方程式的公式解 ( 根式解 ) 高雄中學數學科蔡哲淵 根號的意義 定理 : 設 a 為一正數,n 為自然數, 則方程式 x n = a恰有一個正實根 此正實根稱為 a 之 正 n 次方根, 以符號 n a 表示之 特別地, 當 n = 時, 以 a 表示 a 之正 次 方根 方程式的根式解 方程式的解用係數的加 減 乘 除或開根號來表示, 稱為方程式的根式解 一次方程式 ax+ = 0, a 0 解為 x = a 二次方程式 ax x c + + = 0, a 0 遠在公元前 1700 年, 巴比倫時期的泥板就有類似二次方程式公式解的記載, 只是沒 有用現代的形式 希臘人重視幾何, 認為負數是 不真實 的, 即負數沒有幾何意義, 導致其解二次方程式時, 分 ax = x+ c ax x c ac + = (,, > 0) ax + c = x 三種情形來討論 這想法亦嚴重的影響希臘在代數學上的發展 印度人遠在西元 68 年就已認同負數的存在, 代數學在印度有系統的發展起來, 後 經阿拉伯人的整理與潤飾, 傳到西方世界 代數學 的英文 algera 便是來自 1
阿拉伯文的 al-jar (al 為冠詞,jar 為恢復 還原的意思 ) 現在書中所看到的 二次方程式公式解的形式, 就是在回教帝國時代首度出現的 解二次方程式 ax x c + + = 0, a 0 ax x c x + + = 0 + x+ ( ) = c + ( ) a a a a ac ( x + ) = a a ac x + =± a a ± ac x =. a 其中 D = ac 稱為二次方程式的判別式 當 D > 0 時, 方程式有相異二實根 ; D = 0 時, 方程式有相同二實根 ; D < 0時, 方程式無實根 ( 有共軛虛根 ) 練習 : (1) x 5x = 0 () x x = 0 () x x+ 5= 0 () 6x 1x+ 6 = 0
三次方程式 四次方程式 ax x cx d + + + = 0, a 0 ax x cx dx e + + + + = 0, a 0 義大利人帕西歐里 (Pacioli,15 1509) 於 19 年出版 算數摘要 一書, 特別強調解一次及二次方程式 但其對三次方程式無法可解, 並相信不可能去解 尋求三次方程式之解的故事便開始展開 這問題的突破由波隆那大學的德費洛 (del Ferro,165 156) 開始, 德費洛解了所謂 不完全的三次方程式, 也就是 ax cx d + + = 0 的形式, 並把解法當成秘密, 於臨終前傳給他的學生費歐爾 (Fior, 1506?) 費歐爾以這解法當武器, 向當時著名學者方特那 (Fontana,199 1557, 綽號大舌頭 ) 挑戰, 提出了 0 個 不完全的三次方程式 的問題 結果費歐爾挑戰失敗, 方特那成功地解出了 不完全的三次方程式 接著故事主角卡當 (Cardano, 1501 1576) 力促方特那透露他的方法, 並答應守密 ( 西元 159) 西元 15 年, 卡當與其學生費拉利 (Ferrari,15 1565) 察看了德費洛的論文, 發現德費洛早已解出了 不完全的三次方程式, 所以在 155 年, 不顧當初的誓言, 在他的數學大作 大法 (Ars Magna, 原文意為 偉大的技藝 ) 中, 將 不完全的三次方程式 的解法整理發表 這便是一般所稱的 卡當公式 在此同時, 費拉利成功發現了求解四次方程式的技巧, 但它視能否將四次簡化至相關的三次方程式而定 解 不完全的三次方程式 x + px+ q = 0 令 x = u+ v x = u + v + uv( u+ v) x = u + v + uv( x) x uvx u + v = ( ) 0 比較原方程式, 可得 uv = p ( u + v ) = q p uv = 7 + = u v q
u, u v v 是二次方程式 t p + qt = 0 的二根 7 p q+ q + 7 q q p = = + +, 7 p q q + 7 q q p = = + 7 u q q p 7 = + + 或 q q p + + ω 或 7 q q p + + 7 ω v q q p 7 = + 或 q q p + ω 或 7 q q p + 7 ω 又因為 uv = p, 所以方程式 x + px+ q = 0 的根 x = u+ v為 q q p q q p + + + + 或 7 7 q q p q q p 7 7 + + ω + + ω 或 1 ω + = 是 x + x+ 1= 0的 根 q q p q q p + + ω + + ω 7 7 解三次方程式 ax x cx d + + + = 0, a 0 令 x = a a + + c + d = a a a ( ) ( ) ( ) 0 c a c d + ( ) ( ) 0 a + + 7a a = 為一 不完全的三次方程式, 利用上面的方法, 可解得三根 1,, 所以, 三次方程式 + + + = 0 的三根為 1,, a a a ax x cx d
解 不完全的四次方程式 x + px + qx+ r = 0 x px qx r + + + = 0 x = px qx r 兩邊同加 x + x + x + = px qx r + x + ( x + ) = ( px ) qx+ r 為一完全平方式 判別式 D = 0, 即 ( q) ( p)( r) = 0, 整理得 p r+ ( pr q ) = 0 為一三次方程式, 利用上面方法可解得三根 1,, 因此 ( x + ) = ( px ) qx+ r q ( x + ) = ( p)( x ) ( p) q ( x + ) =± ( p) x ( p) 分別將 1,, = 代入, 可得 x 的二次方程式, 利用二次方程式之公式解, 解得之 x, 即為 x + px + qx+ r = 0 的解 解四次方程式 ax x cx dx e + + + + = 0, a 0 令 x = a a + + c + d + e = a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 c d c a + ( c ) ( d ) ( e ) 0 8a + a + 8a + a + 16a 56a = 為一 不完全的四次方程式, 利用上面的方法, 可解得三根 1,,, 所以, 四次方程式 ax x cx dx e + + + + = 0的四根為 1,,, a a a a 5
練習 : (1) x 9x 8= 0 () x + 6x 0 = 0 () x 0x + 16x 50 = 0 11 () x 6x + 15x = 0 五次或五次以上的方程式 三次及四次方程式問題解決後, 大家注意的焦點自然便落在五次方程式了 但兩個世紀過去了, 問題還是未解決, 人們不禁懷疑 : 五次方程式的根式解根本就不存在 這懷疑直到 186 年, 才由挪威數學家阿貝爾 (Ael,180 189) 完全地證明出來 但並不是所有的五次或五次以上方程式均無根式解, 因此問題又轉移到了怎樣的方程式才有根式解 這問題沒有困擾人們多久 在 181 年, 法國數學家伽羅瓦 (Galois,1811 18) 就提出了方程式有根式解的充分必要條件 (*) 至此, 方程式的根式解問題也就此劃下句點了! 註 : 定理 : 令方程式 f( x ) = 0的係數都在體 K 之內,G 是方程式 f( x ) = 0的 Galois 群 則 f( x ) = 0有根式解的充分必要條件是, 可以找到置換群 G = G0, G1, G, L, Gn, 其中 G i 是 Gi 1 的正則子群,[ Gi 1 : Gi] 是質數, 且 G n 只含有一個排列 6