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应用数学和力学, 第 8 卷第 6 期 07 年 6 月 5 日出版 Applied Mathematics and Mechanics Vol.8,No.6,Jun.5,07 文章编号 :000 0887(07)06 0696 c 应用数学和力学编委会,ISSN 000 0887 基于 Udwadia Kalaba 理论的 Hamel 嵌入法研究 赵韩, 赵晓敏, 姜建满 (. 合肥工业大学机械工程学院, 合肥 0009;. 合肥工业大学汽车与交通工程学院, 合肥 0009) 摘要 : Hamel 嵌入法直接将约束嵌入到非约束运动的动能中去, 从而避免使用 Lagrange( 拉格朗 日 ) 乘子. 但这个简单 直观的方法却并不总是正确.Hamel 认为这种方法可能导致错误的结果, 然 而他并没有给出 Hamel 嵌入法正确性的适用条件. 在利用 Udwadia Kalaba 理论的基础上, 提出了 Hamel 嵌入法成立的充要条件 ; 指出了 Rosenberg 在 Hamel 嵌入法正确性研究中的不足, 通过给出 的具体算例可以看出, 在完整约束下 Hamel 嵌入法可能不正确, 而在非完整约束下也可能得出正 确的结果 ; 理论和实例分析表明,Hamel 嵌入法是否成立除了与约束有关以外还与系统模型相关. 关 键 词 : Hamel 嵌入法 ; Udwadia Kalaba 理论 ; 完整约束 ; 非完整约束 ; 机械系统模型 中图分类号 : O6 文献标志码 : A doi: 0.656 / 000 0887.707 引 言 949 年,Hamel 在他的书中提出了一种关于理论力学的简单 直观的方法 []. 这个方法的 关键就是将约束方程嵌入到动能中去, 从而将系统看成不受约束的作用, 便可以运用 Lagrange 形式的 d Alembert( 达朗贝尔 ) 原理来建立运动方程. 通过例子,Hamel 解释了采用他的方法也 可能得到错误的结果. 尽管如此, 他的方法依旧十分诱人, 因为它比现存的其他 ( 正确的 ) 方法, 如 Lagrange 乘子法 [] 投影法 [ 4] [5 6] 准变量法等 ( 更多方法参见文献 [7] 中 P707 的表.A. 5), 能更简单 直接地获得结果. 由于 Hamel 嵌入法并不总是正确的, 因此在文献 [8] 中首次称 之为 Hamel 悖论. 在 Hamel 研究的基础上,Rosenberg 找到了使得 Hamel 嵌入法成立的情形 [9]. 通过实例, 他 发现在完整约束下的结果是正确的, 而在非完整约束下得到的结果是错误的. 因此, 他提出 Rosenberg 猜想 :Hamel 嵌入法是否成立的分界线是约束的完整性与否. 过去的研究中,Hamel 嵌入法出现在许多文献中 [9]. 然而在 Rosenberg 之前, 并没有文献对 这个方法的正确性进行研究. 因此, 对 Hamel 嵌入法的细节进行更进一步研究显得尤为重要. 收稿日期 : 06 0 4; 修订日期 : 06 基金项目 : 对外科技合作项目 ( 国际科技项目 )(04DFA80440) 作者简介 : 赵韩 (957 ), 男, 博士, 教授, 博士生导师 ; 赵晓敏 (986 ), 女, 博士 ( 通讯作者. E mail: hfutzxm@ 6.com); 姜建满 (986 ), 女, 博士 (E mail: jiangjianman@ 6.com). 696

赵韩赵晓敏姜建满 697 Chen 在文献 [0] 中初步验证了 Hamel 悖论 和 Rosenberg 猜想, 本文在其基础上研究了 Hamel 嵌入法的适用条件, 主要的工作包含 个方面 : 首先, 利用 Udwadia Kalaba 理论, 得出了 受约束系统的运动方程 ; 其次, 根据这个方程, 提出了 Hamel 嵌入法成立充要条件, 同时给出 了特殊情况下 Hamel 嵌入法成立的判定条件 ; 最后, 指出了 Rosenberg 猜想 的不足, 即 Hamel 嵌入法是否成立不仅取决于约束, 也与系统模型相关. Hamel 嵌入法 考虑一个由 p 个质点和刚体组成的机械系统. 令 = [ T T ] T R n 表示系统的坐标 ( 则 为速度, 为加速度 ), 系统的动能为如下形式 [] : T(,,t) = T M(,t) + N(,t) + P(,t), () 其中 M(,t) R n n,m(,t) = M T (,t),n(,t) R n,p(,t) R. 将矩阵 M(,t) 和 N(, t) 分块表示为 M(,t) = M (,t) M (,t) M (,t) M (,t),n(,t) = [N (,t) t),n i (,t) 具有与 i 相应的维度 (i, j =,), 可得 T(,,t) = [T M (,t) + T M (,t) + T M (,t) + N (,t)], 其中 M ij (, T M (,t) ] + N (,t) + N (,t) + P(,t). () 为简洁起见, 本文在不引起歧义的情况下将在后面的叙述中略去函数中的变量. 假设系统受到 如下形式的约束 : A(,t) = [A ] = c(,t), () 其中 A(,t) = [A ] R r n,r < n,c(,t) R r. 若 A - (,t) 存在, 则可以解得 为 = - A - + A - c. 将式 (4) 代入 T(,,t) 中, 从而得到只用 表示的动能 T (,,t): T T = = -A - A +A - c { T (A - ) T M A - - T ( ) T M A - c - (A - c) T M A - + (A - c) T M A - c - T (A - ) T M + (A - c) T M - T M A - + T M A - c + T M } - N A - + N A - c + N + P, (5) 此处上标 表示嵌入约束后的量. 类似地, 约束也可被嵌入广义力 Q 中, 得到新的广义力 Q : Q (,,t) Q(,,t) = Q (,,t) = -A - (,t)a (,t) +A - (,t)c(,t) Q (,,t). (6) 将嵌入约束后得到的 T d T (,,t) dt 和 Q [] 代入到 Lagrange 方程中可得 (4) - T (,,t) - Q (,,t) = 0, (7) 其中 Q (,,t) 是 Q (,,t) 中与 相对应的子向量.

698 基于 Udwadia Kalaba 理论的 Hamel 嵌入法研究 注 坐标 可能是广义坐标, 也可能是非广义坐标. 根据文献 [9] 中 P5, 通过将完整约束改写成 Pfaf fian 形式, 系统的 Lagrange 方程也可以用非广义坐标描述, 其表现形式和用广义坐标描述的形式是一致的. 接下来, 将式 (7) 变成一个更加具体的形式. 由 M = M T 可得 M T = M, 因此 T (A - ) T M = T M (A - ). (8) 将式 (5) 和 (8) 代入式 (7), 得到 其中 Ψ(,t) = G(,,t), (9) Ψ (A - ) T M A - - (A - ) T M - M A - + M, (0) G(,,t) - Ψ(,t) - Φ(,t) + T (,,t) + Q (,,t), () Φ - (A - ) T M A - c + M A - c - (A - ) T N T + NT. () 式 (9) 就是在 Lagrange 力学下应用 Hamel 嵌入法后得到的受约束系统运动方程. 由于约束 已经由 T 和 Q 体现, 应用 Hamel 嵌入法后便不需要用 Lagrange 乘子或其他辅助变量去表示 约束力, 这是 Hamel 嵌入法最大的优势. 基于这一优势,Hamel 嵌入法曾被广泛应用. 基于 Udwadia Kalaba 理论的受约束系统运动方程 在本节中, 将应用 Udwadia Kalaba 理论来寻找受约束系统运动方程.Udwadia 和 Kalaba 利 用矩阵的 Moore Penrose (M P) 广义逆得到了受约束机械系统的基本方程, 并通过 Gauss 原 理 [] [4] [5] d Alembert 原理和扩展的 d Alembert 原理证明了该方程的正确性. 目前为止, 这 是唯一不使用 Lagrange 乘子 投影或其他任何准变量 辅助变量的方程, 因此适用的范围更广. 引理 [0] 考虑矩阵 A R r n 和 M R n n,a 的 M P 广义逆为 A +. 设 rank A = r,rank M = n, 则 (AM - A T ) + = (AM - A T ) -. 其中 设约束 () 充分光滑, 则可以对时间求导数, 获得约束方程的二阶形式 : A(,t) = b(,,t), () b(,,t) - A(,t) + c(,t). (4) 本文假设 rank A(,t) ; 式 () 是一致的, 即对于给定的 A 和 b, 式 () 至少存在一 个解. 则可得到方程 其中 M = F + A(AM - A T ) + (b - AM - F) = F + F, (5) F - N T - M + T + Q, (6) F A T (AM - A T ) + (b - AM - F). (7) 方程 (5) 被称为 Udwadia Kalaba 方程, 它是受约束机械系统的基本方程. 下面将在 Udwa dia Kalaba 方程的基础上推导受约束系统运动方程. 根据 M 的结构, 方程 (5) 可以写为 M M M M = F F + F F, (8) 其中 F R r,f R n-r,f R r,f R n-r 分别是 F 和 F 的子向量. 这意味着

赵韩赵晓敏姜建满 699 M + M = F + F, (9) M + M = F + F. 通过将式 () 分解为 (0) [A ] = b, () 则可以解得 : = - A - + A - b. 将式 () 代入式 (9) 和 (0) 可得 () M ( - A - + A - b) + M = F + F, () M ( - A - + A - b) + M = F + F. (4) 用 - (A - ) T 左乘式 (), 与式 (4) 联立得 [(A - ) T M A - - (A - ) T M - M A - + M ] = (A - ) T M A - b - M A - b - (A - ) T (F + F ) + (F + F ). (5) 由 A - = [A ], 式 (7) 可以被分解为 可得 F = F F = F = (A - ) T F. 将式 (7) 代入式 (5), 可得 令 A T A T (AM - A T ) + (b - AM - F), (6) (7) [(A - ) T M A - - (A - ) T M + M ( - A - ) + M ] = - (A - ) T F - M A - b + (A - ) T M A - b + F. (8) H - (A - ) T F - M A - b + (A - ) T M A - b + F, (9) 根据式 (0) 和 (9), 式 (8) 可以简化为 Ψ(,t) = H(,,t). (0) 式 (0) 即是在 Udwadia Kalaba 方程的基础上得出的受约束系统运动方程.Udwadia Kalaba 方 程可以同时处理完整约束和非完整约束下系统的运动建模问题, 因此式 (0) 可以作为验证 Hamel 嵌入法的参考. Hamel 嵌入法成立的条件 Hamel 嵌入法在文献 [8 9] 中已经被证明在非完整约束下是错误的, 原因的表述不尽相 同. 文献 [8] 认为,Hamel 嵌入法的本质缺陷在于它将无约束系统动能 / 广义力和约束力做了合 并. 尽管这个合并看起来直观 自然, 但却并不适用于 Lagrange 力学. 在 Lagrange 力学中, 无约 束的运动 ( 用动能和广义力表述 ) 和约束的结合是通过 Lagrange 形式的 d Alembert 原理来实 现, 需要用到虚位移. 文献 [9] 认为 一个错误的约束被嵌入了. 同时, 文献 [9] 提出了一个正 确的嵌入方法, 但是与 Hamel 嵌入法相比, 这个过程显得并不直接, 因而在实际应用中并未取 代 Hamel 嵌入法. 文献 [8 9] 都只是用实例来说明 Hamel 嵌入法成立的情形, 本文利用 Udwa dia Kalaba 方程, 可以得出 Hamel 嵌入法成立的充要条件. 定理 若系统坐标 = [ T T ] T R n, = [ r ] T, 系统约束为 A = c,

700 基于 Udwadia Kalaba 理论的 Hamel 嵌入法研究 其中 A = [A ] R r n,a R r r, R r (n-r),q 为利用 Hamel 嵌入法得到的广义力, 系 统矩阵 M = M M M M,N = [N N ] 如式 () 所述,M R r r,n R r, 且向量 G 和 H 分别具有式 () 和 (9) 的形式, 则 Hamel 嵌入法能获得受约束运动正确方程的充要条件是 其中 证明 令 E(,,t) 0, () E G - H = (A - ) T T T T W + W + W W + W + W +... W + W r + W r r (A - ) T Q +(A- +A - ) T M ( - A - + A - c) + (A - + A - ) T M + (A - + A - ) T N T, () W = [(A- ) T M A - - (A - ) T M - M A - + M ], () W = - (A - c)m A - + (A - c) T M - N A - + N, (4) W = (A- c) T M A - c + N A - c + P. (5) 比较式 (9) 和 (0), 可以看出 Hamel 嵌入法能得到正确结果的充要条件为 G(,,t) = H(,,t). (6) E(,,t) = G(,,t) - H(,,t), (7) 由式 () 和 (9), 可得 其中 E = - Ψ - Φ + T + Q + (A - ) T F + M A - b - (A - ) T M A - b - F, (8) Ψ = (A - ) T M A - + (A - ) T M A - + (A - ) T M A - + (A - ) T M A - + (A - ) T M A - - (A - ) T M - (A - ) T M - (A - ) T M - M A - - M A - - M A - + M, (9) Φ = - (A - ) T M A - c - (A - ) T M A - c - (A - ) T M A - c - (A - ) T M A - c - (A - ) T M A - c + M A - c + M A - c + M A - c - (A - ) T N T + M A - c - (A - ) T N T - (A - ) T N T - (A- ) T N T + NT, (40)

赵韩赵晓敏姜建满 70 F = - N T - M - M + T + Q, (4) F = - N T - M - M + T + Q. (4) 接下来, 将式 (8) 变为更为具体的形式. 由式 (9) ~ (4), 式 (8) 可以变为 E = (A - ) T T + (A - + A - ) T M ( - A - + A - c) + (A - + A - ) T M + (A - + A - ) T N T + (A- ) T Q. (4) 将 T (,,t) 对 求偏导数, 可得 W T + W + W W T T = + W + W, (44)... W T + W r + W r r 其中 W (,t),w (,t) 和 W (,t) 与式 () ~ (5) 相同. 最后, 将式 (44) 代入式 (4), 即可 得式 (). 证毕. 从式 () 中可以看出, E(,,t) 是约束变量和系统变量的函数, 也就是说, Hamel 嵌入 法是否成立是由约束和机械系统模型共同决定. 定理 给出了 Hamel 嵌入法成立的充要条件 是 E(,,t) = 0, 因此可以通过验证这一条件来确定是否可以应用 Hamel 嵌入法建立受约束 系统运动方程. 此外, 由式 () 可知, 如果存在一个 Q 0 能使得 E(,,t) = 0, 则 Hamel 嵌入法成立. 这说明在某些特殊情况下, 还可以通过更简单的条件来判断是否可以应用 Hamel 嵌 入法. 定理 若系统坐标 = [ T T ] T R n, = [ r ] T, 系统质量矩阵 M = M M M M,M R r r,n = [N N ] 如式 () 所述,N R r, 系统约束为 A = c, 其中 A = [A ] R r n,a R r r, R r (n-r),w,w,w 分别见式 () ~ (5), 则如果像空间 R (A - + A - ) T R (A - ) T, 即存在一个矩阵 K(,,t) 使得 (A - + A - ) T = (A - ) T K, 则式 () 至少存在一个解 Q : W T + W + W Q = - T T W + W + W W r + W -... + W r r KM - KN T - KM ( - A - + A - c). (45) 证明将 (A - + A - ) T = (A - ) T K 代入式 (), 可得

70 基于 Udwadia Kalaba 理论的 Hamel 嵌入法研究 E = (A - ) T T T T W + W + W W + W + W +... W + W r + W r r (A - ) T KM + (A - ) T KN T + (A- ) T Q + (A - ) T KM ( - A - + A - c). (46) 将式 (46) 变为更具体的形式可得 令 E = (A - ) T ì í î T T T W + W + W W + W + W T T T W r + W... + W r r W + W + W W + W + W +... W + W r + W r r + KM + KN T + Q + KM [ - A - + A - ü c] ý. (47) KM + KN T + Q + KM ( - A - + A - c) = 0, (48) 重新组合式 (48) 即可得到式 (45). 将 (A - + A - ) T = (A - ) T K 和式 (45) 代入式 (), 即可得到 E = 0. 证毕. 4 实例分析 在 Hamel 嵌入法有效性的研究中,Rosenberg 通过一系列实例的验证提出了一个猜想 [9] : 若约束式 () 是完整的, 则式 (9) 是正确的 ; 若约束式 () 是非完整的, 则式 (9) 是错误的. 然而, 从式 () 中可以看出,Hamel 嵌入法是否成立是由约束和机械系统模型共同决定, 因此 Rosen berg 提出的猜想并不正确, 这一点可以通过以下例子说明. 注 在以下算例中, 部分向量和矩阵为一维. 4. 不同约束下相同机械系统的实例 考虑一个空间内单位质量质点的受约束运动, 其位置由 = [x,y,z] 表示, 系统参数为 þ

赵韩赵晓敏姜建满 70 则可得 ì M =, M = [0 0], M = 0 0, M = 0 0 í, în = 0, N = [0 0], P = 0. 例 完整约束且 E = 0. 设系统受到如下完整约束 : xx + y + z = 0. (49) (50) 令 = x, = [y z] T, 约束可被写为 x [x ] y = 0, (5) z A = x, = [ ], c = 0. (5) [A - + A - ] T = x [A - ] T = x. 由式 (5) 和 (54), 可得, (5) (54) [A - + A - ] T = [A - ] T K, (55) 其中 K = x / x. 则可得 应用式 (45), 可得 Q = y + z x + x - (y + z ) + x - yz. (56) 将式 (56) 代入式 () 中可得 E = 0, 表明此时 Hamel 嵌入法成立. 例 非完整约束且 E = 0. 设系统受到如下非完整约束 : x - zy = 0. (57) 令 = x, = [y z] T, 约束可以被相应地写为 x [ - z 0] y = 0, (58) z A =, = [ - z 0], c = 0. (59) [A - + A - ] T = - z 0 (60) [A - ] T = - z 0, (6) 由式 (60) 和 (6), 可得 [A - + A - ] T = [A - ] T K, (6) 其中 K = z / z. 利用式 (45), 可得 Q = - yz. (6)

704 基于 Udwadia Kalaba 理论的 Hamel 嵌入法研究 将式 (6) 代入式 () 中可得 E = 0, 表明此时 Hamel 嵌入法成立. 例 和例 表明, 同一机械系统在不同约束条件下,Hamel 嵌入法都能够成立. 而其成立的 条件可以由定理 得出 ( 即 Q 分别为式 (56) 和 (6) 时,Hamel 嵌入法成立 ). 同时, 例 表明在非完整约束条件下 Hamel 嵌入法也能得到正确的结果, 这与 Rosenberg 猜想不同. 此外, Rosenberg 认为在完整约束下 Hamel 嵌入法成立, 这一点也是不准确的. 例 完整约束且 E 0 考虑一个平面内单位质量质点的受约束运动, 位置 = [x,y], 系统参数为 M =, M = 0, M = 0, M =, N = 0, N = 0, P = 0. (64) 若系统受到的完整约束为 即 xx + yy = 0, (65) 令 = x, = y, 约束可以被写成条件 () 的形式 : [x y] x y = 0, (66) A = x, = y, c = 0. 则由式 () 可得 E = - y x y - x y y - x yx y x 4 x 显然式 (67) 中 E 0, Hamel 嵌入法并不成立.. (67) Rosenberg 指出在完整约束下 Hamel 嵌入法有效, 而在非完整约束下是无效的. 本小节中, 用不同的例子表明在完整约束下 Hamel 嵌入法得到的结果是错误的, 而即使在非完整约束 下, 也有可能得到正确的结果. 因而决定 Hamel 嵌入法是否可行并不仅是约束条件的完整性. 在下一小节中, 将用实例说明 Hamel 嵌入法的正确性同时也由机械系统的模型决定. 4. 相同约束下的不同机械系统实例 假设系统都受到相同的约束 x - zy = 0. (68) 若 = x, = [y z] T, 然后将约束写成条件 () 的形式 : x [ - z 0] y = 0, (69) z 取 A =, = [ - z 0],c = 0. 例 4 可以得到 考虑一个单位质量质点的受约束运动, 外部力可以被分解为 Q - yz Q = Q = 0, Q 0 (70) M =, M = [0 0], M = 0 0 0 0 (7) N = 0, N = [0 0], P = 0. (7) W = z + 0 0, (7)

赵韩赵晓敏姜建满 705 则可得 则可得 W = 0, (74) W = 0, (75) E = - z 0 Q + - z 0 [z 0] y z = 0. (76) 例 5 考虑一个质点 m(m ) 的受约束运动, 外部力可以分解为 Q = Q Q Q = - yz 0, (77) 0 M = m, M = [0 0], M = 0 0, M = m 0 0 m, (78) N = 0, N = [0 0], P = 0. (79) W = m z + 0 0, (80) W = 0, (8) W = 0, (8) E = - z 0 Q + - z 0 m [ z 0] y z = ( - m)yzz. (8) 例 6 考虑一个单位质量质点的受约束运动, 外部力可以被分解为 Q = Q Q Q = 0 0, (84) 0 M =, M = [0 0], M = 0 0, M = 0 0, (85) N = 0, N = [0 0], P = 0. (86) W = z + 0 0, (87) W = [0 0], (88) W = 0, (89) E = - z 0 [z 0] y z = - zyz 0. (90) Rosenberg 猜想暗示影响 Hamel 嵌入法的因素只有约束条件, 而定理 表明应当是由约束 和机械系统模型共同决定. 例 4 例 5 和例 6 说明了模型的影响 : 虽然受到的约束条件是相同 的, 但是由于机械系统模型不同, 导致 Hamel 嵌入法并不都能适用. 即 Hamel 嵌入法的有效性 不仅仅由约束决定, 同时也由机械系统的模型决定. 5 结论 本文利用 Udwadia Kalaba 理论系统地研究了 Hamel 嵌入法, 得到了 Hamel 嵌入法成立的

706 基于 Udwadia Kalaba 理论的 Hamel 嵌入法研究 充要条件. 多年以来,Hamel 嵌入法出现在很多文献中. 但在 Rosenberg 之前却鲜有对 Hamel 嵌入法的探讨. 本文在 Udwadia Kalaba 方程的基础上找到了 Hamel 嵌入法有效性的分界线并给出了特殊情况下的判定条件, 同时指出 Rosenberg 研究中的不足. 通过例子, 得出在完整约束下 Hamel 嵌入法可能得出错误结果, 而在非完整约束下也可能得到正确结果. 理论和实例均表明,Hamel 嵌入法的有效性不仅仅由约束决定, 同时也由机械系统的模型决定. 参考文献 (References): [] Hamel G. Theoretische Mechanik[ M]. Berlin: Springer, 949. [] 黄友钦, 林俊宏, 傅继阳, 等. 多重约束下空间桁架结构抗风优化 [ J]. 应用数学和力学, 0, 4(8): 84 85.( HUANG You in, LIN Jun hong, FU Ji yang, et al. Wind resistant optimiza tion of spatial truss structures under multi constraints[ J]. Applied Mathematics and Mechan ics, 0, 4(8): 84 85.(in Chinese)) [] Blajer W. Projective formulation of Maggi s method for nonholonomic systems analysis[ J]. Journal of Guidance Control Dynamics, 05, 5(): 5 55. [ 4] CHEN Ye hwa. Euations of motion of mechanical systems under servo constraints: the Maggi approach[ J]. Mechatronics, 008, 8(4): 08 7. [5] 乔永芬, 赵淑红. Poincar Chetaev 变量下变质量非完整动力学系统的运动方程 [J]. 物理学报, 00, 50 ( 5): 805 80. ( QIAO Yong fen, ZHAO Shu hong. Euations of motion of variable mass nonholonomic dynamical system in Poincar Chetaev variables[ J]. Acta Physica Sini ca, 00, 50(5): 805 80.(in Chinese)) [6] Brogliato B. Kinetic uasi velocities in unilaterally constrained Lagrangian mechanics with im pacts and friction[ J]. Multibody System Dynamics, 0, (): 75 6. [7] Papastavridis J G. Analytical Mechanics: A Comprehensive Treatise on the Dynamics of Con strained Systems; for Engineers, Physicists, and Mathematicians[ M]. New York: Oxford University Press, 00. [8] Udwadia F E, Wanichanon T. Hamel s paradox and the foundations of analytical dynamics [ J]. Applied Mathematics and Computation, 00, 7(): 5 65. [9] Rosenberg R M. Analytical Dynamics of Discrete Systems[ M]. New York: Plenum, 977. [0] CHEN Ye hwa. Hamel paradox and Rosenberg conjecture in analytical dynamics[ J]. Journal of Applied Mechanics, 0, 80(4): 0400 0400 8. [] CHEN Ye hwa. Mechanical systems under servo constraints: the Lagrange s approach[ J]. Mechatronics, 005, 5(): 7 7. [] 宋端. 一阶 Lagrange 系统平衡稳定性对参数的依赖关系 [ J]. 应用数学和力学, 04, 5(6): 69 696.( SONG Duan. Dependence of euilibrium stability of first order Lagrange systems on parameters[ J]. Applied Mathematics and Mechanics, 04, 5(6): 69 696.( in Chinese)) [] Kalaba R E, Udwadia F E. Lagrangian mechanics, Gauss s principle, uadratic programming, and generalized inverses: new euations for nonholonomically constrained discrete mechanical systems[j]. Quarterly of Applied Mathematics, 994, 5(): 9 4. [4] Udwadia F E, Kalaba R E. An alternate proof for the euation of motion for constrained me chanical systems[ J]. Applied Mathematics and Computation, 995, 70(): 9 4. [5] Udwadia F E, Kalaba R E, Eun H C. Euations of motion for constrained mechanical systems and the extended d Alembert s principle[ J]. Quarterly of Applied Mathematics, 997, 56 ():.

赵韩赵晓敏姜建满 707 Study on Hamel s Embedding Method via the Udwadia Kalaba Theory ZHAO Han, ZHAO Xiao min, JIANG Jian man (. School of Mechanical Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 0009, P.R.China;. School of Automotive and Traffic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 0009, P.R.China) Abstract: Hamel embedded the constraint directly into the kinetic energy of unconstrained mo tion to avoid the use of Lagrange multiplier, which made a simple, straightforward, but incom pletely correct method. Hamel stated that this method may lead to wrong results, but did not point out the applicable conditions for its correctness. Based on the Udwadia Kalaba theory, the necessary and sufficient condition for Hamel s embedding method was found. Besides, ex amples show that Rosenberg s work on the validity of Hamel s embedding method is insuffi cient. Hamel s embedding method may be correct under nonholonomic constraint and may be incorrect under holonomic constraint. According to the theoretical and exemplary analysis, the correctness of Hamel s embedding method is not only determined by the constraints, but also determined by the mechanical system model. Key words: Hamel s embedding method; Udwadia Kalaba theory; holonomic constraint; non holonomic constraint; mechanical system model 引用本文 / Cite this paper: 赵韩, 赵晓敏, 姜建满. 基于 Udwadia Kalaba 理论的 Hamel 嵌入法研究 [ J]. 应用数学和力学, 07, 8(6): 696 707. ZHAO Han, ZHAO Xiao min, JIANG Jian man. Study on Hamel s embedding method via the Udwa dia Kalaba theory[ J]. Applied Mathematics and Mechanics, 07, 8(6): 696 707.