知识构架一 相似的性质 1 相似形的性质 相似三角形的性质 3 相似三角形的判定 4 相似三角形的判定与性质二 基本模型 相似三角形判定和性质 典题精炼相似形的性质 1 易 ( 初一第二学期期中 ) 如图 从图甲到图乙的变换是 ( ) 轴对称变换 平移变换 旋转变换 相似变换 答案 易 ( 杭州萧山初一第二学期期中 ) 如图 将平行四边形 变换到平行四边形 其中 分别是 的中点 下列叙述正确的有 1 这种变换是相似变换 对应边扩大到原来的 倍 3 各对应角扩大到原来的 倍 4 周长 扩大到原来的 倍 5 面积扩大到原来的 4 倍 答案 145 相似三角形的性质 3 易 ( 北京市初三期中 )( 北京景山学校 013 年第二学期八年级期末数学试卷 ) 已知 且 : 1: 则 的周长与 的周长之比为 ( ) :1 1: 1: 4 4 :1 答案 4 易 ( 重庆 ) 已知 若 与 的相似比为 3:4 则 与 的面积比为 ( ) 4 :3 9:16 16:9 4 :1 答案 韩春成老师内部核心资料 1 / 14
相似三角形的判定 5 易 ( 海普陀区初三下质量调研 ) 下列条件中 能判定两个等腰三角形相似的是 ( ) 都含有一个 30 的内角 都含有一个 45 的内角 ; 都含有一个 60 的内角 都含有一个 80 的内角 答案 6 易 ( 第一学期期末考试九年级数学试卷 ) 根据你对相似的理解 下列命题中 不 正确的是 ( ) 相似三角形的对应角相等 ; 相似三角形的对应边成比例 ; 相似三角形的周长比等于相似比 ; 相似三角形的面积比等于相似比 答案 7 中 ( 天津市和平区 011 届九年级模拟试题四数学学科试卷 ) 如图 平行四边形 中 45 于 于 相交于 H 的延长线相交于 下列结论 : 1 ; H ; 3 H ; 4 H 其中正确的结论是 ( ) 134 13 14 34 答案 相似三角形的判定与性质 8 易 ( 台州市中考数学卷 ) 如图 在 中 点 分别在边 上 且 1 则 S : S四边形 的值为 ( ) 1: 3 1: 1:3 1: 4 答案 9 易 ( 玄武区第二学期期末考试 ) 已知 1 那么添加下列一个条件后 仍无法判定 的是 ( ) 1 答案 韩春成老师内部核心资料 / 14
10 易 ( 北京高级中等学校招生考试数学试卷 ) 如图 在梯形 中 对 O 角线 相交于点 O 若 1 3 则的值为 ( ) O O 1 1 3 1 4 1 9 答案 11 易 ( 沈阳市数学试题 ) 如图 是矩形 的对角线 是边 延长线上一点 与 交于点 则图中相似三角形共有 ( ) 对 3 对 4 对 5 对 答案 1 易 ( 成都育才初二下 5 月测 ) 如图 是平行四边形 则图中与 相似的 三角形共有 ( ) 1 个 个 3 个 4 个 答案 13 易 ( 北京二中初三上质量检测 ) 如图 已知点 是 边的中点 : 3:1 8 则 答案 4 14 易 ( 上海中考 ) 如图 平行四边形 中 是边 上的点 交 于点 如果 3 那么 答案 3 韩春成老师内部核心资料 3 / 14
15 中 ( 广西区北海市中考数学试题 ) 如图 的面积为 63 是 上的一点 且 : 1 : 交 于点 延长 到 使 : :1 则 的面积为 答案 4 16 易 ( 朝阳区九年级第一学期期末统一考试 ) 如图 平行四边形 中 点 在 的延长线上 连接 与 相交于点 ⑴ 求证 : ; ⑵ 若 8 3 1 求 的长 答案 ⑴ 四边形 是平行四边形 ⑵ 1 即 1 3 8 解得 模型 1 17 易 ( 初三期末 ) 如图 在平行四边形 中 点 在边 上 : 1: 连接 交 于点 则 的面积与 的面积之比为 答案 1:9 韩春成老师内部核心资料 4 / 14
1 18 易 ( 南外初二下 ) 如图 等腰梯形 中 且 为 上一点 与 交于点 若 : :1 的面积为 则 的面积为 答案 18 19 易 ( 卢湾区九年级上期末 ) 如图 在平行四边形 中 点 在 边上 若 1 则的值为 模型 0 中 中 正方形 H 的两个顶点 在 上 另两个顶点 H 分别 S 正方形 在 上 15 边上的高 10 求 H H M 答案 设正方形 H 的边长为 x H 的交点为 M 则有 M H 10 x x 即 10 15 解之得 x 6 故 S 6 36 平行四边形 H 本题有一个相似形中的典型的基本图形 : M 如图 // 则 ( 相似三角形高线之比等于相似比 ) 1 易 如图 在 中 点 在 边上 若在增加一个条件就能使 则这个条件可以是 韩春成老师内部核心资料 5 / 14
答案 或 或 模型三 中 如图 M N 为 边 上的两点 且满足 M MN N 一条平行于 的直线分别交 M 和 N 的延长线于点 和 求证 : 3 H K M N M N 答案 过 M N 分别作 的平行线交 于 H 两点 NH 交 M 于 K M MN N H H 1 1 易知 HK M M HN 1 HK 1 HK HN 即 4 KN 3 又 HN HK 1 即 3 KN 3 3 中 如图 已知 若 a b c 求证 : c a b 答案 韩春成老师内部核心资料 6 / 14
两式相加并变形可得 即 c a b 4 中 如上图 垂足分别为 和 相交于点 垂足为 证明 : 答案 由 则必有 / / / / 进而可知 两式相加并变形可得 5 中 如图 已知 / / / / 找出 之间的关系 并证明你的结论 S S S H M N 答案 过点 分别作 的垂线 S S S 垂足为 H M N 由变式 1 可知 故 M H N M H N 即 S S S 点评 : 此题的证明过程体现了 集中 这一思想 将 集中到同一条 线段 上 从而发现它们的和是一个常数 模型四 韩春成老师内部核心资料 7 / 14
6 易 ( 普陀区九年级上期末考试 ) 如图 6 16 0 一动点 P 从点 向点 运动 当 P 的值是 时 P 与 P 是相似三角形 P 答案 60 或 8 或 1 11 7 中 ( 北京交大附初二下期末 ) 如图 梯形 中 为 上一点 且 ⑴ 求证 : ; ⑵ 若 3 4 8 求 的长 答案 ⑴ 又 ⑵ 3 4 8 6 在 Rt 中 模型五 8 易 ( 海南省初中毕业生学业考试数学科试题 ) 如图 在 中 90 于点 则图中相似三角形共有 ( ) 韩春成老师内部核心资料 8 / 14
1 对 对 3 对 4 对 答案 9 易 ( 初三数学期中 ) 如图 在 中 垂足为 则 ( ) ( 填写图中线段 ) 答案 30 易 ( 马鞍山六中中考一模 ) 如图 中 于 由下列条件中的某 一个就能推出 是直角三角形的是 ( 把所有正确答案的序号 都填写在横线上 ) 一定能确定 1 : : 4:3:5 3 4 答案 134 31 易 ( 卢湾区九年级上期末 ) 如图 已知 中 垂足为点 4 1 ⑴ 求证 : ; ⑵ 求 cos 的值 答案 ⑴ 又 ⑵ 4 1 5 1 5 cos 5 5 韩春成老师内部核心资料 9 / 14
3 易 ( 上海闸北区九年级上期末 ) 如图 在 Rt 于点 点 O 是 边上一点 连接 O 交 于点 O O 交 边于点 求证 : O 答案 O O O O O O O 其它模型 33 易 ( 房山区初三上阶段性检测 ) 如图 若 5 4 3 求 的长 答案 5 4 3 1 5 34 易 ( 山东临沂中考 ) 如图 1 添加一个条件使得 答案 1 1 即 当 或 或 时 韩春成老师内部核心资料 10 / 14
35 中 ( 上海市浦东新区中考预测 ) 已知 : 如图 点 分别在线段 上 ⑴ 求证 : ; 1 ⑵ 4 5 sin 求 S 3 答案 ⑴ 又 ⑵ 过点 作 的垂线 垂足为 1 4 则 sin 4 3 3 1 1 4 10 S 5 3 3 36 中 ( 九年级第二学期普陀区期终调研 ) 如图 四边形 中 点 在 的延长线上 联结 交 于点 联结 且 ⑴ 求证 : ⑵ 当 平分 时 求证 : 四边形 是菱形 答案 ⑴ 1 韩春成老师内部核心资料 11 / 14
⑵ 又 又 四边形 是平行四边形 1 平分 1 四边形 是菱形 37 难 如图 1 在 Rt 中 点 O 是 边上一点 连接 O 交 于 O O 交 边于点 O O 图 1 图 ⑴ 求证 : O ; ⑵ 当 O 为 边中点 时 如图 求的值 ; O O ⑶ 当 O 为 边中点 n 时 请直接写出的值 O O 答案 ⑴ O O O O O O O ⑵ O 为 中点 O O : O O O O 45 在 O 中 作 M O 交点为 M 在 中 作 P 交于 于 P 在 O 中 作 N O 交于 O 于 N 则 P OM 韩春成老师内部核心资料 1 / 14
O O 图 1 图 O : O : O P NO : O P : NO P : N P P : N : 1: O : O ⑶ 过 O 作 垂线并交 于 H O O HO O O HO OH O O : O O : OH O : OH : n:1 38 易 ( 浦东区九年级第一学期期末 ) 已知 : 如图 在 Rt 中 45 求证 :⑴ ; ⑵ 答案 ⑴ 在 Rt 中 45 又 45 45 而 45 ⑵ 由 得 而 39 易 ( 辽宁省沈阳市中考数学试卷 ) 如图 中 交 于点 4 8 : 5:3 则 的长等于 ( ) 韩春成老师内部核心资料 13 / 14
0 3 答案 15 4 16 3 17 4 韩春成老师内部核心资料 14 / 14