绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半 ; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一. 选择题 ()D ()D (3)C (4)B (5)B (6)C (7)A (8)B (9)A ()D ()B ()A 二. 填空题 (3) (4) 6,5 (5) 5 三. 解答题 (7) 解 :(Ⅰ) 设数列 的公比为 q, 因为 4, 所以 3 4q, 4 4 q 文科数学试题答案第 页 ( 共 5 页 ) (6)5. 分 因为 3 是 和 4 的等差中项, 所以. 分 即 4q 4 4q, 化简得 q q. 3 4 因为公比 q, 所以 q. 4 分 * 所以 q 4 ( N ). 5 分 (Ⅱ) 因为 http://www.gugztr.edu.c/, 所以 所以 b b log.. 7 分 3 则 T 35 3, T 3 5 3 3 4. 9 分
- 得, 3 T 分 4 6 3 所以 T 6 3. 分, (8) 解 :(Ⅰ) 设区间 75,85 内的频率为, 则区间 55,65, 65,75 内的频率分别为 4 和. 分 依题意得.4..9.3 4, 3 分 解得.5. 所以区间 75,85 内的频率为.5. 4 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得, 区间 45,55,55,65, 文科数学试题答案第 页 ( 共 5 页 ) 65,75 内的频率依次为.3,.,.. 用分层抽样的方法在区间 45,75 内抽取一个容量为 6 的样本,.3 则在区间 45,55 内应抽取 6 3件, 记为 A, A, A 3..3... 在区间 55,65 内应抽取 6 件, 记为 B, B..3... 在区间 65,75 内应抽取 6 件, 记为 C. 6 分.3.. 设 从样本中任意抽取 件产品, 这 件产品都在区间 45,65 内 为事件 M, 则所有的基本事件有 : A, A,, A, B, A, B,,, A A, A, B, 3 A C, A, B, 3 A, B, A, B, 3 A C, 3, AC, A, A,, 3 B, B, B C, http://www.gugztr.edu.c/ B C, 共 5 种. 8 分 事件 M 包含的基本事件有 : A, B,A, B,, 3 A, A,, A B, A A,A, B, 3 A, B,B, B 3, A, B,, A A, 3, 共 种. 分 所以这 件产品都在区间 45,65 内的概率为. 分 5 3
(9)(Ⅰ) 证明 : 因为 AO 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, 所以 AO BD. 分 因为 ABCD 是菱形, 所以 CO BD. 分 因为 AO CO O, AO, CO 平面 A CO, 所以 BD 平面 A CO. 3 分 (Ⅱ) 解法一 : 因为底面 ABCD 是菱形,AC BD O, AB AA, BAD 6, 所以 OB OD, OA OC 3. 4 分 3 所以 OBC 的面积为 S OB OC 3. 5 分 OBC 因为 AO 平面 ABCD, AO 平面 ABCD, 所以 AO AO, AO AA OA. 6 分 AB 因为 平面 ABCD, 所以点 B 到平面 ABCD 的距离等于点 A 到平面 ABCD 的距离 AO. 7 分 由 (Ⅰ) 得, BD 平面 A AC. 因为 AA 平面 A AC, 所以 BD AA. A A B B, 所以 BD BB. 8 分 因为 所以 OBB 的面积为 S OB BB OBB. 9 分 设点 C 到平面 OBB 的距离为 d, 因为 V http://www.gugztr.edu.c/ V, C OBB BOBC 所以 S OBB d S OBC AO. 分 3 3 S AO 所以 3 3 OBC d. S OBB 文科数学试题答案第 3 页 ( 共 5 页 )
所以点 C 到平面 OBB 的距离为 3. 分 解法二 : 由 (Ⅰ) 知 BD 平面 A CO, 因为 BD 平面 BBD D, 所以平面 A CO 平面 BBD D. 4 分 A D H O B C 连接 AC 与 BD 交于点 O, 连接 CO, OO, AA 因为 CC, AA // CC, 所以 CAAC 为平行四边形. 又 O, O 分别是 AC, AC 的中点, 所以 OA O C 为平行四边形. 所以 O C OA. 6 分 因为平面 OA O C 与平面 BBD D 交线为 OO, 过点 C 作 CH OO 于 H, 则 CH 平面 BB DD. 8 分 O C AO, AO 平面 ABCD, 所以 OC 平面 ABCD. 因为 因为 OC 平面 ABCD, 所以 OC OC, 即 OCO 为直角三角形. 分 O C OC 3 3 所以 CH. OO 所以点 C 到平面 OBB 的距离为 3. 分 y ()(Ⅰ) 解法一 : 设椭圆 C 的方程为 ( b ), b 因为椭圆的左焦点为 F,, 所以 b 4. 分设椭圆的右焦点为 F,, 已知点 B, 在椭圆 C 上, 由椭圆的定义知 BF BF, A 所以 3 4. 分 所以, 从而 b. 3 分 文科数学试题答案第 4 页 ( 共 5 页 ) D O B http://www.gugztr.edu.c/ C
y 所以椭圆 C 的方程为 8 4. 4 分 y 解法二 : 设椭圆 C 的方程为 ( b ), b 因为椭圆的左焦点为 F 因为点,, 所以 b 4. 分 4 B, 在椭圆 C 上, 所以. 分 b 由 解得,, b. 3 分 y 所以椭圆 C 的方程为. 4 分 8 4 (Ⅱ) 解法一 : 因为椭圆 C 的左顶点为 A, 则点 A 的坐标为,. 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆 交于两点 E, F, 8 4 E, y ( 不妨设 ), 则点 F, y. 设点 y k, 联立方程组 y 消去 y 得 8 4 所以 k k, y k 8 k. k 所以直线 AE 的方程为 y k 因为直线 AE 与 y 轴交于点 M, k k 令 得 y, 即点 M, k k k 同理可得点 N, k. 6 分. 7 分. 8 分. 9 分 假设在 轴上存在点 Pt (, ), 使得 MPN 为直角, 则 MP NP. 分 即 t http://www.gugztr.edu.c/ k k, 即 t 4. 分 k k 文科数学试题答案第 5 页 ( 共 5 页 )
解得 t 或 t. 故存在点 P, 或, P, 无论非零实数 k 怎样变化, 总有 MPN 为直角. 分解法二 : 因为椭圆 C 的左端点为 A, 则点 A 的坐标为,. 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆 交于两点 E, F, 8 4 设点 E(, y ), 则点 F(, y). y 所以直线 AE 的方程为 y 因为直线 AE 与 y 轴交于点 M,. 6 分 y y 令 得 y, 即点 M,. 7 分 y 同理可得点 N,. 8 分 假设在 轴上存在点, 即 t Pt, 使得 MPN 为直角, 则 MP NP. y y, 即 t 因为点 E(, y ) 在椭圆 C 上, y 所以, 即 y 8 4 将 y 8 解得 t 或 t. 8 8y. ( ) 9 分 8. 分 代入 ( ) 得 t 4. 分 http://www.gugztr.edu.c/ 故存在点 P, 或, P, 无论非零实数 k 怎样变化, 总有 MPN 为直角. 分解法三 : 因为椭圆 C 的左顶点为 A, 则点 A 的坐标为,. 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆 交于两点 E, F, 8 4 设点 E cos,si( ), 则点 F cos, si. 6 分 文科数学试题答案第 6 页 ( 共 5 页 )
si 所以直线 AE 的方程为 y 因为直线 AE 与 y 轴交于点 M, 令 得 cos. 7 分 si y cos, si 即点 M, cos. 8 分 si 同理可得点 N, cos. 9 分 假设在 轴上存在点 Pt (, ), 使得 MPN 为直角, 则 MP NP. 分 si si 即 t, 即 t 4. 分 cos cos 解得 t 或 t. 故存在点 P, 或, P, 无论非零实数 k 怎样变化, 总有 MPN 为直角. ()(Ⅰ) 解 : 当 m 时, f ( ) e l, 分 所以 f( ) e. 分 所以 f () e, f () e. 分 所以曲线 y f ( ) 即 y e 在点 f, 处的切线方程为 y(e ) (e )( ).. 3 分 (Ⅱ) 证法一 : 当 m 时, ( ) e f m l e l. 要证明 f( ), 只需证明 e l. 4 分 http://www.gugztr.edu.c/ 以下给出三种思路证明 e l. 思路 : 设 g( ) e l, 则 g( ) e. 设 h ( ) e, 则 h( ) e, 所以函数 h ( ) g( ) e 在 ( +, ) 上单调递增. 6 分 文科数学试题答案第 7 页 ( 共 5 页 )
因为 g e, g() e, 所以函数 g ( ) e 在 ( +, ) 上有唯一零点, 且,. 8 分 因为 g( ) 时, 所以 e, 即 l. 9 分 当, 时, g ( ) 所以当 时, ( ) 故 ; 当, g 取得最小值 g 时, g( ). g( ) g = e l. 综上可知, 当 m 时,. 分 f. 分 思路 : 先证明 e R. 5 分. 设 h e, 则 h e 因为当 所以当 时, h 时, 函数 所以 h h., 当, 时, h h 单调递减, 当 时, 函数 h 单调递增. 所以 e ( 当且仅当 时取等号 ). 7 分 所以要证明 e l, 只需证明 l. 8 分 http://www.gugztr.edu.c/ 下面证明 l. 设 p l, 则 p 时, p 当 所以当 所以 p p, 当 时, 函数.., 时, p p 单调递减, 当 时, 函数 p 单调递增. 所以 l ( 当且仅当 时取等号 ). 分文科数学试题答案第 8 页 ( 共 5 页 )
由于取等号的条件不同, 所以 e l. 综上可知, 当 m 时, f. 分 ( 若考生先放缩 l, 或 e l 同时放缩, 请参考此思路给分!) 思路 3: 先证明 e l. 因为曲线 y e 与曲线 y l 的图像关于直线 y 对称, 设直线 t t 与曲线 y e, y l 分别交于点 A,B, 点 A,B 到直线 y 的距离分别为 d, d, 则 AB d d. t e t t l t 其中 d, d t.. 设 ht e t t t t, 则 h t e 因为. t t, 所以 h t e 所以 ht 在 t e t 所以 d., 上单调递增, 则 ht h 设 g tt l t t, 则 g t 因为当 t 所以当 t 所以 g t g 时, g t ; 当 时, l. t l t 所以 d. 所以 AB d d. t. t t, t 时, g t g t t t 单调递减 ; 当. g t t t 单调递增. t 时, l http://www.gugztr.edu.c/ 综上可知, 当 m 时, f. 分 文科数学试题答案第 9 页 ( 共 5 页 )
证法二 : 因为 f ( ) me l, f, 只需证明 me l. 4 分 要证明 以下给出两种思路证明 me l. 思路 : 设 g( ) me l, 则 g( ) me. 设 h( ) me, 则 h( ) me. 所以函数 h g me 在 +, 上单调递增. 6 分 m m 因为 g me m me m 所以函数 g ( ) me 因为 在 + g, 所以 me, g 文科数学试题答案第 页 ( 共 5 页 ) me,, 上有唯一零点, 且, m. 8 分, 即 l l m. 9 分 当, 时, g ; 当, 时, g 所以当 时, g 取得最小值 g 故. g g me l l m. 综上可知, 当 m 时,. 分 f. 分 思路 : 先证明 e ( R ), 且 l ( ). 5 分 设 F( ) e, 则 F( ) e. http://www.gugztr.edu.c/ 因为当 时, F( ) ; 当 时, F( ), 所以 F ( ) 在 (,) 上单调递减, 在 (, ) 上单调递增. 所以当 时, F ( ) 取得最小值 F(). 所以 F( ) F(), 即 e ( 当且仅当 时取等号 ). 7 分 由 e ( R ), 得 e ( 当且仅当 时取等号 ). 8 分
所以 l ( ) ( 当且仅当 时取等号 ). 9 分 再证明 me l. 因为, m, 且 e 与 l 不同时取等号, 所以 m m e l m. 综上可知, 当 m 时, f. 分 ()(Ⅰ) 证明 : 因为 AD 是 O 的切线, 所以 DAC B ( 弦切角定理 ). 分 因为 DE CA, 所以 DAC EDA. 分 所以 EDA B. 因为 AED DEB ( 公共角 ), 所以 AED DEB. 3 分 DE AE 所以. BE DE 即 DE AE BE. 4 分 (Ⅱ) 解 : 因为 EF 是 O 的切线, EAB 是 O 的割线, 所以 EF EA EB ( 切割线定理 ). 5 分 因为 EF 4, EA, 所以 EB 8, AB EB EA 6. 7 分 http://www.gugztr.edu.c/ 由 (Ⅰ) 知 DE 因为 DE AE BE, 所以 DE 4. 8 分 CA, 所以 BAC BED. 9 分 BA AC 所以. BE ED BAED 64 所以 AC 3. 分 BE 8 E A F D C.O B 文科数学试题答案第 页 ( 共 5 页 )
(3)(Ⅰ) 解 : 由 si,,, 可得 si. 分 因为 y, si y, 分 所以曲线 C 的普通方程为 y y ( 或 文科数学试题答案第 页 ( 共 5 页 ) y ). 4 分 3t 3, (Ⅱ) 解法一 : 因为直线的参数方程为 ( t 为参数,t R ), y 3t 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y 3 5. 5 分 因为曲线 C : y 是以 G, 设点, 为圆心, 为半径的圆, D y, 且点 D 到直线 l : y 3 5的距离最短, 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l : y 3 5平行. 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 y, 因为 3 3 解得 或. 所以点 D 的坐标为 3, 或 由于点 D 到直线 y 3 5的距离最短, 所以点 D 的坐标为 y, 即 3. 7 分 3 3,. 9 分 3 3,. 分 http://www.gugztr.edu.c/ 3t 3, 解法二 : 因为直线 l 的参数方程为 ( t 为参数,t R ), y 3t 消去 t 得直线 l 的普通方程为 3 y 5. 5 分 因为曲线 C y 是以 G, 为圆心, 为半径的圆,, 因为点 D 在曲线 C 上, 所以可设点 D cos, si. 7 分
所以点 D 到直线 l 的距离为 d 3 cossi 4 因为, si 3. 8 分, 所以当 时, d mi. 9 分 6 3 3 此时 D,, 所以点 D 3 3 的坐标为,. 分 (4)(Ⅰ) 解 : 当 时, f 等价于. 分 当 时, 不等式化为, 无解 ; 当 时, 不等式化为, 解得 ; 4 3 当 时, 不等式化为, 解得. 3 分 综上所述, 不等式 f (Ⅱ) 因为不等式 f 的解集为, 4. 4 分 b 的解集为空集, 所以 b f m 以下给出两种思路求 f 的最大值. 思路 : 因为 f 当 时, f 当.. 5 分, 时, f http://www.gugztr.edu.c/. 当 时, f m. 所以 f. 7 分 文科数学试题答案第 3 页 ( 共 5 页 )
思路 : 因为 f, 当且仅当 时取等号. m 所以 f. 7 分 因为对任意,, 不等式 f 所以 b m 以下给出三种思路求 思路 : 令 b 的解集为空集,. 8 分 g 的最大值. g, 所以 g. 当且仅当, 即 时等号成立. 所以 g m. 所以 b 的取值范围为 +,. 分 g, 思路 : 令 因为, 所以可设 cos, 则 g cos si si, 4 http://www.gugztr.edu.c/ 当且仅当 时等号成立. 4 所以 b 的取值范围为 +,. 分 g, 思路 3: 令 因为, 设 y, 则 y, y., 文科数学试题答案第 4 页 ( 共 5 页 )
问题转化为在 y, y 的条件下, y 求 z y 的最大值. 利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为, 此时 y. 所以 b 的取值范围为 +,. 分 http://www.gugztr.edu.c/ O 文科数学试题答案第 5 页 ( 共 5 页 )