资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 解析几何题型汇编 一 方法建议 学而思高考研究中心 武洪姣 曲丹老师 圆锥曲线对于一些必备的核心条件进行了解以后 充分的练习题目 以及掌握在解决题目的必要技巧 方法 主要选择好的方法 二 题型分类 (I) 向量表达相关的问题 向量的数量积与角度问题 直接考查向量的数量积计算 分别是证明是定值 求范围 和证明存在定点 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 C : ( ) 的右焦点为 F() 且点 ( ) 在椭圆 C 上 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; 5 ⑵ 已知点 Q( ) 动直线 l 过点 F 且直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 证明 : QAQB 为定 值 解析 ⑴ 由题意知 : c 根据椭圆的定义得 : a ( ) ( ) 即 a 所以 b 从而椭圆 C 的标准方程为 y ⑵ 当直线 l 的斜率为 时 A( ) B( ) 5 5 则 QA QB ( ) ( ) 6 当直线 l 的斜率不为 时 设直线 l 的方程为 : ty A y B y y 由 可得 : ( t ) y ty ty t y y t 显然 yy t 因为 ty ty 所以 5 5 ( y ) ( y) ( ty )( ty ) y y ( t ) y y t( y y) 6 t ( t ) t t t t t 6 ( t ) 6 6 即 QA QB 6 5
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知中心在原点 焦点在 轴上的椭圆 C 过点 离心率为 点为其右顶点 过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点 直线 AE AF 与直线 分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 求 EM EN 的取值范围 解析 ⑴ 设椭圆的方程为 c c 依题意得 解得 a b a a b 所以椭圆 C 的方程为 y ⑵ 显然点 A( ) 当直线 l 的斜率不存在时 不妨设点 E 在 轴上方 易得 E( ) F( ) M( ) N( ) 所以 EM FN 当直线 l 的斜率存在时 由题意可设直线 l 的方程为 y k( ) 显然 k 时 不符合题意 y k( ) 由 得 ( ) 8k y 8k 设 E( y ) F( y ) 则 y y 直线 AE AF 的方程分别为 : y ( ) y ( ) y y 令 则 M( ) N( ) y( ) y( ) 所以 EM ( ) FN ( ) y ( ) y( ) yy 所以 EM FN ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( k ) ( )( ) ( ) [ ( ) 9] [ k ] ( ) 8k 8k ( 9) ( k ) 8k 6k 5 k 6k 5 ( ) ( ) 6k 6k 因为 k 所以 6k 所以 6k 5 5 5 即 EM FN ( ) 6 k 6
综上所述 EM FN 5 的取值范围是 [ ) 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 ( 海淀二模理 8)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 C : ( ab ) 的右焦点为 F 且点 在椭圆 C 上 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; ⑵ 已知动直线 l 过点 F 且与椭圆 C 交于 A B 两点 试问 轴上是否存在定点 Q 使得 QA QB 恒成立? 若存在 求出点 Q 的坐标 ; 如果不存在 请说明理由 6 解析 ⑴ 椭圆方程为 y 解得 a b ⑵ 设当直线 l 不与 轴垂直时 设直线 l : y k A y B y Qm 则 QAQB m y m y m m k 联立直线与椭圆方程有 k 即 k p k p p p k p k p k p k p 从而 QA QB k k p p 5 若 QA QB 为定值 则 解得 p 此时 QA QB 6 经验证 当直线 l 与 轴垂直时 QA QB 也成立 6 5 综上 点 Q 的坐标为 k k 即 p p p p k p p p p 56 证明某点在以某线段为直径的圆上 转化成垂直问题 ( 东城二模理 8)( 本小题共 分 ) 已知抛物线 C : ym 为直线 l : y 上任意一点 过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA MB 切点分别为 A B ⑴ 当 M 的坐标为 时 求过 M A B 三点的圆的方程 ; ⑵ 证明 : 以 AB 为直径的圆恒过点 M 解析 ⑴ 当 M 的坐标为 ( ) 时 设过 M 点的切线方程为 y k y 由 消 y 得 (*) y k
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 令 ( k) 解得 k 代入方程 (*) 解得 A() B( ) 设圆心 P 的坐标为 ( a) 由 PM PB 得 a 解得 a 故过 M A B 三点的圆的方程为 ( y) ⑵ 设 M ( ) 由已知得 y y 设切点分别为 A ( ) B ( ) 所以 kma kmb 切线 MA 的方程为 y ( ) 即 y 切线 MB 的方程为 y ( ) 即 y 又因为切线 MA 过点 M ( ) 所以得 又因为切线 MB 也过点 M ( ) 所以得 所以 是方程 的两实根 由韦达定理得 因为 MA ( ) MB ( ) 所以 MAMB ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 将 代入 得 MAMB 所以以 AB 为直径的圆恒过点 M 5 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 G 的离心率为 短轴端点分别为 A B ⑴ 求椭圆 G 的标准方程 ; ⑵ 若 C D是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点 直线 BC 与 轴交于点 M 判断以线段 MD 为直径的圆是否过点 A 并说明理由 y a a 解析 ⑴ 由已知可设椭圆 G 的方程为 : 由 e 可得 e a 解得 a a 8
所以椭圆的标准方程为 y ⑵ 法一 : C D y 设 则 因为 A B y 所以直线 BC 的方程为 y 令 y 得 M y 所以 M y 所以 AM AD y 所以 AM AD y y y 又因为 代入得 AM AD y y y 因为 y 所以 AM AD 所以 MAN 9 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上 法二 : 设直线 BC 的方程为 y k 则 M k y 由 化简得到 k y k 所以 k 所以 k k 所以 y k k k k k 所以 C k k k 所以 D k k k 所以 AM AD k k k k 所以 AM AD k k k 所以 MAN 9 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上 6 ( 海淀二模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 G 的离心率为 其短轴两端点为 A 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 B ⑴ 求椭圆 G 的方程 ; ⑵ 若 C D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点 直线 AC BD 与 轴分别交于点 M N 判断以 MN 为直径的圆是否过点 A 并说明理由 a a 解析 ⑴ 由已知可设椭圆 G 的方程为 : 9
a 由 e 可得 e 解得 a a 所以椭圆的标准方程为 ⑵ 法一 : C y 且 D y 设 则 因为 A B y 所以直线 AC 的方程为 y 令 y 得 M y 所以 M y y 同理直线 BD 的方程为 y 求得 N y AM AN y y 所以 AM AN y 由 C 在椭圆 G: y 上 所以 y 所以 AM AN 所以 MAN 9 所以 以线段 MN 为直径的圆不过点 A 法二 : 设直线 AC 的方程为 y k 则 M k y 化简得到 k y k 所以 k 所以 k k 所以 y k k k k k 所以 C k k k 因为 C D关于 y 轴对称 所以 D k k 所以直线 BD 的方程为 y 令 y 得到 k k k k 所以 即 y k N k AM AN k k 所以 MAN 9 所以 以线段 MN 为直径的圆恒过 和 两点 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 C : ( a b ) 经过点 离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 直线 y k( ) ( k ) 与椭圆 C 交于 AB 两点 点 M 是椭圆 C 的右顶点 直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 PQ 试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 轴上的定点? 若是 求出定 点坐标 ; 若不是 说明理由 c = 解析 ⑴ 由题意得 a 解得 a = b 所以椭圆 C 的方程是 y ⑵ 以线段 PQ 为直径的圆过 轴上的定点 y k( ) 由 得 ( k ) 8k y 8k 设 A( y ) B( y ) 则有 又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点 所以点 M () y y 由题意可知直线 AM 的方程为 y ( ) 故点 P y y 直线 BM 的方程为 y ( ) 故点 Q 若以线段 PQ 为直径的圆过 轴上的定点 N( ) 则等价于 PN QN 恒成立 y y 又因为 PN QN y y y y 所以 PN QN 恒成立 ( )( ) 8k 又因为 ( )( ) ( ) 8k y y k( ) k( ) k [ ( ) ] k kk k yy 所以 k 解得 ( )( ) 故以线段 PQ 为直径的圆过 轴上的定点 ( ) 89 是给出向量的一个表达式 整理得到垂直关系 8 ( 朝阳二模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 C 的中心在原点 O 焦点在 轴上 离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; 右焦点到右顶点的距离为 ⑵ 是否存在与椭圆 C 交于 AB 两点的直线 l : y k m( k R ) 使得 OA OB OA OB 成立?
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 若存在 求出实数 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 ⑴ 设椭圆 C 的方程为 ab 半焦距为 c c 依题意 e 由右焦点到右顶点的距离为 得 ac a 解得 c a 所以 b a c 所以椭圆 C 的标准方程是 ⑵ 存在直线 l 使得 OA OB OA OB 成立 理由如下 : y k m 得 ( k ) 8km m 由 (8 km) ( k )(m ) 化简得 8km 设 A( ) B( ) 则 若 OA OB OA OB 成立 m m 即 OA OB OA OB 等价于 OAOB 所以 y y ( k m)( k m) 即 ( k ) km( ) m m 8km ( k ) km m 化简得 m k 将 k m 代入 m 中 ( ) m m 解得 m 又由 m k m 从而 m m 或 m 所以实数 m 的取值范围是 9 ( 朝阳二模文 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 C 的中心在原点 O 焦点在 轴上 离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; 右焦点到右顶点的距离为 ⑵ 若直线 l : m y 与椭圆 C 交于 AB 两点 是否存在实数 m 使 OA OB OA OB 成立? 若存在 求 m 的值 ; 若不存在 请说明理由 解析 ⑴ 设椭圆 C 的方程为 ab 半焦距为 c c e 依题意 a 解得 c a 所以 b a c ac 所以椭圆 C 的标准方程是 ⑵ 不存在实数 m 使 OA OB OA OB 证明如下 : 把 y m 代入椭圆 C: y 中 整理得 ( m ) 8m 8 由于直线 l 恒过椭圆内定点 所以判别式
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 8m 设 A( ) B( ) 则 m 8 m 依题意 若 OA OB OA OB 平方得 OAOB y y ( m ) ( m ) 即 整理得 ( m ) m( ) 8 8m 5 所以 ( m ) 整理得 m 矛盾 m m 所以不存在实数 m 使 OA OB OA OB 是证明某三角形为直角三角形 需要确定直角是哪个角 进行讨论 ( 西城二模文 9)( 本小题满分 分 ) 设 F F 分别为椭圆 W: y 的左 右焦点 斜率为 k 的直线 l 经过右焦点 F 且与椭圆 W 相 交于 AB 两点 ⑴ 求 ABF 的周长 ; ⑵ 如果 ABF 为直角三角形 求直线 l 的斜率 k 解析 ⑴ 椭圆 W 的长半轴长 a 左焦点 F ( ) 右焦点 F () 由椭圆的定义 得 AF AF a BF BF a 所以 ABF 的周长为 AF AF BF BF a ⑵ 因为 ABF 为直角三角形 所以 BF A 9 或 BAF 9 或 ABF 9 当 BF A 9 时 设直线 AB 的方程为 y k( ) A( y ) B( y ) y 由 得 ( k ) k y k( ) k 所以 k k 由 BF A 9 得 FA FB F A ( y ) F B ( y ) 因为 所以 F A F B ( ) y y ( k ) ( k )( ) k ( ) k ( )( ) k ( k ) ( k ) k k k 解得 k 当 BAF 9 ( 与 ABF 9 相同 ) 时 则点 A 在以线段 FF 为直径的圆 y 上 也在椭圆 W 上 y 由 解得 A () 或 A( ) y 根据两点间斜率公式 得 k 综上 直线 l 的斜率 k 或 k 时 ABF 为直角三角形
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 几何条件需要进行转化 且需要两个代数条件才能表达出 ( 东城一模理 9)( 本小题共 分 ) 已知椭圆 C : ( ab ) 的离心率是 其左 右顶点分别为 A A B 为短轴 的端点 A BA 的面积为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ F 为椭圆 C 的右焦点 若点 P 是椭圆 C 上异于 A A 的任意一点 直线 AP AP 与直线 分别交于 M N 两点 证明 : 以 MN 为直径的圆与直线 PF 相切于点 F ab c 解析 ⑴ 由已知 解得 故所求椭圆方程为 a c A A F ⑵ 由 ⑴ 知 设 P y 则 y 于是直线 y AP 方程为 y 6y 所以 M y 同理 N 所以 FM FN 6y y 所以 FM FN 所以 令 得 y M 6y 6y y 6y y 9 y 9 9 F M F N 点 F 在以 MN 为直径的圆上 y 设 MN 的中点为 E 则 E 可得 FE y 又 F P y y 所以 F E F P y ; 9 9 9 9 所以 FE F P y 因为 FE 是以 MN 为直径的圆的半径 E 为圆心 F E F P 故以 MN 为直径的圆与直线 PF 相切于右焦点 F 向量共线问题 是知道共线的点的比例关系 可以直接求出坐标关系 ; 是要证明三点共线 可以通过向量共线来证 明 ; 需要转化成三点共线问题 也可以通过同一法等 难度较大
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 ( 西城一模理 9)( 分 ) 已知椭圆 W : y 直线 l 与 W 相交于 M N 两点 l 与 轴 y 轴分别相交于 C D两点 O 为坐标原点 ⑴ 若直线 l 的方程为 求 OCD 外接圆的方程 ; ⑵ 判断是否存在直线 l 使得 C D是线段 MN 的两个三等分点 若存在 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 说明理由 解析 ⑴ 因为直线 l 的方程为 y 所以与 轴的交点 C() 与 y 轴的交点 D 5 则线段 CD 的中点 CD 5 即 OCD 外接圆的圆心为 半径为 CD 所以 OCD 外接圆的方程为 5 y 6 ⑵ 结论 : 存在直线 l 使得 CD 是线段 MN 的两个三等分点 理由如下 : 由题意 设直线 l 的方程为 y k m( km ) M ( ) N( ) m 则 C D( m) k y k m 由方程组 得 ( k ) m m y 所以 6k 8m 8 (*) m m 由韦达定理 得 k k 由 CD 是线段 MN 的两个三等分点 得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合 m m 所以 k k 解得 k 法二 : 由 CD 是线段 MN 的两个三等分点 得 MN CD m 所以 k m k m m m 5 即 解得 m k k k 5 验证知 (*) 成立 法三 : m m MC CD DN 从而满足 ( k ) m m k k 代入解得 m 5 所以存在直线 l 使得 CD 是线段 MN 的两个三等分点 5
5 5 此时直线 l 的方程为 y 或 y 5 5 ( 高考理 9)( 本小题共 分 ) C : 5 m m y 8 mr 已知曲线 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 ⑴ 若曲线 C 是焦点在 轴上的椭圆 求 m 的取值范围 ; ⑵ 设 m 曲线 C 与 y 轴的交点为 A B( 点 A 位于点 B 的上方 ) 直线 y k 与曲线 C 交于不同的两点 M N 直线 y 与直线 BM 交于点 G 求证 : A G N 三点共线 解析 ⑴ 原曲线方程可化简得 : 8 8 5m m 8 8 5 m m 8 由题意可得 : 解得 : m 5 5 m 8 m ⑵ 由已知直线代入椭圆方程化简得 : (k ) 6k =(k ) 解得 : k 6k 由韦达定理得 : M N k MN k 设 N( k ) M ( k ) G ( ) N N M km 6 M MB 方程为 : y 则 G M k M 6 M AG M k 6 AN k M G N N 欲证 A G N 三点共线 只需证 AG AN 共线 M 即 ( Nk ) N 成立 化简得 : ( k k) M N M k 6 6( M N ) 将 代入易知等式成立 则 A G N 三点共线得证 ( 西城二模理 9) 设 A B 是椭圆 W: 上不关于坐标轴对称的两个点 直线 AB 交 轴于点 M ( 与点 A B 不重合 ) O 为坐标原点 ⑴ 如果点 M 是椭圆 W 的右焦点 线段 MB 的中点在 y 轴上 求直线 AB 的方程 ; ⑵ 设 N 为 轴上一点 且 OM ON 直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C 证明 : 点 B 与点 C 关于 轴对称 解析 ⑴ 椭圆 W 的右焦点为 M () 因为线段 MB 的中点在 y 轴上 所以点 B 的横坐标为 因为点 B 在椭圆 W 上 将 代入椭圆 W 的方程 得点 B 的坐标为 所以直线 AB ( 即 MB ) 的方程为 y 或 y ⑵ 设点 B 关于 轴的对称点为 B ( 在椭圆 W 上 ) 6
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 要证点 B 与点 C 关于 轴对称 只要证点 B 与点 C 重合 又因为直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C( 与点 A 不重合 ) 所以只要证明点 A N B 三点共线 以下给出证明 : 由题意 设直线 AB 的方程为 y k m( k ) A( ) B( ) B ( y ) 则 y 由 得 ( k ) 8km m y k m 所以 (8 km) ( k )(m ) 8km m m 在 y k m 中 令 y 得点 M 的坐标为 k k 由 OM ON 得点 N 的坐标为 m 设直线 NA NB 的斜率分别为 k NA k NB y y y y 则 kna k m m NB m m m m 因为 y y m m ( k m) ( k m) ( k m) ( k m) m m m 8km k m ( ) 8k k m 8k m m 8m k 8m k k k 所以 k NA k 所以点 A N B 三点共线 NB 即点 B 与点 C 关于 轴对称 (II) 其它问题经常涉及到多条有关联的直线 或是不止一个二次曲线 要探索一些几何量之间的关系 这类问题通常需要通过读题 作图等理清各个几何图形之间的关系 选择设定合适的变量 去减少计算 有些时候 设定单变量有利于确定化简与求值的方向 但计算有时过于复杂 ; 设定多个变量有时可以减少计算 但是满足的关系式通常较多 需要一定的化简变形能力 每个人可以根据自己擅长的选择不同的方法 是探索多条直线的斜率的关系 直接计算即可 ( 朝阳一模文 9)( 本题满分 分 ) 已知椭圆 C : 短轴的两个端点的连线相互垂直 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; 的两个焦点分别为 F F 点 M 与椭圆
⑵ 过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 设点 N 别为 k k 求证 : k k 为定值 解析 ⑴ 依题意 由已知得 c a b 由已知易得 b OM 解得 a 则椭圆的方程为 ⑵ 当直线 l 的斜率不存在时 由 y y 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 6 解得 y 6 6 6 6 设 A ( ) B( ) 则 k k 为定值 当直线 l 的斜率存在时 设直线 l 的方程为 : y k( ) 记直线 AN BN 的斜率分 将 y k( ) 代入 y 整理化简 得 (k ) 6k k 依题意 直线 l 与椭圆 C 必相交于两点 设 A( ) B( y ) 6k 则 k k k 又 y k( ) y k( ) y y 所以 k k ( y )( ) ( y)( ) [ k( )]( ) [ k( )]( ) ( )( ) 9 ( ) ( ) k[ ( ) 6] 9 ( ) k 6k ( ) k[ 6] k k (k ) 6k k 6(k ) 9 k k 综上得 k k为常数 ( 朝阳一模文 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 C : a b 过点 A 离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; B 且斜率为 k( k ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点 直线 AE AF 分别交 ⑵ 过点 直线 于 M N 两点 线段 MN 的中点为 P 记直线 PB 的斜率为 k 求证 : k k 为定值 c c 解析 ⑴ 依题得 解得 a b a a 所以椭圆 C 的方程为 y ⑵ 根据已知可设直线 l 的方程为 y k( ) y k( ) 得 ( ) 8k y 由 8
设 E( y ) F( y ) 则 8k y y 直线 AE AF 的方程分别为 : y ( ) y ( ) y y y y 令 则 M( ) N( ) 所以 P( ( )) k k( )( ) k( )( ) k k ( )( ) 所以 k 8k 8 6k 6k 6k 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 k ( ) ( ) k ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知椭圆 C : ( a b ) 的两个焦点分别为 F ( ) F ( ) 点 M () 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 已知点 N 的坐标为 () 点 P 的坐标为 ( m n)( m ) 过点 M 任作直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 设直线 AN NP BN 的斜率分别为 k k k 若 k k k 试求 mn 满足 的关系式 解析 ⑴ 依题意 c b 所以 a b c 故椭圆 C 的方程为 y ⑵ 当直线 l 的斜率不存在时 由 y 6 解得 y 6 6 不妨设 A B 6 6 k k k k k 所以 k 因为 又 n 所以 m n的关系式为 即 m n m 当直线 l 的斜率存在时 设直线 l 的方程为 y k( ) 将 y k( ) 代入 y 整理化简得 k 6k k 6k k 设 A y B y 则 k k y k y k 又 y y y y 所以 k k 9
资料分享 QQ 群 65 联系电话 868899 k k 9 k ( ) 6k 9 k 6 k 6 k k 6k k 6k k k k 6k 9 k k n m 所以 m n 的关系为 m n 所以 k 所以 k 5 要选择参数进行设定 并要对给出的几何条件或结论进行代数转化 西城一模理 9 本小题满分 分 5 y 已知椭圆 C : a b 的离心率为 定点 M 椭圆短轴的端点是 B B a b 且 MB MB ⑴ 求椭圆 C 的方程 ⑵ 设过点 M 且斜率不为 的直线交椭圆 C 于 A B 两点 试问 轴上是否存在定点 P 使 PM 平 分 APB 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 b 5 a b b 解析 ⑴由 得 e a 9 a a 依题意 MB B 是等腰直角三角形 从而 b 故 a 9 ⑵设 A( y ) B ( y ) 直线 AB 的方程为 my 所以椭圆 C 的方程是 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立 消去 得 (m 9) y 6my 6m 所以 y y y y m 9 m 9 若 PF 平分 APB 则直线 PA PB 的倾斜角互补 所以 k PA k PB y y 设 P(a) 则有 a a my y ( a)( y y ) 将 my my 代入上式 整理得 (my a)(my a) 所以 my y ( a)( y y ) 6m 将 y y y y 代入上式 m 9 m 9 整理得 ( a 9) m 9 由于上式对任意实数 m 都成立 所以 a 9 综上 存在定点 P( ) 使 PM 平分 APB 5 西城二模理 8 文 9 本小题满分 分
资料分享 QQ 群 65 联系电话 868899 y m 的左顶点为 A M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点 点 P m 与点 A 关于点 M 对称 9 ⑴ 若点 P 的坐标为 求 m 的值 5 5 ⑵ 若椭圆 C 上存在点 M 使得 OP OM 求 m 的取值范围 如图 椭圆 C : 解析 ⑴依题意 M 是线段 AP 的中点 9 因为 A( ) P( ) 所以点 M 的坐标为 ( ) 5 5 5 5 解得 m 由点 M 在椭圆 C 上 所以 5 5m y ⑵设 M ( y ) 则 且 ① m 因为 M 是线段 AP 的中点 所以 P( y ) 因为 OP OM 所以 ( ) y ② 由 ① ② 消去 y 整理得 m 所以 m 6 ( ) 8 当且仅当 时 上式等号成立 所以 m 的取值范围是 ( ] 6 8 要选择设定恰当的参数 减少计算 6 东城一模理 9 本小题共 分 已知椭圆 C : (a b ) 的两个焦点分别为 F F 离心率为 过 F 的直线 l 与椭圆 a b C 交于 M N 两点 且 MNF 的周长为 8 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ⑵ 过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A B 两点 证明 点 O 到直线 AB 的距 离为定值 并求出这个定值 解析 ⑴由题意知 a 8 所以 a 因为 e b a c 所以 e 所以 b a a 所以椭圆 C 的方程为 ⑵由题意 当直线 AB 的斜率不存在 此时可设 A( ) B ( ) 又 A B 两点在椭圆 C 上 所以
所以点 O 到直线 AB 的距离 d 当直线 AB 的斜率存在时 设直线 AB 的方程为 y k m 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 y k m 由 消去 y 得 ( k ) 8km m 8km m 由已知 设 A( ) B( y ) 所以 因为 OA OB 所以 y y 所以 ( k m)( k m) m 8k m 即 ( k ) km( ) m 所以 ( k ) m 整理得 m ( k ) 满足 m 所以点 O 到直线 AB 的距离 d 为定值 k ( 高考文 9)( 本小题 分 ) 已知椭圆 C : y ⑴ 求椭圆 C 的离心率 ; ⑵ 设 O 为原点 若点 A 在直线 y 上 点 B 在椭圆 C 上 且 OA OB 最小值 解析 ⑴ 由题意 椭圆 C 的标准方程为 所以 a b 从而 c a b 因此 a c c 故椭圆 C 的离心率 e a ⑵ 设点 A B 的坐标分别为 t 其中 y 因为 OA OB 所以 OAOB 即 t 解得 t 又 y 所以 AB t y y y y 因为 y 8 且当 故线段 AB 长度的最小值为 8 ( 高考理 9)( 本小题 分 ) 已知椭圆 C : 求线段 AB 长度的 8 时等号成立 所以 AB 8 ⑴ 求椭圆 C 的离心率 ⑵ 设 O 为原点 若点 A 在椭圆 C 上 点 B 在直线 y 上 且 OA OB 试判断直线 AB 与圆 y 的位置关系 并证明你的结论 解析 ⑴ 椭圆的标准方程为 :
c a b 则 c 离心率 e ; a ⑵ 直线 AB 与圆 y 相切 证明如下 : 设点 A B 的坐标分别为 t 其中 y 因为 OA OB 所以 OA OB 即 t 解得 t 当 t 时 t y 代入椭圆 C 的方程 得 t 故直线 AB 的方程为 圆心 O 到直线 AB 的距离 d 此时直线 AB 与圆 y 相切 当 y t时 直线 AB 的方程为 y t t y t y ty 即 圆心 O 到直线 AB 的距离 d 又 y t ty y y y t 故 d y 8 6 y 此时直线 AB 与圆 y 相切 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 9 是两种二次曲线 要对条件进行转化 让条件便于表达与计算 9 ( 海淀一模文 9)( 本小题满分 分 ) 已知圆 M : ( ) y 若椭圆 C : ( ab ) 的右顶点为圆 M 的圆心 离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 已知直线 l : y k 若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A B 两点 与圆 M 分别交于 G H 两点 ( 其中点 G 在线段 AB 上 ) 且 AG BH 求 k 的值 解析 ⑴ 设椭圆的焦距为 c c 因为 a 所以 a c 所以 b 所以椭圆 C : y ⑵ 设 A ( y ) B ( y ) y k 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A B 则 y 所以 ( k ) 则 k 8 8( k ) 所以 AB ( k ) k k
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 k k 点 M ( ) 到直线 l 的距离 d 则 GH k k 显然 若点 H 也在线段 AB 上 则由对称性可知 直线 y k 就是 y 轴 矛盾 因为 AG BH 所以 AB GH 8( k ) k 所以 ( ) k k 解得 k 即 k ( 海淀一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知圆 M : y r ( r ) 若椭圆 C : ( ab ) 的右顶点为圆 M 的 圆心 离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 若存在直线 l : y k 使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A B 两点 与圆 M 分别交于 G H 两点 点 G 在线段 AB 上 且 AG BH 求圆 M 半径 r 的取值范围 解析 ⑴ 设椭圆的焦距为 c c 因为 a 所以 所以 a c b 所以椭圆 C : y ⑵ 设 A ( y ) B ( y ) y k 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A B 则 y 所以 ( k ) 则 k 8 8( k ) 所以 AB ( k ) k k 点 M ( ) 到直线 l 的距离 d k 则 GH r k 显然 若点 H 也在线段 AB 上 则由对称性可知 直线 y k 就是 y 轴 矛盾 所以要使 AG BH 只要 AB GH 8( k ) k 所以 ( r ) k k k ( k ) (k k ) k r ( ) k k k k k k k k 当 k 时 r ; 当 k 时 r ( ) ( ) k k 又显然 r ( ) 所以 r k k
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 综上 r 加入 学而思高考研究中心 官方微信平台 享受高考一站式服务! 我们将为大家提供这些内容 : 试题资料 高考咨询 公益讲座 课程查询 5 复习指导 6 商家优惠 5