十 一 機 率 (Probability).... 分 立 變 值 (discrete variate) 及 連 續 變 值 (continuous variate)..... 連 續 變 質 (Continuous variate)/ 連 續 變 數 (Continuous variable)..... 分 立 變 值 (Discrete variate)/ 間 斷 變 數 (Discrete variable).... 機 率 的 意 涵....3 機 率 分 佈 (Probability Distribution)....3. 集 合 基 本 運 算....3.. 事 件 A 的 餘 集 (complement of event A)....3.. 事 件 A 和 B 的 交 集....3..3 事 件 A 和 B 的 聯 集....3. 事 件 機 率 (Event Probability)...3.3.3 聯 合 機 率 (Joint Probability)...3.3.4 邊 際 機 率 (Marginal Probability)...4.3.5 條 件 機 率 (Conditional Probability)...4.4 計 數 法 則...4.4. 多 步 驟 隨 機 試 驗 之 計 數 法 則...4.4. 排 列 計 數 法...5.4.3 組 合 計 數 法...5.5 機 率 運 算 法 則...5.5. 加 法 法 則 (addition rule)...5.5.. 兩 事 件 是 互 斥 (exclusive)( 不 會 同 時 發 生 )...5.5.. 兩 事 件 非 互 斥...5.5. 乘 法 法 則 (multiplication rule)...6.5.. 兩 事 件 交 集 機 率...6.5.. 三 事 件 交 集 機 率...6.5.3 獨 立 事 件 (Independent Events)...6.5.4 相 依 事 件 (Dependent Events)...6.5.5 互 斥 事 件 (Mutually Exclusive Events)...7.5.6 分 割 集 合 (Partition Set)...7.6 貝 氏 定 理 (Bayes Theorem)...7.7 二 項 分 佈 ( 族 群 )...8 二 項 分 佈 累 計 機 率 表...8.8 卜 瓦 松 分 布 (Poisson distribution)...
十 一 機 率 (Probability). 分 立 變 值 (discrete variate) 及 連 續 變 值 (continuous variate).. 連 續 變 質 (Continuous variate)/ 連 續 變 數 (Continuous variable) 可 以 具 有 無 數 個 不 同 之 數 值, 且 任 何 兩 個 數 值 之 間 都 可 以 加 以 無 限 制 的 細 分 故 連 續 變 數 的 數 值 在 小 數 點 以 後 的 數 值 具 有 意 義 存 在 常 態 分 佈 (Normal Distribution) 屬 於 連 續 變 值 分 佈.. 分 立 變 值 (Discrete variate)/ 間 斷 變 數 (Discrete variable) 一 般 數 值 是 由 記 點 (counting) 獲 得 間 斷 變 數 的 數 值 在 小 數 點 以 後 的 數 值 不 具 有 任 何 意 義 存 在 二 項 分 佈 (Binomial Distribution) 與 卜 瓦 松 分 佈 (Poisson Distribution) 屬 於 分 立 變 值 分 佈 / 間 斷 機 率 分 佈. 機 率 的 意 涵 結 論 推 定, 主 要 依 據 實 驗 資 料 的 可 信 度 (certainty), 若 可 信 度 高, 則 其 結 論 可 靠, 可 信 度 低, 則 結 論 就 不 可 靠 決 定 可 信 度 高 低 的 方 法 即 是 機 率 論 (probability theory) 丟 錢 幣, 有 正 面 (H) 與 反 面 (T) 兩 種, 若 丟 很 多 次, 其 可 能 出 現 的 結 果 如 下 : HHTHTTHHHTTHTH... 似 此 實 驗 結 果 稱 為 隨 機 序 列 (random sequence or random series), 序 列 中 的 H 或 T 稱 為 試 驗 (trial) 事 件 (event) 或 結 果 (outcome) 當 實 驗 次 數 增 加 時, 則 H 或 T 在 序 列 中 所 得 的 結 果 會 趨 近 於 某 一 定 值,H 或 T 在 全 實 驗 中 約 各 佔 / 的 比 例, 此 種 比 例 稱 為 實 驗 結 果 的 機 率 (probability) 機 率 的 概 念 就 是 事 件 自 然 發 生 的 結 果 所 佔 的 比 例 機 率 : 評 量 事 件 發 生 的 可 能 性 大 小.3 機 率 分 佈 (Probability Distribution) 隨 機 變 數 (random variable): 一 個 隨 機 抽 樣 過 程 中 出 現 不 同 結 果 的 數 值 樣 本 空 間 (sample space) 上 的 實 數 函 數 (real-value function) 即 為 隨 機 變 數 樣 本 空 間 (sample space): 一 個 隨 機 抽 樣 過 程 中 可 能 獲 得 結 果 的 集 合 一 般 使 用 S 標 示 樣 本 點 (sample point) 或 結 果 (outcome): 每 一 個 隨 機 抽 樣 過 程 中 可 能 個 結 果 故 樣 本 點 所 組 成 的 集 合 即 為 樣 本 空 間 事 件 (event): 樣 本 空 間 的 子 集 合 ; 樣 本 空 間 的 部 分 集 合 簡 單 事 件 : 包 含 一 個 樣 本 點 的 部 分 集 合 複 合 事 件 : 包 含 兩 個 或 兩 個 以 上 樣 本 點 的 部 分 集 合.3. 集 合 基 本 運 算.3.. 事 件 A 的 餘 集 (complement of event A) 樣 本 空 間 內 不 包 含 A 事 件 的 其 他 所 以 樣 本 點 的 集 合, 利 用.3.. 事 件 A 和 B 的 交 集 在 事 件 A 和 B 中 共 同 出 現 的 樣 本 點 所 組 成 的 集 合, 利 用.3..3 事 件 A 和 B 的 聯 集 所 有 屬 於 A B 或 兩 者 都 有 的 樣 本 點 所 組 成 的 集 合, 利 用 C A 標 示 A I B 標 示 A U B 標 示
.3. 事 件 機 率 (Event Probability) 事 件 A 發 生 的 機 率 P (A), 為 事 件 A 之 樣 本 點 出 現 機 率 的 總 和 P ( A) Ei ), E i A Sample: 擲 骰 子 一 次, 出 現 基 數 的 機 率? 樣 本 空 間 :{,, 3, 4, 5, 6}, 每 個 樣 本 點 的 機 率 相 等 6 A 為 出 現 基 數 的 事 件,A{, 3, 5} 機 率 為 P (A) P ({ }) + {3}) + {5}) + + 6 6 6.3.3 聯 合 機 率 (Joint Probability) 兩 個 或 兩 個 以 上 的 事 件 同 時 發 生 的 機 率 Sample: 餐 旅 系 二 年 級 50 位 同 學 修 統 計 學 與 資 料 蒐 集 與 應 用 兩 門 課 修 課 同 時 及 格 的 機 率? 統 計 學 學 生 數 不 3 4 資 料 蒐 集 與 應 用 不 4 3 設 A 為 統 計 學 及 格 的 事 件 設 A 為 統 計 學 不 及 格 的 事 件 設 A 3為 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 事 件 A 為 資 料 蒐 集 與 應 用 不 及 格 的 事 件 設 4 故 A I A3 故 A I A4 故 A I A3 故 A I A4 為 統 計 學 和 資 料 蒐 集 與 應 用 都 及 格 的 事 件 為 統 計 學 及 格 但 資 料 蒐 集 與 應 用 不 及 格 的 事 件 為 統 計 學 不 及 格 但 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 事 件 為 統 計 學 和 資 料 蒐 集 與 應 用 都 不 及 格 的 事 件 統 計 學 和 資 料 蒐 集 與 應 用 都 及 格 的 機 率 A I A3 ) 0.4 50 統 計 學 及 格 但 資 料 蒐 集 與 應 用 不 及 格 的 機 率 A I A4 ) 0. 50 4 統 計 學 不 及 格 但 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 機 率 A I A3 ) 0.8 50 3 統 計 學 和 資 料 蒐 集 與 應 用 都 不 及 格 的 機 率 A I A4 ) 0.6 50 聯 合 機 率 表 統 計 學 機 率 合 計 不 3 0.4 0.8 0.5 資 料 蒐 集 與 應 用 不 4 0. 0.6 0.48 合 計 0.46 0.54.00 3
.3.4 邊 際 機 率 (Marginal Probability) 兩 個 或 兩 個 以 上 的 樣 本 空 間 中, 僅 考 慮 某 一 個 條 件 下 個 別 發 生 的 機 率 Sample: 餐 旅 系 二 年 級 50 位 同 學 修 統 計 學 和 資 料 蒐 集 與 應 用 兩 門 課 修 課 及 格 的 個 別 機 率? 統 計 學 學 生 數 不 3 4 資 料 蒐 集 與 應 用 不 4 3 A A A 3 和 A 4 的 邊 際 機 率 P ( A ) A I A3 ) + A I A4 ) 0.4+0.0.46( 統 計 學 及 格 的 機 率 ) P ( A ) A I A3 ) + A I A4 ) 0.8+0.60.54 P ( A 3 ) A I A3 ) + A I A3 ) 0.4+0.80.5( 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 機 率 ) P ( A 4 ) P A I A ) + A I ) 0.+0.60.48 ( 4 A4.3.5 條 件 機 率 (Conditional Probability) 在 已 知 某 事 件 發 的 情 況 下, 另 一 事 件 發 生 的 機 率 為 何? 已 知 B 發 生 的 事 件 下 ( P ( B) 0 ), 事 件 A 發 生 的 機 率, 稱 為 事 件 A 的 條 件 機 率 條 件 機 率 為 聯 合 機 率 和 邊 際 機 率 的 比 值 A I B) P ( A B), P ( B) 0 B) 同 理, 已 知 A 發 生 的 事 件 下 ( P ( A) 0 ), 事 件 B 發 生 的 機 率, 稱 為 事 件 B 的 條 件 機 率 A I B) P ( B A), P ( A) 0 A) Sample: 餐 旅 系 二 年 級 50 位 同 學 修 統 計 學 和 資 料 蒐 集 與 應 用 兩 門 課, 若 統 計 學 已 經 及 格 時, 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 機 率? 統 計 學 機 率 合 計 不 3 0.30 0.38 0.68 資 料 蒐 集 與 應 用 不 4 0.0 0. 0.3 合 計 0.40 0.60.00 P ( A A ) 3 A I A3 ) 0. 30 0.75 A ) 0. 40 若 統 計 學 已 經 及 格 時, 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 機 率 為 0.75, 而 原 本 整 體 的 及 格 機 率 為 0.68 故 統 計 學 及 格 時, 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 機 率 可 從 0.68 提 高 到 0.75.4 計 數 法 則.4. 多 步 驟 隨 機 試 驗 之 計 數 法 則 若 一 個 隨 機 實 驗 可 拆 解 成 n 個 步 驟, 第 個 步 驟 有 m 種 可 能 結 果, 第 個 步 驟 有 m 種 可 能 結 果, 以 此 類 推, 第 n 個 步 驟 有 m n 種 可 能 結 果, 則 此 隨 機 實 驗 共 有 m m... mn 種 可 能 結 果 4
Sample: 丟 擲 兩 個 銅 板, 每 一 個 銅 板 均 有 兩 種 丟 擲 結 果 (H, T), 則 將 此 丟 擲 銅 板 的 過 程 拆 解 成 兩 個 步 驟, 分 別 丟 擲 一 個 銅 板, 故 共 有 4 種 丟 擲 可 能 結 果 樣 本 空 間 S {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}, 共 有 四 個 樣 本 點 Sample: 阿 飛 餐 廳 中, 飲 料 有 5 種, 主 菜 有 6 種, 湯 類 有 3 種, 甜 點 有 3 種, 此 餐 廳 消 費 者 對 於 選 擇 飲 料 主 菜 湯 類 和 甜 點 有 幾 種 選 擇 組 合 方 式?.4. 排 列 計 數 法 從 全 部 n 個 不 同 的 樣 本 資 料 中, 抽 取 i 個 樣 本, 依 序 排 列 在 i 個 位 置, 共 有 n n ( n ) ( n ) ( n r +) 種 不 同 的 排 列 組 合, 一 般 使 用 P i 標 示 n! P n i ( n r)! Sample: 阿 飛 餐 廳 中 有 50 位 員 工, 舉 行 忘 年 會 活 動, 老 闆 準 備 3 個 摸 彩 獎 品, 依 序 為 超 級 37 吋 液 晶 電 視 高 級 墾 丁 荒 野 度 假 村 住 宿 卷 高 級 自 行 車, 試 問 有 幾 種 可 能 的 分 配 情 況? 獎 品 超 級 37 吋 液 晶 電 視 高 級 墾 丁 荒 野 度 假 村 住 宿 卷 高 級 自 行 車 三 種 必 須 分 開 獨 立 獲 得, 即 已 抽 中 者, 不 能 再 具 有 後 續 的 抽 獎 機 會 50 49 487600 種 可 能 的 獎 品 分 配 組 合 50 50! 或 P 3 7600 47!.4.3 組 合 計 數 法 從 全 部 n 個 不 同 的 樣 本 資 料 中, 抽 取 i 個 樣 本, 共 有 C 種 選 擇 組 合 ( 抽 選 方 式 ) C n! i!( n i)! n i 組 合 計 數 法 只 考 慮 抽 取 的 i 樣 本 為 何, 不 考 慮 其 被 抽 取 的 出 現 順 序 或 位 置 若 A B C 三 人 被 抽 中 的 分 配 方 式 有 (ABC) (ACB) (BAC) (BCA) (CAB) (CBA) 等 六 種 排 列 組 合 方 式, 惟 在 組 合 計 數 法 中 都 被 視 為 一 種 組 合 方 式 故 在 i 個 樣 本 中 有 i! 種 不 同 的 組 合 排 列 方 式, 因 此 在 公 式 中 組 合 計 數 等 於 排 列 計 數 除 以 i! Sample: 若 樂 透 彩 卷 從 至 6 號 中 選 取 4 個 不 同 號 碼, 則 此 種 樂 透 彩 中 有 幾 種 選 擇 法? 從 至 6 號 選 取 4 個 不 同 號 碼, 選 取 的 前 後 順 序 不 影 響 組 合 結 果 6 6! C4 80 4!! Excel 軟 體 : 階 乘 n! 計 算 法, 可 採 用 FACT 數 學 函 數 獲 得.5 機 率 運 算 法 則.5. 加 法 法 則 (addition rule) 即 是 計 算 兩 事 件 聯 集 的 機 率 n Pi i!.5.. 兩 事 件 是 互 斥 (exclusive)( 不 會 同 時 發 生 ) P r (A 或 B 事 件 ) P r (A) + P r (B) 式 中 P r 為 機 率 的 符 號.5.. 兩 事 件 非 互 斥 n i 5
P r (A 或 B 事 件 或 A 及 B 同 時 發 生 ) P r (A) + P r (B) - P r (A 及 B) 式 中 P r (A 及 B) 是 A 及 B 事 件 同 時 發 生 的 機 率 Sample: 某 班 學 生 50 人, 其 中 0 歲 的 學 生 有 35 人, 女 性 學 生 有 30 人, 而 女 性 學 生 中 0 歲 的 有 人, 則 某 班 學 生 年 齡 為 0 歲 或 是 女 性 的 機 率 有 多 少? P r (A:0 歲 ) 35/50 0.7 P r (B: 女 性 ) 30/50 0.6 P r (A 及 B) /50 0.4 故 P r (A 或 B 或 A 及 B) P r (A) + P r (B) - P r (A 及 B) 0.7+0.6-0.4 0.88.5. 乘 法 法 則 (multiplication rule) 當 兩 試 驗 同 時 進 行, 各 試 驗 之 某 事 件 同 時 發 生 之 機 率 為 兩 事 件 獨 立 發 生 機 率 之 相 乘 積 P r (A 及 B) P r (A)P r (B) P r (A)P r (B, given A) Sample: 設 同 時 擲 硬 幣 及 骰 子, 其 出 現 正 面 (H) 及 3 點 之 機 率 為 多 少? 硬 幣 出 現 H 之 機 率 Pr(H) / 骰 子 出 現 3 點 之 機 率 Pr(3) /6 則 Pr(H 及 3) Pr(H)Pr(3) / Sample: 若 設 某 地 區 人 類 男 女 性 別 比 例 男 性 為 0.5, 而 女 性 則 為 -0.5 0.49, 則 一 個 家 庭 出 生 四 個 嬰 兒 全 為 女 性 之 機 率 為 Pr(GGGG) (0.49) 4 0.0576 若 一 家 庭 中 4 個 嬰 兒 中 有 一 個 為 男 性 之 現 象 有 BGGG,GBGG,GGBG,GGGB 等 4 種, 每 種 情 形 之 機 率 為 (0.49) 3 (0.5) 0.06, 故 四 種 情 形 之 機 率 和 為 0.06 + 0.06 + 0.06 + 0.06 0.4 家 庭 中 有 四 個 嬰 兒 各 種 出 生 性 別 組 合 之 機 率 男 女 機 率 0 4 (0.49) 4 0.0576 3 4(0.5)(0.49) 3 0.40 6(0.5) (0.49) 0.3747 3 4(0.5) 3 (0.49) 0.60 4 0 (0.5) 4 0.0677 合 計.000.5.. 兩 事 件 交 集 機 率 計 算 兩 事 件 交 集 的 機 率, 可 透 過 條 件 機 率 進 行 估 算 A I B) P ( B) A B) P ( A) B A).5.. 三 事 件 交 集 機 率 計 算 三 事 件 交 集 的 機 率, 亦 可 透 過 條 件 機 率 進 行 估 算 A I B I C) A) B A) C A I B).5.3 獨 立 事 件 (Independent Events) A 事 件 發 生 不 會 影 響 B 事 件 發 生 的 機 率, 故 A 和 B 互 為 獨 立 事 件 則 下 列 關 係 成 立 P ( A B) P (A) P ( B A) P (B) A I B) P ( A) B).5.4 相 依 事 件 (Dependent Events) A 事 件 發 生 會 影 響 B( 其 他 ) 事 件 發 生 的 機 率 6
Sample: 餐 旅 系 二 年 級 50 位 同 學 修 統 計 學 和 資 料 蒐 集 與 應 用 兩 門 課, 試 問 統 計 學 及 格 與 否 是 否 會 影 響 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 機 率? 統 計 學 機 率 合 計 不 3 0.30 0.38 0.68 資 料 蒐 集 與 應 用 不 4 0.0 0. 0.3 合 計 0.40 0.60.00 A P ( A A ) 3 A ) I A3 ) 0. 30 0. 40 0.75 P A ) 0.68 故 試 問 統 計 學 及 格 與 否 會 影 響 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 的 機 率 統 計 學 及 格 機 率 和 資 料 蒐 集 與 應 用 及 格 機 率 兩 者 為 相 依 事 件.5.5 互 斥 事 件 (Mutually Exclusive Events) A 與 B 兩 事 件 沒 有 共 同 的 樣 本 點 即 A 事 件 發 生 時,B 事 件 絕 不 會 發 生, 故 A I B) 0, 另 A U B) P (A) + P (B).5.6 分 割 集 合 (Partition Set) 若 A,, A m 事 件 為 彼 此 均 為 互 斥 事 件, 則 { A,, A m } 為 分 割 集 合.6 貝 氏 定 理 (Bayes Theorem) 若 已 知 A,, A m 事 件 為 彼 此 均 為 互 斥 事 件,B 為 特 定 事 件, 另 已 知 P ( A i ) 及 P ( B Ai ), 則 在 已 知 B 事 件 發 生 的 條 件 下, A i 事 件 發 生 的 機 率 A i B) B I Ai ) B I Ai ) A i B) B) B I A ) + B I A ) +... + B I Ai ) Ai ) B Ai ) A ) B A ) + A ) B A ) +... + A ) B A ) ( 3 i i P ( A i ) 為 事 前 機 率 P ( B Ai ) 為 條 件 機 率 (Prior Probability) A i B) 為 事 後 機 率 (Posterior Probability) 定 理 : 對 任 意 事 件 A S, 則 A )-A) 定 理 : 對 任 意 二 事 件 A S,B S, 則 A B)A)+B)-A B) 定 理 : 若 A B, 則 A) B) Problem: 擲 一 甩 子 三 次, 點 數 和 為 5 的 機 率 36 7
.7 二 項 分 佈 ( 族 群 ) 二 項 族 群 可 得 兩 種 分 布 :() 樣 本 平 均 值 分 布 () 樣 本 合 計 分 布 樣 本 合 計 之 分 布 一 般 稱 為 二 項 分 布 (binomial distribution) 因 其 可 由 二 項 定 理 公 式 推 論 而 得, 故 名 為 二 項 分 布 二 項 族 群 正 面 機 率 p 代 表 成 功 率, 而 - p q, 代 表 失 敗 率, 在 n 個 獨 立 事 件 發 生 時, 由 二 項 定 理, 各 事 件 發 生 的 機 率 n 式 中 x n (q+p) n q n + n q n- p + q n- p +... + n! 為 組 合 數, 各 項 發 生 的 機 率 為 x!( n x)! 8 n n x n q n-x p x +...+ p n q n- p x, 全 部 機 率 為 Sample: 新 藥 品 的 治 癒 率 達 90 % ( 無 效 率 為 0%) 今 試 驗 0 位 病 人, 若 治 癒 率 可 靠, 則 應 有 多 少 病 人 治 癒? 最 多 有 5 位 病 人 治 癒 之 機 率 為 多 少? () 由 二 項 分 布 期 望 值 E(X) np 0 0.9 8 人 () 最 多 5 人 治 癒 之 機 率 可 利 用 二 項 分 布 累 計 機 率 公 式 5 5 0 Pr(X 5) f ( x) (0.9) x (0.) 0-x From 二 項 分 佈 累 計 機 率 表 n 0, p 0.9, x 5 Pr(X 5)0.043 x 0 Sample: 興 建 焚 化 爐 民 意 調 查, 若 設 80 % 居 民 贊 成, 今 獨 立 隨 機 訪 問 5 位 居 民,8 個 以 上 贊 成 之 機 率 為 多 少? 有 0 至 4 個 居 民 贊 成 之 機 率 有 多 少? ()Pr(X 8) - Pr(X 7) From 二 項 分 佈 累 計 機 率 表 n 5, x 7, p 0.8 Pr(X 7)0.004 Pr(X 8) - 0.004 0.9958 ()Pr(0 X 4) Pr(X 4) - X 9) 0.9648-0.06 0.9037 x 0 二 項 分 佈 累 計 機 率 表 n P r ( x t p x t x F x (t) ) x x x q n p n t 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0 0.9500 0.9000 0.8500 0.8000 0.7500 0.7000 0.6500 0.6000 0.5500 0.5000 0.4500 0.4000 0.3500 0.3000 0.500 0.000 0.500 0.000 0.0500.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0 0.905 0.800 0.75 0.6400 0.565 0.4900 0.45 0.3600 0.305 0.500 0.05 0.600 0.5 0.0900 0.065 0.0400 0.05 0.000 0.005 0.9975 0.9900 0.9775 0.9600 0.9375 0.900 0.8775 0.8400 0.7975 0.7500 0.6975 0.6400 0.5775 0.500 0.4375 0.3600 0.775 0.900 0.0975.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 3 0 0.8574 0.790 0.64 0.50 0.49 0.3430 0.746 0.60 0.664 0.50 0.09 0.0640 0.049 0.070 0.056 0.0080 0.0034 0.000 0.000 3 0.998 0.970 0.9393 0.8960 0.8438 0.7840 0.783 0.6480 0.5748 0.5000 0.453 0.350 0.88 0.60 0.563 0.040 0.0608 0.080 0.0073 3 0.9999 0.9990 0.9966 0.990 0.9844 0.9730 0.957 0.9360 0.9089 0.8750 0.8336 0.7840 0.754 0.6570 0.578 0.4880 0.3859 0.70 0.46 3 3.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 4 0 0.845 0.656 0.50 0.4096 0.364 0.40 0.785 0.96 0.095 0.065 0.040 0.056 0.050 0.008 0.0039 0.006 0.0005 0.000 0.0000 4 0.9860 0.9477 0.8905 0.89 0.7383 0.657 0.5630 0.475 0.390 0.35 0.45 0.79 0.65 0.0837 0.0508 0.07 0.00 0.0037 0.0005 4 0.9995 0.9963 0.9880 0.978 0.949 0.963 0.8735 0.808 0.7585 0.6875 0.6090 0.548 0.4370 0.3483 0.67 0.808 0.095 0.053 0.040 4 3.0000 0.9999 0.9995 0.9984 0.996 0.999 0.9850 0.9744 0.9590 0.9375 0.9085 0.8704 0.85 0.7599 0.6836 0.5904 0.4780 0.3439 0.855 4 4.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.377 0.373 0.68 0.60 0.0778 0.0503 0.033 0.085 0.00 0.0053 0.004 0.000 0.0003 0.000 0.0000 0.0000 5 0.9774 0.985 0.835 0.7373 0.638 0.58 0.484 0.3370 0.56 0.875 0.3 0.0870 0.0540 0.0308 0.056 0.0067 0.00 0.0005 0.0000 5 0.9988 0.994 0.9734 0.94 0.8965 0.8369 0.7648 0.686 0.593 0.5000 0.4069 0.374 0.35 0.63 0.035 0.0579 0.066 0.0086 0.00 5 3.0000 0.9995 0.9978 0.9933 0.9844 0.969 0.9460 0.930 0.8688 0.85 0.7438 0.6630 0.576 0.478 0.367 0.67 0.648 0.085 0.06 5 4.0000.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9976 0.9947 0.9898 0.985 0.9688 0.9497 0.9 0.8840 0.839 0.767 0.673 0.5563 0.4095 0.6
p n t 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 5 5.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 6 0 0.735 0.534 0.377 0.6 0.780 0.76 0.0754 0.0467 0.077 0.056 0.0083 0.004 0.008 0.0007 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.967 0.8857 0.7765 0.6554 0.5339 0.40 0.39 0.333 0.636 0.094 0.069 0.040 0.03 0.009 0.0046 0.006 0.0004 0.000 0.0000 6 0.9978 0.984 0.957 0.90 0.8306 0.7443 0.647 0.5443 0.445 0.3438 0.553 0.79 0.74 0.0705 0.0376 0.070 0.0059 0.003 0.000 6 3 0.9999 0.9987 0.994 0.9830 0.964 0.995 0.886 0.808 0.7447 0.6563 0.5585 0.4557 0.359 0.557 0.694 0.0989 0.0473 0.059 0.00 6 4.0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.9954 0.989 0.9777 0.9590 0.9308 0.8906 0.8364 0.7667 0.6809 0.5798 0.466 0.3446 0.35 0.43 0.038 6 5.0000.0000.0000 0.9999 0.9998 0.9993 0.998 0.9959 0.997 0.9844 0.973 0.9533 0.946 0.884 0.80 0.7379 0.69 0.4686 0.649 6 6.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 7 0 0.6983 0.4783 0.306 0.097 0.335 0.084 0.0490 0.080 0.05 0.0078 0.0037 0.006 0.0006 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7 0.9556 0.8503 0.766 0.5767 0.4449 0.394 0.338 0.586 0.04 0.065 0.0357 0.088 0.0090 0.0038 0.003 0.0004 0.000 0.0000 0.0000 7 0.996 0.9743 0.96 0.850 0.7564 0.647 0.533 0.499 0.364 0.66 0.59 0.0963 0.0556 0.088 0.09 0.0047 0.00 0.000 0.0000 7 3 0.9998 0.9973 0.9879 0.9667 0.994 0.8740 0.800 0.70 0.6083 0.5000 0.397 0.898 0.998 0.60 0.0706 0.0333 0.0 0.007 0.000 7 4.0000 0.9998 0.9988 0.9953 0.987 0.97 0.9444 0.9037 0.847 0.7734 0.6836 0.580 0.4677 0.359 0.436 0.480 0.0738 0.057 0.0038 7 5.0000.0000 0.9999 0.9996 0.9987 0.996 0.990 0.98 0.9643 0.9375 0.8976 0.844 0.766 0.6706 0.555 0.433 0.834 0.497 0.0444 7 6.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9984 0.9963 0.99 0.9848 0.970 0.950 0.976 0.8665 0.7903 0.6794 0.57 0.307 7 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0.0000 0.0000 0.0000 9 8.0000.0000 0.999 0.9933 0.973 0.96 0.845 0.6675 0.4940 0.338 0.84 0.0885 0.0347 0.005 0.003 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 9 9.0000.0000 0.9999 0.9984 0.99 0.9674 0.95 0.839 0.670 0.5000 0.390 0.86 0.0875 0.036 0.0089 0.006 0.000 0.0000 0.0000 9 0.0000.0000.0000 0.9997 0.9977 0.9895 0.9653 0.95 0.859 0.676 0.5060 0.335 0.855 0.0839 0.087 0.0067 0.0008 0.0000 0.0000 9.0000.0000.0000.0000 0.9995 0.997 0.9886 0.9648 0.99 0.804 0.683 0.5 0.3344 0.80 0.0775 0.033 0.004 0.0003 0.0000 9.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9994 0.9969 0.9884 0.9658 0.965 0.873 0.699 0.588 0.3345 0.749 0.0676 0.063 0.007 0.0000 9 3.0000.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9993 0.9969 0.989 0.968 0.93 0.837 0.703 0.56 0.33 0.63 0.0537 0.0086 0.000 9 4.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9994 0.997 0.9904 0.970 0.9304 0.8500 0.778 0.5346 0.367 0.444 0.035 0.000 9 5.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9995 0.9978 0.993 0.9770 0.9409 0.8668 0.7369 0.5449 0.359 0.50 0.03 9 6.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9996 0.9985 0.9945 0.9830 0.9538 0.8887 0.763 0.5587 0.946 0.0665 9 7.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9998 0.999 0.9969 0.9896 0.9690 0.97 0.805 0.5797 0.453 9 8.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9997 0.9989 0.9958 0.9856 0.9544 0.8649 0.66 9 9.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0 0 0.3585 0.6 0.0388 0.05 0.003 0.0008 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.7358 0.397 0.756 0.069 0.043 0.0076 0.00 0.0005 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.945 0.6769 0.4049 0.06 0.093 0.0355 0.0 0.0036 0.0009 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 3 0.984 0.8670 0.6477 0.44 0.5 0.07 0.0444 0.060 0.0049 0.003 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 4 0.9974 0.9568 0.898 0.696 0.448 0.375 0.8 0.050 0.089 0.0059 0.005 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 5 0.9997 0.9887 0.937 0.804 0.67 0.464 0.454 0.56 0.0553 0.007 0.0064 0.006 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 6.0000 0.9976 0.978 0.933 0.7858 0.6080 0.466 0.500 0.99 0.0577 0.04 0.0065 0.005 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 7.0000 0.9996 0.994 0.9679 0.898 0.773 0.600 0.459 0.50 0.36 0.0580 0.00 0.0060 0.003 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 8.0000 0.9999 0.9987 0.9900 0.959 0.8867 0.764 0.5956 0.443 0.57 0.308 0.0565 0.096 0.005 0.0009 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0 9.0000.0000 0.9998 0.9974 0.986 0.950 0.878 0.7553 0.594 0.49 0.493 0.75 0.053 0.07 0.0039 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.0000.0000.0000 0.9994 0.996 0.989 0.9468 0.875 0.7507 0.588 0.4086 0.447 0.8 0.0480 0.039 0.006 0.000 0.0000 0.0000 0.0000.0000.0000 0.9999 0.999 0.9949 0.9804 0.9435 0.869 0.7483 0.5857 0.4044 0.376 0.33 0.0409 0.000 0.003 0.000 0.0000 0.0000.0000.0000.0000 0.9998 0.9987 0.9940 0.9790 0.940 0.8684 0.7480 0.584 0.3990 0.77 0.08 0.03 0.0059 0.0004 0.0000 0 3.0000.0000.0000.0000.0000 0.9997 0.9985 0.9935 0.9786 0.943 0.870 0.7500 0.5834 0.390 0.4 0.0867 0.09 0.004 0.0000 0 4.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9997 0.9984 0.9936 0.9793 0.9447 0.8744 0.7546 0.5836 0.388 0.958 0.0673 0.03 0.0003 0 5.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9997 0.9985 0.994 0.98 0.9490 0.888 0.765 0.585 0.3704 0.70 0.043 0.006 0 6.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9997 0.9987 0.995 0.9840 0.9556 0.899 0.7748 0.5886 0.353 0.330 0.059 0 7.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9998 0.999 0.9964 0.9879 0.9645 0.9087 0.7939 0.595 0.33 0.0755 0 8.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9999 0.9995 0.9979 0.994 0.9757 0.9308 0.844 0.6083 0.64 0 9.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 0.9998 0.999 0.9968 0.9885 0.96 0.8784 0.645 0 0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 Excel 函 數 使 用 BINOMDIST 傳 回 在 特 定 次 數 之 二 項 分 配 機 率 值 使 用 BINOMDIST 函 數 主 要 用 於 處 理 固 定 實 驗 次 數 的 問 題, 每 次 實 驗 的 結 果 不 是 成 功 就 是 失 敗, 且 每 次 實 驗 皆 為 獨 立, 同 時 實 驗 成 功 的 機 率 為 一 常 數 例 如,BINOMDIST 函 數 可 以 用 來 計 算 三 胎 中 有 兩 男 的 機 率 語 法 BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative) Number_s 實 驗 的 成 功 次 數 Trials 獨 立 實 驗 的 次 數 Probability_s 每 一 次 實 驗 的 成 功 機 率 Cumulative 為 一 邏 輯 值, 主 要 用 來 決 定 函 數 的 類 型 如 果 cumulative 為 TRUE, 則 BINOMDIST 傳 回 累 加 分 配 函 數 值, 其 代 表 最 多 有 number_s 次 成 功 的 機 率 ; 如 果 其 值 為 FALSE, 則 傳 回 機 率 密 度 函 數 的 機 率 值, 代 表 有 number_s 次 成 功 的 機 率.8 卜 瓦 松 分 布 (Poisson distribution) 在 單 位 時 間 或 空 間 內 n 個 事 件 中 所 發 生 成 功 的 次 數 很 少
單 位 時 間 或 空 間 相 當 於 二 項 分 布 之 樣 本 大 小 n, 當 二 項 分 布 之 n 很 大, 而 成 功 機 率 p 很 少, 此 分 布 及 接 近 卜 瓦 松 分 布, 故 卜 瓦 松 分 布 為 二 項 分 布 的 特 例 設 在 n 次 事 件 ( 樣 本 大 小 ) 中 成 功 次 數 為 隨 機 變 數 以 X 代 表 之,X 0,,,..., 其 平 均 值 或 期 望 值 設 為 μ np, 則 X 之 機 率 分 布 公 式 P x e μ x μ x!