Principle o Automatic Control System Representation 浙江大学控制科学与工程学系
状态空间模型 negative eedback A Bu A By y C Du y C Dy u r y rt () u () t y( t) yt () ( A, B, C, D ) y () t ( A, B, C, D ) u () t y CD( r y) CD( r( CDy)) C DC DDyDr ( I DD ) yc DC Dr Well-posed contion: I DD y ( I D D ) C ( I DD ) DC ( I DD ) Dr
状态空间模型 A Bu A By y C Du y C Dy u r y y ( I D D ) C ( I D D ) DC ( I D D ) Dr A Bu A Br B y A Br B ( C D y) ABD ( I DD ) C BD ( I DD ) DC BC BBD ( I DD ) D r A B y B ( I DD ) C ( A B ( I DD ) DC ) B ( I DD ) Dr 满足适定性条件下, 负反馈系统成立, 其状态空间表达式 A BD ( I DD ) C BD ( I DD ) DC BC BBD ( I DD ) D r B( I DD ) C A B( I DD ) DC B( I DD ) D y ( I DD ) C ( I DD ) DC ( I DD ) Du 3
状态空间模型 ABD ( I DD ) C BD ( I DD ) DC BC BBD ( I DD ) D r B( I DD ) C A B( I DD ) DC B( I DD ) D y ( I DD ) C ( I DD ) DC ( I DD ) Du I DD rt () u () t y( t) yt () ( A, B, C, D ) 若 ( A, B, C, D ) 或 ( A, B, C, D ) 严格因果, 则负反馈系统必成立 y () t ( A, B, C, D ) u () t 当 ( A, B, C, D ) 严格因果时, 负反馈系统的状态空间表达式 ABD C BC B r BC A y C 4
Outline Keyword: Linearization 5 5
Linearization, why? How to do it? All physical systems in nature are nonlinear, e.g. 4 3 98 ) Highly Nonlinear (Titration Curve) 滴定曲线 7 6 5 4 3..4.6.8...4.6.8. Ratio o Reagent to Inluent Flow ( 反应物 ) 6 ) c( t) r ( t) Q ( t) h( t) A nonlinear physical system is usually described by the general erential equation (, u) What i it is linear? Why is linear better? 6
Nonlinear System E.-: Pendulum The Pendulum s dynamics are given as u Input u ml u mgl sin( ) l output g g sin( ) u ( ) u l ml l ml mg?? 7 7
非线性方程的线性化 几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程 但在比较小的范围运动来说, 把这些关系看作是线性关系, 是不会产生很大误差的 方程式一经线性化, 就可以应用线性迭加原理 研究非线性系统在某一工作点 ( 平衡点 ) 附近的性能,( 如图所示,(i, ) 为平衡点, 受到扰动后,i (t) 偏离 i, 产生 (t), (t) 的变化过程, 表征系统在平衡点附近的性能 ) 非线性特性的线性化, 实质上就是以平衡点附近的切线代替平衡点附近的曲线 Δ Δ 8 8
设非线性函数 非线性方程的线性化方法 ( ) i 设在平衡点的邻域内, 对 i 的各阶导数 ( 直至 n+) 是存在的, 它可展成泰勒级数 : n d d d n ( ) i ( ) ( i) ( ) ( i) n n! n! 式中 O n+ 为余项, 和 i 为原平衡点, Δ d d ( ),( ), 为原平衡点处的一阶 二阶 导数. Δ =i - i 9 9
非线性方程的线性化方法 忽略泰勒级数右端第三项及其以后的各项 n d d d n ( ) i ( ) ( i) ( ) ( i) n n! n! Δ Δ d ( ) i 原平衡点是已知的, 故是可以从左图的曲线求得 d ( ) tan L '
非线性方程的线性化方法 d ( ) tan L ' Δ Δ 式中的 L 为常值, 在不同平衡点有不同的值 因此该式可写为 : 或 L i ' L i ' 在平衡点附近, 经过线性化处理 ( 忽略偏移量的高次项 ) 后, 原方程的偏移量间已经具有线性关系了 偏移愈小, 这个关系愈准确
Nonlinear System Eample: Pendulum l u Input u output Consider the pendulum s dynamics ml u mglsin( ) mg g g sin( ) u ( ) u l ml l ml Using linearization method around equilibrium point, pendulum s dynamics are d ( ) ( ) ( ) sin( ) cos() sin( ) d g u l ml
Nonlinear System Eample: Pendulum M gm g 9.8 m 5 L cm rad s 6 T M g L sin T T Mg L sin Mg Lcos T 5 T ( ) T ( ) 5 4 3 3 4 Students are encouraged to investigate linear approimation accuracy or erent values o 3 3
Summary How to build a linear erential equation to represent a nonlinear system?. Write the erential equation o the system with possible nonlinear unctions.. Determine the system s operation point or EP. 3. By using Taylor epansion, epand the nonlinear unctions around the operation point and drop the higher order terms. 4. Finally, the system can be represented by a linear erential equation in terms o the increment variables. 4 4
小结 不管是哪个环节的数学模型, 其建模的方法是大致相同的 有了控制系统中各个环节的数学模型, 就可以基于模型 ( 微分方程 方块图 状态方块图方程等 ) 进行系统的整体分析与控制系统的设计 5