014 年北京四中初二上期中数学试卷 一 选择题 ( 本题共 30 分, 每小题 3 分 ) 1 剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产, 在民间广泛流传, 下面四幅剪纸作品中, 属于轴对称图形的是 ( ) A B C D 下列各式不能分解因式的是 ( ) 1 A x 4x B x x C x 9y D 1 m 4 3 点 P( 3, 5) 关于 y 轴的对称点的坐标是 ( ) A (3, 5) B (3, 5) C (5, 3) D ( 3, 5) 4 如图, Rt ABC 中, C 90, ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D, 若 CD 3cm, 则点 D 到 AB 的距离是 ( ) A 5cm B 4cm C 3cm D cm 5 下列各式中, 正确的是 ( ) A 3 x 3 x B a b a b 5y 5y c c C a b a b D a a c c b a a b 6 下列命题是真命题的是 ( ) A 等底等高的两个三角形全等 B 周长相等的直角三角形都全等 C 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D 有一边对应相等的两个等边三角形全等 7 如图,D 是等腰 Rt ABC 内一点,BC 是斜边, 如果将 ABD 绕点 A 逆时针方向旋转到 ACD 的位置, 则 ADD 的度数 ( ) A 5 B 30 C 35 D 45 1 / 13
8 在等腰 ABC 中, 已知 AB BC, AB 0, 则 ABC 的周长为 ( ) A 40 B 50 C 40 或 50 D 无法确定 9 已知三角形的两边长分别为 5 和 7, 则第三边的中线长 x 的范围是 ( ) A x 1 B 5 x 7 C1 x 6 D 无法确定 10 如图, 在 Rt ABC 中, AC BC, ACB 90, AD 平分 BAC,BE AD 为垂足, 则结论 : 交 AC 的延长线于 F, E (1) AD BF ;( ) CF CD ;( 3 ) AC CD AB ;( 4 ) BE CF ;( 5 ) BF BE, 其中正确的结论个数是 ( ) A1 B C 3 D 4 二 填空题 ( 本题共 0 分, 每小题 分 ) x 11 若式子有意义, 则 x 的取值范围是 x 4 1 计算 1 m 9 3 m 13 如图, 在 ABC 中, AB AC, A 0, 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D, 交 AC 于 E, 连接 BE, 则 CBE 为 度 14 若关于 x 的二次三项式 x kx b 的因式分解为 ( x 1)( x 3), 则 k b 的值为 15 若 a b 7, ab 5, 则 a ab b 16 当 x 取 值时, x 6x 10 有最小值, 最小值是 17 某农场挖一条 480 米的渠道, 开工后, 每天比原计划多挖 0 米, 结果提前 4 天完成任务, 若设原计划 每天挖 x 米, 则列出的方程是 18 如图, ABC 中, 在 BC 上截取 BD BA, 作 ABC 的平分线与 AD 相 交于点 P, 连结 PC, 若 BD CD, ABC 的面积为 cm, 则 DPC 的面积为 19 如图, 把 ABC 沿 EF 对折, 叠合后的图形如图所示 若 A 60, 1 95, 则 的度数为 0 如果满足条件 ABC 30, AC 1, BC k( k 0) 的 ABC 的, 那么 k 的取值范围是 是唯一 / 13
三 解答题 1 把多项式分解因式 ( 每题 4 分, 共 8 分 ) (1) 3a 3 b 1ab 3 ; ( ) ( x x) 4( x x) 4 ( 每题 4 分, 共 8 分 ) 1 a a (1) 计算 : a 1 a 1 a 1 ( ) x 5 解方程 : 4 x 3 3 x 3( 本题 5 分 ) 已知 : 如图, A B C D 四点在同一直线上, AB CD, AE BF 且 AE BF 求证 : EC FD 4( 每题 4 分, 共 8 分 ) 1 1 m (1) 先化简, 再求值 : m 3 m 3 m 6m 9, 其中 m 9 1 1 x 14xy y ( ) 已知 3, 求代数式的值 x y x xy y 3 / 13
5 列分式方程解应用题 :( 本题 5 分 )( 温馨提示 : 你可借助图示 表格等形式 挖掘 等量关系 ) 赵老师为了响应市政府 绿色出行 的号召, 上下班由自驾车方式改为骑自行车方式 已知赵老师家距学校 0 千米, 上下班高峰时段, 自驾车的速度是自行车速度的 倍, 骑自行车所用时间比自驾车所用时 5 间多小时 求自驾车和自行车的速度 9 四 解答题 6( 本题 4 分 ) 某地区要在区域 S 内 ( 即 COD 内部 ) 建一个超市 M, 如图所示, 按照要求, 超市 M 到 两个新建的居民小区 A,B 的距离相等, 到两条公路 OC,OD 的距离也相等 这个超市应该建在何处? ( 要求 : 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹 ) 7( 本题 5 分 ) 阅读下列材料 : 如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 ACB BAD 105, ABC ADC 45 求证 : CD AB 小刚是这样思考的 : 由已知可得, DCA 60, DAC 75, CAB 30, ACB DAC 180, 由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形 即过点 A 作 AE 在 ADC 与 CEA 中, D E DAC ECA 75 AC CA ADC CEA, 得 CD AE AB AB 交 BC 的延长线于点 E, 则 AB AE, E D 请你参考小刚同学思考问题的方法, 解决下面问题 : 如图, 在四边形 ABCD 中, 若 ACB CAD 180, B D, 请问 : CD 与 AB 是否相等? 若相等, 请你给出证明 : 若不相等, 请说明理由 4 / 13
8( 本题 7 分 ) 在等边 ABC 中,D 为射线 BC 上一点,CE 是 ACB 外角的平分线, ADE 60,EF BC 于 F (1) 如图 1, 若点 D 在线段 BC 上 求证 :1 AD DE ; BC DC CF ; ( ) 如图, 若点 D 在线段 BC 的延长线上,(1) 中的两个结论是否仍然成立? 请说明理由 5 / 13
附加题 ( 满分 0 分 ): 6 1( 本题 4 分 ) 已知 a 3a 1 0, 求 a 10a ( 本题 4 分 ) 如图, ABC BCD DAB 45, BD, 则四边形 ABCD 的面积为 3( 本题 6 分 ) 已知 m n, n m, m n 3 3, 求 m mn n 的值 4( 本题 6 分 ) 已知 : ABC 中, ABC ACB, ABC 的平分线 BD 与 ACB 的平分线 CD 相交于点 D, 且 CD AB, 求证 : A 60 6 / 13
014 年北京四中初二上期中数学试卷答案 一 选择题 ( 本题共 30 分, 每小题 3 分 ) 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C D D D B C D 二 填空题 ( 本题共 0 分, 每小题 分 ) 题号 11 1 13 14 15 答案 x 4 m 3 60 1 34 题号 16 17 18 19 0 答案 3,1 480 480 4 x x 0 1 cm 3 5 k 或 0 k 1 三 解答题 1(1) 解 : 3a 3 b 1ab 3 3 ab( a 4 b ) 3 ab( a b)( a b) ( ) 解 : ( x x) 4( x x) 4 ( x x ) ( x ) ( x 1) 1 ( a 1)( a 1) a (1) 解 : 原式 a 1 a a 1 a 1 a a a 1 a 1 a a( a 1) a( a 1) 1 a( a 1) ( ) 解 : 去分母得, x 5 4(x 3), 整理得, 7x 7, 解得, x 1 经检验, x 1为原方程的解 证明 : AE BF, A FBD AB CD, AB BC CD BC, 即 AC BD 在 AEC 和 BFD 中, AE BF A FBD, AC BD AEC BFD ( SAS ) EC FD 7 / 13
m 3 m 3 ( m 3) 4(1) 解 : 原式 ( m 3)( m 3) m m 3 m 3 ( m 3) ( m 3)( m 3) m m ( m 3) ( m 3)( m 3) m m 3 m 3 m 9, 9 3 1 原式 9 3 ( ) 解 : 1 1 3, x y x y 3xy, x 14xy y 6xy 14xy 4 x xy y 3xy xy 5 解 : 设自行车的速度为 x 千米 / 小时, 则自驾车的速度为 x 千米 / 小时 0 0 5 依题意得 : x x 9, 解得 x 18 经检验, x 18 是原方程的解, 且符合实际意义 x 36 答 : 自行车的速度为 18 千米 / 小时, 则自驾车的速度为 36 千米 / 小时 6 解 : 如图所示, 点 M 即为所求 7 解 : CD 与 AB 相等, 证明如下 : 作 AE AB 交 BC 延长线于点 E, B E B D, D E ACB CAD 180, ACB ECA 180, DAC ECA 在 DAC 和 ECA 中, 8 / 13
D E DAC ECA, AC CA DAC ECA ( AAS ), CD CD AE, AB 8(1) 证明 :1 过点 D 作 DG AC 交 AB 于点 G ABC 是等边三角形, AB AC, B ACB 60, BDG ACB 60, BGD 60, BDG 是等边三角形, BG AG BD, DC CE 是 ACB 外角的平分线, DCE 10 AGD ADE 60, ADB EDC 10 ADB DAG, EDC DAG, AGD DCE AD DE AGD DCE, GD BD CE, CE, BC BD DC DC CF ( )1 成立 ; 不成立, 此时 BC CF CD 过 D 作 DG AC 交 BA 延长线于 G 同 (1) 可证明 AGD DCE, AD BD DE, GD CE CE, 在 CEF 中, ECF 60, CFE 90, CE CF BC BD CD CF CD 附加题 ( 满分 0 分 ): 1 答案 1309 解析 a 3a 1 0, a 3a 1, a 4 (3a 1) 9a 6a 1 33a 10, a (33a 10) 1089a 660a 100 397a 1189, 8 a 8 6 a a a a 10 397 1189 10 1309(3 1) 10 1309 a 3a 1 3a 1 9 / 13
答案 解析 延长 AD 交 BC 于点 H ABC BCD DAB 45, AHB 90, AHB 与 CHD 均为等腰直角三角形 设 CH m, BH n, 则 AH n, DH m 在 Rt BHD 中, BH HD BD, m n 4, 1 1 则 S ABCD = S ABH S CDH m n 四边形 故答案为 3 解 : m n, n m, m n n m, ( m n)( m n) n m, m n, m n 1 3 3 m mn n m m mn n n mn m mn mn n ( m n) 4 证明 : 过点 A 作 AE BC 交 BD 延长线于 E, 连接 CE 设 AC BE 相交于点 O, 则 1 ACB, 3 ABC ACB, 3 ACB, OB OC, 1, OA OE 又 AOB EOC, AOB EOC BAC CED, 5 4 3, AB CE CD CD AB, CE, CED CDE 3 6, 又 DCE 5 7, 6 7, CED CDE DCE 60, BAC CED 60 10 / 13
014 年北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析 一 选择题 ( 本题共 30 分, 每小题 3 分 ) 1 答案 D 解析 观察可知, D 中的图形为轴对称图形 故选 D 答案 C 解析 x 4x x( x ) ; 1 ( 1 ) x x x ; 1 m (1 m)(1 m) 故选 C 4 3 答案 A 解析 点 P( 3, 5) 关于 y 轴的对称点的坐标是 (3, 5) 故选 A 4 答案 C 解析 由角平分线性质定理可知, 点 D 到 AB 的距离是等于 CD 3cm 故选 C 5 答案 D 解析 3 x 3 x ; a b a b ; a b a b 故选 D 5y 5y c c c c 6 答案 D 解析 有一边对应相等的两个等边三角形全等为真命题 故选 D 7 答案 D 解析 由题意知, ABD ACD, AD AD, D AC DAB, D AD D AC CAD DAB CAD 90, ADD 45 故选 D 8 答案 B 解析 若 AB 为底边, 则 BC CA 10, 不能构成三角形, AB 为腰, AC 0, BC 10, 故 ABC 的周长为 50 故选 B 9 答案 C 解析 倍长中线, 得到一个边长分别为 5, 7, x 的三角形, 则 7 5 x 7 5, 即 1 x 6 故答案为 C 10 答案 D 解析 易证 ACD BCF, 则 AD BF, CF CD AD 平分 BAC, AD BF, AB AF, BE EF, AC CD AC CF AF AB, BF BE BE EF CD CF, 即 BE CF 故 (1)( )( 3 )( 5 ) 正确, 即正确的结论个数为 4 故选 D 11 / 13
二 填空题 ( 本题共 0 分, 每小题 分 ) 11 答案 x 4 解析 由题意, 得 x 4 0, x 4 故答案为 x 4 1 答案 m 3 1 1 ( m 3) 1 m 6 解析 m 9 3 m ( m 3)( m 3) ( m 3)( m 3) ( m 3)( m 3) m 3 故答案为 m 3 13 答案 60 解析 AB AC, A 0, ABC C 80 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D, AE BE, ABE A 0, CBE ABC ABE 80 0 60 故答案为 60 14 答案 1 解析 x kx b ( x 1)( x 3) x 4x 3, k 4, b 3, k b 1 故答案为 1 15 答案 34 解析 a b 7, ab 5, a b ( a b) ab 39, a ab b 34 故答案为 34 16 答案 3,1 解析 x 6x 10 ( x 3) 1, 当 x 3时, 有最小值 1 故答案为 3,1 17 答案 480 480 4 x x 0 480 480 480 480 解析 由题意可知, 所列方程为 4 故答案为 4 x x 0 x x 0 1 18 答案 cm 3 解析 BD CD, S S BD ABD ACD, BA, BP 平分 ABD, AP PD, 1 1 1 S PDC S ABC 故答案为 cm 6 3 3 S 1 S 3 ACD ABC 1 S S S PDC APC ADC, 19 答案 5 解析 由折叠性质, 易得 1 A, 5 故答案为 5 0 答案 k 或 0 k 1 解析 作 MBN 30, 在射线 BN 上任取一点 C, 使 BC k 1 如图 1, 当 0 k 1 时, 以 C 为圆心,1 为半径画圆, C 与射线 BM 的交点为 A, 此时只与圆有唯一 的交点, ABC 是唯一的 1 / 13
如图, 当 k 1时, 以 C 为圆心,1 为半径画圆, C 与射线 BM 的交点为 A, B, ABC 是唯一的 3 如图 3, 当 k 时, 以 C 为圆心,1 为半径画圆, C 与射线 BM 的交点为 A, 是唯一的, ABC 是唯一的 故当 k 或 0 k 1时, ABC 是唯一的 故答案为 k 或 0 k 1 13 / 13