中華民國 第49屆中小學科學展覽會

中 華 民 國 第 50 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 R 作 品 說 明 書 國 中 組 數 學 科 第 二 名 00419 魔 豆 連 連 看 學 校 名 稱 : 臺 北 市 立 蘭 雅 國 民 中 學 作 者 : 指 導 老 師 : 國 三 陳 宥 蓁 洪 明 瞭 國 三 林 詩 縈 關 鍵 詞 : 等 差 數 列 方 程 式

作 品 名 稱 : 魔 豆 連 連 看 摘 要 抽 芽 遊 戲 是 由 兩 人 在 紙 上 的 點 輪 流 連 線, 最 後 一 個 連 線 的 人 就 勝 利 了, 我 們 的 研 究 首 先 尋 找 抽 芽 遊 戲 的 規 則, 跳 脫 求 勝 的 策 略, 將 步 數 與 塊 數 的 最 大 與 最 小 範 圍 找 出 來 ; 接 下 來 改 變 抽 芽 遊 戲 的 玩 法, 研 究 連 線 數 與 方 法, 同 時 將 玩 法 推 展 為 四 面 體 的 遊 戲, 尋 找 遊 戲 的 規 律 壹 研 究 動 機 有 一 天, 我 們 在 數 學 遊 戲 這 本 書 上 看 到 了 抽 芽 遊 戲, 這 個 遊 戲 是 由 兩 人 在 紙 上 的 點 輪 流 連 線, 最 後 一 個 連 線 的 人 就 勝 利 了, 我 們 在 廝 殺 了 幾 局 之 後 越 玩 越 有 趣, 因 而 萌 發 研 究 的 動 機 我 們 玩 的 時 候 發 現, 可 以 下 出 的 步 數 及 圍 出 的 塊 數 皆 有 範 圍, 我 們 便 想 研 究 此 遊 戲 的 最 大 與 最 小 步 數 及 塊 數, 並 改 變 遊 戲 方 式, 觀 察 其 中 的 變 化 一 研 究 基 礎 抽 芽 遊 戲 的 步 數 塊 數 二 改 變 玩 法 並 研 究 步 數 塊 數 三 發 展 立 體 玩 法 貳 研 究 目 的 參 研 究 設 備 及 器 材 紙 筆 正 四 面 體 模 型 白 板 電 腦 Photo Ipact 軟 體 肆 研 究 過 程 與 方 法 一 玩 法 簡 介 : 先 在 紙 上 作 出 任 意 點, 最 好 是 -5 點, 兩 人 輪 流 在 點 與 點 之 間 連 線, 所 連 的 線 必 須 為 簡 單 曲 線, 即 無 論 如 何 都 不 會 疊 過 自 己 或 別 人, 每 一 個 點 可 有 線 連 出 來, 每 次 連 時, 只 能 連 接 兩 點, 或 可 包 含 自 己 做 一 個 封 閉 的 曲 線 ( 如 下 圖 ), 並 在 此 線 上 增 加 一 點 當 沒 有 點 可 連 線 的 時 候, 最 後 一 個 連 線 的 人 獲 勝 可 包 含 自 己 連 成 一 封 閉 圖 形 可 連 接 兩 點 我 們 將 研 究 分 為 三 種 玩 法 (1) 玩 法 一 : 原 始 的 基 本 玩 法 一 個 點 有 三 條 命, 每 連 一 條 線 增 加 一 個 點 () 玩 法 二 : 改 變 連 線 的 方 法 一 個 點 有 四 條 命, 每 連 一 線 穿 過 一 點, 並 增 加 一 個 點 () 玩 法 三 : 簡 化 遊 戲 一 個 點 有 ( ) 條 命, 連 線 時, 不 增 加 點, 也 不 穿 過 點 二 名 詞 解 釋 : 起 始 點 數 生 命 (DL): 每 一 個 點 可 連 出 的 線 例 : 有 個 點, 每 一 個 點 可 連 出 條 線, 共 有 9 條 命 1

步 數 (S): 玩 完 一 局 所 畫 的 線 數 S M : 最 大 步 數 S : 最 小 步 數 塊 數 (P): 由 線 所 圍 出 的 封 閉 圖 形 的 總 和 P M : 最 大 塊 數 P : 最 小 塊 數 穿 過 的 點 數 (TD): 每 連 一 條 線 所 須 穿 過 的 點 數 經 過 的 面 數 (TP): 立 體 玩 法 中 連 線 的 時 候 所 須 經 過 的 面 餘 點 (Ds): 遊 戲 結 束 後 所 剩 的 點 的 生 命 三 玩 法 一 : 原 始 玩 法 一 個 點 有 條 生 命,DL=, 每 連 一 條 線 可 增 加 一 個 點 ( 一 ) 步 數 =1 時, 只 有 一 種 走 法, 步 數 為 1 = 時, 有 兩 種 走 法, 步 數 分 別 為 4 5 = 時, 有 三 種 走 法, 步 數 分 別 為 6 7 8 因 為 連 線 方 式 的 不 同 會 造 成 最 大 與 最 小 的 步 數 不 同 我 們 將 起 始 點 與 走 法 步 數 列 表 如 下 : 起 始 點 S S Ds S M Ds 1 1 1 4 5 4 5 1 6 7 8 6 8 1 4 8 9 10 11 8 4 11 1 5 10 11 1 1 14 10 5 14 1-1 1 我 們 發 現 : 1. 每 個 點 有 條 命 (1) 每 連 一 線 可 增 加 一 個 點, 減 少 生 命 () 加 一 點 可 增 加 一 命 所 以 餘 點 數 = 起 始 總 生 命 數 - 步 數, 也 就 是 Ds=-S. 起 始 點 為 時, 要 走 出 S 要 留 下 最 多 餘 點, 代 入 規 律 =-S,S=; 同 理, 要 走 出 S M 要 留 下 最 少 餘 點 1, 代 入 規 律 1=-S,S=-1 符 合 規 律 Ds=-S ( 二 ) 塊 數 因 為 連 線 方 法 的 不 同, 造 成 塊 數 也 不 同, 我 們 把 起 始 點 數 與 塊 數 的 關 係 列 表 如 下 : 起 始 起 始 塊 數 P P 點 數 M 塊 數 P P M 點 數 1 4 4 5 6 5 6 4 6 7 8 6 8

5 8 9 10 8 10 6 9 10 11 1 9 1 奇 數 ( 1 ) + 1.P 的 分 析 偶 數 1 5 圖 示 P 5=( 1 5 1 ) + +=8 4 6 圖 示 4 6 P 6= =9 我 們 分 析 上 表 的 圖 形, 發 現 : (1) 為 奇 數, 每 個 起 始 點 為 一 組, 最 後 剩 下 1 起 始 點, 就 可 以 多 畫 一 個 =1 的 圖 形 () 為 偶 數, 每 個 起 始 點 為 一 組, 恰 好 不 留 起 始 點 () 所 以 P 在 奇 數 與 偶 數 的 情 況 下, 圖 形 會 有 所 不 同, 我 們 將 它 擴 大 並 推 展 至 發 現 當 為 奇 數 時,P = 1 ( ) + 當 為 偶 數 時,P = (4) 我 們 試 著 把 更 大 的 數 字 代 進 P 的 規 律 當 =9 時,P =14 當 =10 時,P =15, 經 畫 圖 驗 證, 規 律 是 正 確 的.P M 的 分 析 1 4

圖 示 圖 略 P M 4 6 8 每 一 個 起 始 點 最 多 圍 出 塊, 依 此 規 律 推 展 至 個 起 始 點, 最 多 可 圍 出 塊, 所 以 P M = ( 三 ) 步 數 與 塊 數 的 關 聯 1. 我 們 整 理 步 數 與 塊 數 種 類 的 關 係 如 下 表 : S Ds P 塊 數 種 類 S Ds P 塊 數 種 類 S Ds P 塊 數 種 類 1 1 1 9 11 10 5 1 6 4 10 1 4 8 10 5 1 4 1 11 4 9 1 5 11 6 5 10 1 6 5 8 9 5 1 9 10 7 14 4 4 6 10 6 11 8 1 6 1 9 1 1 8 4 7 10 10 8 14 1 10 1 15 11 6 1 9 7 11 4 16 8 1 7 17 1 1 1 10 8 11 1 8 1. 我 們 發 現 : (1) 在 S M 及 P M 的 狀 況 下, 只 有 一 種 類 型, 也 就 是 S M 時, 必 為 P M () 在 S 下,P 未 必 會 最 小,P 會 出 現 在 塊 數 種 類 最 多 的 範 圍 中 ( 四 ) 必 勝 : 由 於 勝 負 的 影 響 太 複 雜, 因 此 不 再 探 討, 而 專 注 於 研 究 步 數 與 塊 數 的 關 聯 四 玩 法 二 : 改 變 連 線 的 方 法 一 個 點 有 4 條 命,DL=4, 每 連 一 條 線 要 穿 過 一 個 點, 並 增 加 一 個 點 ( 一 ) 步 數 我 們 將 起 始 點 與 走 的 步 數 列 表 如 下 : 起 始 點 S S Ds S M Ds 1 1 1 1 4 4

( 二 ) 塊 數 4 5 6 5 4 4 5 6 7 4 8 7 5 5 6 7 8 9 5 10 9-1 我 們 發 現 : 1. 每 個 點 有 4 條 命 (1) 每 連 一 線 可 增 加 一 個 點, 減 少 4 生 命 () 加 一 點 可 增 加 生 命 所 以 1. 塊 數 的 切 割 方 式 起 始 總 生 命 數 餘 點 數 4 Ds = 步 數, 也 就 是 =S 4. 起 始 點 為 時, 要 走 出 S 須 留 下 最 多 餘 點, 代 入 規 律 =S,S= 同 理, 要 走 出 S M 須 留 下 最 少 餘 點, 代 入 規 律 符 合 規 律 4 Ds =S (1)P 我 們 將 一 至 四 點 的 P 以 圖 形 觀 察 : 4 =S,S=-1 1 4 圖 示 仿 照 這 樣 的 方 法, 再 繼 續 擴 大, 把 起 始 點 數 與 P 的 關 係 列 表 : 1 4 5 6 P 4 5 6 7 +1 從 點 開 始, 每 增 加 一 起 始 點, 最 少 增 加 一 塊, 因 此 個 起 始 點 就 會 有 +1 塊 ()P M 我 們 將 一 至 四 點 的 P M 以 圖 形 觀 察 : 1 4 圖 示 再 仿 照 這 樣 的 方 法, 繼 續 擴 大, 把 起 始 點 數 與 P M 的 關 係 列 表 : 1 4 5 6 5

P 5 8 11 14 17-1 發 現 點 開 始, 每 增 加 一 起 始 點 最 多 增 加 塊, 因 此 個 起 始 點 最 多 可 圍 出 -1 塊 ( 三 ) 步 數 與 塊 數 的 關 聯 1. 我 們 將 步 數 與 塊 數 種 類 的 關 係 列 表 如 下 : S Ds P 塊 數 種 類 S Ds P 塊 數 種 類 S Ds P 塊 數 種 類 1 1 1 6 7 4 4 7 8 4 5 10 8 5 6 1 9 4 1 9 10 6 4 10 11 6 5 8 1 6 9 9 6 5 6 8 4 10 10 4 4 7 11 7 10 11 5 5 8 1 10 1 5 7 6 11 6 1 4 8 6 4 1 11 7 8 4 1 8 8 1 4 8 1 1 7 9 14 1 14 5 6 8 1 9 9 6 14 9 15 6 4 10 15 10 4 7 11 1 16 11 17 1. 按 照 玩 法 一 的 方 式 觀 察, 我 們 發 現 : (1) 在 S M 及 P M 的 狀 況 下, 只 有 一 種 類 型, 也 就 是 S M 時, 必 為 P M () S 及 P 必 同 時 存 在 三 玩 法 三 : 簡 化 玩 法 一 個 點 有 ( ) 條 命,DL=, 連 線 時, 不 增 加 點, 也 不 穿 過 點 ( 一 ) 步 數 我 們 將 起 始 點 數 和 步 數 的 關 係 整 理 成 下 表 : S Ds S M Ds S Ds S M Ds S Ds S M Ds 1 0 0 1 4 0 4 0 1 5 0 5 0 6 0 6 0 8 0 8 0 10 0 10 0 6 8 9 0 8 11 1 0 10 14 15 0 4 11 1 0 4 15 16 0 4 19 0 0 5 14 15 0 5 19 0 0 5 4 5 0 7 1 1 1 9 1 4 1 4 1 7 0 7 0 8 0 9 0 10 1 10 1 1 1 1 1 6

4 1 14 0 4 17 18 0 5 17 19 1 5 1 1 我 們 發 現 : 1.S Ds (1) 因 為 每 走 一 步 總 共 減 少 兩 條 生 命, 可 推 出 =S () 要 留 下 最 多 的 餘 點, 才 能 走 出 S, 故 以 餘 點 數 來 探 討, 求 出 最 大 餘 點 總 生 命 數 後 Ds 再 以 ( =S), 換 算 出 S 由 於 在 畫 最 小 步 數 時, 為 奇 數 與 為 偶 數 的 圖 形 畫 法 不 同, 如 右 表 : 於 是 我 們 將 分 為 偶 數 奇 數 兩 部 分 來 討 論 : 為 奇 數 為 偶 數 () 為 偶 數 將 偶 數 生 命 數 () 起 始 點 數 () 及 餘 點 數 (Ds) 的 關 係 列 表 如 下 : Ds 4 6 8 10 1 14 16 18 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 4 4 4 4 4 4 4 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 8 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 9 4 6 6 6 6 6 6 6 6 8 10 4 6 6 6 8 8 8 8 8 8 11 6 6 6 8 8 8 8 8 8 8 1 6 8 8 8 8 8 10 10 10 10 1 6 8 8 10 10 10 10 10 10 10 14 6 8 8 10 10 10 10 1 1 1 15 8 10 10 10 1 1 1 1 1 1 16 8 10 10 1 1 1 1 1 1 14 17 8 10 10 1 1 1 14 14 14 14 18 8 1 1 1 14 14 14 14 14 14 19 10 1 1 14 14 14 16 16 16 16 0 10 1 1 14 16 16 16 16 16 16 1 10 14 14 16 16 16 16 18 18 18 10 14 14 16 16 16 18 18 18 18 1 14 14 16 18 18 18 18 18 0 4 1 16 16 18 18 18 0 0 0 0 5 1 16 16 18 0 0 0 0 0 7

6 1 16 16 18 0 0 0 7 14 18 18 0 0 0 8 14 18 18 0 4 4 4 9 14 18 18 4 4 4 4 0 14 0 0 4 4 4 4 4 6 1 16 0 0 4 4 6 6 6 6 16 0 0 4 4 4 6 6 6 8 16 4 6 6 6 8 8 8 4 16 4 6 6 8 8 8 8 5 18 6 8 8 8 0 0 0 6 18 4 4 6 8 8 0 0 0 0 7 18 4 4 8 8 8 0 0 0 8 18 4 4 8 0 0 0 9 0 6 6 8 0 0 4 40 0 6 6 0 4 4 4 41 0 6 6 0 4 4 4 6 4 0 8 8 0 4 6 6 6 表 格 中 用 紅 藍 黃 分 別 框 起 來 的 部 分 各 自 有 不 同 的 循 環 規 律, 而 顏 色 所 填 滿 的 部 分 則 區 隔 開 每 一 次 循 環, 以 方 便 觀 察 觀 察 上 表 的 規 律, 發 現 偶 數 部 分 可 分 為 兩 種 規 律 : a. =6k 及 =6k+ b. =6k+4 =6 =8 其 中 =6k 和 =6k+ 的 規 律 是 一 樣 的 因 為 以 =6 和 =8 為 例,= 發 現 這 兩 個 圖 只 差 三 個 紅 色 圈 圈, 和 Ds 無 關 而 上 頁 表 格 中 的 Ds 出 現 得 很 有 規 律, 整 理 如 下 : =6k =6k+ 規 律 =6k+4 規 律 6 1 18 4 8 14 0 6 10 16 8 我 們 發 現 : a. 當 =6k 及 =6k+ 時, 每 次 循 環 會 多 出 一 個 b. 當 =6k+4 時, 每 次 循 環 會 多 出 兩 個 整 理 了 上 面 的 規 律 後 歸 納 出 以 下 規 律 : 下 表 :Q 為 所 求 Ds 所 位 於 的 第 Q 次 循 環 x 為 第 Q 次 循 環 的 第 x 個 數 ( 除 了 =4 時, 不 遵 守 以 下 的 規 則, 其 他 的 生 命 數 皆 可 用 方 程 式 表 達 ) 當 =6k 及 =6k+, 起 始 點 數 = 時 例 一 : 求 =4 =4 例 一 : 求 =4 k=4 =4 k=4 8

每 k+1 循 環 一 次 (-)=(k+1)q+x 其 中 k+1 x>0 +Q k+t=ds x 為 奇 數 時,t=x-1 x 為 偶 數 時,t=x- x= k+1 時,t=x- x 剛 好 為 一 次 循 環 40=9Q+x,Q=4,x=4 +4 8+=6(x 為 偶 數,t=x-=) =4 =4 時, 最 大 餘 點 為 6,S =486 例 二 : 求 =6 =0 k=4 8=9Q+x,Q=,x=1 + 8+0=6(x 為 奇 數,t=x-1=0) =6 =0 時, 最 大 餘 點 為 6,S =77 當 =6k+4, 起 始 點 數 = 時 每 4k+4 循 環 一 次 (-)=(4k+4 )Q+x 其 中 4k+4 x>0 + (4k+)Q +t=ds 若 x k+ 且 為 奇 數 則 x-1=t (4) 為 奇 數 且 為 偶 數 則 x-=t 若 x=k+ 則 x-=t 若 k+<x 4k+ 且 為 奇 數 則 x-=t 且 為 偶 數 則 x-=t 若 x=4k+4 則 x-4=t x 剛 好 為 一 次 循 環 9 例 如 : 求 =8 =8 k=4 6=0Q+y Q=1 x=6 +18 Q +t 6 4+ 且 6 為 偶 數 t=x-=4 +18 1 +4=4 =8 =8 時, 最 大 餘 點 為 4,S =80 將 奇 數 生 命 數 () 起 始 點 數 () 及 餘 點 數 (Ds) 的 關 係 列 表 如 下 : Ds 5 7 9 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 4 5 6 4 4 4 4 4 7 5 5 5 5 5 8 4 4 6 6 6 6 9 5 5 7 7 7 7 10 4 6 6 8 8 8 11 5 7 7 9 9 9 1 6 8 8 8 10 10 1 7 9 9 9 11 11 14 6 8 10 10 10 1 15 7 9 11 11 11 1 16 8 10 1 1 1 1 17 9 11 1 1 1 1 18 8 1 1 14 14 14

19 9 1 1 15 15 15 0 10 1 14 16 16 16 1 11 1 15 17 17 17 10 14 16 16 18 18 11 15 17 17 19 19 4 1 16 18 18 0 0 5 1 17 19 19 1 1 6 1 16 18 0 0 7 1 17 19 1 1 8 14 18 0 4 9 15 19 1 5 0 14 0 4 4 4 1 15 1 5 5 5 16 0 4 4 6 6 17 1 5 5 7 7 4 16 4 6 8 8 5 17 5 7 9 9 6 18 4 6 8 0 0 7 19 5 7 9 1 1 8 18 4 8 0 0 9 19 5 9 1 1 40 0 6 0 4 41 1 7 1 5 4 0 8 0 4 6 4 1 9 1 5 7 將 每 一 次 循 環 的 規 律 用 顏 色 區 隔 開 來, 發 現 : a. 除 了 第 一 項 之 外, 以 後 皆 為 +1 個 數 為 一 循 環, 每 次 循 環 皆 重 複 前 兩 個 數 字 b. 根 據 上 面 的 規 則, 我 們 可 以 推 知 生 命 數 為, 起 始 點 為 時 餘 點 的 規 律 : 1,(0,1,,,,),(-1,,+1,, -,-1),(-,-1,,-,-) (a) 除 第 一 個 1 不 加 入 循 環 外, 每 +1 個 數 為 一 次 循 環 (b) 每 次 循 環 開 頭 的 規 律 0,-1,-,- (c) 每 次 循 環 結 尾 的 規 律,-1,-,4- -1 (d) 為 所 在 的 那 一 次 循 環 +1 便 可 得 出 計 算 餘 點 方 法 :(-1)-h(+1)+h(-1)-1=-h- Ds 最 後 再 利 用 =S, 即 可 求 得 S c. 例 =1 循 環 如 下 : 1,(0,1,, 0,1),( 0,1,, 40,41),(40,41,4, 60,61),60,61 10 ( x : 上 高 斯 符 號, 表 示 x 的 最 小 數 值 ) -1 其 中 h 為 最 靠 近 但 不 超 過 的 第 h 次 循 環 h= +1 x : 下 高 斯 符 號, 表 示 x 的 最 大 數 值 ) (

4 (a) 若 要 求 第 5 個 點 的 餘 點 數,=5,=1,h= =1 代 入 規 律 可 求 出 Ds=1,S =5 45 (b) 若 要 求 第 46 個 點 的 餘 點 數,=46,=1,h= = 代 入 規 律 可 求 出 Ds=40,S =46 ( 二 ) 塊 數.S M 在 每 一 點 都 確 實 連 到 的 情 況 下, 每 走 一 步 總 共 減 少 兩 條 生 命, 因 此 : S M = 我 們 將 =6 到 10 時 的 起 點 數 和 塊 數 的 關 係 列 表 如 下 : P P M P P M P P M 1 1 4 4 1 5 5 5 6 7 8 9 10 6 9 9 1 1 15 6 4 8 1 8 4 1 16 10 4 16 0 5 10 15 5 15 0 5 19 5 6 1 18 6 18 4 6 0 7 14 0 7 1 8 7 7 5 1 1 4 4 6 6 8 8 8 9 1 1 7 4 11 1 9 4 15 16 5 1 15 5 19 0 6 16 18 6 4 7 18 1 7 5 8 觀 察 上 列 表 格 發 現, 由 於 規 律 複 雜 不 易 深 入 探 討 塊 數 變 化, 所 以 只 用 圖 形 尋 找 循 環 規 律 1.P (1) 為 偶 數 a. 當 =6 時, 我 們 把 圖 形 的 規 律 列 表 如 下 : 6 塊 8 塊 10 塊 1 塊 14 塊 16 塊 18 塊 每 點 剛 好 為 一 個 完 整 的 獨 立 圖 形, 也 就 是 每 個 點 會 循 環 一 次, 循 環 點 數 為 b. 當 =8 時, 我 們 把 圖 形 的 規 律 列 表 如 下 : 11

9塊 1 塊 1 塊 18 塊 15 塊 4 塊 7 塊 每 點剛好為一個完整的獨立圖形 也就是每 個點會循環一次 循環點數為 c. =10 時 我們把圖形的規律列表如下 0 塊 4 塊 8 塊 4 塊 46 塊 5 塊 49 塊 60 塊 57 塊 每 8 個點剛好為一個完整的獨立圖形 所以每 8 個點循環一次 循環點數為 8 d. 當 =1 時 我們把圖形的規律列表如下 9 塊 44 塊 4 塊 9 塊 48 塊 每 5 個點剛好為一個完整的獨立圖形 所以每 5 個點循環一次 循環點數為 5 e. 我們將 值依 6k 6k+ 及 6k+4 分別列表觀察 P 與循環點數的關係 4 塊 6 1 18 4 6k 6k+ 循環點 循環 循環點數的 P 數的 P 點數 6 4 54 96 6 5 7 9 8 14 0 6 +1 9 9 61 105 ( ) + 1 + 6 f. 為偶數時 圖形上都會畫出如 1 6k+4 循環 點數 循環點數的 P 循環點數 5 7 9 10 16 8 +1 的花瓣型 0 80 154 5 1 ( ) 8 1 16 0 ( + )

(a) 每 長 出 一 朵 花 瓣, 會 減 少 中 心 點 的 三 條 生 命, 所 以 花 瓣 : 當 h. 利 用 循 環 點 數 的 P, 再 加 上 多 出 的 點 所 增 加 的 P, 計 算 出 所 有 起 始 點 數 的 P, 如 下 : 當 當 令 多 出 的 起 始 點 數 為 T, 完 整 的 花 朵 的 個 數 為 A, 所 以 A= 循 環 點 數 我 們 發 現 在 A=0 及 A>0 時, 會 有 不 同 的 結 果, 因 此 我 們 將 它 分 開 討 論 =6k 時 A= 整 除 時, 循 環 點 數 為 +1 +1 餘 1 時, 循 環 點 數 為 ( ) +1 餘 時, 循 環 點 數 為 (b) 因 此 計 算 塊 數 時, 只 要 算 出 一 朵 花 瓣 所 圍 出 的 塊 數, 再 乘 上 g. 當 =6k 時, 循 環 點 數 的 P = 6 ( ) 當 =6k+ 時, 循 環 點 數 的 P = 6 當 =6k+4 時, 循 環 點 數 的 P = ( = + + 1 我 們 將 =18 及 =4 和 起 始 點 數 P 的 關 係 列 表 : A=0 A>0 P 18 4 P 18 4 0 0 0 7 54 1 9 1 8 6 17 9 70 4 10 78 107 4 44 11 86 118 5 9 54 1 9 19 6 47 65 1 101 140 7 75 14 108 150 8 86 15 116 161 9 96 16 14 171 17 1 18 18 140 19 1 ) + 1 + 就 可 知 道 此 點 長 出 多 少 就 可 知 道 塊 數 1

表 格 中 塗 色 部 份 代 表 完 整 的 循 環 點 數 觀 察 圖 形 可 發 現 : A=0 時 P 是 由 一 個 點 逐 漸 增 加 點 數, 所 以 所 圍 的 塊 數 就 從 就 可 多 圍 出 塊 T= 時, 雖 然 多 的 點 所 圍 出 的 塊 數 沒 變, 但 中 心 點 圍 出 的 P 卻 少 了 一 塊 往 上 增 加 每 多 出 一 個 點 時, ( 圖 中 藍 線 為 中 心 點 圍 的 塊 數, 紅 線 為 T 圍 的 塊 數, 綠 色 的 點 中 心 點 ) 因 此 可 發 現 表 格 中 塊 數 增 加 的 變 化, 會 因 為 的 奇 偶, 呈 + 種 循 環 變 化 : 當 為 奇 數 時, 自 1 點 開 始 每 次 增 加 ( -1) 所 以 P = + (-) 當 為 偶 數 時, 也 會 每 次 增 加 數 ( ), 所 往 回 推 算 的 循 環 塊 數 ( A>0 時 由 於 圖 形 可 以 串 燒, 所 以 在 T=1 時 只 增 加 了 觀 察 表 格 可 發 現 : T 5 的 情 況 下, 塊 數 的 增 加 則 呈 + (a) 為 奇 數 塊, 而 不 是 塊 + -1=- 塊 及 + 及 + -1 的 種 循 環 變 化, P = 完 整 的 花 朵 P +T 為 時 圍 出 的 P + 往 後 每 增 加 點 多 圍 的 P -1 的 + -1=- 塊, 但 塊 數 會 從 第 一 個 點 的 塊 -1) 開 始 增 加, P =+ (-) 在 只 增 加 1 個 點 及 個 點 時, 增 加 的 塊 數 A>0 的 情 形 會 比 A=0 少 1, 在 增 加 點 以 後, 由 於 點 數 的 增 加, 用 多 出 的 點 自 己 圍 出 的 塊 數 就 是 最 小 塊 數, 所 以 在 T> 後,A=0 與 A>0 比 完 整 圖 形 所 增 加 的 塊 數 就 會 相 同 從 每 多 一 個 點 所 增 加 塊 數 的 差 值 發 現 : 在 T<5 的 情 況 下, 每 次 固 定 增 加 ( 紫 色 的 線 為 串 燒 ) 塊,P = 完 整 的 花 朵 P +T 圍 出 的 P =A( )+ 6 14

= A( )+ + 6 (b) 為 偶 數 (-) P = 完 整 的 花 朵 P +T 為 4 時 圍 出 的 P + 往 後 每 增 加 點 多 圍 的 P 4 = A( )+4 + (-) 6 =6k+ 時 由 於 =6k 與 =6k+ 的 循 環 點 數 是 一 樣 的, 所 以 規 律 相 同 ( ) + 1 +1 只 要 將 =6k+ 的 循 環 點 數 P 規 律 ( + ) 及 循 環 點 數 代 進 6 =6k 的 方 程 式 中 即 可 我 們 將 所 有 推 論 整 理 如 下 表 : A A = 0 A > =6k =6k+ + + 1 = 奇 數 = 偶 數 = 奇 數 = 偶 數 ( 1) P = + ( ) P = + ( ) P 0 ( ) = A( ) + 6 ( 1) P = + ( ) P = + ( ) T<5 T 5 P ( ) = A 6 + 1 ( ) + + = 奇 數 = 偶 數 = 奇 數 = 偶 數 ( ) + 1 ( ) + 1 P = A( ) + P = A( ) + 4 P = A + P = A + 6 6 6 6 ( )( ) ( 4)( ) ( )( ) ( 4)( ) + + + + + 4 + () 為 奇 數 奇 數 圖 形 以 花 瓣 方 式 仍 無 法 找 出 P, 反 而 是 以 下 圖 方 式 出 現 的 塊 數 為 最 小, 我 們 將 其 稱 為 花 瓶 圖, 以 下 是 我 們 的 計 算 方 式 計 算 P : 1 a. 先 算 花 瓣 數 = 花 瓶 數 = +1 花 朵 數 =- +1 1 b. 再 算 花 瓣 總 數 = + 1 15

花 瓶 總 生 命 數 = +1 c. 花 瓶 剩 餘 生 命 數 = +1 - d. 花 瓶 所 能 圍 出 的 塊 數 (a) 花 瓶 剩 餘 生 命 數 為 偶 數 : 花 瓶 P= (b) 花 瓶 剩 餘 生 命 數 為 奇 數 : 花 瓶 P= + 1 e. f. 最 後 將 花 瓣 數 及 花 瓶 P 相 加, 即 可 求 得 P 例 如 : 當 =15,=7 時 1 1 總 花 瓣 數 = (15-)=9 花 瓶 P= =0.P M 每 走 一 步 最 多 可 以 圍 成 一 塊 : P =5+=54 我 們 將 平 面 的 三 種 玩 法 的 步 數 總 規 律 列 表 : 1 + + 1 1 1 + + 1 在 = 偶 數 時, 每 條 線 皆 可 剛 好 圍 成 封 閉 圖 形 而 不 留 下 餘 點 在 = 奇 數 時, 則 會 多 出 一 條 線, 而 那 條 線 因 不 構 成 封 閉 圖 形 所 以 不 計 算 在 內 因 此, 為 偶 數 : P M = 玩 法 一 玩 法 二 玩 法 三 Ds=-S Ds=4-S Ds= -S 綜 合 以 上 這 三 種 玩 法, 我 們 找 到 了 ( 一 ) 步 數 的 規 律 ( 任 何 玩 法 皆 適 用 ) ( 二 ) S M 的 計 算 規 則 ( 任 何 玩 法 皆 適 用 ) Ds= DL +[-(TD+1)+ 加 的 點 數 (DL-)] S DL -(TD+1) S M + 加 的 點 數 (DL-) S M 0 ( 因 為 要 先 連 線 才 可 加 點, 計 算 時 要 先 減 後 加 ) 於 是, 平 面 抽 芽 遊 戲 研 究 告 一 段 落, 我 們 將 遊 戲 立 體 化, 而 最 簡 單 的 多 面 體 就 是 四 面 體, 因 此 就 從 四 面 體 開 始 發 展 :, 例 :=6,P M =6 ( 1) 為 奇 數 : P M =, 例 :=5,P M =4 四 平 面 總 規 則 : 16

五 四 面 體 的 抽 芽 遊 戲 ( 一 ) 四 面 體 抽 芽 遊 戲 的 玩 法 皆 與 平 面 玩 法 一 二 相 同, 只 改 變 了 計 算 塊 數 的 方 法, 連 同 四 面 體 的 面 也 算 在 內, 所 以 遊 戲 未 開 始 時, 就 有 4 個 基 本 面 ( 二 ) 同 時 做 了 以 下 的 限 制 : 紅 框 圈 起 來 之 部 分 視 為 無 意 義, 因 為 這 樣 的 連 線 方 法 和 不 穿 面 的 連 線 是 一 樣 的, 故 在 本 玩 法 中 不 能 使 用, 只 要 從 起 始 面 出 發 到 另 外 一 個 面, 就 必 須 要 穿 過 點 才 能 再 次 回 到 已 經 經 過 的 面 ( 三 ) 立 體 玩 法 1 以 平 面 玩 法 一 為 基 礎 :(DL=), 每 連 一 條 線 可 增 加 一 個 點, 規 則 為 Ds =S, 變 形 為 四 面 體, 並 改 變 經 過 的 面 數, 再 細 分 為 以 下 4 種 玩 法 1. 玩 法 1 1: 連 線 時 須 經 過 一 個 面 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 圖 解 列 表 如 下 : (1) 步 數 S 要 留 下 最 多 Ds, 所 以 要 將 餘 點 隔 開 將 剩 餘 的 Ds 限 制 在 最 少, 因 為 不 能 越 過 面, 所 以 剩 餘 Ds 為 最 少 () 塊 數 S :7(5Ds) S M :10(Ds) P :11 P M :14. 玩 法 1-: 連 線 必 須 經 過 兩 個 平 面 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 圖 解 列 表 如 下 : (1) 步 數 17

S 要 留 下 最 多 餘 點, 因 此 將 6Ds 集 中 至 同 一 平 面 上, 使 Ds 彼 此 無 法 互 相 連 線 為 了 走 出 S M, 要 留 下 最 少 餘 點, 因 此 要 將 ABCD 四 點 連 至 同 一 平 面 上 () 塊 數 S :6(6Ds) S M :11(1Ds) P :16 P M :6. 玩 法 1-: 連 線 必 須 經 過 三 個 平 面 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 圖 解 列 表 如 下 : (1) 步 數 為 了 走 出 S, 留 下 最 多 餘 點, 因 此 將 六 為 了 走 出 S M, 要 留 下 最 少 餘 點, 因 此 要 將 個 Ds 集 中 至 同 一 平 面, 使 Ds 彼 此 無 法 再 ABCD 四 點 連 至 同 一 平 面 上 互 相 連 線 S :6(6Ds) S M :11(1Ds) 與 玩 法 1- 沒 有 差 異 () 塊 數 P : P M :7 4. 玩 法 1-4: 連 線 必 須 經 過 四 個 平 面 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 圖 解 列 表 如 下 : 18

(1) 步 數 前 兩 步 各 將 一 個 點 圍 住, 第 三 步 把 兩 線 連 將 一 個 點 隔 絕, 令 其 他 三 個 點 互 相 連 線, 可 起 來, 形 成 三 個 區 塊, 共 三 步, 餘 1-=9Ds 走 出 最 大 的 步 數 8 步, 餘 1-8=4 Ds () 塊 數 S :(9Ds) S M :8(4Ds) P :16 P M :6 因 為 立 體 1-1 到 1-4 的 玩 法 中, 起 始 點 數 皆 已 固 定 為 4, 所 以 S S M 只 有 一 種 情 況 5. 我 們 將 不 同 的 玩 法 與 其 步 數 塊 數 整 理 如 下 : 玩 法 1-1 1-1- 1-4 Max Mi Max Mi Max Mi Max Mi S 10(Ds) 7(5Ds) 11(1Ds) 6(6Ds) 11(1Ds) 6(6Ds) 8(4Ds) (9Ds) P 14 11 6 16 7 6 16 Ds=1-S Ds=1-S Ds=1-S Ds=1-S 備 注 P =S+4 P=S +4 P=S +4 P=S 4+4 發 現 : (1) 步 數 a. 起 始 點 為 4, 每 個 點 有 條 命 b. 每 連 一 線 可 增 加 一 個 點, 減 少 生 命 c. 加 一 點 可 增 加 一 命 () 塊 數 所 以 餘 點 數 = 起 始 總 生 命 數 - 步 數, 也 就 是 Ds= 4-S 由 於 就 算 不 畫 任 何 線 也 有 基 本 面 4 面, 且 每 多 走 一 步 一 定 會 分 割 所 經 過 的 面, 所 以 可 得 以 下 規 律 :(TP= 經 過 的 面 數 ) P=S TP+4 ( 四 ) 立 體 玩 法 19

4 Ds 以 平 面 玩 法 為 基 礎 (DL=4), 每 連 一 線 須 穿 一 個 點, 增 加 一 個 點, 規 律 為 變 形 為 四 面 體, 並 改 變 經 過 的 面 數 = S, 1. 玩 法 -1: 連 線 只 能 在 同 一 平 面 上 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 圖 解 列 表 如 下 : (1) 步 數 4 面 體 有 4 個 點 4 個 面, 平 均 分 配, 每 面 可 將 A 點 拉 至 B 點 上 ( 可 視 為 4 個 點 在 一 個 配 一 餘 點, 最 多 留 (4 ) 個 Ds(4 步 ) 面 上 ) 所 以 最 少 剩 下 4Ds (7 步 ) () 塊 數 S :4(8Ds) S M :6(4Ds) P :1 P M :16. 玩 法 -: 連 線 需 經 過 兩 個 平 面 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 圖 解 列 表 如 下 : (1) 步 數 每 一 點 自 己 連 成 兩 個 圈, 將 點 加 在 內 圈, 每 個 點 都 連 到, 最 後 只 剩 下 Ds 最 後 剩 下 8Ds S :4(8Ds) S M :7(Ds) () 塊 數 0

P :0 P M :. 玩 法 -: 連 線 須 經 過 三 個 平 面 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 圖 解 列 表 如 下 : (1) 步 數 以 各 點 為 中 心 自 己 繞 兩 圈, 將 點 加 在 內 仿 照 1- 的 方 法, 將 點 連 至 同 一 平 面 上, 此 圈, 此 時 步 數 最 小, 共 4 步, 餘 16-4=1Ds 時 步 數 最 大, 留 最 少 Ds () 塊 數 S :4(8Ds) S M :7(Ds) P :8 P M :46 4. 玩 法 -4: 連 線 需 經 過 四 個 平 面 只 有 一 種 玩 法, 分 別 將 步 數 與 塊 數 的 結 果 列 表 如 下 : (1) 步 數 仿 照 1-4 作 法 仿 照 1-4 作 法 S :(10Ds) S M :5(6Ds) 1

() 塊 數 P :8 P M :44 我 們 發 現 1-4 和 -4 的 玩 法 中 所 畫 出 來 的 圖 只 差 在 是 否 多 繞 一 圈, 所 以 只 要 仿 照 前 面 1-4 的 畫 法 就 可 以 找 出 與 S 及 S M 5. 我 們 將 不 同 的 玩 法 與 其 步 數 塊 數 整 理 如 下 : 玩 法 -1 - - -4 Max Mi Max Mi Max Mi Max Mi 步 數 6(4Ds) 4(8Ds) 7(Ds) 4(8Ds) 7(Ds) 4(8Ds) 5(6Ds) (10Ds) 塊 數 16 1 0 46 8 44 8 備 注 16 Ds = S 16 Ds = S 16 Ds = S 16 Ds = S P=S +4 P=S 4+4 P=S 6+4 P=S 8+4 發 現 : (1) 步 數 a. 起 始 點 為 4, 每 個 點 有 4 條 命 b. 每 連 一 線 要 穿 過 一 個 點, 減 少 4 生 命 c. 加 一 點 可 增 加 命, 總 共 減 少 生 命 4 4 Ds 所 以 餘 點 數 = 起 始 總 生 命 數 - 步 數, 也 就 是 () 塊 數 因 為, 每 一 條 線 須 穿 過 1 點, 相 當 於 立 體 玩 法 1 的 步, 所 以 每 走 1 步 塊 數 加 TP 規 則 為 P=S TP +4 而 無 論 是 玩 法 1 或 玩 法, 塊 數 皆 可 由 S 每 走 一 步 所 分 割 出 的 塊 數 +4 來 計 算 ( 五 ) 綜 合 玩 法 1 和 玩 法 : 玩 法 1-1 1-1- 1-4 -1 - - -4 S 7 6 6 4 4 4 S M 10 11 11 8 6 7 7 5 P 11 16 16 1 0 8 8 P M 14 6 7 6 16 46 44 備 註 P =S TP+4 ;P M =S M TP+4 P =S TP +4 ;P M =S M TP +4 我 們 找 到 了 共 同 規 則 :(TD= 穿 過 的 點 數 ) P=S TP TD+4 = S

將 此 規 則 擴 展 至 多 面 體, 發 現 每 走 一 步 所 增 加 的 塊 數, 仍 然 和 步 數 經 過 的 面 數 穿 過 的 點 數 有 關, 只 要 在 最 後 加 上 原 本 就 有 的 基 本 面, 就 會 是 此 局 遊 戲 所 圍 出 的 塊 數, 因 此 可 推 出 規 律 : P=S TP TD+ 基 本 面 伍 研 究 結 果 一 平 面 玩 法 : ( 一 ) 玩 法 一 : 原 始 的 基 本 玩 法 一 個 點 有 三 條 命, 每 連 一 條 線 增 加 一 個 點 1. 我 們 整 理 S P 的 關 係 列 表 如 下 : 點 數 S S M P P M -1 偶 數. 玩 法 一 步 數 與 塊 數 的 關 聯 性 1 奇 數 ( ) + (1) 在 S M P M 下, 只 有 一 種 類 型, 也 就 是 S M 時, 必 為 P M () 在 S 中,P 未 必 會 最 小,P 會 出 現 在 塊 數 種 類 最 多 的 範 圍 中 ( 二 ) 玩 法 二 : 改 變 連 線 的 方 法 一 個 點 有 四 條 命, 每 連 一 線 穿 過 一 點, 並 增 加 一 個 點 1. 我 們 整 理 S P 的 關 係 列 表 如 下 : 點 數 S S M P P M -1 +1-1. 玩 法 二 步 數 與 塊 數 的 關 聯 性 (1) 在 S M 及 P M 的 狀 況 下, 只 有 一 種 類 型, 也 就 是 S M 時, 必 為 P M ()S 及 P 必 同 時 存 在 ( 三 ) 玩 法 三 : 簡 化 遊 戲 一 個 點 有 ( ) 條 命, 連 線 時, 不 增 加 點, 也 不 穿 過 點 1. 我 們 整 理 S P 的 關 係 列 表 如 下 : (1) 為 奇 數 點 數 S S M P P M 花 瓶 所 能 圍 出 的 P:. 為 偶 數 先 求 Ds: -1 - - +1 再 求 S : Ds =S (1)P 可 由 花 瓣 型 觀 察, 結 果 如 下 : 為 偶 數 : 為 奇 數 : 1 1 + + 1 1 + + 1 1 花 瓣 總 數 + 花 瓶 P=P + 1 起 始 總 生 命 值 偶 數 : ( 1) 奇 數 :

A A = 0 A > =6k =6k+ + + 1 = 奇 數 = 偶 數 = 奇 數 = 偶 數 ( 1) P = + ( ) P = + ( ) P 0 ( ) = A( ) + 6 ( 1) P = + ( ) P = + ( ) T<5 T 5 P ( ) = A 6 + 1 ( ) + + = 奇 數 = 偶 數 = 奇 數 = 偶 數 P = A( ) + 6 ( )( ) + () S S M 及 P M a. =6k =6k+ P = A( ) + 4 6 ( 4)( ) + ( ) + 1 P = A + 6 ( )( ) + + ( ) + 1 P = A + 6 ( 4)( ) + 4 + 點 數 S S M P M b. =6k+4 先 求 Ds: 每 k+1 循 環 一 次 (-)=(k+1)q+x 其 中 k+1 x>0 +Q k+t=ds x 為 奇 數 時,t=x-1 x 為 偶 數 時,t=x- x= k+1 時,t=x- Ds 再 求 S : =S 起 始 總 生 命 值 偶 數 : ( 1) 奇 數 : 點 數 S S M P M 先 求 Ds: 每 4k+4 循 環 一 次 (-)=(4k+4 )Q+x 其 中 4k+4 x>0 + (4k+)Q +t= 餘 點 數 若 x k+ 且 為 奇 數 則 x-1=t 且 為 偶 數 則 x-=t 若 x=k+ 則 x-=t 若 k+<x 4k+ 且 為 奇 數 則 x-=t 且 為 偶 數 則 x-=t 起 始 總 生 命 值 偶 數 : ( 1) 奇 數 : 4

若 x=4k+4 則 x-4=t Ds 再 求 S : =S ( 四 ) 平 面 步 數 規 律 : DL +[-(TD+1)+ 加 的 點 數 (DL-)] S=Ds ( 五 ) 平 面 S M 計 算 規 則 : DL -(TD+1) S M + 加 的 點 數 (DL-) S M 0 二 立 體 玩 法 : ( 一 ) 四 面 體 玩 法 規 律 : P=S TP TD+4 ( 二 ) 將 四 面 體 玩 法 的 規 律 擴 展 至 多 面 體 : P=S TP TD+ 基 本 面 陸 討 論 一 文 獻 探 討 : ( 一 ) 參 考 維 基 百 科 Sprouts (gae): 抽 芽 遊 戲 在 1967 年 由 J.Coway 和 M.Paterso 發 明, 當 時, 就 已 經 有 人 研 究 出 以 下 公 式 S M S 及 步 數 公 式 :( 為 起 始 點 數 為 步 數 p 為 不 構 成 餘 點 的 死 點 ) 二 平 面 玩 法 三 的 分 析 : ( 一 ) 為 偶 數 的 P 我 們 發 現 光 是 計 算 =6k 及 =6k+ 的 P 就 會 分 成 許 多 條 件, 須 考 慮 A=0 及 A>0 且 還 細 分 奇 數 及 偶 數, 十 分 複 雜, 而 =6k+4 則 分 為 七 種 情 況, 須 考 慮 A=0 及 A>0, 而 也 分 為 三 種 範 圍 並 細 分 奇 偶, 十 分 複 雜, 論 證 尚 未 完 成 ( 二 ) 步 數 與 塊 數 的 關 聯 性 1, 所 以 -1= S M + = + ( ) + p 起 始 點 + 步 數 = 終 局 後 的 點 數 = 餘 點 數 + 構 成 餘 點 的 死 點 + 不 構 成 餘 點 的 死 點 整 理 後 可 得 : = + p/4 因 此 = S 文 獻 中 把 封 閉 圖 形 外 的 部 分 也 當 作 一 塊, 所 以 可 得 尤 拉 公 式 -+f=( 為 起 始 點 數, 為 邊 數,f 為 塊 數 ) ( 二 ) 公 式 的 差 異 性 : 1. 文 獻 中 式 是 利 用 點 數 來 進 行 計 算, 而 我 們 研 究 出 的 規 律, 則 是 使 用 生 命 數 及 步 數, 因 此 在 計 算 上, 就 不 需 要 區 分 構 成 餘 點 的 死 點, 和 不 構 成 餘 點 的 死 點. 由 於 必 勝 狀 況 須 以 電 腦 運 算 方 式 求 出, 且 許 多 點 都 須 跑 很 長 的 時 間, 因 此 我 們 跳 過 必 勝 策 略 的 研 究, 探 討 S 與 P 的 極 限 範 圍 5

S M P M S P S M P M S P 1 1 5 5 4 5 4 6 6 6 5 7 6 7 5 9 9 8 6 6 4 10 7 9 8 4 1 1 11 8 5 1 9 11 9 5 15 15 14 10 6 15 10 1 1 6 6 18 18 16 1 7 17 1 15 1 7 1 1 19 14 我 們 將 以 上 表 格 整 理 如 下 : =5 S S M P P M 備 註 1 奇 數 按 照 +5 +4 +4 的 循 環 順 序 增 加 +5 偶 數 按 照 +4 +4 +5 的 循 環 順 序 增 加 ( 二 ) 立 體 玩 法 二 和 平 面 玩 法 二 的 S 的 關 聯 性 : 5 +1 除 第 一 項 外 - 1+ 除 第 二 項 外 =6 S S M P P M 備 註 奇 數 按 照 +5 +6 +5 的 循 環 順 序 增 加 除 第 一 項 外 偶 數 按 照 +5 +5 +6 的 循 環 順 序 增 加 除 第 二 項 外 觀 察 上 面 的 規 律 我 們 試 著 把 更 大 的 數 字 代 進 規 律 ; 但 由 於 玩 法 三 會 因 的 奇 偶 數 不 同 而 有 很 大 的 差 異, 而 光 是 為 偶 數 就 有 各 種 不 同 的 規 律, 仍 須 花 很 多 的 時 間 探 究, 我 們 仍 在 努 力 中 ( 三 ) 玩 法 三 與 玩 法 一 二 的 關 聯 性 玩 法 三 因 為 沒 有 增 加 點 也 沒 有 限 制 DL, 故 S 及 P 皆 和 玩 法 一 二 沒 有 關 聯 ( 四 ) 規 則 三 的 塊 數 : 規 則 三 的 塊 數 雖 可 用 規 律 來 計 算, 但 由 於 循 環 的 規 律 太 過 複 雜, 因 此 在 計 算 時, 有 許 多 條 件 的 限 制, 十 分 繁 複, 因 此 我 們 將 它 跳 過 我 們 認 為 玩 法 三 的 規 則 中, 不 再 加 點 並 不 會 使 遊 戲 更 有 規 律, 而 不 限 制 DL 則 使 遊 戲 的 規 則 分 為 許 多 種 情 況, 增 加 複 雜 性, 所 以 玩 法 三 並 不 理 想 四 立 體 玩 法 的 異 同 : ( 一 ) 立 體 玩 法 是 由 平 面 玩 法 延 伸 而 來, 所 以 走 法 與 規 律 皆 與 平 面 相 同 ( 二 ) S M 與 S 畫 法 相 似, 但 步 數 則 因 DL 與 每 走 一 步 所 減 少 的 生 命 數 不 同 而 有 差 別 五 立 體 玩 法 與 平 面 玩 法 的 關 係 : ( 一 ) 立 體 和 平 面 玩 法 一 立 體 和 平 面 玩 法 二 的 S M 關 聯 性 : 1. 立 體 玩 法 1- 和 1-(S M =11) 的 TP 恰 巧 可 讓 Ds 為 1, 與 平 面 玩 法 一 中 =4 的 S M 相 同. 立 體 玩 法 - 和 - (S M =7) 的 TP 恰 巧 可 讓 Ds 為, 與 平 面 玩 法 二 中 =4 的 S M 相 同

因 為 畫 法 相 同, 所 以 每 一 個 起 始 點 最 多 留 下 Ds, 因 此 立 體 玩 法 二 和 平 面 玩 法 二 中 皆 有 相 同 的 S ( S =4) 六 未 來 展 望 : 發 展 到 此, 我 們 雖 然 找 到 了 一 些 規 則, 但 仍 有 許 多 未 完 成 的 部 分 : ( 一 ) 在 平 面 玩 法 中, 要 走 出 S, 必 須 留 下 最 多 的 餘 點, 但 相 同 的 點 數 的 玩 法 不 同, 留 下 的 餘 點 數 會 改 變, 所 以 我 們 對 S 一 直 無 法 突 破 ( 二 ) 平 面 玩 法 塊 數, 則 因 為 P M 及 P 在 平 面 玩 法 中 每 走 一 步 增 加 的 塊 數 不 一 定, 也 尚 未 推 測 出 規 律 ( 三 ) 立 體 玩 法 中 的 S 也 因 為 無 法 確 定 留 下 的 Ds 數 所 以 無 法 找 到 立 體 玩 法 的 S 規 律 ( 四 ) 於 是 我 們 未 來 希 望 朝 以 下 方 向 研 究 : 1. 找 出 平 面 玩 法 S 規 律. 找 出 平 面 玩 法 塊 數 規 律. 論 證 規 則 三 =6k+4 的 P 4. 研 究 所 有 塊 數 與 步 數 的 關 係 5. 將 立 體 玩 法 發 展 成 正 六 面 體 及 多 面 體 一 平 面 玩 法 一 和 玩 法 二 ( 一 ) 我 們 將 玩 法 整 理 如 下 : 柒 結 論 玩 法 一 玩 法 二 起 始 點 S S M P P M -1 偶 數 奇 數 1 ( ) + -1 +1-1 ( 二 ) 步 數 與 塊 數 的 關 聯 性 : 1. 玩 法 一 及 玩 法 二 中, 在 S M 及 P M 的 狀 況 下, 皆 只 有 一 種 狀 況. 在 S 下, 玩 法 一 中,P 未 必 會 最 小,P 會 出 現 在 塊 數 種 類 最 多 的 範 圍 中 ; 玩 法 二 中 S 及 P 必 同 時 存 在 7

二 玩 法 三 Ds ( 一 ) S : 先 求 Ds, 再 代 入 ( 二 ) S M = ( 三 ) P : 為 偶 數 時 使 用 花 瓣 型 為 奇 數 時 使 用 花 瓶 圖 =S 求 S ( 1) ( 四 ) P M : 當 = 奇 數,P M = 當 = 偶 數,P M = 三 平 面 步 數 規 律 : 任 何 玩 法 皆 適 用 DL +[-(TD+1)+ 加 的 點 數 (DL-)] S=Ds 四 平 面 S M 計 算 規 則 : 任 何 玩 法 皆 適 用 DL -(TD+1) S M + 加 的 點 數 (DL-) S M 0 五 立 體 玩 法 規 則 ( 一 ) 四 面 體 玩 法 規 則 : P=S TP TD+4 ( 二 ) 其 他 立 體 塊 數 規 律 : 任 何 的 多 面 體 都 適 用 P=S TP TD+ 基 本 面 捌 參 考 資 料 及 文 獻 一 凡 異 編 輯 部 數 學 遊 戲 1999 年 新 竹 凡 異 出 版 社 二 李 信 仲 等 翰 林 版 國 中 數 學 課 本 第 四 冊 民 國 97 年 台 北 市 翰 林 出 版 社 三 李 信 仲 等 翰 林 版 國 中 數 學 課 本 第 一 冊 民 國 96 年 台 北 市 翰 林 出 版 社 四 Sprouts (gae) 維 基 百 科 取 自 :http://e.wikipedia.org/wiki/sprouts_(gae) 五 豆 芽 遊 戲 數 學 遊 戲 取 自 :http://xserve.ath.ctu.edu.tw/people/cpai/carival/gae/0.ht 8

評 語 00419 本 作 品 利 用 抽 芽 遊 戲 進 行 深 度 分 析 並 加 深 加 廣, 獲 得 非 常 不 錯 的 規 律 性, 值 得 觀 摩 此 外, 本 作 品 從 平 面 進 入 正 四 面 體 亦 作 相 當 的 研 究, 值 得 嘉 許