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http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 兰州市 007 年高三诊断考试数学试题说明 : 本试卷分第 Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分, 共 50 分, 考试时间 0 分钟. 第 Ⅰ 卷 ( 选择题共 60 分 ) 一选择题 ( 本大题共小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ). 设集合 A={ -, R},B={y y=-,- }, 则 A B 等于 A.R B.{ R, 0} C.{0} D. 答案 :C 由 -, 得 0. A=[0,]. 由 y=-,-, 知 - y 0. B=[-,0]. A B={0}.. 在等差数列 {a n } 中, 已知 a =,a +a =, 则 a +a 5 +a 6 等于 A.0 B. C. D.5 答案 :B 由 a =,a +a =a +d=, 知 d=. a +a 5 +a 6 =a +a +a +9d=5+7=. m.( 理 ) 已知 =-ni, 其中 m n 是实数,i 是虚数单位, 则 m+ni 等于 i A.+i B.-i C.-i D.+i ( 文 ) 已知直线 l: +y+=0, 则直线 l 的倾斜角为 A. B. m m, m, 答案 :( 理 )D 由 =-ni, 得 m-mi=-ni.. 解得. m+ni=+i. i m n n C. ( 文 )D 由 +y+=0, 知 k=-, 倾斜角 α=..( 理文 6) 对于不重合的两直线 m n 和平面 α, 下列命题中的真命题是 A. 如果 m n 是异面直线, 那么 n α B. 如果 mα,n α,m n 共面, 那么 m n C. 如果 mα,n α,m n 是异面直线, 那么 n 与 α 相交 D. 如果 m α,n α,m n 共面, 那么 m n ( 文 ) 已知向量 a=(cosα,-),b=(sinα,), 且 a b, 则 tan(α- ) 等于 D. A. B. C.- D.- 答案 :( 理文 6)B n α,n 与 α 可相交,A 不正确 ;m α,n α,m n 共面, 则 m n 或 m 与 n 异面, C 不正确 ;m α,n α,m n 共面, 则 m n 或 m 与 n 是两条相交直线, D 不正确. 选 B. ( 文 )C a b, cosα=-sinα,tanα= tan tan. tan(α )= =-. tan tan

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn cos( ),,0, 5.( 理 ) 函数 f()= 若 f(a)=0, 则 a 的所有可能取值组成的集合为 e, 0, A.{0} B.{0, } C.{0, } D.{, ( 文 ) 设 f()=lg, 则 f(+)+f(-) 的定义域为 A.(-,) B.(-,) C.(-,) D.(-,) 答案 :( 理 )B 由 cos(πa )=0,-<a<0, 知 a =,a= ( 文 )A 由 >0, 得 -<<. f() 的定义域为 (-,). }. 由 e a -=0,a 0, 知 a=0. a=0 或.,,. -<<. f(+)+f(-) 的定义域为 (-,)... 6.( 理 )P 为抛物线 y =p(p>0) 上的任意一点,F 为抛物线的焦点, 以 PF 为直径的圆与 y 轴的位置关系是 A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 与 P 点的位置有关答案 :( 理 )A 方法一 : 如示意图,PF=PP,OF =M M =OF. MM = (FF +PP ),MM =MM -M M = (FF +PP )-M M =M M + PP -M M = PP = PF. 以 PF 为直径的圆与 y 轴相切. 方法二 : 设 P( 0,y 0 ), 则 M( 0 + p, y0 ), PF = 0 + p, PF = 0 + p, MM = PF. 以 PF 为直径的圆与 y 轴相切. 7.( 理 ) 已知 a>0,b>0,a b 的等差中项是, 且 α=a+,β=b+, 则 α+β 的最小值是 a b A. B. C.5 D.6 ( 文 ) 已知加密规则为 : 明文,y,z 对应密文 +y,y+z,z, 例如, 明文,, 对应密文 5,7, 9. 当接收方收到密文 8,9, 时, 则解密得到的明文为 A.,6, B.7,6, C.6,,7 D.,6, 答案 :( 理 )C a b 的等差中项为, a+b=. 又 a+b ab, 0<ab.. ab α+β=(a+ )+(b+ )=(a+b)+( + )=+ +=5. a b a b ab

y 8, 6, ( 文 )C 由题意得 y z 9, 解得 y, z, z 7. http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 8.( 理 8 文 ) 将函数 y=sinω(ω>0) 的图象按向量 a=(,0) 平移, 平移后的图象如图所示, 6 则平移后的图象所对应函数的解析式是 A.y=sin(+ ) B.y=sin( ) 6 6 C.y=sin(- ) D.y=sin(+ ) ( 文 ) 已知 OM =(, ),ON =(0,), 则满足条件 0 OPOM, 0 OPON 的动点 P 的变动范围是 ( 图中的阴影部分, 含边界 ) 答案 :( 理 8 文 )D y=sinω(ω>0) 的图象按 a=(,0) 平移后图象对应的解析式为 6 7 y=sinω(+ ), 由图象知 ω( + )=, ω=. y=sin(+ ). 6 6 ( 文 )A 设 P(,y), 由 0 OP OM,0 OP ON 0 y,, 知. 选 A. 0 y. 9.( 理 9 文 ) 已知集合 A={5},B={,},C={,,}, 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标, 则确定的不同点的个数为 A.5 B. C. D.6

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn ( 文 ) 若双曲线 -y = 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的, 则 m 等于 m A. B. C. 8 答案 :( 理 9 文 )C 不考虑限定条件, 确定的不同点的个数为 C D. 8 9 C A =6, 但 B C 中有相同元素, 由 5,, 三个数确定的不同的点的个数只有个, 故所求的个数为 6-= 个. ( 文 )C 由第二定义知 e=, 又 e= m, 9m=m+,m=. m 8 0.( 理 ) 甲乙两人同时从 A 地赶往 B 地, 甲先骑自行车到中点后改为跑步, 而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车, 最后两人同时到达 B 地. 又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快, 并且两人骑车速度均比跑步速度快. 若某人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系可用图 ~ 中的某一个来表示, 则甲乙两人所对应的函数图象只可能分别是 A. 甲是图, 乙是图 B. 甲是图, 乙是图 C. 甲是图, 乙是图 D. 甲是图, 乙是图 ( 文 ) 已知函数 f() 的导数为 f ()= -, 当函数 f() 取得极大值时, 则对应的值为 A.- B.0 C. D.± 答案 :( 理 )B 线段的斜率表示速度, 斜率越大, 速度越大, 故选 B. ( 文 )B 由 f ()= ->0, 解得 -<<0 或 >; 由 f ()= -<0, 得 <- 或 0<<. =0 为函数 f() 的极大值点..( 理 ) 已知球 O 的半径为,A B C 三点都在球面上,A B 两点和 A C 两点的球面距离都是,B C 两点的球面距离是, 则二面角 BOAC 的大小是 A. B. C. D. 答案 :( 理 )C 球 O 的半径为,AB 和 AC 间的球面距离为, AOB= AOC=,AB=AC; 又 B C 两点的球面距离为, BOC=,BC=; 过 B 作 BD AO 于 D, 连结 CD, 则 CD AO, 则 BDC 是二面角 BOAC 的平面角.

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 又 BD=CD=, BDC=, 即二面角 BOAC 的大小是..( 理 ) 用 n 个不同的实数 a,a,a,,a n, 得到 n! 个不同的排列, 每个排列为一行, 可写出一个 n! 行的数阵. 第 i 行为 a i,a i,a i,,a in, 记 b i =-a i +a i -a i + +(-) n na in,i=,,,,n!. 例如 : 用,, 可得数阵 ( 如下图 ). 由于每行都是,, 的一个排列, 其中作排头的有 A = 个, 于是每一列中,, 都分别出现次, 所以此数阵每一列各数之和都是 (++) =, 所以 b +b +b + +b 6 =-+ - =-. 那么用,,,,5, 形成的数阵中 b +b +b + +b 0 等于 A.- 600 B. 800 C.- 080 D.-70 答案 :( 理 )C 当 n=5 时,n!=0, 故所研究的数阵有 0 行 5 列, 每行都是,,,,5 的一个排列, 其中作排头的有 A = 个. 于是每一列中,,,,,5 都分别出现次, 故每列数之和相等为 (++++5) =60, b +b + +b 0 =60 (-+-+-5)=- 080. 第 Ⅱ 卷 ( 非选择题共 90 分 ) 二填空题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共 6 分. 把答案填在题中横线上 ).( 理 ) 若曲线 y= 的一条切线 l 与直线 -y=8 平行, 则 l 的方程为 ( 文 ) 若函数 y= ( [0,]), 则反函数 f - () 的定义域是答案 :( 理 )-y-=0 切线与 -y=8 平行, l 的斜率为. 由 y =,y =, 得 =. 切点为 (,), 切线方程为 y-=(-), 即 -y-=0. ( 文 )[0,] y= ( ), [0,], -(-) + [0,]. y= 的值域为 [0,], 即反函数的定义域为 [0,].( 理 ) 已知实数 y 满足 9 +6y =, 则 +y 的取值范围是 ( 文 ) 若 f()=atan(+ )+btan(- )(ab 0) 是偶函数, 则有序实数对 (a,b) 可以是正确的一组数字即可 ) y 答案 :( 理 )[, ] 由 9 +6y =, 得 =, 令 =cosθ,y=sinθ, 6 9 +y=cosθ+sinθ= sin(θ+φ) [, ]. ( 文 )(,-)( 答案不唯一 ) f() 是偶函数, f(-)=f(), 即 atan(+ )+btan( )=atan(-+ )+btan(- ). (a+b) [ tan(+ )+tan( =0. a+b=0. 例如 a=,b=-. ) ]

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 5.( 理 ) 设常数 a>0,(a + ) 展开式中的系数为, 则 lim (a+a + +a n )= n ( 文 ) 若直线 y=+m 与曲线 y= 有两个不同的交点, 则 m 的取值范围是答案 :( 理 ) T r+ = r 5r r r 8r r r 8 C a = C a C r a -rr =,a=. lim (a+a + +a n )= =. n, 令 8 5r =, 得 r=. ( 文 )(,-] 曲线 y= 表示在轴及轴下方的半个单位圆, 直线 y=+m 与 y= 平行,m=- 时, 有两个交点 ;m= 时, 相切, 有一个交点. m (,-]. S 6. 已知数列 {a,a,,a n } 的前 n 项和为 S n, 定义 M n = S S n S n 为数列 {a,a,,a n } 的凯森和. 若 M 500 = 00, 则数列 {7,a,a,,a 500 } 的凯森和为答案 : 007 由题意得 S +S + +S 500 = 00 500, {7,a,a,,a 500 } 的凯森和为 S' S ' S' S50' 50 7 (7 S) (7 S ) (7 S500) 50 750 S S S500 =7+ 500= 007. 50 三解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 7 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) 7.( 本小题满分分 ) 已知向量 m=(cos, cos ),n=(sin, () 求 f() 的解析式 ; () 求 f() 的单调递增区间 ; cos ), 函数 f()=m n. () 如果 ABC 的三边 a b c 满足 b =ac, 且边 b 所对的角为, 试求的范围及此时函数 f() 的值域. 解 :()f()=cos sin + cos 分

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn = sin cos sin( ). 分 () 由 kπ- + kπ+,6 分 5 5 得 kπ- kπ+. f() 的单调递增区间为 [kπ-,kπ+ ](k Z).8 分 a ()cos= c b ac a c ac ac ac ac ac ac ac, 是 ABC 的内角, (0, ].0 分 5 + (, ]. <sin( + ). f() 的值域是 ( 9,+ ]. 分 8.( 本小题满分分 ) 某小组中有男生女生若干人, 如果从中选一人参加某项测试, 女生被选中的概率是 ; 如果从中选两人参加测试, 两人都是女生的概率为 ( 每个人被选中是 5 等可能的 ). () 求该小组男生女生各多少人? () 从该小组中选出人, 求男女生都有的概率 ; () 若对该小组的同学进行某项测试, 其中女生通过的概率为, 男生通过的概率为, 现对 5 5 该小组中男生甲乙和女生丙三人进行测试, 求至少有人通过测试的概率. n 解 :() 设该小组男女生共 n 人, 其中女生有人, 据题意, 得 C Cn 6, 解得答 : 男生有人, 女生有 6 人. 分 n 0. C C () 由题意, 得 - C 0 6 = 5.8 分, 5,, 分 9 ()( ) ( )+ C (- +( =5. 分 5 5 5 5 ) 5 5 ) 5 9.( 本小题满分分 ) 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中,AB AC,PA 平面 ABCD, 且 PA=AB, 点 E 是 PD 的中点.

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn () 求证 :AC PB; () 求证 :PB 平面 AEC; ()( 理 ) 求二面角 EACB 的大小. ( 文 ) 求二面角 EACD 的大小. 答案 :() 证明 : PA 平面 ABCD, AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 分又 AB AC,AC 平面 ABCD, AC PB. 分 () 证明 : 连结 BD, 与 AC 相交于 O, 连结 OE. ABCD 是平行四边形, O 是 BD 的中点. 又 E 是 PD 的中点, OE PB.6 分又 PB 平面 AEC,OE 平面 AEC, PB 平面 AEC.8 分 ()( 理 ) 解法一 : 过 E 作 EF 平面 ABCD, 垂足为 F, PA 平面 ABCD, F 在 AD 上, 且为 AD 的中点. 连结 OF, 则 OF AB. AB AC, OF AC. OE AC. 故 EOF 为二面角 EACD 的平面角.0 分在 Rt EOF 中,EF= PA,OF= AB, PA=AB, EF=OF. EOF=. 二面角 EACB 为. 分解法二 : 以 A 点为坐标原点,AC 所在直线为轴,AB 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 AC=a,AB=b( 图略 ). 取 BC 中点 G, 连结 OG, 则 OG =(0, b,0),oe = BP =(0,- b, b ), AC =(a,0,0). b b b AC OG =(a,0,0) (0,,0)=0, AC OE =(a,0,0) (0,-, )=0, OG AC,OE AC. EOG 是二面角 EACB 的平面角.0 分 OE OG cos EOG=cos OE, OG = OE OG, EOG=. 二面角 EACB 的大小为. 分 ( 文 ) 解法一 : 过 E 作 EF 平面 ABCD, 垂足为 F, PA 平面 ABCD, F 在 AD 上, 且为 AD 的中点. 连结 OF, 则 OF AB. AB AC, OF AC. OE AC. 故 EOF 为二面角 EACD 的平面角.0 分在 Rt EOF 中,EF= PA,OF= AB. PA=AB, EF=OF. EOF=. 二面角 EACD 的大小为. 分解法二 : 以 A 点为坐标原点,AC 所在直线为轴,AB 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 AC=a,AB=b( 图略 ). b b b 取 AD 中点 F, 取 AC 中点 O, 连结 OF, 则 OF =(0,-,0),OE = BP =(0,-, ), AC =(a,0,0).

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn b b b AC OF =(a,0,0) (0,-,0)=0, AC OE =(a,0,0) (0,-, )=0. OE AC,OF AC. EOF 是二面角 EACD 的平面角.0 分 OE OF cos EOF=cos OE, OF = OE OF, EOF=. 二面角 EACD 的大小为. 分 0.( 理 )( 本小题满分分 ) 某地区的一种特色水果上市时间能持续 5 个月, 预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势, 而中期又将出现供大于求使价格连续下跌, 现有三种价格模拟函数 : f()=p q ; f()=log q +p; f()=(-)(-q) +p( 以上三式中 p q 均为常数, 且 q>). () 为准确研究其价格走势, 应选哪种价格模拟函数, 为什么? () 若 f()=,f()=6, 求出所选函数 f() 的解析式 ( 注 : 函数的定义域是 [,6]. 其中 = 表示月日,= 表示 5 月日,= 表示 6 月日,, 以此类推 ); () 为保证果农的收益, 打算在价格下跌期间积极拓宽销路, 请你预测该水果在哪几个月内价格下跌. ( 文 )( 本小题满分分 ) 某地区的一种特色水果上市时间能持续 5 个月, 预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势, 而中期又将出现供大于求使价格连续下跌, 现有三种价格模拟函数 : f()= ;f()=log ; f()=(-)(-) + ( 以上三函数的定义域都是 [,6]. 其中 = 表示月日,= 表示 5 月日,= 表示 6 月日,, 以此类推 ). () 为准确研究其价格走势, 应选哪种价格模拟函数, 为什么? () 为保证果农的收益, 打算在价格下跌期间积极拓宽销路, 请你预测该水果在哪几个月内价格下跌. 答案 :( 理 ) 解 :() 由已知水果的价格先上涨, 再下跌, 然后再次上涨, 反映到函数的图象上就是 : 先是增函数, 后是减函数, 又是增函数. f()=p q 是单调递增函数, f()=log q +p 是单调递增函数, f()=(-)(-q) +p 中 f ()= -(q+)+q +q, q 令 f ()=0, 得 =q, =,f() 有两个零点, 既有递增区间, 又有递减区间, 应选 f()=(-)(-q) +p 为其模拟函数. 分 p, () 由 f()=,f()=6, 得 ( q),5 分 p 6, p, 解之, 得 ( 其中 q= 舍去 ). f()=(-)(-) += -9 +-( 6).8 分 q () 由 f ()= -8+<0, 解得 <<,0 分

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 函数 f()=(-)(-) += -9 +- 在区间 (,) 上单调递减. 这种果品在 5 6 月份价格连续下跌. 分 ( 文 ) 解 :() 由已知水果的价格先上涨, 再下跌, 然后再次上涨, 反映到函数的图象上就是 : 先是增函数, 后是减函数, 又是增函数. f()= 是单调递增函数,f()=log 是单调递增函数, 分 f()=(-)(-) + 中 f ()= -8+, 令 f ()=0, 得 =, =, 分 f() 有两个零点, 既有递增区间, 又有递减区间, 应选 f()=(-)(-) + 为其模拟函数.6 分 () 由 f ()= -8+<0, 解得 <<,8 分函数 f()=(-)(-) += -9 +- 在区间 (,) 上单调递减.0 分这种果品在 5 6 月份价格连续下跌. 分.( 理文 )( 本小题理科满分分, 文科满分分 ) 已知 f()=a +a +a + +a n n (n N * ), 且 a,a,a,,a n 构成一个数列, 又 f()=n, () 求数列 {a n } 的通项公式 ; () 求证 :f( )<. 答案 :( 理文 )() 解 : f()=a +a +a + +a n (n N * ), S n =a +a +a + +a n =n. 理分 a =S =,a n =S n -S n- =n -(n-) =n-(n ). a n =n-. 理分, 文 6 分 () 证明 : f( + ( ) )= +5 ( ) + +(n-)( ) n- +(n-)( ) n, f( )= ( ) + ( ) +5 ( ) + +(n-)( ) n +(n-)( ) n+. 理 6 分, 文 8 分两式相减, 得 f( )= + [( ) +( ) +( ) + +( ) n ]-(n-)( ) n+. 文 0 分 n ( ) [ ( ) ] f( )= +. 理 8 分 f( )= + -( ) n -(n-)( ) n+. 理 0 分, 文分 n f( )=- n <. 理分, 文分.( 本小题理科满分分, 文科满分分 ) 已知圆 M:(+ 5 ) +y =6, 定点 N( 5,0), 点 P 为圆 M 上的动点, 点 Q 在 NP 上, 点 G 在 MP 上, 且满足 NP NP, GQ NP =0. ()( 理 () 文 ()) 求点 G 的轨迹 C 的方程 ; ()( 理 ()) 过点 (,0) 作直线 l, 与曲线 C 交于 A B 两点,O 是坐标原点, 设 OS OA OB, 是否存在这样的直线 l, 使四边形 OASB 的对角线相等 ( 即 OS = AB )? 若存在, 求出直线 l 的方程, 若不存在, 试说明理由. ( 文 ()) 直线 l 的方程为 l:-y-6=0, 与曲线 C 交于 A B 两点,O 是坐标原点, 且

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn OS OA OB, 求证 : 四边形 OASB 为矩形. () 解 :( 理 () 文 ()) NP NQ Q为 NP的中点且 GQ NP GQ 为 NP 的中垂线 GQ PN 0 GP = GN, 分 GN + GM = MP =6. 故 G 点的轨迹是以 M N 为焦点的椭圆, 其半长轴长 a=, 半焦距 c= 5. y 半短轴长 b=. 点 G 的轨迹方程是 =.6 分 9 ()( 理 ()) 解 : OS OA OB, 四边形 OASB 为平行四边形. 若存在 l 使得 OS = AB, 则四边形 OASB 为矩形, OA OB =0. 若 l 的斜率不存在, 直线 l 的方程为 =,,, 6 由 y 得 5. OA OB = >0, 与 OA OB, y. 9 9 在.8 分设 l 的方程为 y=k(-),a(,y ),B(,y ), y k( ) 由 y (9k +) -6k +6(k -)=0.0 分 9 5 6k 6( k ) + =, =, 9k 9k y y =[k( -)][ k( -)]=k [ -( + )+]= 0k. 分 9 k =0 矛盾, 故 l 的斜率存把代入 +y y =0, 得 k=±. 存在直线 l:-y-6=0 或 +y-6=0 使得四边形 OASB 的对角线相等. 分 ( 文 ()) 证明 : OS OA OB, 四边形 OASB 为平行四边形.7 分 y 6 0 97 设 A(,y ),B(,y ), 由 y = -8+5=0. 9 80 + =, =.0 分 97 97 9 OA OB =+yy=+ (-)(-)=. 四边形 OASB 为矩形. 分 9 80 9 (+)+9= +9=0 97 97