微积分总结 - PDF Free Download

微积分总结 Summary of Calculus Hujiawei, 逸夫图书馆, 2014/4/26 第零部分碎碎念第一部分函数与极限第一节函数第二节函数的极限第三节函数的连续性与间断点第四节初等函数的连续性第五节闭区间上连续函数的性质第二部分导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及其参数方程所确定的函数的导数第五节函数的微分第三部分微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数单调增减性及曲线的凸凹性第四节函数的极值与最大值最小值第五节函数图形的描绘第四部分不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第四节有理函数的积分第五部分定积分及其应用第一节定积分的概念第二节微积分的基本定理第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分第五节定积分的应用第六部分无穷级数第一节常数项级数的概念与基本性质第二节常数项级数敛散性的判别方法第三节幂级数第七部分向量代数与空间解析几何第一节空间直角坐标系第二节向量代数第三节平面及其方程第四节空间直线及其方程第五节曲面及其方程第六节空间曲线及其方程第八部分多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数和隐函数的求导法则第五节偏导数的几何应用

第六节多元函数的极值及其最值补充节方向导数和梯度第八部分重积分第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算方法第三节三重积分第四节重积分的应用第十部分微分方程第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节可降阶的高阶微分方程第四节二阶常系数微分方程第五节微分方程的应用实例第零部分碎碎念到了研究生阶段才意识到本科的数学原来作用这么大, 不论是在数据挖掘, 还是机器学习, 亦或是模式识别, 数学都是基础中的基础于是乎, 我在逸夫图书馆泡了几天看了些微积分线代和数理统计的书籍, 写下三份总结, 记录下重要的知识, 以备后忘本人才疏学浅, 若有错误之处还请指出, 让我增长, 若有不足也请指出, 使我完备, 谢谢!:-) [ 注 : 这些总结不会详细地讲解所有概念, 只是挑选一些我个人感觉比较有用的知识点进行总结, 很多时候可能只是列举知识点, 并无解释, 忘记了的可以自行 Wiki 或者翻书, 另外, 为了节省写作时间, 对于多重积分的计算和应用以及二阶的微分方程的求解我略过了, 这部分暂时对我作用不大另外, 对于一些定理我并没有给出详细的表达, 忽略了些前提条件, 请不要较真, 我希望的是给自己一个感性的理解就行, 具体理性的分析需要的时候再查, 还有就是我还剪切粘贴了很多图片嗯, 就是这样强迫症者慎入 ] PS: 本总结的大纲是按照参考书籍高等数学中国环境出版社的目录结构来整理的, 章节顺序有调整, 我将无穷级数提前了, 原书将这部分放在最后一章节, 私以为不妥, 每个小节标题下面一行的内容都是原书中的各个细分的小节内容所有截图都来自参考书籍同济大学高等数学高等教育出版社参考书籍 : 1. 同济大学高等数学高等教育出版社 2. 高等数学中国环境出版社它山之石 : 1. 武汉大学黄正华老师写的微积分复习总结上和下第一节函数第一部分函数与极限集合区间与邻域, 函数的概念与性质, 反函数与复合函数, 初等函数关于初等函数 wiki, 初等函数在其定义域内都是连续的

关于指数函数 : 对于相等间隔的自变量 x 的取值, 指数函数对应值的比例为常数由指数运算法则可知, 对任意的 x, 只要给定 x 0 > 0, 则 a x+x 0 / a x = a x 0 恒成立此性质可以作为判断两个变量之间的关系是否为指数函数关系的主要依据此外, 这个性质导出了数理统计中的指数分布, 在数理统计中我们会看到第二节函数的极限数列极限及性质, 函数极限及性质, 无穷小与无穷大, 极限运算法则, 极限存在准则和两个重要极限, 无穷小的比较关于收敛数列 ( 极限存在 ) 有两个性质 : 唯一性和有界性关于函数极限, 注意, 的极限是否存在与函数在是否有定义无关函数极限的定义函数极限的几何意义是, 当 x 在领域内 (A ε, A + ε) x x 0 x 0 ( x 0 δ, x 0 + δ) 内时, 函数值 y 落在下图中关于无穷小和无穷大 : 无穷小并不是指负无穷, 而是函数在时的极限为 0, 无穷小与有解变量的乘积还是无穷小, 但是这个性质放在无穷大上面就不成立了! 例如, sinx lim x + = 0是无穷小, 但是 lim 不是无穷小, 它不符合无穷小的定义, 关 x x + xcosx 于这个问题的讨论, 上面仅代表我的理解, 不知对否, 若有错误请指出 sinx 1 两个重要的极限 : lim x 0 = 1 和 lim x + x )x sinx 关于极限 lim x 0 = 1可用下图来解释, 圆的边长是 1, x BC = sinx, AD = tanx, AB^ x x 0 x (1 + = e = x x 0, 在角度很小很小, 即时, 三者近似相等

1 关于极限 lim x (1 + = e ( 注意, 不论是还是都成立 ) 它道出了自然 x )x lim x + lim x 对数 e到底是什么! 当然还有其他的方式表示出 e, 比如按照级数展开的方式, 我认为 e是数学界最美丽的符号! e 2.71828 这两个重要极限一般用于求复杂的函数的极限值第三节函数的连续性与间断点函数的连续性, 函数的间断点函数的间断点分为两类 : 第一类是函数在 x = x 0 处间断, 但是左右极限都存在, 如果左右极限相等的话该间断点称为可去间断点, 如果不相等称为跳跃间断点 ; 其他情况下的间断点都属于第二类间断点第四节初等函数的连续性连续函数四则运算的连续性, 反函数与复合函数的连续性, 初等函数的连续性只要记住初等函数在它们的定义域内是连续就行了第五节闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理, 介值定理与零点定理最大值和最小值定理就是说在闭区间上的连续函数 f(x) 一定是有上下界的 ; 介值定理就是说在闭区间上的连续函数 f(x), 如果左右端点的取值不同, 例如, 那么区间中肯定有一点的函数值能够取到之间的任何一个值 ; f(a) = A, f(b) = B [A, B] 零点定理就是说在闭区间上的连续函数 f(x), 如果左右端点的取值异号, 例如, 那么区间中肯定有一点的函数值为 0! f(a) = A > 0, f(b) = B < 0 第一节导数概念第二部分导数与微分引例, 导数的定义, 导数的几何意义, 可导与连续的关系导数的几何意义就是曲线在某点的切线的斜率, 反应了变化的快慢, 理解这个很重要, 后面的偏导数的理解也类似如果用物体的运动来解释的话, 导数就是物体在那个时刻的加速度了

第二节函数的求导法则函数的和差积商的求导法则, 反函数的求导法则, 复合函数的求导法则, 基本求导法则与导数公式 dy 关于反函数的求导法则 : dx = 1 dx dy dy 关于复合函数的求导法则 : dx dy du = du dx 关于基本初等函数求导法则第三节高阶导数

二阶及二阶以上的导数称为高阶导数第四节隐函数及其参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数, 由参数方程所确定的函数的导数 F(x, y) = 0 y x 如果方程确定了是的函数, 那么这样的函数就叫做隐函数一般它的求导分为两种方法 : (1) 如果能够解出 y = f(x) 关系式的话 ( 即隐函数显化 ), 就先解出然后求导 ; (2) 如果不能解出, 那么就利用复合函数求导方式进行求导, 例如两边同时对 x 求导, 遇到复杂的还可以两边先取对数然后求导第五节函数的微分微分的定义, 微分的几何意义, 基本微分公式与微分法则, 微分形式的不变性, 微分的应用先看看微分是怎么引入的? 简言之, 在实际应用中, 常常需要知道当自变量 x 有细微变化的时候, 函数 y 的变化量是多少? 为了方便计算, 我们需要将增量表达式线性化处理, 从而计算出 y的近似值如上面所示, 我们只需要用来近似代替 A x y y

微分的几何意义, 这其实是数学中常用的非线性函数的局部线性化, 这里是利用曲线的切线段 (MP) 来近似代替曲线段 (MN) y dy = f (x) x 3 1.02 f(x) = 3 x, x 0 = 1, x = 0.02 微分最大的应用就是求近似值, 利用例如, 求的近似值, 取函数即可第一节微分中值定理第三部分微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理, 拉格朗日中值定理, 泰勒中值定理, 柯西中值定理罗尔中值定理就是说对于在区间 (a, b) 上的连续可导函数 f(x), 若左右端点的函数值相等, 那么 f (ε) = 0, ε (a, b) 区间内至少有一个点满足它的导数为 0, 即 ; (a, b) 拉格朗日中值定理就是说对于在区间上的连续可导函数 f(x), 区间内至少有一个点满足 f f(a) f(b) (ε) =, ε (a, b), 该定理就没有罗尔中值定理的条件那么严格了, 所以后者是前 a b 者的一个特殊情况拉格朗日中值定理的几何意义如下, 曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB; 柯西中值定理就扩展到区间 f (ε) f(a) f(b) F (ε) F(a) F(b) (a, b) =, ε (a, b) 上的两个连续可导函数 f(x) 和 F(x), 区间内至少有一个点满足 f(a) f(b) = (ε)(a b), ε (a, b)

当 F(x) = x时, F(a) = a, F(b) = b, 即有 f(a) f(b) = f (ε)(a b), ε (a, b), 这个式子是不是就是拉格朗日中值定理的内容? 泰勒中值定理略过, 和后面泰勒展开式差不多第二节洛必达法则 0/0 型未定式, / 型未定式, 其他类型未定式洛必达法则很重要, 因为很多时候我们总是会遇到各种不同特殊形式的未定式, 它们的极限可以试试使用洛必达法则来求条件略过, 简言之就是 lim x x0 后求极限 f(x) g(x) = f lim (x) x x0, 也就是说我们可以先对分子分母求导然 g (x) 第三节函数单调增减性及曲线的凸凹性函数的单调性, 曲线的凹凸性及拐点驻点 : 函数 f(x) 一阶导数为 0 的点, 根据它的正负可以判断函数的单调性, 大于 0 为单调递增 ; 拐点 : 函数 f(x) 二阶导数为 0 的点, 根据它的正负可以判断函数的凹凸性, 大于 0 为凹的 ; 第四节函数的极值与最大值最小值极值的定义, 极值存在的条件, 最大值最小值极值存在的条件就是判断该点和该点两边的一阶导数的正负情况第五节函数图形的描绘要根据函数的极值和最值以及渐近线来近似绘图第四部分不定积分

第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念, 基本积分表, 不定积分的性质连续函数一定有原函数, 而且原函数肯定是无穷多个的, 它们组成了一个原函数族, 这就是不定 f(x)dx f(x) 积分的概念, 函数 f(x) 的不定积分在几何上就表示积分曲线族积分基本上就是微分的逆运算, 所以积分表只要参照常用函数的微分表即可第二节换元积分法第一类换元积分法 ( 凑微分法 ), 第二类积分换元法, 分部积分法很多时候被积函数不都是常见的初等函数, 遇到复杂的情况我们需要使用其他的方法来计算积分假设我们要求不定积分 (1) 如果我们有一个函数关系, 也就是说, 被积函数 g(x) 是关于 u 的函数, 而 u 又是关于 x 的函数, 为什么要这么复杂呢? 因为 g(x) 直接积分比较难, 但是可以将它看成这样我们就将对 g(x) 求积分变成了对 1 dx, 令 u = 1 + 2x即可 1+2x, 那么就有求积分, 这就是第一类换元积分法例如, 求 (2) 如果我们有一个函数关系, 也就是说, 第一类换元积分是找一个函数, 利用 du 和 dx 的关系将 dx 替换掉, 而第二类是直接找到 x 关于 t 的函数, 这样 dx = h (t)dt就可以将 dx 替换掉了, 那么 g(x)dx = [ g[h(t)] h (t)dt] t= h 1 (x), 这种换元积分法就是第二类换元积分法例如, 求 xdx, 令 t = x 3, 即 x = t 2 + 3即可 x 3 分部积分法, 如果函数 u=u(x) 和函数 v=v(x) 具有连续导数, 则有, 通常还简写为 g(x)dx g(x) = f(u) u = f[h(x)] h (x) u = h(x), g = f(u) g(x)dx = f[h(x)] h (x)dx = f[h(x)]d(h(x)) = [ f(u)du ] u=h(x) = F(u) + C xcosxdx x = h(t) udv = uv vdu u = h(x) u = h(x) uv dx = uv u vdx, 这种方法自然常用求两个函数乘积的积分, 例如, 求第四节有理函数的积分有理函数的积分, 可化为有理函数的积分举例 P(x) a 有理函数是指两个多项式的商, 即形如 = 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n 2 + + a n, 若有 m > n则为真 Q(x) b 0 x m + b 1 x m 1 + b 2 x m 2 + + b m 分式, 否则为假分式利用多项式的除法, 总可以将一个假分式分解成一个多项式和一个真分式的和的形式任何一个有理真分式都可以分解为以下四类最简分式之和 : A x a A Ax + B Ax + B,,, (n 2, 4q < 0) (x a) n x 2 + px + q ( x 2 + px + q) n p 2 (x a) n 若有理真分式的分母中含有因式, 那么分式中含有 : A1 x a A2 An + + + (x a) 2 (x a) n (x + px + q) n 若有理真分式的分母中含有因式, 那么分式中含有 :

A1 x + px + q A2 An + + + (x + px + q) 2 (x + px + q) n 对于系数, 可以在确定了最简分式的组合之后利用待定系数就可求出来第一节定积分的概念第五部分定积分及其应用引例, 定积分的概念, 定积分的几何意义, 定积分的基本性质为什么会有定积分? 定积分最开始是为了解决平面内不规则图形的面积或者不规则物体的体积而提出的实际问题但是, 这个问题直到 17 世纪牛顿和莱布尼茨发现了微分和积分之间的内在联系之后, 提出了计算定积分的基本方法需要注意的是, 定积分并不是直接就建立在不定积分之上的, 不是有了不定积分才有了定积分, 两者是不同的概念, 但是又有内在联系! 这个联系就是牛顿 - 莱布尼茨公式! 不定积分是微分的逆运算, 它是函数 f(x) 的原函数, 是由无穷多个函数组成的函数族 ; 而定积分是一个确定的数值, 是一种特殊的和的极限 ( 定积分常常使用分割 - 近似代替 - 求和 - 取极限的方式来解释 ), 该数值与积分变量使用的字母无关, 即 b f(x)dx = b f(t)dt a a 如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 上连续或者在 [a,b] 上有界且只有有限个间断点, 则函数 f(x) 在 [a,b] 上可积定积分的几何意义自然就是曲线与坐标轴和代表积分区间的直线围成的曲边梯形的面积这个面积可正可负, 定积分是这些面积的代数和 ( 即有加有减 ), 如下便有 b = S1 S2 + S3 a 定积分的性质 : b a f(x)dx = f(x)dx, (a > b) a b 定积分中值定理 : 函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续, 则在 [a,b] 上至少有一点满则 b f(x)dx = f(ε)(b a), a ε b, 这个中值定理 ( 又叫中值公式 ) 和微分中的拉格朗日中值 a 定理的结构很相似, 但是几何意义完全不同了, 拉格朗日中值定理指的是微分也就是斜率相等, 而定积分中值定理的几何意义指的其实就是面积相等! 如果用物体运动来解释的话, 那就是其实就是物体在 a 到 b 的时间段内的平均速度, 平均速度乘以运动时间就是总位移了 f(ε)

第二节微积分的基本定理变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系, 积分上限函数及其导数, 牛顿一莱布尼兹公式如果我们用物体的运动来解释定积分的话, 那么定积分 b a 内运动的位移表示的就是物体从时刻 a 到时刻 b 积分上限函数, 这个函数很重要, 而且来源有些巧妙, 正是这个函数引出了后面的牛顿 - 莱布尼茨公式假设 x 是区间 [a,b] 上的任意一点, 那么对于区间 [a,x] 上的定积分 x f(x)dx, 因为定积分与积分 a 变量的字母无关, 即 x f(x)dx = x f(t)dt, 如果积分上限 x 在区间 [a,b] 上任意变动的话, 那 a a 么对于任意一个 x, 定积分都有一个值对应, 所以它在区间 [a,b] 上定义了一个函数! 假设这个函数记为 Φ(x) = x f(t)dt, (a x b), 该函数不仅是连续的, 而且可导, 导数就是 f(x) 由 a 此联想下原函数的定义, 我们发现一个结论, 一个连续函数 f(x) 的原函数是存在的, 而且这个原函数之一就是它对应的积分上限函数! 这就表明了积分学中的定积分和原函数之间的联系! 在上面的基础之上, 便有了牛顿 - 莱布尼茨公式! 它就更加巧妙地找到了定积分的计算和原函数之间的联系, 即 b f(x)dx = F(b) F(a), 这个公式的意义就是一个连续函数在区间 [a,b] 上 a 的定积分等于它的任一原函数在该区间上的增量! vdt 第三节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法, 定积分的分部积分法求定积分方法其实和求不定积分的方法差不多, 找到了原函数然后使用牛顿 - 莱布尼茨公式即可第四节反常积分无穷限的反常积分, 无界函数的反常积分反常积分有两类 : 一类是指函数是无穷限的, 也就是积分区间是从 [,b] 或者从 [a, + ] 或者从 [, + ], 即区间包含了无穷, 这一类要考虑函数 f(x) 在无穷限时极限是否存在, 如果存在则根据牛顿 - 莱布尼茨公式即可求解, 如果不存在那么反常积分发散 ; 一类是指函数是无界的, 也就是函数 f(x) 在 a 的领域内是无界的, 也就是趋近 ±, 此时 a 称为瑕 b

点 ( 无界间断点 ), 如果极限解, 否则它就是发散的 lim t a + b f(x)dx, (t > a) t 存在则根据牛顿 - 莱布尼茨公式即可求第五节定积分的应用定积分的元素法, 定积分的几何应用, 定积分的物理应用定积分的应用自然是和定积分概念引入时一样, 主要是为了计算面积和体积元素法是定积分计算的老办法, 也就是四部曲 ( 分割 - 近似代替 - 求和 - 取极限 ) 面积的计算包括直角坐标和极坐标下两种情况, 定积分还可以用来计算旋转体的体积

定积分还可以用来求平面曲线的弧长, 例子略过第一节常数项级数的概念与基本性质第六部分无穷级数常数项级数的概念, 常数项级数的基本性质无穷级数的思想来源于近似计算圆面积这个问题, 考虑用内接正方形来近似计算

u n u 1 + u 2 + + u n + s n s n = Σ n i=1 u i s n 数列 { } 的元素之和得到的表达式就叫做 ( 常数项 )( 无穷 ) 级数, 其前 n 项之和又可以组成一个新的数列 { }, 即, 一般项称为部分和如果部分和数列 { s n } 有极限, 那么这个无穷级数 u n = Σ n i=1 u i就是收敛的, 极限 s 就叫做这个无穷级数的和级数收敛的必要条件是它的一般项 u n 趋近于 0, 但不是充分条件! 比如, 调和级数 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 的一般项 u 也是趋近于 0 的, 但是调和级数是发散的, 2 3 4 n n = n 1 采用反证法即可证明得到, 证明如下, s 2n sn > 并不趋近于 0, 所以不收敛 2 第二节常数项级数敛散性的判别方法正项级数及其敛散性的判别方法, 交错级数及其敛散性的判别方法, 绝对收敛与条件收敛 u n = Σ n i=1 u i s n 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列 { } 有界

u n = Σ n i=1 u u i lim n+1 n = β u n β > 1 β < 1时级数收敛, 当 β = 1时级数可能发散可能收敛比值审敛法, 对于正项级数, 若, 当时级数发散, 当还有其他的一些判断级数收敛的方法, 略过第三节幂级数函数项级数的基本概念, 幂级数及其敛散性, 幂级数的运算, 函数展开成幂级数, 幂级数在近似计算中的应用函数项级数就是定义在某个区间上的函数族之和, 表达式类似 u 1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + + u n (x) +, 对于某个确定的值 x = x 0, 函数项级数 u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + + u n ( x 0 ) + 就变成常数项级数, 如果该常数项级数收敛的话, 那么点 x 0 就是函数项级数在定义区间上的一个收敛点, 所有收敛点就组成了收敛域幂级数就是最常用的一类函数项级数, 它的形式如下 : Σ n=0 a nx n = a 0 x 0 + a 1 x 1 + + a n x n + Σ n=0 a nx n x = x 0 ( x 0 0) 一种判断幂级数收敛的办法是阿贝尔定理, 如果级数当时收敛, 那么对于开区间 ( x 0, x 0 ) 内的任何 x 都有幂级数收敛, 反之, 如果当 x = x 0 ( x 0 0) 时发散, 那么对于闭区间 [ x 0, x 0 ] 外的任何 x 都有幂级数发散其实就是对于幂级数的收敛半径 R 内部任意 x 都收敛, 外部都发散! 许多应用中, 我们都希望知道如何将一个给定的函数 f(x) 展开成幂级数的形式, 这样相当于对函数进行近似了, 可以大大简化计算量, 于是便有了泰勒级数!

特别地, 当 x 0 = 0 时泰勒级数又叫麦克劳林级数, 展开式称为麦克劳林展开式 f(x) = Σ n n=0 1 f n (0) x n n! 将函数展开成幂级数的步骤 :

例如, 对于函数 e x 幂级数展开常用的幂级数 :

第七部分向量代数与空间解析几何本部分是多元微分学的基础, 而且涉及到了很多的空间知识, 图形比较多, 所以这部分的图片比较多, 如若不清晰请 Wiki 或者翻书查看第一节空间直角坐标系空间点的直角坐标, 空间两点的距离第二节向量代数向量的概念, 向量的线性运算, 向量的坐标, 向量的模方向角投影, 向量的数量积与向量积方向角和方向余弦的概念 :

投影的概念, 投影是一个数值, 当投影是指是一个向量在另一个向量上的投影时, 投影就是投影到目标向量上得到的向量的模与目标向量的单位向量的模的比值 r u ab = a b cos θ 向量的数量积的概念, 即, 在物理中就是指力 F 做的功 W 数量积又叫内积, 是很重要的概念, 在线代中同样有矩阵内积的概念, 在数据挖掘中有一种很常用的度量相似度的方式, 即余弦相似度, 一般用于文本类似的数据求相似度向量的向量积是 ab = a b sin θ

第三节平面及其方程平面的点法式方程, 平面的一般方程, 两平面的夹角已知一个平面内的一点和这个平面的法向量便可以确定一个平面了 ; 其实, 任何一个三元一次方程都可以确定一个平面, 其法向量就是 (A,B,C) Ax + By + Cz + D = 0

两个平面的夹角可用两个平面的法向量之间的夹角来得到

第四节空间直线及其方程空间直线的一般方程, 空间直线的对称式方程与参数方程, 两直线的夹角, 直线与平面的夹角两个平面的交线就可以确定一条空间直线 ; 已知直线上一点和直线的方向向量也可以确定一条直线

两条直线之间的夹角可用两条直线的方向向量之间的夹角来得到

直线与平面之间的夹角可用直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角来得到第五节曲面及其方程

曲面方程的概念, 旋转曲面, 柱面, 二次曲面曲面方程旋转曲面 : 平面内一条曲线绕着平面上的一条直线旋转一周得到的曲面叫做旋转曲面

柱面 : 一条直线绕着一条定曲线平行移动得到的轨迹称为柱面

F(x, y, z) = 0 二次曲面 on wiki, 与平面解析几何中定义二次曲线类似, 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面, 而平面是一次曲面 Wikipedia 上显示了各种二次曲面的方程和二次曲面的图形第六节空间曲线及其方程空间曲线的一般方程, 空间曲线的参数方程, 空间曲线在坐标面上的投影

第八部分多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念平面点集 n 维空间, 多元函数的概念, 二元函数的极限, 二元函数的连续将前面的一元函数的知识扩展下就知道了 P(x, y) P 0 ( x 0, y 0 ) 二元函数的极限称为二重极限, 二重极限的存在是指以任何方式趋近 ( 有别于在一元函数中只有从左边或者从右边趋近两种方式 ), 如果不同方式趋近时的极限值不同的话, 说明二重极限不存在! 第二节偏导数偏导数的定义及其计算方法, 二元函数偏导数的几何意义, 高阶偏导数在多元微分学中, 自变量多了, 所以导数变成偏导数了对于二元函数偏导数的几何意义如下, 也是斜率, 但是要看如何过该点确定曲面的切线以及切线是对哪个轴的斜率! 高阶偏导数和前面的高阶导数类似, 但是因为自变量多了, 也就多了个混合偏导数, 对于连续函数, 在其连续区域内, 两个二阶混合偏导数相等! z = f(x, y)

第三节全微分全微分的定义, 可微偏导数及连续之间的关系, 全微分在近似计算中的应用在多元微分学中对于某一个变量的微分叫做偏微分, 对全部变量的微分就扩展成了全微分的概念, 同样, 多元函数微分学中微分的意义也是希望使用自变量的线性函数来近似代替函数的全增量 z 全微分同样可以用于近似计算第四节多元复合函数和隐函数的求导法则多元复合函数的求导法则, 隐函数求导法则多元复合函数的求导可以使用链式法则, 即分段相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导!

对应上面两种情况下的链式图如下, 第一种情况,z 到 x 和 y 是分叉, 分叉相加,z 到 x 到 t 是分段, 分段相乘,x 到 t 是单路, 单路全导 ; 第二种情况,z 到 u 和 v 是分叉, 分叉相加,z 到 u 到 x 是分段, 分段相乘,u 到 t 是叉路, 叉路偏导! 隐函数求导是很重要的一部分, 因为在实际应用中, 很多时候得到的都是一个隐函数, 并没有具体的函数表达式, 对于它的求导有下面三个存在定理

最后的雅可比式比较重要, 在数值分析中有相应的应用 [TODO] 第五节偏导数的几何应用空间曲线的切线与法平面, 曲面切平面与法线空间曲线的切线需要得到该点的各个方向的偏导数, 法平面是过该点并垂直于切线的平面

曲面的切平面与法线略过第六节多元函数的极值及其最值极值的定义, 极值存在的条件, 最大值与最小值, 拉格朗日乘数法条件极值问题转化成无条件极值问题, 使用拉格朗日乘数法, 这是一个非常重要的解决条件极值问题的方法, 在机器学习的很多算法中使用这种方法, 比如 Fisher 判别等等

补充节方向导数和梯度方向导数 : 很多时候我们想知道函数沿着某个方向的变化率, 这个方向不一定是坐标轴方向

梯度 : 梯度就是一个向量, 表示曲线上某点沿着曲线的某个方向发生移动的向量梯度的应用自然是梯度下降法, 该方法可以让我们的优化问题的极值函数尽快地趋近问题的最优解 f(x, y) f(x, y) = c 这里还有等值线和等值面的概念, 对于二元函数可以得到其对应的等值线, 函数在某一点的梯度方向就是等值线在该点的法线方向还要理解梯度和方向导数之间的关系, 如果梯度的方向与方向导数取得最大值的方向相同的话, 那么该方向就是函数变化最快的方向

第一节二重积分的概念与性质二重积分的概念, 二重积分的性质第八部分重积分将一元函数积分进行扩展, 如果是对闭区域 D 进行积分的话就叫做二重积分, 很重要的一类二重积分问题是求曲顶柱体的体积, 利用前面的定积分的思想来看, 二重积分是取很小的积分面积元素, 以它们为底, 以函数值为高, 然后求对应的曲顶柱体的体积第二节二重积分的计算方法直角坐标下二重积分的计算, 利用极坐标计算二重积分直角坐标下的二重积分的计算可以看做是做两次单独的定积分

有些情况下实际计算时需要根据区域 D 的情况考虑它属于 X 型还是 Y 型, 还是需要分段进行考虑

第三节三重积分三重积分的概念, 三重积分的计算三重积分可以看做是求密度不均匀的物体的体积, 它取的是很小很小的体积元素它的计算使用先一后二或者先二后一的方式来计算, 此处略过第四节重积分的应用曲面的面积, 质心略过第一节微分方程的基本概念第十部分微分方程引例, 微分方程的基本概念在许多问题中, 我们不总是能够得到函数关系式, 而是得到函数和它的导数之间的关系式, 这样

的关系式就是微分方程微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶只要是能够满足微分方程的函数都是它的解, 如果解中包含了任意常数, 并且任意常数的个数与阶数相同, 那么这个解又叫做微分方程的通解通常我们会有一些初始条件确定了通解中的任意常数的话, 那么就得到了微分方程的特解 y = f(x, y) y x=x0 = y 0 求微分方程满足初始条件的特解的问题, 叫做一阶微分方程的初值问题第二节一阶微分方程可分离变量方程, 齐次方程, 一阶线性微分方程, 伯努利方程可分离变量方程 : 利用一阶微分方程的形式, 巧妙地分离变量, 一边是 y 的函数, 另一边是 x 的函数, 然后左右两边积分即可得到一个关于 x 和 y 的隐函数, 这个隐函数即为微分方程的解

y 齐次方程 : 将原微分方程进行调整, 左边为一阶导数, 右边为关于的函数, 然后可以利用可分 x 离变量得到微分方程的解有些非齐次的微分方程可以化为齐次方程

一阶线性微分方程 : 对于未知函数和导数都是一次的微分方程

伯努利方程 : 含二阶导数

第三节可降阶的高阶微分方程 y(n)=f(x) 型的微分方程,yn=f(x,y ) 型的微分方程,yn=f(Y,y ) 型的微分方程略过

第四节二阶常系数微分方程通解的结构, 二阶常系数齐次线性微分方程, 二阶常系数非齐次线性微分方程略过第五节微分方程的应用实例物体冷却过程的数学模型, 动力学问题, 人口模型略过 Congratuation! Thank you! 恭喜你, 看完啦! http://hujiaweibujidao.github.io/