除法原理的應用 建國中學 林信安老師
--3 除法原理的應用 餘式定理 我們以五次多項式 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 所得的 餘式 為例來說明 引用綜合除法 : 商式為 x 4 +x 3 +4x +8x+16, 餘式為 5 =f () 故 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 的 餘式 就是 f (x) 在 x= 所取的值 f (). (1) 餘式定理多項式 f(x) 除以 x a 的餘式等於 f(a) 證明 : 由多項式的除法原理得知, 恰有兩多項式 q(x) 及 r(r 為常數多項式 ) 滿足 f(x)=(x a) q(x)+r, 而此等式為恆等式, 因此將 x=a 代入上式, 得 f(a)=(a a) q(a)+r = r 推廣 : 多項式 f(x) 除以 ax+b 的餘式等於 f( b a ) f(a) 的雙重意義 : 多項函數 f(x) 在 x=a 的函數值 多項式 f(x) 除以 x a 的餘式 例題 1 求下列二小題 : (1) 求 (x 3 +x x 4) 3 除以 x+3 的餘式 () 設 f(x)=150x 6-790x 5 315x 4 +707x 3 +100x +45x 6, 則 f(3)=? Ans:(1) 1000 ()17 1
例題 試求下列各小題 : (1) 設多項式 f(x) 不低於 次, 以 x 1 除之餘, 以 x+ 除之餘 1, 則以 (x 1)(x+) 除 f(x) 的餘式為何? () 設多項式 f(x) 不低於 3 次, 以 x 1 除之餘 3, 以 x+1 除之餘 1, 以 x 除之餘, 則求以 (x 1)(x+1)(x ) 除 f(x) 的餘式 (3) 多項式 f(x) 以 x +x+3 除之, 餘式為 x+1, 以 (x+1) 除之餘式為 1, 則 f(x) 除以 (x+1)(x +x+3) 之餘式為何? Ans:(1)x+1 () x +x+4 (3) 6x 11x 6 練習 1 試填下列空格中的 餘式 ( 寫成 f (c) 的形式 ): (1) f (x)=( x-3 ) q (x)+ ;f (x)=( x+3 ) q (x)+ () f (x)=( x-3 ) q (x)+ ;f (x)=( x+3 ) q (x)+ Ans:(1)f(3) ()f( 3) (3)f( 3 ) (4)f( 3 ) 練習 f(x)=x 4 +3x 3 +5x 6, 求 x 1 除 f(x 3) 的餘式 Ans: 113 練習 3 多項式 f(x) 除以 x 1 的餘式為 4,g(x) 除以 x +x 的餘式為 x+3, 試求 x f(x) xg(x) 除以 x 1 的餘式 Ans: 14 練習 4 多項式 f(x) 除以 x 3 得餘式 16, 除以 x+4 得餘式 19, 則 f(x) 除以 (x 3)(x+4) 所得的餘式為 Ans:5x+1 練習 5 試求 11 5 4 11 4 7 11 3 56 11 +15 11+7 之值為 Ans:51
練習 6 多項式 f(x) 以 x 3x+ 除之餘式為 3, 以 x 4x+3 除之得餘式為 3x, 則以 x 5x+6 除之餘式為 Ans:6x 9 練習 7 多項式 f(x) 以 x +x+ 除之, 餘式為 x+3, 以 (x+1) 除之餘式為 1, 則 f(x) 除以 (x+1)(x +x+3) 之餘式為何? Ans: 3x 5x 3 因式定理 (1) 因式與倍式 設 f(x) g(x) 為兩個多項式, 且 g(x) 不是零多項式, 若 f(x) 被 g(x) 整除 ( 餘式為零多項式 ), 則存在一個多項式 q(x), 使得 f(x)=g(x) q(x), 此時 g(x) 稱為 f(x) 的因式,f(x) 稱為 g(x) 的倍式 符號可以記為 g(x) f(x) 例如 : x -9=( x-3 ) ( x+3 ), x -9= 1 ( x-6 ) ( x+3 ), x 1-9=5.( 5 x- 3 5 ) ( x+3 )= 其中 x-3,x-6, 1 5 x- 3 5, 都是 x -9 的因式 故因式的常數倍仍是因式 () 因式定理設 f(x) 是一個 n 次多項式, 且 a 0, 則 ax b 是 f(x) 的因式 f( b a )=0 因式定理是餘式定理的推論, 其概念是整除 餘式為零多項式根據因式定理對一個多項式 f(x) 而言,f(a)=0 代表下列四個涵義 : (1 )f(x) 在 x=a 的取值為 0 ( )a 為方程式 f(x)=0 的一個根 ( 解 ) 3
(3 )f(x) 除以 x a 的餘式 f(a) 等於 0 (4 )x a 為 f(x) 的因式 例題 3 [ 因式定理的推廣 ] 若設 a 1, a, a 3 為相異實數, 且 f(a i )=0,i=1,, 3 則 f(x) 含有 3 次因式 (x a 1 )(x a )(x a 3 ) 例題 4 試求三次多項式 f(x), 滿足 f(11)=f(1)=f(13)=1,f(14)=19 Ans:f(x)=3(x 11)(x 1)(x 13)+1 例題 5 證明 :x n a n =(x a)(x n 1 +x n a+x n 3 a + +xa n +a n 1 ) 例題 6 求 m,n 的值, 使 x 3 +mx +nx-5 被 x +x- 整除 Ans:m= 9 n= 3 練習 8 (1) 若 f(x)=3x 4 +mx +nx 含有因式 x x, 試求係數 m, n () 若 f(x)=3x 4 +mx +nx 含有因式 x x+, 試求係數 m, n Ans:(1)m= 8 n= 7 ()m=7 n= 練習 9 試求三次多項式 g(x) 滿足 g(1)=g(3)=g(5)=0, 且 g(7)=96 Ans:g(x)=(x 1)(x 3)(x 5) 練習 10 a,b,c 為整數,0<a<b, 若 x c 為 x(x a)(x c) 17 的因式, 則 (a,b,c)=? Ans:(,18,1) 4
一次因式檢驗定理 設 f(x)=x+3,g(x)=5x x+7,h(x)=f(x) g(x)=10x 3 +13x +11x+1,10x 3 是 x 5x 來的,1 是 3 7 來的, 因此觀察一次式 x+3 h(x), 而 10,3 1, 這個結果對於一般整係數的多項式也是成立, 我們將它寫成下面的定理 : 證明 : 定理 : 設 f(x)=a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 為一個整係數 n 次多項式, 若整係數一次式 ax b 是 f(x) 的因式, 且 a,b 互質, 則 a a n 且 b a 0 注意 : (a) 一次因式檢驗定理的逆敘述不成立 例如 :f(x)=3x 3 +5x +4x,f( 1 3 ) 0 (b) 由一次因式檢驗定理, 可知若一次式 cx d 中 c 不為 a n 的因數或 d 不為 a 0 的因數的話, 則 cx d 必不為 f(x) 的因式 故只有滿足 a a n 且 b a 0 的一次式 ax b 才有可能成為 f(x) 的因式, 因此我們只要從滿足 a a n 且 b a 0 這些 ax b 去找一次因式就可以了 例如 : 求整係數 f(x)=3x 3 +5x +4x 的整係數一次因式 根據一次因式檢驗定理, 假設 ax b 為 f(x) 的一次因式, 則 a 3 且 b 我們將所有可能的 ax b 組合 x+1,x 1,x+,x,3x+1,3x 1,3x+,3x, 再利用綜合除法檢驗看看那一個是 f(x) 的因式 3x 1 是 f(x) 的因式 例題 7 求 f(x)=x 4 +5x 3 x +5x 3 的一次因式 Ans:x 1 與 x+3 例題 8 設 a,b,c 為整數, 且 x 4 +ax 3 +bx +cx+9=0 之四根為相異之有理數, 求 a,b,c 之值 Ans:a=0, b= 10, c=0 [ 討論 ]: 設整係數多項式 f(x)=x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, 則方程式 f(x)=0 的有理根必為整數根嗎? 5
練習 11 找出 f(x)=6x 4 7x 3 +6x 1 的所有整係數一次式 Ans:x 1 3x+1 練習 1 設 f(x)=x 4 x 3 +kx kx 為整係數多項式, 且 f(x) 有整係數一次因式, 求 k 之值 Ans:0, 練習 13 p,q 為整數, 且方程式 x 4 x 3 +px +qx+35=0 有四個相異有理數, 求其最大之有理根 Ans:7 多項式的求值 把多項式 f (x) 看成函數 y=f (x)( 如一次 二次函數 ) 時, 它有下列幾項特色 : (1) 求值 f (c) 簡便 () 一個 n 次函數 y=f (x), 可由 ( n+1 ) 個相異點 ( 任兩點的橫坐標相異 ) 的值而唯一確定 ( 詳細敘述於後 ) (3) 多項式函數 y=f (x) 是最簡單的連續函數 ( 圖形連續的函數稱為連續函數 ) 一般的連續函數 y=g (x), 常利用多項式函數 y=f (x) 來作 局部逼近 g (x)~f (x) ( a<x<b ) 因此, 欲求函數值 g (c), 就以 f (c) 當作 g (c) 的近似值 g (c)~f (c) ( a<c<b )( 如第三章的線性內插法 ) 給了多項式 f(x), 如何將 f (x) 變形, 便於求 f( 0.999 ) 或 f ( 3 1) 的值? 例題 9 設多項式 f(x)=x 4 7x 3 +x +5x+5= a(x+1) 4 +b(x+1) 3 +c(x+1) +d(x+1)+e (1) 求 a,b,c,d,e 之值 () 求 (x+1) 除 f(x) 之餘式 (3) 求 f( 0.999) 的近似值到小數點後第三位 (4) 試求 f( 3 1) 的值 Ans:(1)a=, b 15, c=34, d= 6, e=10;() 6x 6;(3)9.974;(4)130 71 3 6
例題 10 3 求 4( ) 4 3 8( ) 3 3 15( ) 3 +13( )+1 之值 Ans: 練習 14 設 x 4 3x 3 +31x 7=a(x ) 4 +b(x ) 3 +c(x ) +d(x )+e, 則求 a,b,c,d,e 之值 Ans:a=, b= 7, c= 90, d= 181, e= 97 練習 15 設 f(x)=54x 3 99x +66x 0 = a(3x 1) 3 +b(3x 1) +c(3x 1)+d, (1) 試求數對 (a.,b,c,d)=? () 求 f(0.333) 的近似值到小數點後第三位 Ans:(1)a=, b= 5, c=6, d= 7;() 7.006 練習 16 將 f(x)=(x 3) 4 +5(x 3) 3 +6(x 3) +11(x 3)+13 展成 x 的多項式, 依降次排列為何? Ans:x 4 7x 3 +15x +x+0 [ 提示 : 可令 y=x 3 x=y+3, 原來的多項式可化為 f(y)=y 4 +5y 3 +6y +11y+13, 再利用綜合除法將 f(y) 化為 y+3 的多項式即為所求 ] 練習 17 8( 5+1 )3 16( 5+1 ) +( 5+1 )+15 的值可以化成 a+b 5(a,b 為整數 ) 試求 (a,b)=? Ans:(a,b)=(8,1) 插值法求多項式的值 (1) 拉格朗日 (Lagrange) 插值法某地區冬天的氣溫變化下表所示 : 時間 t( 時 ) 18 19 0 1 氣溫 y( C) 8 6 10 1 估計 t=19.5 時該地區的氣溫約多少 C? 7
氣溫的變化圖可以視為連續函數, 借用多項式函數 y=f(x) 來逼近, 先求出一個通過四點的 三次函數 f(x), 即 f(18)=8 f(19)=6 f(0)=10 f(1)=1 再用 f(19.5) 來估計氣溫 如何求 f(x) 呢? 介紹法國數學家拉格朗日 (Lagrange) 的方法 : 引入三次函數 P(x) Q(x) R(x) T(x) 滿足 x 18 19 0 1 P(x) 1 0 0 0 Q(x) 0 1 0 0 R(x) 0 0 1 0 T(x) 0 0 0 1 令 f(x)=8.p(x)+ 6.Q(x)+ 10.R(x)+ 1.T(x), 則 f(x) 滿足 f(18)=8 f(19)=6 f(0)=10 f(1)=1 如何找 P(x) Q(x) R(x) T(x) P(x)= (x 19)(x 0)(x 1) P(18)= (18 19)(18 0)(18 1) 1 = (18 19)(18 0)(18 1), 故 P(x)= (x 19)(x 0)(x 1) (18 19)(18 0)(18 1) 同理 Q(x)= (x 18)(x 0)(x 1) (19 18)(19 0)(19 1),R(x)= (x 18)(x 19)(x 1) (0 18)(0 19)(0 1), T(x)= (x 18)(x 19)(x 0) (1 18)(1 19)(1 1) 故 f(x)=8. (x 19)(x 0)(x 1) (18 19)(18 0)(18 1) + 6. (x 18)(x 0)(x 1) (19 18)(19 0)(19 1) +10. (x 18)(x 19)(x 1) (0 18)(0 19)(0 1) +1. (x 18)(x 19)(x 0) (1 18)(1 19)(1 1) 利用 Excel 來觀察插值多項式 : 上述的想法可以推廣到一般情形 8
拉格朗日 (Lagrange) 插值公式 (1) 圖形通過 (a 1,b 1 ) (a,b ) (a 3,b 3 ) 三點的二次插值多項式為 f(x)=b 1 (x a )(x a 3 ) (a 1 a )(a 1 a 3 ) + b (x a 3)(x a 1 ) (a a 3 )(a a 1 ) + b 3 (x a 1)(x a ) (a 3 a 1 )(a 3 a ) () 圖形通過 (a 1,b 1 ) (a,b ) (a 3,b 3 ) (a 4,b 4 ) 四點的三次插值多項式為 (x a )(x a 3 )(x a 4 ) f(x)=b 1 (a 1 a )(a 1 a 3 )(a 1 a 4 ) + b (x a 1 )(x a 3 )(x a 4 ) (a a 1 )(a a 3 )(a a 4 ) (x a 1 )(x a )(x a 4 ) + b 3 (a 3 a 1 )(a 3 a )(a 3 a 4 ) + b (x a 1 )(x a )(x a 3 ) 4 (a 4 a 1 )(a 4 a )(a 4 a 3 ) 上述的想法可以推廣到一般情形 :( 補充教材 ) [ 解法 ]: 給定兩兩不同的數 x 1,x,.,x n 及任意的 y 1,y,y 3,,y n n x x j 則多項式 f x ( yi ) 滿足條件 f(x k )=y k (k=1,,..,n) x x i 1 1 j n i j j i x x j y 根據前面的方法, 可以得知令多項式 f i (x)=y i. ( ) 會滿足 f i (x k )= i, k i 1 j n xi x j 0, k i n n x x j 因此 f(x)= f i ( x) = ( yi ) x x i 1 i 1 1 j n i j j i 還有其他方法可以找一個通過四點的 三次函數 f(x)? j i 例題 11 試求 : 圖形通過下列四點 A ( 1,1 ),B (,4 ),C ( 3,9 ),D ( 4, ) 的三次多項式函數 y=f (x) 分析 (i) 牛頓插值法 A,B,C 的橫坐標依次為 1,,3 將三次函數 f (x) 除以 ( x-1 ) ( x- ) ( x-3 ), 其 商 必為常數, 餘式 至多為二次式, 即 f (x)=a ( x-1 ) ( x- ) ( x-3 )+ ( px +qx+r ) 1 餘式 其次把 1 式中的 餘式, 繼續除以 ( x-1 ) ( x- ), 其商也是一個常數, 餘式至多是一次式, 即 f (x)=a ( x-1 ) ( x- ) ( x-3 )+b ( x-1 ) ( x- )+( mx+n ) 9
同理,( mx+n ) 除以 ( x-1 ), 商 為常數, 餘式 也是常數 將 mx+n=c ( x-1 )+d 代入 式得出 f (x)=a ( x-1 ) ( x- ) ( x-3 )+b ( x-1 ) ( x- )+c ( x-1 )+d 3 解反覆用 多項式的除法原理, 可設三次多項式函數 f (x) 為 f (x)=a ( x-1 ) ( x- ) ( x-3 )+b ( x-1 ) ( x- )+c ( x-1 )+d (A) 其中 a,b,c,d 是特定的常數 由 f (1)=1, 得 d=1 f ()=4, 得 c+d=4, 即 c=4-d=3 f (3)=9, 得 b+c+d=9, 即 b+6+1=9,b=1 f (4)=, 得 6a+6b+3c+d=, 即 6a+6+9+1=,a=1 將 d=1,c=3,b=1,a=1 代回 (A) 式得出 f (x)=( x-1 ) ( x- ) ( x-3 )+( x-1 ) ( x- )+3 ( x-1 )+1 (B) 故三次多項式 f (x) 滿足 f (1)=1,f ()=4,f (3)=9, 但 f (4)= 4 分析 (ii) 拉格朗日插值法拉格朗日將 g (x) 表成 4 個三次函數 P (x),q (x),s (x),t (x) 的線性組合 其中 P (x),q (x), S (x),t (x) 滿足 P (1)=1, 而 P ()=P (3)=P (4)=0 Q ()=1, 而 Q (1)=Q (3)=Q (4)=0 S (3)=1, 而 S (1)=S ()=S (4)=0 T (4)=1, 而 T (1)=T ()=T (3)=0 取 g (x)=1.p (x)+4.q (x)+9.s (x)+.t (x), 則 g (x) 就合乎所求 解先求找出 4 個三次函數 P (x),q (x),s (x),t (x), 在 x=1,,3,4, 其對應的函數值如下表 : 又 P (1)=1, 即 a ( 1- ) ( 1-3 ) ( 1-4 )=1, 故 a= 將 a 值代回 1 式得到 3 次多項式函數 P (x)= 同理, 很容易找出 3 次多項式函數 Q (x)= S (x)= ( x-1 ) ( x-3 ) ( x-4 ) ( -1 ) ( -3 ) ( -4 ), ( x-1 ) ( x- ) ( x-4 ) ( 3- ) ( 3- ) ( 3-4 ), 1 ( 1- ) ( 1-3 ) ( 1-4 ), ( x- ) ( x-3 ) ( x-4 ) ( 1- ) ( 1-3 ) ( 1-4 ), 10
( x-1 ) ( x- ) ( x-3 ) T (x)= ( 4-1 ) ( 4- ) ( 4-3 ), 其次取三次函數 g (x) 為 P (x),q (x),s (x),t (x) 之線性組合如下 : g (x)=1.p (x)+4.q (x)+9.s (x)+.t (x), 即 ( x- ) ( x-3 ) ( x-4 ) g (x)=1. ( 1- ) ( 1-3 ) ( 1-4 ) ( x-1 ) ( x-3 ) ( x-4 ) +4. ( -1 ) ( -3 ) ( -4 ) ( x-1 ) ( x- ) ( x-4 ) +9. ( 3- ) ( 3- ) ( 3-4 ) ( x-1 ) ( x- ) ( x-3 ) +. ( 4-1 ) ( 4- ) ( 4-3 ),(C) 則 g (x) 是三次函數且滿足 g (1)=1,g ()=4,g (3)=9,g (4)=, 故 g (x) 合乎所求 (b) 唯一性 : 求出一個通過四點的 三次函數 f(x), 滿足 f(18)=8 f(19)=6 f(0)=10 f(1)=1 這樣的三次函數唯一存在嗎? 不同的方法, 求出來的多項式函數會一樣嗎? 設三次多項式 g(x) 滿足 g(18)=8 g(19)=6 g(0)=10 g(1)=1 令 h(x)=f(x) g(x), 則 h(18)=h(19)=h(0)=h(1)=0, 根據因式定理 :h(x) 含有三次因式 (x 18)(x 19)(x 0) 故可令 h(x)=a(x 18)(x 19)(x 0), 又 h(1)=0 a=0 因此 f(x)=g(x) 一般情形 : 設多項式 f(x) 與 g(x) 的次數 n, 若有 (n+1) 個值 :x 1, x,, x n, x n+1, 滿足 f(x i )=g(x i ),i=1,,..,n+1, 則 f(x) 與 g(x) 就是同一個多項式, 即 f(x)=g(x) 練習 18 找三次多項式 f(x) 使得 f(1)=1,f()=3,f(3)=,f(4)=5 Ans: f(x)=1. (x )(x 3)(x 4) (1 )(1 3)(1 4) + 3.(x 1)(x 3)(x 4) ( 1)( 3)( 4) +. (x 1)(x )(x 4) (3 1)(3 )(3 4) +5.(x 1)(x )(x 3) (4 1)(4 )(4 3) 設 a,b,c 兩兩相異, 且 n 次多項式 f(x) (n 3) 除以 (x a)(x b)(x c) 的餘式 r(x) 為二次式 試說明 : 二次函數 y=r(x) 就是通過 y=f(x) 圖形上三點 A(a,f(a)) B(b,f(b)) C(c,f(c)) 的拋物線 11