 490 30. 17 72 31.(1)0.18;(2)0.72 32.9 33. 165 34. 29 30 35.21 36.165 37.455 38.1 39. 11 14 40.0.15 41. 7 72 42. 64 43.(1)35;(2)15;(3)33 44.56 45.462 46.120 47.(1)55;(2)17.6 48. 90 119 49.(1)65;(2)5 50.(1)480000;(2)349920 51.(1)9;(2)8.1;(3)5.9049 52. 物理 53.840 54.36 55. 40 121 56.(1)10;(2)4 57.(1) 7 27 ;(2) 11 27 58.5 59. 29 30 12