97 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 一 填 空 题 :.f < ϕ l 则 f [ ] ϕ.f 其 间 断 点 ; 它 属 于 第 类 的 间 断 点 si lim.. 若 5. 设 ϕ 在 则 处 连 续 则 6. 设 si 则 d 7. f 的 麦 克 劳 林 公 式 的 拉 格

高 等 数 学 历 届 统 考 试 题 997- 应 用 数 学 系 二 一 年 十 二 月

97 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 一 填 空 题 :.f < ϕ l 则 f [ ] ϕ.f 其 间 断 点 ; 它 属 于 第 类 的 间 断 点 si lim.. 若 5. 设 ϕ 在 则 处 连 续 则 6. 设 si 则 d 7. f 的 麦 克 劳 林 公 式 的 拉 格 朗 日 型 余 项 8. 当 > 时 曲 线 si 9. 设 有 曲 线 cos 在. 设. R 的 水 平 渐 近 线 方 程 的 曲 率 即 f d f 为 连 续 函 数 lim d k ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ. 设 有 向 量 i j l k b i j k 当 b. 曲 线 b z. d cos ϖ 时 l 绕 o 轴 旋 转 一 周 其 曲 面 方 程 为 5. 设 平 面 的 方 程 为 A 6 z 直 线 的 方 程 为

z 5 二 计 算 题 : 求 lim 若 平 面 与 直 线 l 相 垂 直 则 A 由 方 程 l rcg 所 确 定 的 函 数 求 出 曲 线 l f 设 f 三 计 算 题 : 的 凹 和 凸 的 区 间 及 拐 点 " d d 且 f 求 f d d 求 d 求 rccos d d 求 d 设 f 求 : f d < 求 通 过 点 - 且 平 行 于 平 面 6 z 和 平 面 z 的 直 线 方 程 四 应 用 题 : 已 知 底 边 为 腰 为 b 周 长 为 的 等 腰 三 角 形 绕 其 底 边 旋 转 一 周 形 成 体 当 和 b 分 别 为 多 少 时 其 体 积 为 最 大 并 求 其 体 积 在 曲 线 上 一 点 M 处 作 一 条 切 线 使 其 与 该 曲 线 及 o 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 为 求 : 切 点 M 的 坐 标 ; 过 M 点 的 切 线 方 程 ; 该 平 面 图 形 绕 o 轴 旋 转 一 周 的 旋 转 体 体 积 五 证 明 题 : 设 f 在 [ b ] b 上 连 续 证 明 : f d f b d 设 f " < f 证 明 : 当 < b 时 有 f b < f f b b

设 ϕ 在 [ b ] ϕ ϕ 上 ϕ "> 证 明 : 在 b 上 是 单 调 递 增 的 97 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 答 案 一 填 空 题 : ; 一 ; ; ; 5 ; l si cos 6 [l si ] d ; 7 si! 8 ; 9 ; f ; l ; ; ; ; 5 b 二 计 算 题 : ; ; 拐 点 ± l 凸 区 间 ; 凹 区 间 ; ; " f 三 计 算 题 : rc c ; ; 6 ; z. 5 四 应 用 题 : V m ; V d. 五 证 明 题 略 98 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 一 题 本 题 共 6 小 题 每 小 题 分 满 填 空 分 8 分 设 函 数 f 当 大 于 某 一 正 数 时 有 定 义 如 果 对 于 任 意 给 定 的 无 论 怎 样 大 的 正 数 M 总 存 在 使 得 对 于 适 合 不 等 的 对 应 的

函 数 值 f 都 满 足 不 等 式 则 记 作 lim f f d d 的 第 一 类 间 断 点 为 第 二 类 间 断 点 为 si d 抛 物 线 5 函 数. 在 点 6 已 知 M M M 处 的 曲 率 半 径 r 在 处 取 得 极 小 值 ; 该 曲 线 上 的 拐 点 为 向 量 二 选 择 题 本 题 共 5 小 题 每 小 题 分 满 分 5 分 时 f cos 是 则 与 M M M M 同 时 垂 直 的 单 位 A 有 界 变 量 但 不 是 无 穷 小 量 ;B 无 界 变 量 但 不 是 无 穷 大 量 ; C 无 穷 小 量 ; D 无 穷 大 量 si 在 处 B 极 限 不 存 在 ; B 不 连 续 ; C 连 续 但 不 可 导 ; D 连 续 且 可 导 f 可 导 且 f f 当 > 时 f > 那 么 < 时 必 有 A f < ;B f ;C f 下 列 广 义 积 分 发 散 的 有 A l d ; B d ;C > ; D f d d ;D 5 直 线 z 与 下 列 直 线 或 平 面 平 行 的 为 A z ; B z 8 ; 5

C 5 z ; D 6 z 三 本 题 共 8 小 题 每 小 题 6 分 满 分 8 分 b 计 算 lim 其 中 b ; 设 f >. 计 算 lim lcos d cos 处 处 可 导 求 及 f 已 知 函 数 由 方 程 确 定 求 " 5 已 知 椭 圆 的 参 数 方 程 为 cos b si 6 计 算 l d d 7 计 算 8 求 过 点 求 椭 圆 在 点 处 的 切 线 方 程 且 与 两 平 面 z 和 z 平 行 的 直 线 方 程 四 证 明 题 本 题 共 小 题 每 小 题 7 分 满 分 分 叙 述 并 证 明 罗 尔 定 理 证 明 : > 时 l > 五 本 题 5 分 求 曲 线 与 直 线 所 围 成 图 形 的 面 积 及 该 图 形 绕 轴 旋 转 所 得 的 旋 转 体 的 体 积 六 选 做 题 本 题 共 小 题 每 小 题 5 分 满 分 分 欲 造 一 无 盖 的 长 方 体 容 器 已 知 底 部 造 价 为 每 平 方 米 元 侧 面 造 价 为 每 平 方 米 元 想 用 6 元 造 一 个 容 积 最 大 的 容 器 求 它 的 长 宽 高 已 知 f 有 二 阶 连 续 的 导 数 f 函 数 6

f ; g f. 讨 论 g 在 处 的 可 导 性 若 可 导 它 的 导 函 数 在 处 是 否 连 续? 99 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 说 明 : 提 高 班 的 学 生 附 加 题 必 答 满 分 分 ; 其 他 学 生 只 做 一 到 八 题 满 分 分 一. 试 解 下 列 各 题 [7 分 ]. lim. cos 求 d. si d si cos d 求 d. lim si cos d 5. 设 由 方 程 所 确 定 当 时 求 的 值. d 二. 试 解 下 列 各 题 [ 分 ]. d.. d. si si. d.. cos d. l 三.[9 分 ] 设 某 平 面 图 形 位 于 曲 线 的 下 方 该 曲 线 过 原 点 的 切 线 的 左 方 以 及 轴 上 方 之 间 求 : 该 平 面 图 形 的 面 积 ; 该 平 面 图 形 绕 轴 旋 转 所 成 的 立 体 的 体 积 四.[8 分 ] 半 径 为 R 的 球 沉 入 水 中 球 的 上 部 与 水 平 面 相 切 球 的 比 重 与 水 相 同 现 将 球 从 水 中 取 出 需 作 多 少 功? 五.[8 分 ] 求 级 数 的 和. 7

六.[7 分 ] 证 明 : 当 < < 时 g > 七.[7 分 ] 级 数 是 否 收 敛? 如 果 收 敛 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛? 八.[ 分 ] 设 函 数 在 [b] 上 连 续 且 在 b 内 有 f >. 证 明 : 在 b 内 存 在 唯 一 的 η 使 曲 线 f 与 两 直 线 f η 所 围 平 面 图 形 面 积 S 是 曲 线 f 与 两 直 线 f η b 所 围 平 面 图 形 面 积 S 的 三 倍. 附 加 题 [ 分 ]. 5 分 试 证 : 当 > 时 l.. 5 分 设 d 求 的 值 ; 试 证 : 对 任 意 的 常 数 λ > 级 数 λ 收 敛. 99 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 参 考 答 案 : 一.. ;. si cos d ;. /si;./;5. ; 二.. cos rcsi c ;. l 8 c ; cos cos./;.; 三../;. 9 6 l /6. 四. R ; 五. ; 8 六. 作 辅 助 f g 分 析 单 调 性 增.; 七. 比 值 法 /; 八. S b f f d S f f d g S S [ ] 介 值 定 理 b 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 一. 填 空 题 本 题 共 5 小 题 每 小 题 分 满 分 5 分 : 8

. lim si. 设 < f 要 使 f 在 处 连 续 则 cos d. l 则 d. 设 f 的 一 个 原 函 数 是 9 5. 已 知 f 且 f < < 则 f d 展 成 的 Forir 级 数 在 处 收 敛 于 二. 单 项 选 择 题 本 题 共 5 小 题 每 小 题 分 满 分 5 分 :. cos 是 当 时 的 A. 高 阶 无 穷 小 B. 同 阶 无 穷 小 C. 等 价 无 穷 小 D. 低 阶 的 无 穷 小 f f. f 在 处 可 导 则 lim A. f B. f C. f D. f. 曲 线 cos 在 点 处 的 曲 率 为 A. B. d C. 6 D. 8. 广 义 积 分 > p 则 为 以 为 周 期 的 周 期 函 数 则 f A.p> 时 收 敛 p 时 发 散 B.p 时 收 敛 P< 时 发 散 C.P 时 收 敛 P> 时 发 散 D.P< 时 收 敛 P 时 发 散 5. 设 函 数 f 则 方 程 f 在 [] 内 有 实 根 A. 个 B. 个 C. 个 D. 无 实 根 三. 计 算 题 本 题 共 8 小 题 每 小 题 6 分 满 分 8 分 :. lim si

d. 求 由 方 程 l cos 所 确 定 的 隐 函 数 的 导 数 d. 设 si cos d 求 d d d. 求 函 数 I d 的 极 值 ; 5. 求 d ; 6. 求 d 8. 求 ; 7. 判 别 级 数 的 和 函 数 s 并 求 级 数! 是 否 收 敛? 四. 证 明 题 本 题 共 小 题 每 小 题 5 分 满 分 分 :. 证 明 : 当 > 时 < l.. 证 明 : 若 数 列 { } 收 敛 那 么 数 列 { } 一 定 有 界. 五. 应 用 题 本 题 共 小 题 每 小 题 6 分 满 分 分 :. 求 双 曲 线 与 直 线 旋 转 所 生 成 的 立 体 的 体 积 的 和. 及 轴 所 围 成 的 图 形 分 别 饶 轴 和 轴. 在 之 间 求 c 值 使 直 线 c 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 最 小 附 加 题 本 题 共 小 题 满 分 8 分 设 f 在 [b] 上 连 续 f 单 调 增 加 证 明 : b b f d f d 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 参 考 答 案 一..... c 二.. B. D. D. A 5.B b 5.

三... si. 极 小 值 f 5. rc c 判 别 法 收 敛 8. s l l 四. 略 五.. [ 8 ];.. si cos cos 6. l c 7. 比 值 附 加 题 : 提 示 : 构 造 函 数 f f d f d 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 一. 填 空 题 分 6 8 分. 设 rcsi 9 则 d. 函 数 cos 在 区 间 [ ] 上 的 最 小 值 为. si d. 过 点 且 垂 直 于 平 面 z 的 直 线 的 对 称 式 方 程 为 si d 5. lim 6. 设 二 次 曲 面 的 方 程 为 z 按 照 规 定 这 个 二 次 曲 面 的 名 称 是 ; 它 是 怎 样 形 成 的 提 高 班 不 做 其 它 学 生 必 做 7. 设 二 次 曲 面 的 方 程 为 z 按 照 规 定 这 个 二 次 曲 面 的 名 称 是 ; 它 是 怎 样 形 成 的 提 高 班 必 做 其 它 学 生 不 做. 二. 单 项 选 择 题 分 6 8 分

. 设 在 的 某 一 去 心 邻 域 内 f > 且 lim f 则 A > B C D si. 设 f 则 f 在 处 A 连 续 且 可 导 B 连 续 但 不 可 导 C 不 连 续 D 左 右 导 数 都 存 在 但 不 相 等. 当 时 cos 是 的 A 高 阶 无 穷 小 B 低 阶 无 穷 小 C 等 价 无 穷 小 D 同 阶 但 不 是 等 价 无 穷 小 提 高 班 不 做 其 它 学 生 必 做. 当 时 cossi 是 的 A 高 阶 无 穷 小 B 低 阶 无 穷 小 C 等 价 无 穷 小 D 同 阶 但 不 是 等 价 无 穷 小 提 高 班 必 做 其 它 学 生 不 做 f h f h 5. 设 f 存 在 则 lim h h A f B f C f D f 6. 下 列 等 式 中 正 确 的 是 A d [ f d ] f d B df f A d [ f d f c d ] D f d f d z 7. 直 线 与 平 面 z 的 关 系 是 A 平 行 但 直 线 不 在 平 面 上 B 直 线 在 平 面 上 C 垂 直 相 交 D 相 交 但 不 垂 直 提 高 班 不 做 其 它 学 生 必 做 z 8. 直 线 与 平 面 z 的 关 系 是 A 平 行 但 直 线 不 在 平 面 上 B 直 线 在 平 面 上 C 垂 直 相 交 D 相 交 但 不 垂 直 提 高 班 必 做 其 它 学 生 不 做 三. 计 算 题 5 分 8 分. lim si cos ;. lim 提 高 班 不 做 其 它 学 生 必 做 ; si

cos. lim si 提 高 班 必 做 其 它 学 生 不 做 ; l. 设 rc d 求 ; d 5. 设 函 数 由 方 程 所 确 定 求 6. 求 抛 物 线 在 点 6 处 的 曲 率 及 曲 率 半 径 l 7. l d ; 8. d 提 高 班 不 做 其 它 学 生 必 做 ; 9. d 提 高 班 必 做 其 它 学 生 不 做 ;. d. 四. 应 用 题 共 分. 要 制 造 无 盖 圆 柱 形 油 桶 体 积 为 V 问 底 半 径 r 和 高 h 等 于 多 少 时 才 能 使 表 面 积 最 小? 分. 求 f d 的 单 调 区 间 及 极 值 5 分. 求 曲 线 5 6 绕 轴 旋 转 形 成 的 旋 转 体 的 体 积 5 分 五. 证 明 题 5 分 分. si d si d. 设 f 在 [ ] 上 可 导 且 < f < 又 对 于 f 证 明 : 方 程 f 在 内 有 唯 一 实 根 级 高 等 数 学 上 期 末 试 题 一 填 空 题 : 每 小 题 分 共 5 分 函 数 的 间 断 点 它 属 于 第 类 间 断 点. f

设 f 且 f 则 lim f. 曲 线 si 上 横 坐 标 为 的 点 处 的 切 线 方 程 为 ; 法 线 方 程 为 抛 物 线. 在 点 处 的 曲 率 半 径 r 5 坐 标 平 面 o 面 上 的 双 曲 线 9 6 绕 轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 的 方 程 为. 二 选 择 题 每 小 题 分 共 5 分 lim f lim f 是 f 在 点 连 续 的 A 充 要 条 件 C 必 要 非 充 分 条 件 B 充 分 非 必 要 条 件 D 既 非 充 分 也 非 必 要 条 件 设 f 存 在 则 lim h f h h f h 等 于 A f B f C f D f si d 等 于 其 中 > si si si A B c C D 下 列 广 义 积 分 收 敛 的 是 si c A d B d C d D d 5 平 面 z 与 直 线 z 的 位 置 关 系 为 7 A 相 交 但 不 垂 直 B 垂 直 C 直 线 在 平 面 上 D 平 行 但 直 线 不 在 平 面 上 三 计 算 题 每 小 题 6 分 共 8 分 设 si > ; f 在 处 可 导 试 求 b 的 值. b. 求 极 限 lim si d 的 值. 已 知 si > 求 d si 求 由 参 数 方 程 cos d 所 确 定 的 函 数 的 二 阶 导 数. d

5 求 曲 线 的 凹 凸 区 间 及 拐 点. 6 已 知 f 7 设 cos 的 一 个 原 函 数 是 求 f d. f < ;. 求 f d. 8 求 过 点 -5 且 与 两 平 面 z 及 5 z 平 行 的 直 线 方 程 四 应 用 题 每 小 题 6 分 共 分 欲 制 造 一 无 盖 圆 柱 形 油 罐 体 积 为 V 问 底 半 径 r 和 高 h 分 别 等 于 多 少 时 才 能 使 表 面 积 最 小? 求 由 曲 线 与 所 围 成 的 平 面 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积. 五 证 明 题 每 小 题 5 分 共 分 证 明 方 程 只 有 一 个 实 根. 设 f 在 [ b ] 上 连 续 在 b 内 可 导 且 f F f d 证 明 F 在 b 内 单 调 递 减. 级 高 等 数 学 上 期 末 试 题 参 考 答 案 一. 每 小 题 分 共 5 分. 一 ;. ;. ;..8; 5. 9 z 6 二. 选 择 题 每 小 题 分 共 5 分.C;.B;.C;.C; 5.D 三. 计 算 题 每 小 题 6 分 共 8 分. 解 : 由 f 在 处 连 续 知 f f f 分 而 f lim si f b 从 而 b 分 ; 又 由 f 在 可 导 知 : f 分 且 f f f lim lim f f f lim lim si f 从 而 分. 5

6 分 分 分 解 : ] si lim [ si lim si lim. si si d. 解 : si l 分. cos l cos l cos l l l 分 分 ] cos l [ 分 故 d d cos si si cos si cos si. 分 分 分 解 : d d d d d d d d 5. 解 : 令 得 : 分 ; 凹 区 间 为 凸 区 间 为 - 分 ; 拐 点 为 : 分. 6. 解 : cos si cos f 分 ; cos si 分 分 c d f f df d f. l ] [l. 7 分 分 分 分 解 : d d d d f d f 8. 解 : 方 向 向 量 } { } 5 { } { s 直 线 方 程 为 : 5 5 z 6 分 四. 应 用 题 每 小 题 6 分 共 分. 解 : 由 题 意 rh r S h r V 分 从 而

V V h S r r r r r V r 分. 又 S V r 令 V S 得 r r V V 驻 点 唯 一 因 此 当 r 表 面 积 最 小 分 ; 此 时 h 分.. 解 : 体 积 V d d 分 分 五. 证 明 题 每 小 题 5 分 共 分. 证 明 : 根 的 存 在 性 : 显 然 为 方 程 的 一 个 实 根 分 ; 根 的 唯 一 性 : 令 f 分 假 设 原 方 程 还 有 一 个 根 c c 不 妨 设 c < 显 然 f 在 [c ] 上 满 足 Roll 中 值 定 理 从 而 至 少 存 在 一 点 ξ c f ξ 分 ; 但 这 与 f 只 有 一 个 零 值 点 相 矛 盾 因 此 原 方 程 只 有 一 个 实 根 分.. 证 明 : 由 积 分 中 值 定 理 可 得 使 F f f d 分 f f ξ ξ [ ] 分 又 由 f 知 f 单 调 递 减 从 而 f f ξ 故 F 从 而 F 在 b 内 单 调 递 减. 分 级 高 等 数 学 上 期 末 试 题 四. 填 空 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 分 满 分 分. lim l. 设 f cos < 要 使 d. 若 rc 则 d. 抛 物 线 在 点 处 的 曲 率 K 5. f si f 在 处 连 续 则 的 阶 麦 克 劳 林 公 式 的 拉 格 朗 日 型 余 项 7 R

6. 设 f si 7. d cos 的 一 个 原 函 数 是 si d 9. lim 则 f d 8. l d ϖ ϖ ϖ ϖ. 设 向 量 b 是 垂 直 的 两 单 位 向 量 则 与 b 所 成 角 的 平 分 线 平 行 的 一 个 单 位 向 量 是 五. 单 项 选 择 题 本 大 题 共 8 小 题 每 小 题 分 满 分 6 分. 当 时 cos 是 的 A. 高 阶 无 穷 小 B. 同 阶 不 等 价 无 穷 小 C. 等 价 无 穷 小 D. 低 阶 的 无 穷 小 f f. f 在 处 可 导 则 lim A. f B. f C. f D. f. 曲 线 l 在 对 应 位 置 上 是 A. 凸 曲 线 B. 凹 曲 线 C. 单 增 曲 线 D. 单 减 曲 线 d. 广 义 积 分 > p 则 A.p> 时 收 敛 p 时 发 散 C.p 时 收 敛 p> 时 发 散 5. 若 lim f B.p 时 收 敛 p< 时 发 散 D.p< 时 收 敛 p 时 发 散 > 则 存 在 的 某 一 去 心 邻 域 使 A. f < B. f C. f > D. f 6. 下 列 等 式 中 正 确 的 是 A. f d f d B. df f d d C. [ f d f c d ] D. [ f d ] f d 8

si 7. 设 f 则 f 在 处 A. 连 续 且 可 导 B. 连 续 但 不 可 导 C. 不 连 续 D. 左 右 导 数 都 存 在 但 不 相 等 8. 直 线 z 与 平 面 z 的 夹 角 为 A. B. C. D. 六. 计 算 题 本 大 题 共 7 小 题 每 小 题 6 分 满 分 分 6. lim 设 si d d d 求 si d d 函 数 f 点 处 的 切 线 方 程. 由 方 程 l 所 确 定 求 曲 线 f 在 求 函 数 I d 的 极 值 和 最 值. 5 5. d. 6. si si d 7. 设 点 A B 的 坐 标 分 别 为 - 和 -. 求 与 直 线 AB 垂 直 且 在 轴 上 截 距 为 5 的 平 面 的 方 程. 四. 应 用 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 6 分 满 分 分. 过 坐 标 原 点 作 曲 线 l 的 切 线 该 切 线 与 曲 线 l 及 轴 围 成 的 平 面 图 形 为 D. 求 D 的 面 积 A.. 某 窑 洞 的 截 面 拟 建 成 矩 形 加 半 圆 其 截 面 积 为 5 平 方 米. 问 底 宽 为 多 少 时 才 能 使 窑 洞 截 面 的 周 长 L 最 小. 五. 证 明 题 本 大 题 共 小 题 满 分 9 分. 证 明 : 当 > 时 < l. 设 在 的 某 邻 域 内 > f f 且 lim 级 高 等 数 学 上 期 末 试 题 参 考 答 案 9. 证 明 : f

一. 填 空 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 分 满 分 分..-. rc. 7 ξ si ξ 5. 其 中 ξ 介 于 与 之 间! 6. f c 或 c 7. c cos 8. 9.. b 二. 单 项 选 择 题 本 大 题 共 8 小 题 每 小 题 分 满 分 6 分.B.D.B.A 5.B 6.D 7.A 8.C 三. 计 算 题 本 大 题 共 7 小 题 每 小 题 6 分 满 分 分. lim lim lim 分 lim Λ Λ 分 分 分 d cos d d. c 分 c csc Λ 分 d si d d si si. 分 即 切 线 方 程 为 k 分 Λ Λ 分 d. I 分 I I Λ Λ 分 d 函 数 I 当 时 单 调 递 减 当 时 单 调 递 增 故 I 在 无 极 大 值 上 只 有 唯 一 的 极 小 值 I 在 上 只 有 最 小 值 I I 无 最 大 值 Λ 分 5. rc sc d sc c rccos sc sc c Λ d 分 Λ Λ 分 d c 分

6. si si cos si 5 d d si si cos cos d d Λ Λ Λ Λ 分 si cos d si cos d 分 si cos d. AB { 5 } 分 设 平 面 方 程 为 5 z D 5 分 7 将 点 5 代 入 得 D 分 所 求 平 面 方 程 为 5 z 分 四. 应 用 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 6 分 满 分 分. 切 点 为 切 线 方 程 为 分 A d 分. 由 面 积 5 得 5 周 长 8 L f 分 令 f 得 而 f > 故 是 的 唯 一 极 小 值 点 也 就 是 L 的 最 小 值 点 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分 五. 证 明 题 本 大 题 共 小 题 满 分 分. 证 明 : 拉 氏 中 值 定 理 c : < c < l l l 分 当 > 时 > 分 c Λ Λ Λ Λ Λ Λ 或 证 明 : 令 Θ > 时 f > 当 f l f > 时 f 即 l < l l [ f f [ 单 调 增 加 Λ Λ 分 > Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分

. 证 明 : 在 该 邻 域 内 f > 故 f f 都 连 续 且 f f ; Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分 将 f 台 勒 展 开 f f f f c! f c 分 分! 或 证 明 : Θ f > f 单 调 增 加 令 g f 则 g g f f g f > Λ 分 g c g c g g g! 故 f 即 f Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分. 97 级 高 等 数 学 下 期 末 考 试 题 一 填 空 题 : si lim ; z l 的 定 义 域 为 ; d ; 设 f z z grdf ; 5 A i j z k div A ; 6 级 数 的 收 敛 区 间 是 ; 7 设 f 是 周 期 函 数 它 在 [ 上 的 表 达 式 为 < f 若 < 将 f 展 开 为 Forir 级 数 则 ; 8 微 分 方 程 d d 的 通 解 为 ; d 9 改 换 二 次 积 分 f d 的 积 分 次 序 ;

设 L : cos si 则 ds. 二 计 算 题 z z 设 z f 其 中 f 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 求 z 设 求 z d dz d dz L 计 算 D d σ D 由 直 线 及 所 围 成 求 由 曲 面 z 及 z 6 所 围 成 的 立 体 的 体 积 5 计 算 d si d 其 中 L 是 在 圆 周 上 由 点 L 到 点 的 一 段 弧 6 计 算 部 分 7 计 算 ds 其 中 是 锥 面 z 被 平 面 z 和 z 所 截 得 的 zdd ddz dzd 其 中 是 柱 面 被 平 面 z 及 z 所 截 得 的 在 第 一 卦 限 的 部 分 的 前 侧 8 证 明 曲 面 z > 上 任 何 点 处 的 切 平 面 在 各 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 等 于 9 将 f 展 开 成 的 幂 级 数 求 级 数 求 微 分 方 程 的 和 函 数 " 5 6 的 通 解 d si 求 微 分 方 程 d 的 特 解 98 级 高 等 数 学 下 期 末 考 试 题 一. 填 空 题 每 小 题 分 共 分.

z. 曲 面 z 在 点 处 的 切 平 面 方 程 为. z. 设 z si 则.. 设 L :. 则 ds. L. 设 曲 面 Σ 是 平 面 z 上 被 所 截 部 分 的 上 部 则 z dd Σ. 5. 积 分 d d. 6. 设 f 是 以 为 周 期 的 周 期 函 数 且 在 [ 的 表 达 式 为 ; f < 或 < <. 的 值 S. 7. 级 数 的 收 敛 半 径 为. 则 f 的 Forir 级 数 的 和 函 数 S d 8. 微 分 方 程 的 通 解 为 d. 9. 向 量 场 A i j z k 则 散 度 div A 旋 度 ro A.. 设 z z 则 在 点 M- 的 梯 度 grd. 二. 选 择 题 每 小 题 分 共 分.. f d d. A. f d. B. f d. C. f d. D. A B C 均 不 正 确.. 若 f f 则 函 数 f 在 点 处. A. 连 续. B. 必 取 得 极 值. C. 可 能 取 得 极 大 值. D. 全 微 分 dz. 在

. 如 果 简 单 闭 曲 线 L 所 围 区 域 的 面 积 为 S 则 S. 其 中 L 取 逆 时 针 方 向. A. d d. B. L d d. C. L d d. D. L d L. 级 数 si. d. A. 发 散. B. 条 件 收 敛. C. 绝 对 收 敛. D. 其 收 敛 性 与 有 关. d 5. 微 分 方 程 的 一 个 特 解 应 具 有 形 式. d A. b B. b C. b D. b 三. 计 算 题 每 小 题 7 分 共 56 分. z z. 设 z f bz f 可 导 求 b.. 求 I. 求 I D Σ dd. 其 中 D 由 及 围 成. z ddz zdd. 其 中 Σ 为 有 向 曲 面 z z 其 法 向 量 与 z 轴 正 向 夹 角 为 锐 角.. 设 L 是 圆 周 lim 的 逆 时 针 方 向 计 算 极 限 b d m d. L 5. 计 算 Σ zds. 其 中 曲 面 Σ 是 锥 曲 面 z 上 介 于 平 面 z 与 z 间 的 部 分. 6. 求 6 在 点 的 Tlor 展 开 式. 7. 求 幂 级 数 的 收 敛 域 并 求 其 和 函 数. 5

8. 求 微 分 方 程 d d d 四. 应 用 题 7 分. 的 通 解. d 在 球 体 z Rz 内 各 点 处 的 密 度 的 大 小 等 于 该 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 的 平 方 试 求 该 球 体 的 重 心 坐 标. 五. 证 明 题 7 分. 证 明 曲 面 z f b cz f 可 微 b c 均 为 常 量 的 所 有 切 平 面 都 与 常 b 向 量 A c b 平 行. 六. 附 加 题 分. 已 知 都 是 微 分 方 程. 6 6 的 解 求 此 微 分 方 程 的 通 解. 98 级 高 等 数 学 下 期 末 考 试 题 参 考 答 案 一.-;. cos si ;.;. 6.; 7.; 8.c - ;9. ; ;.{-}. 二.B;.C;.D;.C;5.B. ;5.-/; 三.. ;.7/6 ;. 5 / ;. m-b ; 5. / ; 6. ; 5 7. R ; ; 8. c c ; 四. G R ; 五. 切 点 z 切 向 量 b f c f A 垂 直 A. ; 六. c c. 6

98 级 线 性 代 数 期 末 考 试 题 一 分 计 算 行 列 式 b c d 二 分 求 A 的 逆 矩 阵 A 三 5 分 向 量 组 α α α 7 线 性 相 关 吗? 并 求 出 它 的 秩 及 一 个 最 大 线 性 无 关 组 四 5 分 求 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 五 分 设 二 次 型 f 写 出 它 所 对 应 的 矩 阵 A ; A 的 特 征 值 特 征 向 量 ; 求 正 交 矩 阵 P 使 A 化 为 对 角 阵 同 时 写 出 对 应 的 正 交 变 换 及 对 角 阵 六 分 判 定 二 次 型 f 的 正 定 性 f 6 6 七 分 设 向 量 组 α α α 线 性 无 关 β α α β α α β α α 试 证 向 量 组 β β β 也 线 性 无 关 98 级 线 性 代 数 期 末 考 试 题 参 考 答 案 一. bcd b d cd 7

8 二. 6 6 A 三. α α α 线 性 无 关 ; A R ; α α 四. 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 为 ξ ξ 原 方 程 组 的 一 个 特 解 为 * η 故 原 方 程 组 的 通 解 为 c c R c c 五. A λ λ 5 λ 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 k k k k k k ; P 正 交 变 换 为

六. A > > A > 故 f 是 正 定 二 次 型 ; 6 七. 略 99 级 高 等 数 学 下 期 末 考 试 题 一. 填 空 题 分 si. lim ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ. 已 知 A i j z k 则 向 量 场 A 的 散 度 为 ϖ ϖ ϖ. 已 知 三 矢 量 { } b { } 和 c { } ϖ ϖ ϖ b c 则. 设 l 当 时 d 5. I D d σ D 是 圆 域 则 I 6. 设 平 面 曲 线 L 为 下 半 圆 周 则 曲 线 积 分 ds L 7. 微 分 方 程 5 6 的 相 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 其 特 解 形 式 为 二. 计 算 题 9 分. 设 f 求. 求 旋 转 抛 物 面 z 在 点 处 的 切 平 面 及 法 线 方 程. 求 通 过 点 和 且 与 平 面 z 垂 直 的 平 面 的 方 程. 计 算 曲 面 积 分 Σ z ddz zdd 其 中 Σ 是 旋 转 抛 物 面 9

z 及 介 于 平 面 z 及 z 之 间 的 部 分 的 下 侧 5. 给 定 函 数 z 和 点 A 5 B 5 6 求 所 给 函 数 在 点 A 沿 AB 方 向 的 方 向 导 数 6. 计 算 三 重 积 分 Ω 围 成 的 区 域 zdv 其 中 Ω 是 由 曲 面 z z 所 7. 证 明 d d 与 L 的 起 止 点 有 关 而 与 所 取 路 径 无 关 并 求 L d d 的 值 三. 应 用 题 分 ϖ ϖ ϖ. 设 有 一 变 力 F i si j 求 质 点 在 此 变 力 作 用 下 沿 路 径 L : 上 由 点 到 所 做 的 功. 求 均 匀 半 球 体 z z 的 重 心 坐 标 四. 证 明 题 5 分 ϖ ϖ ϖ 设 α α α 线 性 无 关 证 明 向 量 组 ϖ ϖ α α ϖ ϖ ϖ ϖ α α α α 线 性 无 关 五.8 分 用 正 交 变 换 化 二 次 型 f 为 标 准 型 并 写 出 变 换 矩 阵 级 高 等 数 学 下 期 末 考 试 题 一. 填 空 题 分 7 分. lim si. 设 l 当 时 d. 交 换 积 分 次 序 d f d A. 设 A 和 B 为 可 逆 矩 阵 X 为 分 块 矩 阵 则 X B

5. 微 分 方 程 si cos 的 通 解 为 6. 设 { } b { } c { } 则 b c 7. 设 A i j z k 则 向 量 场 A 的 旋 度 ro 二. 计 算 题 7 分 6 分 z. 设 函 数 f 具 有 二 阶 连 续 的 偏 导 数 z f 试 求 z. 求 曲 面 z 在 点 处 的 切 平 面 方 程.. 设 A 且 AB A B 求 矩 阵 B Ω. 计 算 三 重 积 分 z dddz 其 中 Ω 是 由 曲 面 z z 所 围 成 的 空 间 区 域 5. 已 知 是 由 平 面 z 及 z 所 围 立 体 的 整 个 表 面 的 外 侧 求 zdd ddz dzd " 6. 求 微 分 方 程 的 通 解 三. 应 用 题 分 设 有 平 面 场 力 F cos i si j 求 一 质 点 沿 曲 线 L : 从 点 移 动 到 点 时 场 力 所 作 的 功 四. 证 明 题 8 分 6 分 m m. 证 明 : d f d f d. 设 向 量 组 α α α 线 性 无 关 试 证 明 向 量 组 A 为 β β α 线 性 无 关 α α α β α α 五. 本 题 分

求 一 正 交 变 换 将 二 次 型 f 化 为 标 准 型 级 高 等 数 学 下 期 末 考 试 题 参 考 答 案 一. 填 空 题.;. d d ;. d f d d f d ; B si. X ;5. A si C d ; 6. -6;7. z j k ; 二. 计 算 题. f. ; f f f 6 5 5 5. B ;. 5 5 三. 应 用 题 W cos d si d L 四.. 提 示 : 五. 正 交 变 换 为 d m ; 5. ; 6. C C m f d 交 换 积 分 次 序 f 级 高 等 数 学 下 期 末 考 试 题 一 选 择 题 每 小 题 分 共 计 5 分. 二 元 函 数 z f 在 点 处 下 列 结 论 成 立 的 是 A. 可 微 全 微 分 存 在 可 导 偏 导 数 存 在 B. 可 导 连 续 但 不 一 定 可 微. C. 可 微 可 导 或 可 微 连 续 但 偏 导 数 不 一 定 连 续 D 可 微 可 导 连 续.

. lim A B C 不 存 在 D Σ. 设 Σ 为 球 面 z 则 z ds A B C D 8. 设 正 项 级 数 收 敛 则 下 列 级 数 收 敛 的 是 A B C D 5. 设 f 是 周 期 为 的 周 期 函 数 在 ] 上 的 傅 立 叶 级 数 在 处 收 敛 于 A B C D 二 填 空 题 每 小 题 分 共 计 5 分 ;. 函 数 z l 则 z ; < f 则 f <. 形 如 的 方 程 称 一 阶 线 形 非 齐 次 微 分 方 程 其 通 解 公 式 是 ;. 求 曲 面 z z 在 点 处 的 切 平 面 方 程 为 法 线 方 程 为 ;. 的 收 敛 半 径 为 收 敛 区 间 为 z 5. 设 z f f v 有 二 阶 连 续 偏 导 数 则 三 是 非 题 每 小 题 分 共 计 分 若 矩 阵 A 的 行 列 式 A 则 A 的 第 一 行 可 由 其 余 各 行 线 性 表 示 若 A 与 B 相 似 则 A B 若 A 有 一 个 特 征 值 为 零 则 A

实 对 称 矩 阵 A 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 5 齐 次 方 程 组 AX 的 基 础 解 系 是 唯 一 的 四 计 算 题 每 小 题 6 分 共 计 8 分 判 别 设 A 是 三 阶 方 阵 的 敛 散 性 ; 将 f 在 展 为 Tlor 级 数 ; A 为 A 的 伴 随 矩 阵 且 五 计 算 题 每 小 题 7 分 共 计 分 A 求 A A 已 知 二 次 型 f 5 5 c 6 6 ; 的 秩 为. 求 参 数 c 及 此 二 次 型 对 应 矩 阵 的 特 征 值 ; 计 算 积 分 D 指 出 方 程 f 表 示 何 种 二 次 曲 面 dd 其 中 D { } 求 I d d L 是 上 半 圆 周 顺 时 针 为 正 L 求 6 9 的 通 解 5 计 算 由 曲 面 z z 所 围 立 体 的 形 心 6 求 下 列 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 级 高 等 数 学 下 期 末 试 题 一. 填 空 题 5 分 si. lim 5 9 8.. 曲 线 z 在 对 应 于 的 点 处 的 切 线 方 程 为. 二 重 积 分 d σ 其 中 D 为 圆 环 形 闭 区 域 : D. 设 L 为 圆 周 R 则 ds L b.

d 5. 微 分 方 程 d 二. 选 择 题 5 分 的 通 解 为. 设 f 下 面 说 法 正 确 的 是 A. f 在 处 偏 导 数 存 在 且 可 微. B. f 在 处 可 微 但 偏 导 数 不 存 在. C. f 在 处 不 可 微 且 偏 导 数 不 存 在.D. f 在 处 不 可 微 但 偏 导 数 存 在.. 级 数 p p > 的 收 敛 情 况 为 A. p < 时 绝 对 收 敛 p 时 条 件 收 敛. B. p > 时 绝 对 收 敛. C. p > 时 绝 对 收 敛 p 时 条 件 收 敛.D. p 时 发 散 p > 时 绝 对 收 敛.. 关 于 向 量 组 的 线 性 相 关 性 下 列 说 法 错 误 的 是 A. 若 向 量 组 α α... α 线 性 相 关 则 向 量 组 α α... α β 也 线 性 相 关. B. 若 一 向 量 组 中 含 有 零 向 量 则 此 向 量 组 线 性 相 关. C. 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 它 们 的 分 量 对 应 成 比 例. D. 向 量 组 α α... α 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 其 中 任 意 一 个 向 量 都 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示.. 微 分 方 程 的 通 解 为 A. c c B. c c C. c c D. c c z 5. 设 Σ 为 平 面 在 第 一 卦 限 的 部 分 则 A. B. 6 C. 6 D. 6 三. 计 算 题 第 7 小 题 各 6 分 第 8 小 题 8 分 共 5 分 5 Σ z ds z z. 设 z f f 具 有 连 续 的 一 阶 二 阶 偏 导 数 求.

. 计 算 二 重 积 分 d d. Σ. 计 算 曲 面 积 分 ddz dzd z dd 上 半 部 分 取 外 侧. 其 中 Σ 为 球 面 z 的. 判 定 级 数! 的 敛 散 性. 5 求 幂 级 数 的 收 敛 域 及 其 和 函 数. 6 设 f 具 有 二 阶 连 续 导 数 f 且 f f d 求 f. 7 计 算 行 列 式 D 8 求 一 个 正 交 变 换 XPY 把 二 次 型 f 化 为 标 准 二 次 型. 5 6 四. 应 用 题 分. 在 均 匀 的 半 径 为 R 的 半 圆 形 薄 片 的 直 径 上 要 接 上 一 个 一 边 与 直 径 等 长 的 同 样 材 料 的 均 匀 矩 形 薄 片 为 了 使 整 个 均 匀 薄 片 的 重 心 恰 好 落 在 圆 心 上 问 接 上 去 的 均 匀 矩 形 薄 片 另 一 边 的 长 度 应 是 多 少?. 设 有 平 面 场 力 F i j 求 一 质 点 沿 上 半 圆 周 L: 从 点 A 到 点 O 时 场 力 所 作 的 功. 五. 证 明 题 6 分 设 β Λ α α β α α Κ β α α 且 向 量 组 α α... α 线 性 无 关 证 明 向 量 组 β β... β 也 线 性 无 关. 级 高 等 数 学 下 期 末 试 题 四. 填 空 题 本 大 题 共 5 小 题 每 小 题 分 满 分 5 分. si lim.. 给 定 函 数 z 和 点 A B 则 所 给 函 数 在 点 A 沿 AB 方 向 的 方 向 6

. 设 方 阵 导 数 为.. 设 A 则 它 的 逆 矩 阵 等 于. f 是 以 为 周 期 的 周 期 函 数 且 在 [ 的 表 达 式 为 < ; f <. f 的 Forir 级 数 在 处 收 敛 于. d d 5. 微 分 方 程 的 通 解 为. 五. 单 项 选 择 题 本 大 题 共 5 小 题 每 小 题 分 满 分 5 分. 简 单 闭 曲 线 L 所 围 区 域 的 面 积 为 S L 取 逆 时 针 方 向 则 S. A. d d ; B. d d L L ; C. d d ; D. L d L d.. 曲 面 z > 上 任 意 点 的 切 平 面 与 三 个 坐 标 面 所 围 成 的 四 面 体 的 体 积 为 A ; B ; C 9 ; D. 设 阶 方 阵 A 的 行 列 式 A 则 方 阵 A 的 行 列 式 A 等 于 6 A ; B ; C 8 ; D 无 法 确 定. 下 列 级 数 中 条 件 收 敛 的 是 A ; B l ; C cos ; D 5. 微 分 方 程 5 的 通 解 为. A 5 C C ; B C C ; C C si C cos ; D C C. 7 三 计 算 题 本 大 题 共 6 小 题 每 小 题 7 分 满 分 分. 设 f w 其 中 w f v. 计 算 二 重 积 分 d σ 其 中 D 是 由 D w w 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 求. 所 围 成 的 闭 区 域

8. 计 算 曲 面 积 分 S zdd ddz z 其 中 是 旋 转 抛 物 面 z 介 于 z 与 z 之 间 的 部 分 下 侧.. 求 下 面 方 程 组 的 通 解 5. 求 微 分 方 程 d d d d 的 通 解. 6. 求 幂 级 数 的 收 敛 域 并 求 其 和 函 数. 四. 证 明 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 7 分 满 分 分. 证 明 : 在 斜 边 之 长 为 的 一 切 直 角 三 角 形 中 周 长 最 大 的 三 角 形 为 等 腰 直 角 三 角 形.. 设 b b b 而 向 量 组 线 性 无 关. 证 明 向 量 组 b b b 也 线 性 无 关. 五 应 用 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 7 分 满 分 分. 设 一 质 点 受 到 力 场 j i F 的 作 用 该 质 点 沿 椭 圆 5 从 点 5 M 依 逆 时 针 方 向 移 动 到 点 N 时 求 力 场 F 所 作 的 功.. 求 矩 阵 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量 并 求 可 逆 矩 阵 P 使 得 AP P 为 对 角 阵 其 中 A 级 高 等 数 学 下 期 末 试 题 参 考 答 案 六. 填 空 题 本 大 题 共 5 小 题 每 小 题 分 满 分 5 分.. 5. 5. 5.. 5. c 七. 单 项 选 择 题 本 大 题 共 5 小 题 每 小 题 分 满 分 5 分.D.C.C.D 5.C 三 计 算 题 本 大 题 共 6 小 题 每 小 题 7 分 满 分 分. 解 : 令 v 则 v f w 分 ;...... 分 v f v f v f v f v v w w w v 分......... v f v f v f v v w w w v

9. 解 : : D... 分 分 D d d d σ. 55 6 5 9 分 d. 解 : 利 用 高 斯 公 式 补 一 块 上 底 面 Z 取 上 侧 方 向 则 : Σ zdd ddz z dd 8. 分 S zdd ddz z Σ zdd ddz z Σ s zdd ddz z dv V 分. 故 Σ zdd ddz z Σ s zdd ddz z Σ zdd ddz z 8 8 分 注 : 另 一 个 解 法 见 教 材 页. 解 : A... 分 < A R A R 有 无 穷 多 解.. 分 由 此 得 c c c c c c 是 参 数 其 中 c c 分 5. 解 : 特 征 方 程 r r 解 得 特 征 根 r 对 应 齐 方 程 d d d d 的 通 解 是 c c 分 再 设 A 为 原 方 程 的 一 个 特 解 带 入 后 得 : 8A6AA A/6 故 6. 分 所 以 原 方 程 的 通 解 为

c c 6. 解 : 令 S 其 R 6 分 逐 项 积 分 : S d d 故 d S.... 分 d 所 以 S 分 四. 证 明 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 7 分 满 分 分 证 明 : 设 两 直 角 边 长 各 为 其 周 长 为 L 则 L... m > >... s.. 分 拉 格 朗 日 乘 数 法 : 令 λ λ 由 λ 解 得 λ 分 讨 论 : 当 时 ABC 是 直 角 三 角 形 L ; λ 当 : 或 时 L ; 故 在 斜 边 之 长 为 的 一 切 直 角 三 角 形 中 周 长 最 大 的 三 角 形 为 等 腰 直 角 三 角 形.. 分. 设 b b b 而 向 量 组 线 性 无 关. 证 明 向 量 组 b b b 也 线 性 无 关. 证 明 : 考 察 关 于 的 向 量 方 程 b b b 可 整 理 为 分 而 又 已 知 向 量 组 线 性 无 关 故 它 的 系 数 行 列 式 A A 满 秩.

所 以 的 取 值 必 须 全 为 零 唯 一 零 解 分 这 就 说 明 向 量 组 b b b 线 性 无 关... 分 五 应 用 题 本 大 题 共 小 题 每 小 题 7 分 满 分 分 解 : 法 一 直 接 计 算 法 : 椭 圆 参 数 方 程 为 5 cos MN : si : w F dl d d 8 si cos d.7 分 MN MN 法 二 用 格 林 公 式 及 与 路 径 无 关 方 法 求 解 : w F dl d d 与 路 径 无 关 d d MN MN d d 5.7 分. 求 矩 阵 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量 并 求 可 逆 矩 阵 P 使 得 P AP MO ON 解 : 求 A 的 特 征 值 特 征 向 量 : 由 于 λ A λe λ λ λ A 的 两 个 特 征 值 λ λ.... 分 当 λ 时 A λ E 为 对 角 阵 其 中 由 可 取 对 应 一 个 特 征 向 量 A 的 属 于 λ 的 特 征 向 量 通 解 为 α k 其 中 k.... 分 当 λ 时 A λ E 由 可 取 对 应 一 个 特 征 向 量 p A 的 属 于 λ 的 特 征 向 量 通 解 为 α k 其 中 k.... 分 p A 可 取 变 换 方 阵 P 其 可 逆 且 P AP... 分