Chapter 3 指數與對數 讓我們發展一個簡單的工具, 解答 06 06 是幾位數? bee 對數的發明, 延長了天文學家的壽命 拉普拉斯
3. 指數 指數 是表示連乘積的簡便計數符號, 本節中我們將指數符號作進一步的發展, 得到 :() 實數指數表示法及其意義 例如底下的各種指數符號 : 0, 06 3, 0.,.44, π () 借由指數表示法, 讓乘法變得比較簡單 例如讓根式的乘法變簡單 將來, 我們希望將所有的正實數都寫成指數型態, 並利用指數運算來取代乘法, 得到 用加法來計算乘法 的便利性, 進而得到 估計大量乘法運算之數值 的方法 例如瞭解 06 06 是幾位數 3.. 指數與指數律 指數符號 a 表示 個 a 的連乘積, 即 個 a a {}}{ = a a a, 符號 a 讀做 a 的 次方, 其中 稱為 指數,a 稱為 底數 有了指數符號, 我們可以讓連乘積的表示變得很簡潔 例如 :3 0 表示 0 個 3 的連乘 積, 這樣我們就不需要連續寫 0 個 3 的連乘式 指數有一些基本的運算規律, 我們先看一個. 回答下面幾個 : () 5 3 5 4 是 5 的幾次方? () (5 3 ) 4 是 5 的幾次方? (3) 3 3 7 3 是不是等於 (3 7) 3? 解 :() 5 3 5 4 = (5 5 5) (5 5 5 5) = 5 3+4 = 5 7 () (5 3 ) 4 = 5 3 5 3 5 3 5 3 = 5 3 4 = 5 (3) 3 3 7 3 = (3 7) 3 = 3
3. 指數 3 一般而言, 關於指數的乘法運算, 有如 的運算規律, 我們稱之為指數律 : 指數律 : 當 a 是一個實數, 且 m, 是正整數時, 則 () a m a = a m+ () (a m ) = a m (3) a b = (ab) 觀察指數律, 我們發現 : () a m a 是連乘積, 但是 a m+ 做的僅僅是 指數加法 () (a m ) 是 組數的連乘積, 而 a m 只要在指數部分作一次乘法 (3) a b 是分別的連乘積, 而 (ab) 表示可以一併處理 指數律中 等式右邊的計算量比左邊的計算量少, 這是使用指數律作乘法運算的優點 3.. 根式與根式乘法 接下來, 我們來複習根式符號, 看看你是不是還記得這些符號的意思. 根式的意義 : () 3 3 = 3, 即 ( 3) = 3 () 3 3 3 =, 即 ( 3 ) 3 = (3) 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 = 7, 即 ( 5 7) 5 = 7 當 a > 0 時, 根式符號 a ( 讀做 a 的 次方根 ) 表示滿足方程式 x = a 的正實數解, 即 個 a {}}{ a a a = a 這解是一個正實數 ( 而且只能找到一個 ), 例如 : 3 是 x 3 = 的正實數解, 即 ( 3 ) 3 =, 3 大約是.60, 就只有這一個 正實數 會滿足 x 3 = 為何我們要用符號 a 來表示 x = a 的正實數解呢? 因為大部分的 次方根都是無理 數, 沒有辦法用分數或循環小數表示, 所以數學家創造美麗的符號 a 來表示 當你做數學運算時, 必須知道 ( a) = a, 你也可以利用計算機求出其近似值再加以計算 底下我們來複習一下根式的乘法
4 Chapter 3 指數與對數 完成日期 : 3. 化簡下面各式乘法, 寫出其值 : () 3 () 4 (3) 3 3 解 :() 3 = 3 = 6 () 4 = 4 4 = 4 4 = 4 8 (3) 3 3 = 3 3 3 3 = 6 8 9 = 6 7 想想看! 你清楚上面的作法嗎? 底下我們作更詳細的解釋 () 因為 ( 3) = ( ) ( 3) = 3, 所以 3 = 3 = 6 同理可推得 : 3 3 3 = 3 3, a b = a b () 因為 4 = = ( 4 ) ( 4 4 ), 所以 4 = 4 = 4 (3) 因為 6 = = ( 6 6 ) ( 6 6 6 ), 所以 6 = 6 6 = 3 3 3 又因為 3 3 3 3 3 = 3 = ( 6 3 6 3) ( 6 3 6 ) ( 6 3 6 3), 3 所以 6 3 = 3 6 3 = 3 3 同理可推得 : a = m a m 因此 3 3 = 3 3 3 3 = 6 8 9 = 6 7 同理可推得 : m a b = m a m b m = m a b m 整理一下上面的討論, 有以下的結論 : 根式乘法的運算法則 根式乘法的運算法則 : 當 a, b 是正實數,m, 是正整數時, 則 () a b = a b () a = m a m (3) m a b = m a m b m = m a b m
3. 指數 5 課堂討論. 化簡下列各式乘法, 寫出其值 : () ( ) 3 ( ( ) 5 () ( ) ) 3 (3) ( 6) 4 ( ) 4 3. 化簡下列各式 : () 4 8 4 3 () 3 36 6 (3) 3 3. 說明根式運算法則 : ( a ) m = a m 4. 與同學相互說明 () 指數律 () 根式乘法的運算規則 在前面的討論中, 我們認識了根式符號的意義和根式乘法的運算法則, 底下我們將引進 新的指數符號, 並利用指數律來簡化根式的乘法運算, 讓計算變的簡單 3..3 整數指數與分數指數的建立 我們介紹幾個新的指數符號, 並規定其意義 : a 0 =,a = a,a = a 這些新符號的乘法運算可以符合指數律, 底下我們說明其規定的由來, 並由 連乘積的 感覺 出發, 去體會這些符號的意思 () 由指數律 a = a 0+ = a 0 a, 可得 a 0 = a a = () 由指數律 = a 0 = a ( )+ = a a, 可得 a = a (3) 由指數律 a = a = a = (a ), 可得 a = a 再利用 ( a) m = a m = k a mk, 可得 a m = ( a) m = a m = k a mk =a mk k
6 Chapter 3 指數與對數 完成日期 : 利用指數律的概念, 我們建立零指數 負指數 分數指數的新符號 即 : 整數指數與分數指數 : 當 a 是正實數,m,, k 是正整數時, 則 () a 0 = () a = a (3) a = a (4) a m = a m == k a mk = a mk k 如果, 我們用 連乘積 來感覺一下這幾個符號, 也相當精采 因為指數符號的原意是 連乘積, 所以在 乘法的世界裡 : () a 0 表示 沒有作乘法, 這和 乘與 是一樣的意思, 因此 a 0 = () a 表示 少乘了 個 a, 這和 除以 個 a 是一樣的意思, 因此負指數就變成了倒數 ( 除法 ), 即 a = a (3) 連續乘以 次 a 才得到與 乘與 一樣的效果, 因此就 乘法而言, 一個 a 就是個 a 的意思, 即 a = a 同時, 所有根式 a m 都可以用分數指數 a m mk =a k 來表示, 將來作根式計算時, 我們 可以使用指數律來幫忙 底下我們重做一次 3 4. 化簡下面各式的乘法 :( 原 3) () 3 = 3 = ( 3) = 6 = 6 () 4 = 4 = 4 4 = 3 4 = 4 3 = 4 8 (3) 3 3 = 3 3 = 3 6 3 6 = ( 3 ) 6 (3 ) 6 = (8 9) 6 = 6 7 分數指數的建立, 讓我們看到數學家豐富的想像力, 而建立分數指數之後, 根式的乘法可轉換成 分數指數的加法, 這實在是很精彩的事情 因為根式 a 只在 a > 0 時才有意義, 所以使用分數指數 a 時, 要避免 a 0 的情形 我們可以驗證分數指數滿足 指數律 ( 留給你當作習題 ), 即
3. 指數 7 分數指數的指數律 : 當 a, b 是正實數,m,, p, q 是整數, 且 m, p 不為 0 時, 則 () a m a q p = a m + q p () (a m ) q p = a q mp (3) (a m ) (b m ) = (ab) m 課堂討論. 說明何為零指數 負指數與分數指數. 你有啥特別的嗎? 3..4 實數指數的建立本單元我們要討論實數指數, 也就是問 : 是啥意思呢? 這不難, 你的答案應該是.44 但是這時候考驗我們一下: 5. 已知.44, 回答下列各 : ().44 是啥意思? ().44 與 哪一個數比較大? (3) 用計算機求.44 的近似值 (4) 符號 表示什麼意思? 解 :().44 = 000 44 = ( 000 ) 44 () 因為 >.44, 所以 >.44 (3) 由計算機得.44.6647 (4) 是界在.44 與.45 之間的數, 我們可以用近似的方法表示它, 例如 :.44 如果你希望可以更近似, 可以增加 的近似值位數 (.44356373), 然後利用計算機幫你得到近似值 例如 :.44.665
8 Chapter 3 指數與對數 完成日期 : 關於數.44 000, 我們知道它是 000 的 44 次方 雖然我們對 並不熟悉, 不過我們知道 : 將這一個數 000 次方 後會等於, 事實上它是一個大於 的數 ( 為什麼呢?), 而且 000.0006934, 是一個非常接近 的數 ( 在你預料中嗎?) 用類似的概念, 對於任意 無理數指數, 都可以用 分數指數 去 近似它, 雖然近 似值得依賴計算機, 並不容易求出, 但是我們可以知道這些數的意思 課堂討論. 已知 3.7305, 回答下列各 : () 3 是啥意思? ().73 是啥意思? (3).73 與 3 哪一個數比較大? (4) 如果把 3 看成.7305, 你覺得.73 與.73 哪一個數, 比較接近 3, 為什麼? 3..5 建立實數指數的目的 我們知道分數指數的建立, 把根式乘法變簡單了, 那建立實數指數的目的是甚麼呢? 如果我們以 ( 含端點 ) 又如果我們以 如圖一所示 : 為一個單位, 那麼在數線上, 0,,, 就是位在 之間的三個點 0 = 0. 為一個單位, 那位在 之間就會有 0 個點 : 0, 0., 0.,, 0.9,, 圖一 : 指數型態數列分布圖如果我們一直縮小單位, 那麼 之間就可以充滿很多數, 這和以前我們用小數來表示實數的方式類似, 如此, 不僅 之間可以充滿 指數型態 x 的數, 事實上, 整個數線位在原點右邊的 正實數, 都可以寫成 指數型態 x 的樣子
3. 指數 9 3..6 結論 對於乘法, 我們有連乘積 倒數 開 次方根等運算, 我們將這些計算都換成指數 的型態, 然後透過指數律的來取代這些運算, 得到簡單的計算方式 這是利用 較高級 的運算 指數律, 來取代 較基礎運算 的數學手法 本節結論 : () a = a a a, 表示連乘積 () a 0 =, 表示乘法的單位元素 (3) a = a, 表示倒數 ( 即是除法 ) (4) a = a, 表示 次方根 ( 即開 次方根 ) (5) 所有的正實數 b 都可以寫成指數型態 ( 例如 :b = x ) (6) 與乘法有關的運算, 都可轉換成指數型態, 並利用指數律加以計算 我們利用結論作一個 6. 利用指數型態與指數律計算下列各式, 寫出其值 : () ( 3 7) 4 ( 3 7) 5 () ( 6 3 (3) ( 3 ) 6 ) 4 解 : () ( 3 7) 4 ( 3 7) 5 = 7 4 3 7 5 3 = 7 4 3 + 5 3 = 7 3 = 343 () 6 3 = ( 3) ( 3) 3 = 7 6 3 5 6 ( ) 6 (3) ( 3 4 ) = (4 3 ) 6 = 4 4 = 4 4 = 56 利用指數來計算, 確實讓乘法的計算變得簡單多了 關於結論 (5), 我們有圖二 : 正實數的指數表示法 圖二 : 正實數的指數表示法 正實數有兩種表示方法 : 一般實數表示法和指數型態表示法 但是採用指數表示法時, 我們將面臨如 3 這個數該如何用指數型態表示呢? 這是我們未來要處理的
0 Chapter 3 指數與對數 完成日期 : 3..7 指數應用 如下 : 7. 關於風力分級, 國際氣象組織採用蒲福風級法 (Beaufort scale), 分級的公式 V = 0.836 B 3, 其中 V 是風速 ( 公尺 / 秒 ),B 是風級 現在有一颶風, 氣象組織公告其風力為 9 級風 ( 稱為烈風 ), 問 : 此颶風的風速大約是多 少? 解 : 將 B = 9 代入公式 得 V = 0.836 9 3 = 0.836 ( 9) 3 = 0.836 3 3 =.57 因此風速大約為.6 公尺 / 秒 風速分級可以在氣象報告時, 讓觀眾容易了解風力的威脅 這一個分級是長年使用的歸納結果 因為涉及根式的運算, 如果我們使用指數表示, 分級公式顯得較為簡潔 8. 根據聯合國統計, 西元 987 年世界人口總數達 50 億 假設每年人口數都增加為原來的 r 倍 ( 我們稱 r 為人口成長率 ), () 西元 999 年的人口數為多少?( 以 r 表示 ) () 已知西元 999 年人口數已增至 60 億.求西元 0 年的世界人口數約為多少人? 解 : () 根據題意 : 從 987 年到 999 年, 共經過 年, 因此西元 999 年的人口數為 50 r () 因為 999 年的人口數為 60 億, 所以 50 r = 60, 可得 r =. 從 999 年到 0 年, 又經過 年, 因此西元 0 年的世界人口數為 60 r = 60. = 7 當人口的成長率穩定時, 就是一個指數成長 在 8 中, 我們用過往的數據來估計未來的人口數, 事實上 0 年 0 月 3 日時, 世界人口數達到 70 億, 和預估的情形大約相同 利用 r =., 可得 r =..05, 我們稱之為每年的人口平均成長率, 大約為.5% 事實上,0 年因為經濟蕭條等因素, 世界人口增長率下降為.%
3. 指數 接下來我們看一個視覺上的統計, 並做一個有趣的實驗 視覺實驗 : 9. 統計學家克利夫蘭詳細研究人體的眼睛後發現 : 眼睛看到的圖形面積與此圖形實際面積的 0.7 次方成正比 今觀察地圖上大小兩國, 感覺大國面積是小國面積的 8 倍, 那麼實際上大國面積是小國面積的幾倍? 解 : 設實際上大國面積是小國面積的 a 倍 則根據題意, 可知感覺上大國面積是小國面積的 a 0.7 倍, 且 a 0.7 = 8 = 7 因為 a 0.7 = (a 0. ) 7 = 7, 所以 a 0. = (a 0. ) 0 = 0 a = 04 因此實際上大國面積是小國面積的 04 倍 9 是一個很有意思的, 不過並不容易感覺到統計學家說的 0.7 次方是啥意思, 不過對照上面的視覺實驗, 瞭解統計學家的研究真是有趣
Chapter 3 指數與對數 完成日期 : 底下我們看一個常見的化學名詞 : 半衰期 某些放射性元素, 經過一段時間之後, 會衰變成其他的元素 如果經過時間 t, 放射性元素的質量剩下原來的一半, 那麼我們稱 t 為此元素的半衰期 0. 已知放射性元素碘 -3 的半衰期為 8 日 若現在有碘 -3 共 8 公克, 試問 : 經過多少天後, 碘 -3 剩下的質量低於 0 公克? 解 : 根據題意, 每經過 8 日, 質量會變成原來的 0 計算 8 = 5 3, 因為 ( )3 = 4 3 < 5 3 < 8 3 = ( ), 所以要經過 3 天後, 剩下的質量才會低於 0 公克 半衰期還可以用在藥物使用上 當病人食用每種藥物, 經過 t 小時之後, 血液中的藥物濃度剩下原濃度的一半, 我們稱此藥物的半衰期為 t 小時. 實驗室培養細菌數, 假設在環境適當時, 細菌數每經過 日後會增加 a 倍 ( 即變成原來的 a + 倍 ) 現已知 3 日後的細菌數為 0 6 個,4 日後其細菌數為 8 0 6 個, 求 a 的值 解 : 因為 3 日後到 4 日後共經過 3 個半日, 所以可設每經過半日後細菌數會增加為 x 倍, 即 a + = x 8 0 根據題意, 可知 6 0 6 = x 3, 即 x 3 = 8, 解得 x =, 因此 a + = = 4, 即 a = 3 和半衰期類似, 生物的成長或細菌數的增加, 每經過一定的時間 t, 會增加為原來的 倍, 我們可稱其為 倍增期 中, 倍增期為 半日 這種成長的情形, 我們稱之為指數成長, 是自然界中常見的現象
3. 指數 3 3..8 數學演練. 設 a > 0, 且 a + a = 3, 求下列各式的值 : () a + a () a 3 + a 3 (3) a + a 解 : () 因為 (a + a ) = a + a a + a = a + a +, 所以 a + a = (a + a ) = 3 = 7 () 因為 (a + a ) 3 = a 3 + 3a a + 3a a + a 3 = a 3 + a 3 + 3(a + a ), 所以 a 3 + a 3 = (a + a ) 3 3(a + a ) = 3 3 3 3 = 8 (3) 因為 (a + a ) = a + a + = 3 + 5 = 5, 所以 a + a = 5 ( 5 不合 ). 設 a > 0, 且 a 3x = 5, 求 a 5x + a x a x a 4x 的值 : 解 : a5x + a x a x a 4x = (a5x + a x ) a x (a x a 4x ) a x = a6x + a 3x a 3x = 5 + 65 = 5 5 3. 設 x, y 為實數, 且 53 x = 9, 477 y = 43, 求 x 5 y 的值 : 解 : 要想辦法出現 與 x 5 y 因此,53 x = 9, 477 y = 43 53 = 9 x, 477 = 43 y 再改一下 :53 = (3 ) x = 3 x, 477 = (3 5 ) y = 3 5 y, 將兩式相除, 可得 53 477 = 3 5 x y 9 = 3 = 3 5 x y x 5 y = 4. 估算 5 0.75 界在哪兩個連續整數之間? () 6 與 7 () 7 與 8 (3) 8 與 9 (4) 9 與 0 (5) 0 與
4 Chapter 3 指數與對數 完成日期 : 5. 下列哪一個選項無意義? () ( 3) 0 () ( 3) (3) ( 3) (4) 3 (5) 3 0.3 6. 下列哪些選項是正確的? () ( 3) = 3 () ( 3) = 3 (3) ( ) 3 = 3 (4) 3 ( ) 4 = 3 4 (5) 3 ( ) 5 = 3 5 7. 下列選項何者錯誤? () 無意義 () 若 6 x = 8, 則 x = 8 6 (3) ( 3 3) 9 = 3 3 (4) 5 0 = 0 0 (5) 00 0 > 0 00 8. 求下列各式的值 : () 3 3 3 4 () (5) 0 (3) ( 5) ( 5) 4 (4) 5 0 (5) 0. 0 0.9 0. (6) 64 8 3 (7) ( 5 ) 3 ( 5 + ) 3