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第三章矩陣矩陣的運算 ( 甲 ) 矩陣的基本認識 () 矩陣的引入 : 聯立方程組 : 矩陣直行橫列 z z z 列行 () 矩陣的基本名詞 : () 元 (elemet): 矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元 () 列 (row): 同一水平線各元合稱此矩陣的一列 () 行 (olum): 同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行 (d) 位於第 i 列, 第 j 行的元稱為 (i,j) 元 (e) 當一個矩陣有列 m 行時, 我們稱為 m 階的矩陣 (f) 當一個矩陣有列行時, 我們稱為階方陣 () 矩陣的相等 : 設 [ ij ] m,b[ ij ] p q, 若 mp,q, 且對於任意 i 與 j 恆有 ij ij, 則稱和 B 相等, 以 B 表示 () 特殊矩陣 : () 設 [ ij ] m 是一個 m 階矩陣, 作一 m 階的矩陣 B[ ij ] m, 其中 ij ji, 則稱矩陣 B 為矩陣的轉置矩陣, 符號 :B T 例如 :, 9 T 9 () 設 [ ij ] m 是一個階方陣, 若 ij ji, 則稱是對稱方陣例如為一個對稱方陣 () 設 [ ij] m 是一個階方陣, 若 ij ji, 則稱是反對稱方陣注意主對角線 ii ~~

例如 : 是反對稱方陣 (d) 單位方陣 : 若一個階方陣, 由左上角到右下角的對角線上各位置的元 ( 即 (,),(,) (,) 元 ) 都是, 而其餘各元都是, 則稱為階單位方陣, 以 I 表之例 :I,I,..,I O ( 乙 ) 矩陣的加減法與係數積 () 矩陣的加法 : 加法的定義 : 設 [ ij ] m,b[ ij ] i j, 則 B[ ij ij ] m 例題 : 設求 ()B,B ()(BC),(B)C,, C B 由上面的例子, 可知 BB,(BC)(B)C () 減法的定義 : 設 [ ij ] m,b[ ij ] i j, 則 B[ ij ij ] m 例題 :: 設, 求 B,B, B 由上例可知 B B () 矩陣加法與減法的基本性質 : () 加法單位元素 : 若為 m 階矩陣, 若存在一個 m 階矩陣 O, 使得 OO, 則稱 O 為階矩陣之加法的單位元素 O 稱為階零矩陣 m............... m ~~

() 加法反元素 : 設 [ ij ] m 為一 m 階矩陣, 若存在一個矩陣, 使得 ()()O, 則稱為的 m 階矩陣之加法反元素即 [ ij ] m 根據加法反元素的定義, 可知 B(B) () 設 B C 為 m 階矩陣, 則下列性質成立 : 交換律 :BB 結合律 :(BC)(B)C ()()O () (B)(B) (d) 移項法則 : 設 B C 都是同階方陣, 且 BC, 則 CB 且 BC [ 證明 ]: 因為 BC, 等式兩邊同加 (B) 得 (B)(B)C(B) (B(B))C(B) OCB CB, 同理 BC [ 討論 ]: 若 BC, 則 BC 恆成立嗎? () 係數積的定義 : () 定義 : 若 [ ij ] m 為一 m 階矩陣, 而 r 是任意實數, 則 r[r ij ] m, 此時稱 r 是係數積例題 : 設,B, 試求,B,B 性質 : 設 B 為同階的矩陣,r,s 為實數, 則下列性質成立 : ()r(b)rrb ()(rs)rs ()(rs)r(s) 注意事項 : () 二矩陣若大小一樣 ( 都是 m 列行 ), 則可以相加減 9 例如 :,B,B ~~

但是, 9 不能相加 () 一矩陣可以乘上 r 倍 (r 為實數, 相當於每個位置都乘上 r 倍 ) 例如 :, 則, [ 例題 ] 設,B,C, 試解方程式 X B X C [ 解答 ]: X B X C X B C ( 練習 ) 設 B C, 求下列各題中的矩陣 X ()BXCX ()XBCBCX s:() () 9 9 9 ( 練習 ) 設 { 為整數, }, 若階方陣之元素 ij, 試問 () 為對稱方陣有幾個? () 為反對稱方陣有幾個? s:() () ( 練習 ) 設,B, 求 (B) T 與 T B T s:(b) (B) T T B T 顯然 T B T (B) T ~~

( 丙 ) 矩陣的乘法 () 矩陣乘法的定義 : 若為一個 m 的矩陣, 而 B 為是一個 p 的矩陣, 則其乘積 B 是一個 m p 的矩陣, 而且 B 的 (i,j) 元是由的第 i 列中各元 ( 有個 ) 與 B 中的第 j 行中各對應元 ( 有個 ) 之乘積和...... p... p 即...,... p B,... p C,.................................... m m... m... p... p BC 對於每組元,i,,,m j,,,p 都有 ( i, j) ij j j ij 第 i 列 [ i i i i ] 與第 j 行 j 的元素對應相乘 j i j i j ij k 根據前面的定義 : ikkj 第 i j 第列行 m p m p 第 i,j 位置等於第一個的第 i 列和第二個的第 j 行作內積可以看出兩矩陣的大小必須互相配合才能相乘, 由上述理論可得 (m 的矩陣 ) ( p 的矩陣 ) (m p 的矩陣 ) 例子 : (,) 和 (,) 的內積 (,) 和 (, ) 的內積 (,) 和 (,) 的內積 (,) (,) (,) (, ) (,) (,) 和的內積和的內積和的內積 () () () ()() () () 9 矩陣的乘法就像是向量內積的推廣! ~~

[ 例題 ] ().? ()? ()?()? s:() () 不能相乘 () [ ] 9 [ ] 9 () ( 練習 ) 設,B, 試求 B, 並觀察 B 是否存在? s:,b 不存在 9 ( 練習 ) 設二階方陣,B () 若, 求實數, 之值 () 求 B? s:(), () ~~

( 練習 ) 若,B, 則 (B) T?B T T? () 矩陣乘法的性質 : () 若 B C 為矩陣, 且 (B)C 與 (BC) 都有意義, 則有 (B)C(BC) () 若 B C 為矩陣, 且以下各矩陣運算都有意義, 則 (BC)BC,(BC)BC () 若 B 為矩陣,r 為實數, 且以下各矩陣運算都有意義, 則 r(b)(r)b(rb) 矩陣沒有以下性質 : () 交換律不成立 :B B( 除了特殊情形外 ) 例如 : 設,B B,B,B B 9 例如 : 設,B B 9 9,B,B B 9 例如 :,B,B,B,BB () 消去律不成立 : B C 時 B C ( 除了特殊情形外 ) 例如 : 但 () 若 BO( 零矩陣 ), 則 O 或 BO 是錯誤的例如 :, 但前二者都不是零矩陣 (d) 二項式定理不能適用於矩陣 : ( B) B B B 不能寫成 B B ( B B才可以 ) ( 練習 ) 下列各敘述何者正確? () 若是階方陣,B 是 m 階方陣, 則 B 是 m 階方陣 (B) 兩矩陣相乘滿足交換律, 即 B B ~~

(C) 矩陣對乘法滿足消去律, 也就是說 : 若 B C, 則 B C (D) 若 B C 為矩陣, 且對運算有意義時, 則滿足分配律, 即 (B C) B C (E) 若 B 為矩陣,r 為實數, 且對運算有意義時, 則滿足乘法對係數積的結合律, 即 r(b) (r)b (rb) s:(d)(e) ( 練習 ) 設 B C 均為階方陣, 下列性質何者成立?()(B)CCBC (B) B (B)(B)(C) 若 O, 則 O (D) 若 BC, 且 O, 則 BC (E)(B)CCBC s:()(e) ( 丁 ) 乘法反矩陣 () 矩陣的乘法反元素 : 在實數 R 中, 設為一個實數,, 我們在數學上稱為乘法單位元素若,, 稱與互為乘法反元素在矩陣的乘法運算中, 是否有類似實數乘法的結構呢? 例題 : 設, 可否找到一個階方陣 I, 使得 II 呢? d 令 I, 因為 II 且,,, d d d 即 I () 單位方陣 : 若一個階方陣, 由左上角到右下角的對角線上各位置的元 ( 即 (,),(,) (,) 元 ) 都是, 而其餘各元都是, 則稱為階單位方陣, 以 I 表之例 :I,I,..,I O () 設為 m 階的矩陣, 則 II m 當 m 時, 為階方陣, 且.I I., 此時我們可以稱 I 為階方陣乘法的單位元素 () 矩陣的乘法反元素 : 設是一個階方陣, 若有階方陣 B 使下列成立 BBI, 則稱 B 為的乘法反元素 ( 反矩陣 ), 記為 B [ 問題與討論 ]: 若 B B I 且 B B I, 則 B B 會成立嗎? ~~

() 如何找乘法反元素 ( 反矩陣 ): 例子 : 設, 求一階方陣 B 使得 BI, 令 B, 則可得兩個聯立方程組 : 與, 因為 det() u u u, 這兩個聯立方程組的係數矩陣都是原來的矩陣, 而解這個聯立方程組可以利用的增廣矩陣的列運算, 即,, 此時 B, 但我們可以觀察上面兩個增廣矩陣的列運算, 我們可以使用相同的基本列運算, 使得它們的前兩行的係數都相同, 因此此處可以將它們合併來計算列運算列運算 ) ( R R ) ( R R () 一般找反矩陣的方法 : 階方陣仿照上述的方法, 做一個矩陣, O O O O [ I ], 對作基本列算, 若經過一連串的列運算, 可得 / [I B], 則 B 即為的反矩陣 () 二階反矩陣 : 若設, 若 d det( ) d d, 則反矩陣 det( ) d 記法 :,d 對調 ;, 變號主對調, 副變號, 再除以 det() [ 證明 ]: 設, d, d ~9~

即,, 利用克拉瑪公式 d d det( ) det( ) det( ) det( ) d d det( ) det( ) det( ) det( ) d, 得 det( ) d () 三階反矩陣 : 設, 且 det, 如何找呢? 令 B, 且滿足 B, 且 r r r q q q p p p (,, ), (,, ), (,, ), p (p,p,p ), q (q,q,q ), r (r,r,r ) 因為 B r r r q q q p p p p, p, 所以 p 與均垂直, 同理 q 與均垂直 ; r 與均垂直因為 p 與均垂直, 且 det 所以 p t( ), 又 p. t( ). t det() 故 p det() ( ) 同理 q det() ( ), r det() ( ) 所以 det() () 反矩陣的性質 : () 有反矩陣的充要條件是 det() 例子 : 解聯立方程組的解 z z z ~~

將聯立方程組用矩陣的乘法表示為令,X X det() 聯立方程組恰有一解 X z z 有反矩陣因此有反矩陣的充要條件是 det() 從上一個例題中, 若為一個階或階方陣, 我們可以將聯立方程組寫成 XC, 此處的 X 或,C 或, 聯立方程組有唯一解的充要條件是 det() z` 結論 : 設 B C 為階方陣 () 有反矩陣的充要條件是 det() ()BC, 若 det() ( 即存在 ), 則 BC ()XB, 且存在 X B ()XB, 且存在 XB ()XBC, 且 B 存在 X CB () 若 B 都是階方陣, 且和 B 都有反矩陣, 則 B 有反矩陣, 且 (B) B [ 證明 ]: B(B )(BB ) I I ()(B ) B [ 證明 ]: (B ) (B )(B )(B ).. (B ) (B )B 再用數學歸納法即可得證 ~~

[ 例題 ] () 若矩陣, 則反矩陣 () 若方陣 X 滿足 X, 則 X s:() () [ 例題 ] 請利用列運算求矩陣的反矩陣 s: 9 9 ~~

[ 例題 ] 請求出的反矩陣 s: ( 練習 9) 若二階方陣 X 滿足 X,則 X s: ( 練習 ) 求的乘法反元素 s: 9 ( 練習 ) 若沒有乘法反元素, 則? s: 或 ( 練習 ) 設, B () 試求, () 若 XB,求 X, () 若 XB,求 X. s:(), (), () ~~

( 練習 ) 設為二階方陣, I, O ;若 I O,則下列何者是 I 的乘法反矩陣? () (B) (C)I (D) (E). s:(d) ( 丁 ) 一些特殊矩陣的乘冪 [ 例題 ] ( 對角矩陣的乘法 ) 若, 求 s: 一般而言, 若, 則 [ 例題 ] ( 上三角矩陣的乘法二項式定理 ) 設, 對於任意正整數, () 若 I B, 請問 B?() 請求 B? B?B?() 請求出? s:()b ()B,B B () ) ( ~~

d f de 嚴格上三角矩陣 e,, O( ) [ 例題 ] ( 矩陣的對角化 ),P,DPP, 求矩陣 D? 又? s:d,.. ~~

[ 例題 9], 若二實數與滿足 (I 與 I ) I, 求, 之值?s:, 矩陣 : 二階矩陣 :, 三階矩陣 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( 練習 ) 設, 若 I,I 則數對 (,,)? s:(,,)(,,) ~~

( 練習 ) 設,kI B, 其中 k 為大於的自然數,B 中的元素均不為負, 則 B? 又令 [ ij ], 則 ij 中的最大值? s:, ( 練習 ) 設方陣,P, 試求 : () P.... () P P () s:() () (). (.) (.) (.) (.) ~~

綜合練習 () 設,B,C 試求一矩陣 X 滿足 (XB)(BX) 成立 () 設 si os os si os si θ θ θ θ θ θ, 但,, 則下列何者為真? () > > (B) (C) (D) (E) () 設 B C 皆為矩陣, 則下列敘述哪些是正確的? () BB 恆成立 (B)(B)C(BC) 恆成立 (C) 若 B 則或 B (D) 若 det() 且 BC, 則 BC (E) ( ) B B B 恆成立 () 設 B 皆為二階方陣且 I O 分別為二階單位方陣與零矩陣, 則下列何者錯誤? () 若 BO, 則 BO (B) 若 BI, 則 BI (C) I(I)(I) (D) 若 I, 則 I 或 I (E) 若 BO, 則 O 或 BO () 已知 B C 為階方陣,O 為階零矩陣, 則下列何者為真? ()det(b)det()det(b) (B) 若 k 為實數,det(k)kdet() (C) 若 BC 且 det(), 則 BC (D) 若 B 均為可逆方陣, 則 (B) B (E) 若 BB, 則 (B) BB B () 直角坐標系動點 P 的坐標為 (,), 且滿足 [,] [,], 則一切 P 點所成的圖形其正焦弦長? () 設實係數二階方陣滿足,, 若, 則 9 d,,,d ( 指考數學甲 ) () 已知兩個階方陣 X 及 Y 滿足 XY,XY, 求 X Y? (9) 若矩陣滿足方程式 X XIO (I O 分別代表單位方陣與零矩陣 ), 則的乘法反元素? ~~

() 若,X, 且 X, () 請求出? ()X? ()det()? () 設 P 且 DPP, 則 () 矩陣 D? () 利用 DPP, 計算? () 設方陣, 其中, 證明 : () 設為階方陣, 試證 : I 的充要條件是 (I )(I )O () 若, 則進階問題 () 設為階方陣, 試證明 () t 為對稱矩陣 () t 為反對稱矩陣 () 設 B 有意義, 求證 :(B) t B t t () 設為階方陣, 其元素皆為自然數排列情形如下? 9, 求? ij? () () 設為實數, 試證明 : 對於所有的自然數, () 設,P, 求 P 9 P? () 試求? (9) CleHmilto 定理設二階方陣, 試證 d ( d ) ( d ) I O( 零矩陣 ) () () (B)(C)(E) () (B)(D) 綜合練習解答 ~9~

解法 () : 矩陣乘法沒有交換性 (B) (C) : 例如 :, 但前二者都不是零矩陣 (D) : 行列式值不為是有反方陣的充要條件, 故 det( ) 表存在, 又 B C B C B C (E) : ( B) ( B)( B) B B B 這是矩陣基本性質, 矩陣在某些性質上和數字很不相同, 容易混淆, 因此學習上要特別澄清這些觀念 () ()(D)(E) [ 提示 :() 反例 B 滿足 BO 但 B O,(D) 反例 (E) 反例同 ()] () (C)(D)(E) () (),,9,d () (9) I [ 提示 : IO (I)I ( I)I] 9 () () () () () () () () [ 提示 : 對用數學歸納法 ] () 證明略 () [ 解法 ] IB, 其中 B, 且 B, B 利用二項式定理展開 ~~

( I B) C( I) C( I) B C( I) B C( I) B C( I) B CB 為 O, 因為 B I B B () 直接檢查定義 () [ 證明 ]: () 可令 [ ij ] m,b[ ij ] r s, Q B 有意義, r, 則 BC 其階數為 m s, (B) t 之階數為 s m 而 t 之階數為 m,b t 之階數為 s r,qr B t t 有意義, 且階數為 s m ()(B) t 之 (i,j) 元為取 (B) 之 (j,i) 元之第 j 列與 B 之第 i 行的對應元素之積的和 j i j i.. B t t 之 (i,j) 元為 B t 之第 i 列配乘上 t 的第 j 行 B 之第 i 行配乘上之第 j 列 i j i j 所以可知 (B) t 之 (i,j) 元 B t t 之 (i,j) 元 (), (ij)(ij) j () () 利用數學歸納法 () () 9 (9) 詳解 d d d d d d d ( d) ( d) d d d d d ( d ) I ( d ) d 可得 ( d) ( d ) I O ~~