機率. 先備知識 集合與元素 : () 子集 : 若 A 為 B 的子集 定義為 : 若 a A a B, 我們以 A B 表示 () 聯集與交集 :(a) 聯集 ( ): A B { x x A x B} (a) 交集 ( ): A B { x x A x B} () 差集 : A B { x A, x B} () 補集 : A' { x x A} (5)DeMorga s laws: ( A)' A ' ( A)' A '. 樣本空間與事件 當我們考慮一個不可準確預測將來出現情形的試驗 雖然我們不能更進一步了解試驗結果, 但是我們可以知道它所有出現的情況 那我們把所有出現情形收集成為一個集合, 我們把此集合稱為樣本空間, 那我們通常以 S 來表示 樣本空間中的每一元素稱為一個樣本點, 簡稱樣本 任何一個樣本空間的子集 E, 我們稱為一個事件 因此, 一個事件就是一個出現可能情形所形成的集合 如果一個事件都不會發生, 我們就稱為空事件, 以空集合的 表示 如果 A B, 則我們稱 A 與 B 為互斥事件 Note. 建議如果要看一些簡單集合的關係, 可以用 Ve dagram 來幫助判斷 我們底下介紹機率的 個 axoms 假設 E 是任意一個事件,S 是樣本空間, 則. 0 PE ( ) (Axom). PS ( ) (Axom). 若 A 與 B 為 個互斥事件, 則 PA ( B) PA ( ) + PB ( )(Axom) 事實上我們只簡化到高中需要用的即可, 如果要更嚴謹的定義, 請參考大學的機率課本 Property. 從這 個 axoms 我們可以推斷出一些很簡單的機率性質. PE ( ') PE ( ). 若 E F, 則 PE ( ) PF ( )
. PE ( E E) PE ( ) PE ( E) + Note. < < r < r+ + + PE E E + + PE r E E < < r ( ) ( ) ( ) ( ) PE ( E E) 總共有 C 種可能, 其中 r {,,, }. r r Proof.. PS ( ) (Axom) PE ( E') PE ( ) + PE ( ')(Axom) 與 我們留做練習, 通常我們把 稱作排容原理, 可以用數學歸納法做證明, 如果不用數學歸納法, 可以依照恰好 m 個事件發生去證明, 這個證明很囉唆, 但是是個很實用的定理, 有興趣的同學可以試著嘗試看看. 古典機率 在很多自然的情況下, 我們都會假設在樣本空間中的樣本點出現的情形是 equally lkely 如果我們考慮一個事件的樣本空間 S 是有限集合, 令 S {,,, } 則通常我們假設 P({}) P({}) P({ }) 從這裡我們也便可以得到 Axom( 想想看為什麼?), 如果我們希望它也要符合 Axom, 我們便可以得到 P({ }),,,, 這樣子的話它就同時符合 個 axoms 所以對於任意一個事件 E E ( ) PE ( ) S ( ) 此定義是由 Perre-Smo Laplace(Frace,79~87) 所提出, 也稱為古典機率定義 Note. 如果以後是樣本點所形成的集合, 我們會將 P({ }) 簡寫成 P (). 底下我們看看一些常見古典機率的問題 骰子骰子可說是我們日常生活中最常碰到的物品, 也是機率一開始最常討論的問題 通常我們投擲幾顆均勻的骰子, 我們常會關心它出現的點數和 當然我們可以碰到問題的時候, 在一個一個算它點數和的機率, 但為了方便起見, 我們還是
給下列的骰子表, 同學將其記住, 在解題目時會比較方便 A. 粒骰子表點數和 5 6 7 8 9 0 次數 5 6 5 B. 粒骰子表 點數和 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 次數 6 0 5 5 7 7 5 5 0 6 5 6 Remark. 除了這 個表之外, 我們一樣可以列更多粒的骰子表, 不過在這裡我們建議, 如果題目是 粒骰子以上, 建議利用重複組合 H 處理 不過不論是幾粒的骰子表, 它一定都會有前後對稱的特性 ( 上面紅線 邊左右對稱 ), 所以在背的時候我們只要被左半邊即可 注意 粒骰子表前面是 ++ 等等累加的形式, 到了 6 之後加的數以偶數遞減下來, 就可以比較容易記住 這裡要特別注意的是, 骰子在機率問題裡, 不管是相同與不同的骰子 一律視為不同 ( 與排列組合題目的最大差異 ), 這也是一般同學在一開始學機率的時候容易混淆的地方, 在這裡我們特別提出來, 因為以前我們在學集合的時候, 或是排列組合, 我們是看它所呈現的結果, 如果呈現的結果一樣, 我們是視為相同的 ( 方法數 ) 舉個簡單的例子, 如果一個盒子內有 隻白色粉筆, 隻黃色粉筆, 那我 們抽到白色粉筆的機率為何? 大家很容易就回答是, 但是如果我們就它出現的 所有情形就只有 種, 如果我們是只有考慮它出現的情形 ( 也就是說樣本空間所 形成的集合 ), 有同學可能就會回答, 但是我們可以很明顯的知道, 這個答案 是錯誤的 所以這裡要特別提醒的是, 機率是從結果去推斷他的過程, 我們是要討論它出現的情形, 到底是由哪隻粉筆提供的, 如果同學還是會搞混的話, 那就將結果記起來, 遇到機率的問題, 不論物品同不同, 一律視為不同, 如果把 隻粉筆視為不同, 很容易得到答案為, 比較不易搞混 Example. () 同時投擲 粒均勻的骰子, 則 粒出現點數和為 7 的機率? () 擲骰子 粒, 其點數和為 6 之機率? Soluto. 5 5 5 () 由骰子表知所求. 6 6 7 (), 5 6 ( 即前後相加為 8)
所以我們可以考慮其出現的點數符合下列方程式 : x+ x + x+ x ( x 6,,,,, x ) 8 6 0 0 0 H H 65 0 5 8 所求 5 6 5 96 Note. 從上面的題目我們可以歸納出一些結果, 首先我們如果點數太大的話, 我們會希望利用對稱性要換成小的, 因為人都是這樣的, 大家比較熟悉較小的數, 以及其算法, 對我們來說小的數比較簡單容易掌握, 但是要怎麼換呢? 我們可以發現如果是 粒骰子, 它前後對稱的必定是相加為 7, 所以如果我們要將 m 換成對稱的數, 我們只要考慮 7 m這個點數即可 當然我們還是可以按照正面去解, 但是同學如果真的去嘗試的話, 利用上述相同方法, 會發現所算出來的會太多, 這是為什麼呢? 由於我們事先隨意將點數分給 粒骰子, 在扣掉不合的情形, 但是因為點數小, 只有可能 粒骰子不合條件, 如果點數太大, 可能同時會有 到 粒骰子同時爆掉的情形, 這時候就不能用此方法了, 所以從這裡我們也可以看到對稱性的好處 ( 不過如果真的點數太大的話, 其實我們直接用窮舉法, 也是可以得到正確答案 ) 撲克牌我們簡單介紹撲克牌, 我們便可延伸出一些有關撲克牌的問題 撲克牌一般來說是 5 張牌 ( 不含 張鬼牌 ), 有 種花色 梅花 磚塊 紅心 黑桃, 每種花色各 張牌 (~), 共 種點數, 所以總共有 5 張牌 換句話說如果我們用花色可以分 類, 如果用點數可以分 類 Example. 一副 5 張之撲克牌 : () 任取 張, 張皆同花之機率? () 任取 張, 張皆不同花色之機率? () 任取 張, 張皆同點之機率? () 任取 5 張, 形成 two pars 之機率?( 型如 :) Soluto. C C () () 5 5 C C C () 5 C C ( C) C () 5 C 在撲克牌問題中, 最重要的就是要先選點數還是先選花色, 通常我們由題意便可 5
以判斷出應該以哪一個為主 還有一個地方是, 在 () 中所選取的點數各數相同 時最好一起討論, 不同的另外討論比較不會弄錯, 否則先任意取 點 C, 例如 選到,,, 但還可以考慮拿一個要拿 張, 再乘以 C, 得到的答案是會一樣的, 不過後者要很小心其最後拿一個要拿幾張, 這是很容易出錯的地方, 請同學要特別留意 配對其實配對的問題可以算是撲克牌問題的延伸, 撲克牌中如 full house, two pars 等等, 都是一種配對情形 ( 你要如何讓好幾張特殊的配對法配在一起, 可以勝過對方 ), 在日常生活中, 我們最常碰到的問題就是分左右的東西, 要如何配對在一起的問題, 或是舞會中男女配對情形, 底下我們就來看看鞋子配對的例子 Example. 袋子中有大小不同的鞋子 5 雙, 今由袋中任取 隻鞋子, 求 () 隻恰成 雙之機率 () 隻皆不成雙之機率 () 隻至少成 雙之機率 Soluto. 5 5 5 CC C () 所求 () 所求 () 所求 C 0 0 C C C 要注意的是由於鞋子通常有分左右腳, 所以大家比較不會混淆, 但是如果將鞋子改成相同襪子 ( 通常不分左右腳 ) 的話, 計算方法依然相同, 一樣利用到前面的觀念, 在機率問題中不管同不同, 一律視為不同 同學在做這個題目常常會有恰好與至少觀念的混淆, 所以在討論的時候, 0 Remark. 從上面的例子中, 我們會發現抽籤順序與中獎的機率無關, 如果有興趣的同學甚至可以一直檢驗到第 0 個人, 會發現所有人的機率還都是一樣的, 這是此類問題一個很重要的關鍵 但是一定還是會有同學很疑惑, 為什麼會一樣呢? 這是因為我們討論的時間點, 如果我們現在是在還沒抽獎前就討論 人的機率的話, 那麼此 人中獎的機率會是一樣的, 但是如果是在開獎之後我們在討論第 人 第 人機率的話, 那麼就會有影響了, 他們的機率會隨著第 人有沒有中獎而有所影響 這也就是我們後面要討論的條件機率, 或是如果有興趣的同學, 可以參照大學的機率課本中, 所介紹的 dcator 函數的概念取解釋這個題目, 但是這個結果非常重要, 請千萬不要以後第 個抽籤就很高興, 最後 個抽籤就垂頭喪氣, 事實上大家中獎的機會是一樣的! 生日
我們假設每個月出生的機率是相同的情形 Example. 有 人 () 任一人生日皆不同月份之機率? () 至少二人生日均不同月份之機率? () 除了恰有 人生日相同外, 其餘皆不同月份之機率? Soluto. () 0 () C P0 () Remark. 第 小題為什麼是 0 呢? 如果每一個月份排 人進去, 當 人排完, 最後 人一定會跟前面的人重複, 所以我們可以知道不可能全部的人皆不同月份, 所以當你要排的人, 比被排的物 ( 或事 ) 還要多的時候, 那麼這就一定不可能發生, 這就是著名的鴿籠原理, 其簡單的應用 抽籤 常常大家會有一個錯誤的觀念, 會認為先抽籤的比較好, 最晚抽籤的運氣最差, 但是真的是這樣嗎? 等我們看完底下的例子後我們再來回答這個問題 Example5. 0 隻籤中, 有 隻中獎籤, 現有甲 乙 丙 人, 按照此順序抽 隻, 且取後不放回, 求此 人分別中獎的機率各多少? Soluto. P ( 甲 ) 0 7 P ( 乙 ) + 0 9 0 9 0 7 7 7 6 P ( 丙 ) + + + 0 9 8 0 9 8 0 9 8 0 9 8 0 取放球 我們剛剛討論完抽籤是公平的 ( 不計順序 ), 那我們就來看看這個觀念好用的地方吧! 有時後轉個想法, 就可以輕鬆得到答案
Example6. 袋子中有 m 個紅球, 個白球, 每次取一球不放回, 則白球先取完的機率為何? Soluto. 所求 P( 最後一球為紅球 ) 紅 P( 第一球為紅球 )( 是公平的 ) m 最後 個 m+ 在這裡我們討論時, 要轉換個想法, 題目雖然問說白球先取完, 如果我們一一討論的話, 會很費功夫, 所以我們就想想最後 球是什麼, 因為白球先取完, 所以我們可以肯定最後是紅球, 再利用我們剛剛提的公平的概念, 這個題目便可以迎刃而解, 底下我們將結果列於底下 Remark.() P ( 白球先取完 ) 紅紅 + 白 () P ( 紅球先取完 ) 白紅 + 白 如果要更多顆球的話, 討論方法也一樣, 所以這個的實用性就可以比較廣 箱子與球 在這裡還是再一次提醒, 不論球同不同一律視為不同 Example7. () 將 個不同的球, 隨意放入 5 個編號不同的箱子中, 每箱放入個數不限, 則在指定的 個箱子中, 每箱恰有一球的機率? () 將 個相同的球, 隨意放入 5 個編號不同的箱子中, 每箱放入個數不限, 則, 每箱至多一球的機率? Soluto. 5!! () 所求 () 所求 C 5 5 也 不論是相同球或不同球得到的答案都一樣, 所以有可能題目不會再特別說明有沒有差異 猜拳 在日常生活中, 我們常常要解決事情時, 為了方便起見便會用猜拳決定, 不知道大家有沒有一個感覺, 雖然這是一個好方法, 但是當人多了以後, 就很難分出勝負了, 底下我們就來探討這個問題 Example8. 個人玩剪刀 石頭 布遊戲一次, 求下列機率 () 恰有 人勝 () 恰有 人勝 () 不分勝負 () 至少 人得勝
Soluto. C C () () C + C + C () + 6+ 7 7 C + C + C () 7 猜拳如果要分出勝負的話, 贏的人出了一種之後, 輸的人就要恰好與他對應輸的那一種, 所以輸的人沒有選擇 所以當人多的時候, 不分勝負的情況就有很多種, 例如 : 都出同樣的一種, 或是 種都有人出, 討論起來就很麻煩, 還要考慮出哪種有幾個人, 所以很麻煩, 因此我們都是考慮分出勝負的情形 ( 洽有幾人獲勝的情形 ), 會比較簡化 也因此為什麼當人多的時候很難藉由猜拳分出勝負 ( 太多種情形了 ) 原則上高中機率的主題, 我們都已經大致介紹並看過例題, 底下我們多延伸 個主題給有興趣的同學參考 Defto. 我們定義事件 A 的 odds 為 PA ( ) PA ( ) PA ( ') PA ( ) 也就是說, 我們可以從一個事件 A 的 odds 中了解 A 發生比 A 不發生的比例 舉 例來說, 如果 PA ( ), 則 PA ( ) PA ( '), 它的 odds 為 如果 odds 等於 α,, 一般我們更喜歡稱此假設下的 odds 為 α to 我們常常會考慮一個比賽, 並且求某個人獲勝的 odds. Example9. 甲 乙兩人交錯投擲 粒骰子, 以先擲得 6 點者為勝, 今由甲先擲, 求甲獲勝之 odds? Soluto. 5 5 6. P ( 甲 ) + ( ) + ( ) + 6 6 6 6 6 6 5 ( ) 6
5 5 5 5 5 5 P ( 乙 ) + ( ) + ( ) + 6 6 6 6 6 6 6 6 5 ( ) 6 6 6. 甲獲勝之 odds 5 5 在此之前我們所碰到的問題, 都是出現結果是有限多個, 如果結果有無限多個, 而且可以用幾何圖形表示, 那麼我們就可以用圖形的幾何度量 ( 如 : 長度 面積 角度等 ), 來定義某事件的機率, 進而處理相關的機率問題 因為通常一條線或是一塊區域等, 上面的點有無限多個, 我們不可能用 數 " 的, 因此我們必須引進另一種機率 底下我們就來介紹幾何機率的定義 Defto.( 幾何機率 ) 如果一個試驗其樣本空間 S 對應到某個幾何圖形, 則事件 A 的幾何機率為事件 A 的幾何度量與樣本空間 S 的幾何度量的比, 一樣以 PA ( ) 表之 介紹完其定義之後, 一樣的我們來看一個例題總結 Example0. 在邊長為 之正 Δ 內任選一點, 試求到三頂點的距離皆大於 Soluto.. S ( ) 9 9 9 7 9 9. A ( ) π ( ) π π 6 8 9 9 π 8 9. 所求 8 π π 9 8 6 的機率? 原則上古典機率我們介紹至此, 而高中機率還有一個很重要的主題, 也是日常生活中非常常用, 因為我們常常只知道一些 ( 部分 ) 情形下, 將會發生的機率, 尤其在很多的情形下, 我們所能掌控的只有一小部份, 因此在此條件下的機率就變的很重要, 以下我們就來開始介紹條件機率
. 條件機率 Defto. 一個試驗中, 在 B 事件發生的前提下 ( P ( B) > 0), 且 A 事件又發生, 則 A 在 B 中發生機率所佔比例, 我們稱為 在 B 中發生 A 之條件機率 ", 以 PA ( B) PAB ( ) 表示 其中 PAB ( ). PB ( ) Note. 我們常常會將上面這個式子改寫成 PA ( B) PAB ( ) PB ( ). 這個式子更是我們後面在講到貝氏定理的時候, 非常常用的一個公式 P( F) 是一種機率 條件機率也符合所有最原始的機率性質, 也就是說 PE ( F ) 符合 個機率的 axom. 底下我們將這樣的性質列於底下 : Proposto. (a)0 PE ( F). (b) PS ( F ). (c) 如果 A 與 B 為互斥事件, 則 PA ( B F) PAF ( ) + PB ( F). Proof. PE ( F) (a) E F F P( E F) P( F) 0 PE ( ) 0 PE ( F). PS ( F) PF ( ) (b) PS ( F). PF ( ) PF ( ) PA ( B) (c) PA ( B F) PF ( ) P(( A B) F) PF ( ) P(( A F) ( B F)) PF ( ) PA ( F) + PB ( F) PF ( ) PAF ( ) + PB ( F). 機率有的一些特性, 條件機率同樣也有, 例如條件機率一樣有排容圓理, 在此既不詳加敘述性質, 只是一般機率的推廣 5. 貝氏定理 分割
() A A A S Defto. 滿足, () A Aj, j 則我們稱 { A, A, A } 為樣本空間 S 的 一個分割 Note. 基本上我們在這邊雖沒有要求 A, 但是 是一種無效的分割 ( 沒有任何元素在裡面 ), 所以我們通常還是會假設 A ( 或是條件更強一些的 PA ( ) > 0). 換句話說, 如果有一個樣本發生了, 它只會在一個 ( 且一定會在一個 ) 事件中 發生 而且我們可以得到 B B A. 而且我們可以知道 B A,,, 是完 全互斥的, 所以我們可以將機率改寫 : PE ( ) PB ( A) PB ( A) PA ( ). 從上面這個式子, 我們知道算一個事件的機率, 我們可以想成算條件機率 ( PB ( A )) 的加權平均數, 這個通常我們是用在知道條件機率好算的情況下 如果我們現在關心的是如果 B 發生的前提下, A k 的條件機率, 這便是所謂的貝氏定理 S Theorem.( 貝氏定理 ) 設 { A, A, A } 為樣本空間 S 的一個分割, B 為任意一事件, 若 PB ( ) > 0, PA ( ) > 0,,,,, 則對於 PA ( k) PB ( Ak) k {,,, }, 我們有 PA ( k B). PAPB ( ) ( A) 這裡只要將上面的式子帶入此式就可得到結果, 不過在這裡我們可以看到為什麼我們剛剛有提到有效分割, 否則可能條件機率就沒有意義了 ( 如果真有請形, 只要稍做調整, 把一些情形省略掉就一樣可以使用貝氏定理 ) Note. 通常我們在做貝氏定理的題目時, 因為我們可以將其分類成好幾種情況, 所以我們常常採用的是樹枝狀圖將其一一分類, 然後在每個岔路上寫下其條件機率, 便可以輕鬆求得原本機率, 所以在這裡我們建議在解題目是先把題意分成幾類, 然後在畫數枝狀圖, 便可以輕鬆解題 A B A A A 6. 獨立事件 在日常生活中, 或是以前的一些古典機率的問題, 其實我們通常都已經假設 有 獨立 " 這個假設, 如果簡單從字面上的意思就是說 事件 E 與 F, E 與 F 發
生的機會不會受另外一個影響 舉個例子來說, 例如我們投擲銅板時, 我們常常 假設每次擲的機率皆為, 也就是說前面擲銅板的機率, 不會影響到後面的情 形 因此研究 獨立 " 就變的很重要, 底下我們來看其數學上的定義 二事件獨立 Defto. 若 PA ( B) PAPB ( ) ( ), 則稱 AB, 為獨立事件, 某則稱為相關事件 Note. 要注意獨立事件與互斥事件的定義是不一樣的, 我們再把互斥事件的定義再敘述一次, 如果 A B, 則我們稱為互斥事件 PA ( B) 0. ( 反過來不一定成立, 尤其在幾何機率中, 例如線段上某一點它的長度為 0, 故它的幾何機率是 0, 但它並非, 這一點雖然在高中不強調, 但是有這樣的觀念在大學機率中的概念會比較清楚 也就是說一件事情它是會發生的, 但是它的機率居然是 0, 跟我們以前直觀的想法很不一樣 Example. 同時投擲一粒骰子與銅板, 骰子出現 6 點, 銅板出現正面的機率 ( 因為我們假設他們倆個事件不會相互影響, 所以我們把它們機率乘起來 ) 6 Proposto. 若 A 與 B 獨立, 則 : () A 與 B ' 獨立 () A ' 與 B 獨立 () A ' 與 B ' 獨立 () PAB ( ) PA ( ) (5) PAB ( ') PA ( ) Proof. 這裡的證明都很簡單, 我們挑 () 與 () 證明, 其他的留做同學練習,() 與 (5) 甚至只是定義的轉換而已 ( 因此有些書會依 () 定義 事件獨立 ) () PA ( B') PA ( ) PA ( B) PA ( ) PAPB ( ) ( ) PA ( )[ PB ( )] PAPB ( ) ( ') A與 B ' 獨立 () PA ( ' B') P(( A B)') A' 與 B ' 獨立 PA ( B) [ PA ( ) + PB ( ) PA ( B)] PA ( ) PB ( ) + PAPB ( ) ( ) [ PA ( )][ PB ( )] PA ( ') PB ( ') 我們討論完 事件的獨立, 自然地我們就想知道那麼 事件獨立的定義是什麼?
三事件獨立 () PA ( B) PAPB ( ) ( ) () PB ( C) PBPC ( ) ( ) Defto. 若, 則 A, BC, 事件獨立 () PC ( A) PCPA ( ) ( ) () PA ( B C) PAPBPC ( ) ( ) ( ) 有些同學會覺得很奇怪, 難不成我們不能只利用上面的條件, 就推到第 () 個式子也成立, 很遺憾的, 這是不行的, 底下我們就來看看這個反例 Example. 丟一粒均勻骰子 次 令 E 為點數和為 7 的事件,F 為第一次擲出 的事件, G 為第二次擲出 的事件, 試說明此 事件兩兩獨立, 但 事件不獨立 6 Soluto. PE ( ) ( 由 粒骰子表知 ), PF ( ) PG ( ), 而且 6 6 6 PE ( F) PEPF ( ) ( ), PF ( G) PF ( ) PG ( ), PG ( E) PGPE ( ) ( ), 6 6 6 但是 PE ( F G), PEPFPF ( ) ( ) ( ) PE ( F G) PEPFPG ( ) ( ) ( ), 6 6 事件不獨立 從上面這個例子, 我們發現到這 個條件真的都很重要, 缺一不可, 底下我們列出 個獨立事件的性質 Corollary. 若 ABC,, 事件獨立, 則 : () ABC,, ' 事件獨立 () A', B', C ' 事件獨立 這裡的證明皆與前面差不多, 當然還有其他幾個, 有興趣的同學自行證明即可, 我們討論完 個, 當然我們可以套更多事件獨立的情況, 但是由於太過繁瑣, 基本上到此即可, 相信其他的同學可以自己類推, 最後我們來看獨立事件簡單的應用題當做收尾 7. 應用 Example. 如果每個月出生的機率一樣 ( 不管年份 ), 則想找與自己同一月份出生的人, 至少要找多少人才會使碰上的機率超過 99%? ( log. 0.0, log. 0.079, log 0.00, log. 0.77) Soluto. ( ) > 99%
( ) < 0.0 (log log) < [( + log.) ( + log.)] < (0. 0.079) < > 5. 至少 5 人 0.078 從上面的題目中, 我們感覺好像與獨立沒什麼關係, 但是細細探究, 我們還是有 用到獨立的條件, 例如任何人我們碰到同月的機率皆為, 所以我們平常都非常常用這個概念, 只是很少去真的提出來 我們也看到機率與對數的結合應用, 當然還有更多的應用, 就請同學自行練習囉!