大學入學考試中心 105 學年度指定科目考試試題 數學甲 作答注意事項 考試時間 :80 分鐘 作答方式 : 選擇 ( 填 ) 題用 2B 鉛筆在 答案卡 上作答 ; 更正時, 應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在 答案卷 上作答 ; 更正時, 可以使用修正液 ( 帶 ) 未依規定畫記答案卡, 致機器掃描無法辨識答案 ; 或未使用黑色墨水的筆書寫答案卷, 致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者, 其後果由考生自行承擔 答案卷每人一張, 不得要求增補 選填題作答說明 : 選填題的題號是 A,B,C,, 而答案的格式每題可能不同, 考生必須依各題的格式填答, 且每一個列號只能在一個格子畫記 請仔細閱讀下面的例子 例 : 若第 B 題的答案格式是 18 19 3, 而依題意計算出來的答案是, 則考生 8 3 8 必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記, 如 : 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 21 7 例 : 若第 C 題的答案格式是 50, 而答案是時, 則考生必須分別在答 50 7 案卡的第 20 列的與第 21 列的畫記, 如 : 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 21
第 1 頁共 7 頁 105 年指考數學甲 第壹部分 : 選擇題 ( 單選題 多選題及選填題共占 76 分 ) 一 單選題 ( 占 24 分 ) 說明 : 第 1 題至第 4 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 6 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算 1. 請問下列選項中哪一個數值 a 會使得 x 的方程式 log alog xlog( a x) 有兩相異 實數解? (1) a 1 (2) a 2 (3) a 3 (4) a 4 (5) a 5 2. 下列哪一個選項的數值最接近 cos(2.6 )? (1) sin(2.6 ) (2) tan(2.6 ) (3) cot(2.6 ) (4) sec(2.6 ) (5) csc(2.6 ) - 1 -
105 年指考第 2 頁數學甲共 7 頁 3. 假設三角形 ABC 的三邊長分別為 AB 5 BC 8 AC 6 內積為最大的選項 (1) AC (2) CA (3) BC (4) CB (5) AB 請選出和向量 AB 的 4. 假設 a, b 皆為非零實數, 且坐標平面上二次函數 圖形相切 請選出切點所在位置為下列哪一個選項 (1) 在 x 軸上 (2) 在 y 軸上 (3) 在第一象限 (4) 在第四象限 (5) 當 a 0 時, 在第一象限 ; 當 a 0 時, 在第四象限 2 y ax bx與一次函數 yax b 的 - 2 -
第 3 頁共 7 頁 105 年指考數學甲 二 多選題 ( 占 24 分 ) 說明 : 第 5 題至第 7 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項 畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對 者, 得 8 分 ; 答錯 1 個選項者, 得 4.8 分 ; 答錯 2 個選項者, 得 1.6 分 ; 答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 5. 在坐標空間中, 點 P (2,2,1) 是平面 E 上距離原點 O (0,0,0) 最近的點 請選出正確的 選項 (1) 向量 v (1, 1,0) 為平面 E 的法向量 (2) 點 P 也是平面 E 上距離點 (4,4,2) 最近的點 (3) 點 (0,0,9) 在平面 E 上 (4) 點 (2,2, 8) 到平面 E 的距離為 9 (5) 通過原點和點 (2,2, 8) 的直線與平面 E 會相交 6. 坐標平面上一矩形, 其頂點分別為 A(3, 2) B (3,2) C( 3,2) D( 3, 2) 設二階方陣 M 為在坐標平面上定義的線性變換, 可將 A 映射到 B 且將 B 映射到 C 請選出正確的選項 (1) M 定義的線性變換是鏡射變換 (2) 3 3 3 3 M 2 2 2 2 (3) M 定義的線性變換將 C 映射到 D 且將 D 映射到 A (4) M 的行列式值為 1 (5) 3 M M - 3 -
105 年指考第 4 頁數學甲共 7 頁 7. 在實數線上, 動點 A 從原點開始往正向移動, 動點 B 從 8 的位置開始往負向移動 兩個動點每一秒移動一次, 已知第一秒 A B 移動的距離分別為 1 4, 且 A B 1 每次移動的距離分別為其前一次移動距離的倍 1 倍 令 c n 為第 n 秒時 A B 的 2 3 中點位置 請選出正確選項 (1) 5 c1 2 (2) c2 c1 (3) 數列 c n1 cn 是一個等比數列 (4) lim c 2 n n (5) c1000 2 三 選填題 ( 占 28 分 ) 說明 :1. 第 A 至 D 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (8 21) 2. 每題完全答對給 7 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 投擲一枚均勻銅板 8 次 在最初兩次的投擲中曾經出現過正面的條件下,8 次投擲 中恰好出現 3 次正面的條件機率為 8 9 10 ( 化成最簡分數 ) - 4 -
第 5 頁共 7 頁 105 年指考數學甲 B. 設 u = (1,2,3) v = (1,0, 1) w (, x yz,) 為空間中三個向量, 且向量 w 與向量 u v 平行 若行列式 1 2 3 1 0 1 12, 則 w =( 11, 12 13, 14 ) x y z C. 在所有滿足 z z 3i的複數 z 中 ( 其中 z 為 z 的共軛複數, i 1 ), 15 16 78i z 的最小值為 17 ( 化成最簡分數 ) - 5 -
105 年指考第 6 頁數學甲共 7 頁 D. 一圓盤分成標有數字 0 1 的兩區域, 且圓盤上有一可轉動的指針 已知每次轉動指針後, 前後兩次指針停在同一區域的機率為 1 4, 而停在不同區域的機率為 3 4 遊戲規則為連續轉動指針三次, 計算指針在這三次所停區域的標號數字之 和 若遊戲前指針的位置停在標號數字為 1 的區域, 則此遊戲的期望值為 18 19 20 21 ( 化成最簡分數 ) 以下第貳部分的非選擇題, 必須作答於答案卷 - 6 -
第 7 頁共 7 頁 105 年指考數學甲 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 24 分 ) 說明 : 本部分共有二大題, 答案必須寫在 答案卷 上, 並於題號欄標明大題號 ( 一 二 ) 與子題號 ((1) (2) ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至零分 作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆 每一子題配分標於題末 一. 如圖, 已知圓 O 與直線 BC 直線 AC 直線 AB 均相切, 且分別相切於 D E F 又 BC 4, AC 5, AB 6 E C D O A B F (1) 假設 BF x, 試利用 x 分別表示 BD, CD 以及 AE, 並求出 x 之值 ( 4 分 ) (2) 若將 AD 表示成 AB + AC, 則, 之值為何?(5 分 ) 二. 設三次實係數多項式 f ( x ) 的最高次項係數為 a 已知在 0 x 3的範圍中, f ( x ) 的 最大值 12 發生在 x 0, x 2 兩處 另一多項式 G( x ) 滿足 G(0) 0, 以及對任意實數 r sr(, s r), f () t dt G( r) G( s) 恆成立, 且函數 y G( x) 在 x 1 處有 ( 相對 ) 極值 s (1) 試描繪 y f() x 在 0 x 3的範圍中可能的圖形, 在圖上標示 (0, f (0)) (2, f (2)), 並由此說明 a 為正或負 ( 4 分 ) (2) 試求方程式 f ( x) 12 0的實數解 ( 如有重根須標示 ), 並利用 y G( x) 在 x 1 處有極值, 求 a 之值 ( 5 分 ) (3) 在 0 x 2的範圍中, 求 G( x ) 之最小值 ( 6 分 ) - 7 -