-1 平移一 圖形的平移 ( 座標軸不動 ): 1. 點座標的平移 : 設 P(, ), 將 P 沿 軸平移 h 單位, 沿 軸平移 k 單位得 P (, ), 則 PP = (, ) = ( h, k) = + h = h 或 = + k = k 例 : 點 (100,00) 平移 (,3) 得點 (10,03). 圖形方程式平移 : 將 f (, ) 之圖形沿 軸平移 h 單位, 沿 軸平移 k 單位, 則新圖形之方程式為 f ( h, k) h P(,) O P'(',') k (-) + (-3) =1 例 : 圓 + = 1平移 (,3) 得 ( ) + ( 3) = 1 + =1 E1. (1) 設 P(, 3) 若將點 P 依向量 ( 3,4) 方向平移長 10, 則 P 之新位置為? () 若坐標軸不動, 而 + = 1之圖形沿 軸方向移動 3 單位, 沿 軸方向移 5 16 ( + 3) ( ) 動 單位, 則移動後之方程式為? 答 : ( 4,5); + = 1 5 16 E. (1) 若將直線 3+6=0 向 軸正向平移 3 單位, 再向 軸負向平移 4 單位, 則新方程式為? () 若欲將橢圓 + 3 4 + 1 = 0 的新方程式變為 + = 1, 問要將橢圓 18 6 圖形如何平移? 答 : 3 = 1; 平移 (, ) 5--1-1/13
二 座標軸的平移 ( 圖形不動 ): 1. 座標軸的平移 (1) 在座標平面上, 不改變座標之單位長度與座標軸之方向, 僅改變原點位置, 建立一新座標系, 稱為座標軸之平移 () 座標平面上有一點 O, 其坐標為 (h,k), 經座標軸平移後, 以 O 為新原點建立新坐標系 平面, 若 P 點對原座標系之座標為 (,), 且 P 點對新座標系之座標為 (,), 其關係如下 : OP = OO + O P, = h, k +, = h +, k + ( ) ( ) ( ) ( ) = h = + h 或 = k = + k E3. (1) 以 O(h,k) 為新原點平移座標軸, 若點 (, 3) 的新座標為 ( 4,5), 求 (h,k)=? () C ( ) ( ) : 1 + + 1 = 4, 若將原點平移至 (3, 3) 為新原點, 求新方程式? 答 : (6, 8); ( ) ( ) + + = 4 ' O(0,0) P(,)=(h+',k+') O'(h,k) ' E4. 以 O (1, ) 為新原點, 將座標軸平移, 求方程式 新方程式? 答 : + + 9 15 + 30 + + 3 5 + 4 的 E5. 將座標系的原點沿著直線 = 往右上方平行移動 5 單位時, 曲線 Γ 的新方 程式為 3 + 4 = 1 形式, 求 Γ 的原方程式? 答 : 3 + 4 6 16 + 7 5--1-/13
三 平移化簡二元二次方程式 : 1. 目標 : 化簡方程式 ( 消去一次項 ) 要將 Γ : f (, ) = A + B + C + D + E + F Γ : f, = A + B + C + 0 + 0 + F 變成 ( ). 二元二次方程式 ( ) (1) 若 B Γ : f, = A + B + C + D + E + F 中, 4AC 0 (wh? 參見下方平移公式 ), 則可適當的選取新原點 ( h, k ) 利用平移消去一次項, 使方程式簡化 f, A B C D E F 0 () 設 ( ) = + + + + + = 經座標軸平移至新原點 (, ) f, = A + B + C + D + E + F 得新方程式 ( ) = + h (3) 將 = + k A = A 則 B = B C = C D = Ah + Bk + D 而 E = Bh + Ck + E 代入 f (, ) 中, ( 經過一番奮戰後!) 註 : 二次項係數不變 註 1: 一次項係數為原式分別對 對 偏微分後, 用 (, ) h k 代入 h k 後, 註 : 對 偏微分係指 : 僅視 為變數, 其餘 ( 含 ) 均視為常數, 進行微分 且 F = Ah + Bhk + Ck + Dh + Ek + F = f ( h, k ) 註 : 常數項係數 = 新原點之舊座標代入舊方程式 (4) 令 D, E 得平移公式 : CD BE, AE h = k = BD 3. 新原點 ( h, k ) 的求法 : B 4AC B 4AC (1) 應用平移公式 : CD BE, AE h = k = BD B 4AC B 4AC A + B + D () 偏微分法 : 將原式分別對, 對 偏微分, 得 B + C + E 聯立解得 即為新原點座標 ( h, k ) (3) 若 項之係數 B 為 0, 用配方法即可求得新原點座標 A = A D = Ah + Bk + D 4. 平移後係數整理 : B = B F = f h k E = Bh + Ck + E C = C 5. 結論 : (1) 求新原點 () 代回得新常數項 (3) 寫新方程式 ( 二次不變. 一次為零. 常數項已求得 ) (, ) 5--1-3/13
E6. 將座標軸適當的平移, 使方程式 + + + 4 + 5 + 6 的 項係數變為零, 得新原點坐標為? 新方程式為? 答 : ( 1, ), + + 1 E7. 平移座標軸到新原點 ( h, k ) 後, 二次曲線 式成為 6 + f, 則 (, ) 6 + 8 + 8 + 1 之新方程 h k =? f =? 答 : (1,-1), 4 E8. 將座標系 S 平移 ( h, k ) 得座標系 S, 若 P ( 1, 1) = ( 1, 1) 與 Q ( ) ( ) S S,, S S 求證 : ( ) ( ) ( ) ( ) =, + = + ( 保距性質 PQS = PQ S ) 1 1 1 1 E9. 設拋物線 = 上 P, Q 兩點, 將座標軸平移後, P, Q 之新座標為 P(3, 4), Q(8, 1), 則對原座標系而言, 新原點 O 之座標為? 答 : (1, ) E10. 試分別將原座標系適當平移, 使下列各圓錐曲線的新方程式以標準式表示 : (1) 9 + 4 + 36 8 + 4 () 6 + 4 + (3) 5 9 100 + 18 + 316 答 : + 4 9 =1; = 6 ; + = 1 9 5 E11. 將 = sin 的圖形平行 軸伸長 倍, 再將圖形沿 軸向右平移 π 單位, 所得的新圖形方程式為 = sin( a + bπ ) ; 若將 = sin 的圖形沿 軸向右平移 π 單位, 再將圖形平行 軸伸長 倍, 所得的新圖形方程式為 = sin( c + dπ ) 巳知 a, b, c, d 的絕對值不大於, 則下列那些敘述正確? 1 (1) a = c () b = d (3) a = (4) b = (5) d = ± 1[90 自 ] 答 : 1,4,5 5--1-4/13
- 旋轉 一 點的旋轉 ( 座標軸不轉 ): 1. 定義 : 將 平面之點 P (, ), 繞原點作 θ 的逆時針旋轉, 得一點 P (, ), 則其關係如下 : 利用複數極式的旋轉概念得 + i = ( + i)(cosθ + isinθ ) = cosθ sinθ = cosθ + sinθ. 公式 : 或 = sinθ + cosθ = sinθ + cosθ O θ P'(',') P(,) E1. (1) 在 平面上有一正 OPQ, 已知 O (0,0), P (,3), 求在第二象限的 Q 點座標 () 在 平面上有一正方形 OPQR, 已知 O (0,0), P (3,1 ), 且 Q R 都在第四象 3 3 3 限, 求 Q R 點之座標? 答 : ( 1, + 3) ; Q(4, ), R(1, 3) 二 座標軸的旋轉 ( 圖形不轉 ): 1. 定義 : 將 平面之座標軸旋轉角 θ, 得一新座標 平面, 若點 P 對原座標系之坐標為 (,), 對新座標系之座標為 (,), 則其關係如下 : 可視為點 (, ), P, 繞原點作旋轉角 ( θ ) 再利用複數極式的旋轉概念得 + i = ( + i)[cos( θ ) + i sin( θ )] = cosθ + sinθ = cosθ sinθ. 公式 : 或 = sinθ + cosθ = sinθ + cosθ 3. 記憶法 : ( 橫式 直式 ) cosθ sinθ sinθ cosθ 註 1: 同變數為 cosθ, 異變數為 sinθ ( 恰一負號緊鄰 ) 註 : 記軸轉, 不記點轉, 僅記軸轉與點轉相反 ( θ vs. θ ) ( sinθ vs. sinθ ) 即可 E13. 將座標軸旋轉角 π, 則點 P(4, ) 之新座標為? 答 : ( 3, ) 4 ' O r θ P P=r(cosα,sinα) S =r(cosβ,sinβ) S' θ = α - β ' E14. 將座標軸旋轉角 θ = cos, 若 Q 的新座標為 (, 1), 則 Q 點的原座標為? 5 答 : (, 1) 1 3 5---5/13
三 旋轉化簡二元二次方程式 : 1. 目標 : 化簡方程式 ( 消去 項 ) 要將 Γ : f (, ) = A + B + C + D + E + F S Γ : f, = A + 0 + C + D + E + F 變成 ( ) S Γ : f, = A + B + C + D + E + F 中. 二元二次方程式 ( ) (1) 若 B 0, 則可適當的選取旋轉角度 θ, 將座標軸旋轉利用旋轉消去 項, 使方程式簡化 ( B ) () 設 f (, ) = A + B + C + D + E + F 經座標軸旋轉角度 θ 後, f, = A + B + C + D + E + F 得新方程式 ( ) = cosθ sinθ (3) 將 代入 f (, ) 中, ( 經過一番艱苦的奮戰後!) = sinθ + cosθ 得新係數分別如下 : A = Acos θ + Bsinθ cosθ + C sin θ (Ugl!) B = ( C A)sinθ cos θ + B(cos θ sin θ ) = ( C A)sin θ + B cos θ (Ugl!) C = Asin θ Bsinθ cosθ + C cos θ (Ugl!) D = D cosθ + E sinθ E = Dsinθ + E cosθ F = F A C (4) 欲使 項之係數為 0, 即 B 即可 得 cot θ = B 註 1: 若 θ 不為特別角, 則可先求出 cos θ 之值, 再求 sinθ, cosθ 1 cosθ 1+ cosθ 註 : sinθ = ±, cosθ = ± ; 建議取 θ 銳角, 方便計算 3. 旋轉的重要性質 : (1) A + C = A + C ( 平方項係數之和不變 ) () B 4A C = B 4AC ( 判別式不變 ) A C = ± A C + B ( 欲轉銳角, 根號前符號取與 B 同號 )( 附錄一 ) (3) ( ) π (4) 若進一步限制 0 < θ < π, 即 0 < θ <, 則此 θ 唯一 π (5) 凡 A=C 時, 均旋轉, 即可消去 項 4 ' ' ' O θ O θ ' 5---6/13
4. 旋轉後係數整理 A C + = A + C (1) 平方項係數用 A C = ± A C + B () B (3) 一次項如右 : (4) F = F 不變 ( ) D E D cosθ sinθ E -sinθ cosθ 聯立解 5. 結論 : A C (1) 旋轉角度 θ 滿足 cot θ = B () 二次項聯立, 一次項轉, 常數項不變 (3) 若能 (when can t?) 搭配平移, 先去掉 D, E, 再旋轉掉 B, 剩三項 (^^) 附錄一 A C = A(cos θ sin θ ) + C(sin θ cos θ ) + B sinθ cos θ = ( A C)cos θ + B sin θ cos θ cos θ + sin θ B = B cot θ cosθ + Bsin θ = B + B sin θ = B = sin θ sin θ sin θ π 當 θ 銳角 0 < θ < 時, sin θ 正, A C 與 B 同正負號 π E15. 若將座標軸旋轉, 求方程式 + 3 + = 10 所表示圖形的新方程式為? 4 答 : 7 + E16. 旋轉座標軸, 方程式 7 + 4 + 4 = 5的圖形之新方程式不具 項, 並求其 新方程式 答 : 8 + 3 = 5 E17. 設 16 + 4 + 9 + 15 0 + 1, 將原座標系旋轉一個銳角 θ 後, 新方程式中不含 項, 試求 cot θ, cosθ, cosθ, sinθ 的值與新方程式 答 : 7 7 4 3,,, ; 5 5 + 1 4 5 5 5 E18. 求 5 6 + 5 = 3 ± 6, 6 之兩焦點座標 答 : ( ) E19. 求 1 ±, = 之兩焦點座標 答 : ( ) E0. 點 P 為橢圓 5 6 + 5 = 8 上任一點, O 表原點, 設 OP 長的最大值為 M, 最小值為 m, 求 M 與 m 之值 答 : M=, m=1 5---7/13
E1. 設座標系 S 旋轉 θ 得座標系 S, 若 P ( 1, 1) = ( 1, 1) 且 Q ( ) ( ) S S, =, S, 試證 : S (1) 1 + 1 = 1 + 1 ( 與原點保距 ) () 1 1 = 1 1 ( 保面積 ) + = + ( 保內積 ) (3) 1 1 1 1 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ( 保距 ) 1 1 1 1 E. 設座標系 S 旋轉 新座標為 ( ), ( ) P 1, 1 S π 得座標系 S, 若 P, Q 的原座標為 P(3, 8), Q(, 6), 8 Q, 試求 OP OQ 值及 OP Q 面積? 答 : 4, 17, S E3. 3 3 4 0 + + + = 經軸轉 θ 後, 可使其消去 項, 則 θ=? 答 : 6 π π E4. 將座標軸旋轉後, 一曲線之方程式為 6 答 : 5 3 + 7 = 16 + = 4, 求原方程式 π π E5. 橢圓 7 6 3 + 13 = 16, 試將座標軸繞原點轉動 θ 角 ( < θ < ), 使 軸與 橢圓之長軸重合, 則其方程式為? 又設橢圓至原點的最遠距離為 p, 最近距 離為 q, 則數對 (p,q) 答 : + = 1, (,1) 4 1 E6. 錐線 5 + 5 = 1上取一點 P(,) 到原點 O 之最長距離為?, 最短距離 為? 答 : 1, 1 6 E7. 若座標平面上滿足 + a + = 1的點 (,), 都滿足值? [93 自 ] 答 : + 1, 則 a 的最小 E8. 平面上有以座標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點 今將此四點以座標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形, 請問下列哪些敘述為真?(1) 該四邊形一定是正方形 () 該四邊形不可能是長與寬不等的長方形 (3) 該四邊形一定是平行四邊形 (4) 該四邊形一定是菱形 [91 自 ] 答 :,3,4 5---8/13
-3 二次曲線的標準化與圖形判別一 座標變換的不變量 : 1. 平移的不變量 : 二次方程式 A + B + C + D + E + F 經座標軸平移後 新方程式為 A + B + C + D + E + F, 則有 (1) 方程式圖形的大小形狀均不改變 () 方程式的次數不變 (3) A = A, B = B, C = C (4) B 4A C = B 4AC. 旋轉的不變量 : 二次方程式 A + B + C + D + E + F 經座標軸旋轉後 新方程式為 A + B + C + D + E + F, 則有 (1) 方程式圖形的大小形狀均不改變 () 方程式的次數不變 (3) A + C = A + C (4) B 4A C = B 4AC (5) F = F E9. 將座標軸旋轉 θ 角時, 二次曲線原方程式 A + B + C + D + E + F 新方程式 A + B + C + D + E + F 之間的不變量關係有 (A) A + C = A + C (B) B 4A C = B 4AC (C) F = F 1 1 (D) D + E = D + E (E) A + B + C = A + B + C 答 : 全 二 二元二次方程式的標準化 : A + B + C + D + E + F 之化簡 δ = B 4AC 0有心錐線 ( 橢圓, 雙曲線 ), 先平移後旋轉規則 : δ = B 4AC 無心錐線 ( 拋物線 ), 先旋轉後平移 1. δ = B 4AC 0型 (1) 用 -1 的平移方法變換成 Γ : f (, ) = A + B + C + F 註 : 平移量 ( h, k ), CD BE AE BD = B 4AC B 4AC Γ : f, = A + C + F () 用 - 的旋轉方法變換成 ( ) A C 註 : 旋轉量 θ 滿足 cot θ = B E30. 試利用座標軸的平移旋轉, 將方程式 13 + 10 + 13 + 36 + 36 標準 化, 並問長軸所在直線之斜率答 : + = 1, 1 4 9 E31. 設 P 為雙曲線 Γ: + 6 + + 10 + 1 上任一點, F 與 F 是 Γ 的兩個焦 點, PF PF =? 答 : 4 5---9/13
E3. 試求 4 + + 10 + 7 之中心點 標準式 正焦弦長 答 : (1,3), = 1, 9 3. δ = B 4AC 型 Γ : f, = A + C + D + E + F (1) 用 - 的旋轉方法變換成 ( ) 1 註 : 旋轉量 θ = cot 1 A C B Γ : f, = A + C + F () 用配方法的平移變換成 ( ) D E 註 : 平移量 ( h, k ) =, A C E33. 利用平移與旋轉化簡 16 + 4 + 9 + 15 0 + 1 為二次曲線標準式答 : = E34. 利用平移與旋轉化簡 + + 8 + 4 為二次曲線標準式, 求其頂點 1 3 焦點座標 答 : =, (1, 1), (, ) 三 二元二次方程式之判別式 : Γ : f, = A + B + C + D + E + F ( ) 1. 有心錐線判別式 : ( 小判別式 )( 二階行列式 ) 設 δ = A B B 4AC = B C, 則稱 δ 為 f (, ) 之有心錐線判別式 (1) δ 0 稱有心錐線 ( 橢圓類 δ < 0 雙曲線類 δ > 0 ) () 對稱中心 : CD BE, AE BD B 4AC B 或偏微分可得 4AC (3) δ 稱無心錐線 ( 拋物線類 ) 註 : 有心錐線係指有對稱中心點的圓錐曲線 E35. 二次曲線 ( ) ( ) k + k + + =, 其中 k 為實數, 則 (1)k=? 時, 圖形為拋 1 物線類 ( 含退化情況 ) () 若圖形為橢圓類, 則 k 的範圍為? ( 含退化情況 ) 答 : 7 或 1; 7<k<1 E36. 曲線 + 4 的圖形對稱於 M 點, 則 M 點的座標為? 答 : (, 1) 5---10/13
. 退化判別式 : ( 大判別式 )( 三階行列式 ) A B D 設 = B C E, 則稱 為 f (, ) 之退化判別式 D E F 註 : 大判別式內包小判別式 (1) 若 0, 則曲線非退化 : 圓 拋物線 橢圓 雙曲線 ( 用平移 旋轉等方法化簡後得標準式 ) () 若, 則曲線退化 : 無圖形, 一點, 相交兩直線, 平行兩直線 ( 用配方法 因式分解等方法得直線方程式或點座標 ) (3) 記憶法 : 法一 : A B D 含 項之係數照次序排列 (i) B C E D E F 含 項之係數照次序排列 (ii) 然後主對角線各元素乘 法二 : A B D (i) C E F 一次項係數及常數項照次序排列 先填右上半行列式 ( 由上而下 由左而右依序填入係數 ) (ii) 以主對角線為軸, 對稱至左下半行列式 (iii) 然後主對角線各元素乘 四 二次曲線圖形的判別 : δ > 0 δ δ < 0 0 雙曲線 拋物線 A < 0 : 橢圓 ( 含圓 ) A > 0 : 無圖形 兩條平行直線 兩條相交直線兩條重合直線無圖形 一點 註 1: 0 時, 用平移 旋轉等方法化簡得標準式 註 : 時, 用配方法或因式分解判別圖形 註 3: 若 f (, ) 表雙曲線, 中心 ( h, k), 則 f (, ) f ( h, k) 表其漸近線 E37. 方程式 6 + 13 + + k 表兩相交直線 ; 求 k=? 交點座標? 答 : 6, ( 1,1) E38. 方程式 + 3 + 4 + 1 30 之圖形為 (A) 拋物線 (B) 橢圓 (C) 雙曲線 (D) 二直線的聯集 (E)φ 答 : D E39. 求雙曲線 + 7 + 5 6 的共軛雙曲線及漸近線答 : + 7 + 5, +1=0, + 4=0 5---11/13
E40. 座標平面上, 當點 P(,) 在曲線 線 + 4 的距離的最小值? [9 自 ] 答 : 8 + + + 6 + 1 上變動時, 點 P 到直 E41. 下列各二元二次方程式, 何者之圖形表一個雙曲線? (1) + 3 + 4 5 + 1 () 3 + 4 + 7 6 (3) 4 4 + 1 + 6 + 5 (4) + + 4 1 (5) a + ( a + c) + c = k, k 0, a c [89 自 ] 答 : 1,4,5 E4. 判斷下列方程式的圖形 : (1) +6+ 14 10+9=0() ++ =0 (3)3 + 3 + 8+8 3 +1=0(4) + =4(5) +=0 答 : 雙曲線, 一點, 拋物線, 橢圓, 兩直線 E43. 求過五點 A( 3, 1), B( 3, ), C( 1, 1), D( 1, 0), E(, 1) 的二次曲線方程式, 並判斷它的形狀? 答 : 4 + + + 15 + 11, 橢圓 HINT: t AB CD + AC BD 1 E44. 設 = +, 下列選項何者正確? 1 (A) 其圖形為雙曲線 (B) 中心為 (1,1)(C) 其漸近線為 = (D) 當 >1 時, 有最小值 3(E) 當 <1 時, 有最大值 1 答 : ABCDE E45. 設, R, + + = 3( + + 3), 則 + 之最小值為? 答 : E46. 設橢圓 + + a + b + 3 之中心為 O (1,), 則 (1)(a,b)=? () 二焦點座標為? (3) 作長軸平行線交橢圓於 A B 二點, 則 O AB 之最大面積 =? 答 : (0, 6), (,3) 及 (0,1), 3 E47. 若方程式 4 + m 3 + n 4 的圖形表兩平行直線則 (1)m=?, n=? () 這兩行線之間的距離 答 : 4, 6; 5 E48. 3 + + a + b + c 表交於 (3,1) 之兩直線, 則 (a,b,c)=? 答 : ( 3,5,) 5---1/13
E49. 若方程式 3 + 8 + k + 16 + l 的圖形表兩垂直直線, 求此二線的交點 4 7 座標為? 答 : (, ) 5 5 E50. 若 ++ ++k=0 表一點, 則 k=? 答 : 7 4 E51. 試就實數 k 討論方程式 k 10 + k 4 15 圖形的分類狀況答 : k< 5 或 k>5, 橢圓類 ; k= 5 或 5, 拋物類 ; 5<k<5, 雙曲類 E5. 試就實數 k 的值討論方程式 + = 1的圖形答 : (1) 當 <k<8, k 5 為橢 k 8 k 圓 () 當 k< 或 k>8 為雙曲線 (3)k=5 為圓 (4)k=, 8 為 φ E53. 方程式 +3+ + 1=0 之中心座標為? 答 : (1, 1) E54. 判別以下方程式之圖形 : (1) 4+4 +3 6 8=0() ++ ++6=0 (3)9 +6+ +3++=0(4) +4 +8 16+3=0 (5) +5 +5=0(6) + 8 ++14 3=0 (7) +4+5 ++4 7=0(8) 4+5 + 8+5=0 答 : 兩平行直線 ; 拋物線 ; 無圖形 ; 一點 ; 雙曲線 ; 兩相交直線 ; 橢圓 ; 一點 E55. 求雙曲線 3 4 + 3 + 10 的漸近線方程式與共軛雙曲線方程式答 : 漸近線 1=0, + =0; 共軛雙曲線 ( 1)(+ )=8 E56. 試用雙曲線 + 4+6=0 的漸近線為新座標軸, 求它的新方程式答 : = 14 E57. 假設甲 乙是兩條圓錐曲線, 方程式分別為甲 : +B+C +D+E=1, 乙 : +B+C +D+E=, 請問下列敘述那些是正確的? (A) 甲乙兩條曲線不相交 (B) 如果甲的圖形是橢圓, 乙的圖形也是橢圓 (C) 如果甲是兩條相交直線, 則乙的圖形是雙曲線 (D) 如果甲在坐標平面上的圖形是乙的圖形往下平移一單位, 則甲乙的圖形均為拋物線 (E) 如果甲的圖形是雙曲線, 乙的圖形也是雙曲線 Ans: (A)(B)(C)(D) 5---13/13