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给力数学 : 中考数学压轴题 命题思路剖析 + 必考题型详解 + 实战真题演练 ( 修订版 ) 彭林编著

图书在版编目 (I) 数据中考数学压轴题 : 命题思路剖析 + 必考题型详解 + 实战真题演练 / 彭林编著. 2 版 ( 修订版 ). 上海 : 华东理工大学出版社,2014.10 ( 给力数学 ) ISN978 7 5628 4028 2 Ⅰ.1 中 Ⅱ.1 彭 Ⅲ.1 中学数学课 初中 题解 升学参考资料 Ⅳ. 1G634.605 中国版本图书馆 I 数据核字 (2014) 第 206467 号 给力数学 中考数学压轴题 : 命题思路剖析 + 必考题型详解 + 实战真题演练 ( 修订版 ) 编 著 / 彭 林 策划编辑 / 庄晓明 责任编辑 / 赵子艳 责任校对 / 成 俊 封面设计 / 袭幼华 出版发行 / 华东理工大学出版社有限公司 地 址 : 上海市梅陇路 130 号,200237 电 话 :(021)64250306( 营销部 ) (021)64252718( 编辑室 ) 印 传真 :(021)64252707 网址 :press.ecust.edu.cn 刷 / 江苏南通印刷总厂有限公司 开本 /787mm 1092mm 1/16 印张 /12.25 字数 /306 千字版次 /2013 年 6 月第 1 版 2014 年 10 月第 2 版印次 /2014 年 10 月第 1 次书号 /ISN978 7 5628 4028 2 定价 /29.80 元 联系我们 : 电子邮箱 press@ecust.edu.cn 官方微博 e.weibo.com/ecustpress 淘宝官网 htp://shop61951206.taobao.com

前 前 言 综观各地的中考数学试卷,题目按难度区分有基础题 中档题 压轴题三种. 学生在 学习程度上有差异,有好 中 差之分,学 习 的 过 程 也 应 该 循 序 渐 进,由 易 到 难 逐 渐 加 大 难度. 为适合不同学生 不同阶段的中考数学复习需要,我们按照中考数学试题的难易程 度,编写了 给力数学:中考数学基础题 给 力 数 学:中 考 数 学 中 档 题 以 及 给 力 数 学: 中考数学压轴题. 这本 给力数学:中考数学压轴题 所选的题目为 压轴题, 压轴题 是对测试试卷 中最后几道试题的习惯称呼. 一 般 都 是 试 卷 中 综 合 性 最 强 难 度 最 大 能 够 真 正 拉 开 水 平档次的题型. 能够把握住 压 轴 题,在 一 定 程 度 上 就 意 味 着 获 得 高 分. 本书的读者对 象是中等生 中上等生 尖子生,为适合不同层次的学生,本书在题目设计上采取分层策 略:一般难度的题目占 40%,中上难度的 题 目 占 30%,高 难 度 的 题 目 占 30%. 各类题目 以提高学生数学冲刺能力和探 索 兴 趣 为 目 的,具 针 对 性 和 实 用 性. 为 了 便 于 复 习,全 书 分为两部分, 第一部分 嚼字 解题策略篇 介绍了破解中考数学压轴题的五大招术,即咬文 弄清题意 模式识别 整为零 形成套路 数形结合 各个击破. 第二部分 制胜法宝 分类讨论 滴水不漏 化 热点 专 题 篇 将 各 类 试 题 进 行 分 类,按 九 个 专 题 介 绍. 在各类题型的讲解中,详尽评述了该题型的 压轴题 在中考命题中的特点和趋势,通过 典型例题讲清该题型的解题策略,同时附中考真题供同学们训练巩固,相信大家认真阅 读本书后会受益匪浅,特别是基础较好的考生认真用好本书后,能确保拿到 压轴题 的 分数,挑战满分. 本书作者彭林老师是资深数学教研员,中国教育学会 中小学数学 副主编,致力于 中高考数学复习备考研究,著 述 颇 丰,主 编 编 著 过 数 十 部 初 高 中 数 学 辅 导 用 书.彭 林 老师以丰富的教学实践经验,为同学们铺设了一条通向中考的成功之路. 特别感谢吴智敏 王献利 郭彩霞 黄 洋 李 世 魁 童 纪 元 张 永 飞 李 秀 琴 李 文 明 钟春风 彭光进 林秀敏 李曹群 林秀平 常玉香 杨树青等老师在本书编写过程中提供 的帮助和做出的贡献. 好运留给有准备的人,祝你好运! 言

目 目 第一部分 弄清题意 二 模式识别 形成套路 三 数形结合 制胜法宝 四 分类讨论 滴水不漏 五 化整为零 各个击破 第二部分 录 解题策略篇 一 咬文嚼字 热点专题篇 一 规律探究性问题 二 新定义 性问题 三 阅读理解题 四 几何最值 五 函数与方程 不等式综合问题 六 图形折叠题 七 图形的平移 旋转题 八 动点问题 九 点运动中的函数问题 参考答案 录 1> 3> 9> 25> 42> 53> 67> 69> 75> 81> 86> 94> 98> 108> 132> 141> 164>

第一部分 解题策略篇

一 咬文嚼字弄清题意 要想成功破解压轴题, 我们首先要了解压轴题的特点. 一般来说, 压轴题里包含的知识点较多, 隐含的数量关系或图形性质较多, 有的压轴题可能蕴含多种数学思想, 有的压轴题可能设计新颖, 甚至表面上根本看不出解题的影子, 有的压轴题在解题上还可能有一定的技巧性. 但是, 所有的压轴题, 不管哪一种类型, 在分析解决它们的过程中, 总有普遍且通用的规律可循, 这也正是我们探寻压轴题的解法的意义所在. 一 咬文嚼字弄清题意 审题时要咬文嚼字, 不要一带而过. 首先, 你必须弄清问题 : 未知是什么? 已知是什么? 其次, 进一步审题 : 你是否知道与此题有关的问题? 你是否知道一个可能用得上的定理? 你以前见过这个问题吗? 你是否见过类似的问题而形式稍有不同? 看着未知数, 试想出一个具有相同的未知数或相似未知数的熟悉问题. 你能不能从已知条件推出某些有用的东西? 你是否利用了所有已知数据? 你是否利用了所有的条件? 你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念? 无论压轴题多么复杂, 它都一定会在已知条件或已知图形中透露出必要的解题信息和方向, 所以只要我们认真审题, 明确已知条件和所求结论之间的因果关系, 就能找到解决压轴题的途径. 1. 几何综合题 例 1 已知, 如图 1 1 1 所示, 在 中, 是 边上的中线, 于, =120, 求证 :=2. 图 1 1 1 解析 : 第一步 : 弄清问题和熟悉问题, 就是弄清题目的已知条件和解题目标, 主要包括 以下几个方面. 1. 有几个已知条件, 能否把各个已知条件分开. 3

给力数学 : 中考数学压轴题 2. 明确解题的目标是什么, 要求的是什么. 3. 是否需要画一个图, 如果能画图, 最好画一个图, 并在图中标出必要的条件和数据, 画图的过程是一个熟悉问题的过程, 是一个对已知条件和解题目标进行再认识的过程. 本题已知条件 : 是 边上的中线,, =120. 要求证的目标 :=2. 可见, 审题的第一步就是弄清问题的已知条件和解题目标, 在弄清条件时, 对题目一定要字斟句酌, 解错这道题就是因为在没有看清 求什么 的时候就仓促下笔. 所以, 熟悉问题是审题的重要步骤, 在熟悉的过程中, 要弄清已知条件和未知条件, 仔细地重复这些条件, 如果问题与图形有关, 还应该画一张图, 在图上标示已知条件. 第二步 : 审题时注意题目的隐含条件. 有些题目中给出的条件并不明显, 需要对这些条件进行再加工, 也有些条件虽然题目已经给出了, 而解题者却没有把它作为条件来使用, 从而使解题遇阻, 需要对这些条件进行再认识. 第三步 : 弄清已知条件之间的相互联系以及已知条件与所求目标之间的相互联系. 当分清有几个已知条件之后, 要分析这些已知条件之间有些什么联系, 哪些条件结合可以得出新的结论 ; 根据已知条件和解题目标, 要思考 是否有一个可能用得上的定理. 是 边上的中线可考虑将中线延长加倍 ; 要证明 =2 可联想到 含 30 角的直角三角形. 第四步 : 整体观察题目, 想一想, 是否有一个与你现在的问题有关, 且早已解决的问题, 是否做过具有相同的未知数或相似未知数的问题, 如何把生题转化为熟题. 当解题遇阻时, 要进行再审题, 想一想你是否利用了所有已知数据? 你是否利用了所有的条件? 你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念? 延长 到点, 使得 =, 连接. 如图 1 1 1, 然后证明 是含 30 角的直角三角形. 2. 二次函数综合题 例 2 如图 1 1 2, 在直角坐标系中,O 为原点. 点 在 轴的正半轴上, 点 在 轴的正半轴上,tan O=2. 二次函数 = 2 +m+2 的图像经过点, 顶点为. (1) 求这个二次函数的解析式 ; O 图 1 1 2 (2) 将 O 绕点 顺时针旋转 90 后, 点 落到点 的位置. 将上述二次函数图像沿 轴向上或向下平移后经过点. 请直接写出点 的坐标和平移后所得图像的函数解析式 ; (3) 设 (2) 中平移后所得二次函数图像与 轴的交点为 1, 顶点为 1, 点 在平移后的 二次函数图像上, 且满足 1 的面积是 1 面积的 2 倍, 求点 的坐标. 解析 : 拿到以二次函数为主线的综合题, 我们可以从哪些角度去思考? 我们可以尝试通过如下问题进行思考 : 1 二次函数涉及的主要知识点有哪些? 2 二次函数图像左右平移或上下平移的规律是什么? 3 如何借助函数图像直观性, 结合相关几何知识灵活解题? 4 解这类题涉及的主要数学思想和数学方法有哪些? (1) 利用待定系数法, 可以求出 m 的值, 从而获得函数表达式. 4

一 咬文嚼字弄清题意 O 由题意, 点 的坐标为 (0,2), 于是 O=2, 而 tan O=2, 即 O =2. 则 O=1, 点 的坐标为 (1,0), 又二次函数 = 2 +m+2 的图像过点, 故 0=1 2 + m+2. 解得 m=-3. 从而所求二次函数的解析式为 = 2-3+2. (2) 我们不难注意到解决第二个小问题的关键是要确定点 的坐标, 所以首先必须根据 题意画出正确的图形, 然后根据旋转的图形特征 : 形状大小不变, 我们应该容易确定点 的坐 标, 从而此问题得以解决. 先根据题意, 画出旋转后的图形 ( 图 1 1 3), 准确求出点 的坐标. 因为 O, 所以 =O =1, =O =2. 可得点 的坐标为 (3,1). 4%MI90 O O 图 1 1 3 由于题目的问题是将二次函数 = 2-3+2 这个图像向上或向下平移, 所以根据二次函 数图像沿 轴向上或向下平移的特征 : 图形形状不变, 与 轴交点的纵坐标变化. 因此我们设所 求二次函数解析式为 = 2-3+k. 因为此图像经过点, 则有 1=9-3 3+k, 即 k=1. 故所求二次函数的解析式为 = 2-3+1. (3) 回到第三小题, 要求点 的坐标. 由于点 在平移后的二次函数图像上, 它的横 纵坐 标之间就有了明确的关系, 所以只要求出其中的一个即可, 不妨尝试求. 那么接下来我们重 点要思考的是如何求? 通常思路应该要建立 的方程. 我们来审视题意, 哪个条件引起你更 多的关注? 应该是 1 的面积是 1 面积的 2 倍. 根据这个条件, 你通常会有哪些 想法? 也许有的同学会想到 : 相似三角形的面积比等于相似比的平方 ; 等底 ( 高 ) 的两个三角形 面积比等于它们的高 ( 底 ) 之比 ; 面积割补法 ; 直接利用面积公式等. 对于本题我们不难发现这 两个三角形是等底的, 因而我们得到点 到 1 的距离是点 到 1 的距离的两倍. 你能否 用关于 的代数式分别表示这两个距离? 在表示的过程中, 同学们将点 到 1 的距离表示 成的答案既有 - 3 2, 3 也有 2 -, 那么到底谁对谁错? 为什么会有这种情况产生? 回到我们 的题目 : 点 在平移后的二次函数图像上, 再来仔细观察整个图形, 发现这条抛物线被点 1 和点 1 分成三部分, 所以点 的可能位置有三种. 由 (2) 可知, 经过平移后所得图像是原二次函数图像向下平移 1 个单位后所得的图像, 那 么对称轴直线 = 3 2 不变, 且 1=1=1. 这是解决本题的两个关键条件. 因为点 在平移后所得二次函数图像上, 设点 的坐标为 (, 2-3+1). 在 1 和 1 中, 由于 S 1 =2S 1, 利用三角形面积比等于同底的高之比 转化为线段之间的关系, 得到边 1 上的高是边 1 上的高的 2 倍. 这是解决本题的突 破口. 从而可以建立关于 的方程. 5

给力数学 : 中考数学压轴题 æ 1 当点 在对称轴的右侧时 ( 图 1 1 4), 建立 的方程是 =2-3 ö ç, 得 =3, 故点 è 2 ø 的坐标为 (3,1); 2 当点 在对称轴的左侧, 同时在 轴的右侧时, 如图 1 1 4 所示, 建立 的方程是 æ =2 3 ç è2 - ö, 得 =1, 故点 的坐标为 (1,-1); ø 1 1 1O 1 O 1 1 图 1 1 4 æ 3 当点 在 轴的左侧时 (0), 建立 的方程是 -=2 3 ç è2 - ö, 得 =3>0( 舍去 ), ø 故所求点 的坐标为 (3,1) 或 (1,-1). 3. 动态几何题 例 3 已知线段 =10, 点 在线段 上, 且 =6, 以 为圆心 为半径作, 点 在 上, 以 为圆心 为半径作, 射线 与 交于点 Q( 不与点 重合 ). (1) 当 过点 时 ( 图 1 1 5), 求 Q 的长 ; Q Q 图 1 1 5 图 1 1 6 (2) 当点 Q 在线段 上时 ( 图 1 1 6), 设 =,Q =, 试求 关于 的函数关系式, 并写出自变量的取值范围 ; (3) 当由 Q 四点构成的四边形是梯形时, 求 的长. 解析 : 许多同学读了一遍题之后, 短时间内不能理顺关系, 不知所云. 如何审题? 审题到底审什么? 根据这类问题的特点, 我们可以进行结构化的审题. 审背景图形 : 根据背景图形的特点, 联想与之相关的常规基本方法. 如本题是以圆为背景的问题. 联想到常规思路是通过构造弦心距, 转化成直角三角形的问题来解决, 同时常常用到 圆中半径相等 这一个隐含条件. 审运动规则 : 图形中的点是根据什么规则运动的? 把握好运动的规律, 才能建立正确函数关系. 本题中 的圆心确定, 而半径 的大小随着点 在圆 上的位置不同而产生变化, 因此射线 与 的交点 Q 的位置也在相应地发生变化. 审运动范围 : 运动过程中哪个是主动点, 哪个是被动点, 它们被限制在什么范围? 临界位置在何处? 我们在读题时应仔细阅读, 并加以标注, 因为它往往涉及函数的自变量取值范围. 6

一 咬文嚼字弄清题意 由于本题的背景图形和运动规则不明显, 需要重新画图以便进一步理顺关系, 过程性地展 示复杂图形的形成过程, 从运动变化的观点理解问题. (1) 关注到图形中的隐含条件 =Q,=, 可以通过三角形相似解决. 由于 Q 在 上, 则 =Q, 于是 = Q, 由于 过, 则 =, 于是 =, 故 Q =, 又 =, 故 Q, 于是 2 =Q, 即 6 2 =10 Q, 因此 Q =3.6. (2) 和 分别是小圆的弦和大圆的半径, 因而联想弦心距构造直角三角形运用勾股定理 建立方程. 作 H Q, 垂足为 H, 则 QH =H = 2 ( 图 1 1 7). 且 Q 2 -QH 2 = 2 -H 2, 而 H =- 2, 且 Q =6, 故 36-2 4 =100- æ - ö ç è 2 ø 解之得 := 2-64. 1 如何求解自变量的取值范围? 2, H Q 图 1 1 7 关注的视角 : 关注到主动点 在 上, 为半径, 而当 和点 ' 重合 和点 重合 时 ( 图 1 1 8), 取得最大值 16 和最小值 4; 同时关注到被动点 Q 在线段 上, 那么何时 Q 在线段 上呢? 这对同学们空间想象 能力提出了较高的要求, 因此, 我们再次画图, 可以发现有时 Q 在 的延长线上, 有时在线段 上, 而它们的临界位置就是 Q 两点重合. 2 如何求解? 1 结合图形进行推理 : 当 Q 重合时, 直线 和圆 相切 ( 图 1 1 8), 由勾股定理知 = =8. Q() 图 1 1 8 =8. 2 运用函数的观点, 此时 的值恰好为 0, 代入到前面所求的解析式中容易得到 = 所以 8 16. 在审题时既要关注主动点的运动范围, 又要关注被动点的运动范围 ; 有时需要找到特殊的 临界位置, 画出示意图转化成新的几何计算问题求解, 或运用函数进行求解. (3) 四个点构成梯形, 显然对梯形的底边需要进行分类讨论, 由题意显然有 Q 不成 立, 于是有 : 情况一如图 1 1 9, Q 四点构成的四边形是梯形, 且 Q, 则 = Q, 10 即 6 =. 7

给力数学 : 中考数学压轴题 又 Q== 2-64, 10 故 6 =, 由于 >0, 因此解得 =4 10. 2-64 往往许多同学做到这里就结束了, 我们关注到 (2) 中条件 当点 Q 在线 Q 图 1 1 9 段 上时, 显然不能被题目中所给图形所蒙蔽, 而应继续考虑 当点 Q 在线段 的延长线 上时, 所以 : 情况二如图 1 1 10, Q 四点构成的四边形是梯形, 且 Q, 则 = Q, 4 即 6 =. 而此时 (2) 中的 Q== 2-64 是不成立的. 所以作 H Q, 垂足为 H, 则 QH =H, 且 Q 2 -QH 2 = 2 -H 2, 即 36-QH 2 =100-(+QH) 2, 即 QH = 64-2 2, 则 Q= 64-2, 4 于是 6 =, 又 >0, 因此解得 = 8 64-2 5 10. Q H 图 1 1 10 8 综合, 当 Q 四点构成的四边形是梯形时, 的长为 4 10 或 5 10. 许多同学会把第二种情况忽略掉, 显然还是审题的问题, 我们应该注意审清楚三小题之间 的结构问题,(1) 是特殊情况 ;(2) 中有前提条件 当点 Q 在线段 上时, 而 (3) 中没有任何前 提, 所以应该是考虑运动的全过程, 不能受到题目中所给图形的影响. 8

二 模式识别形成套路 二 模式识别形成套路 数学解题中的模式识别来源于解题的一个基本经验 : 拿到一道题目, 我们总是首先辨别它是否属于已经掌握的类型, 如果属于, 那就提取出解决该类型的方法来解答 ; 如果不是直接属于, 那我们会设法进行一些变化 ; 如果无论如何变化都不属于时 ( 题目比较陌生或比较复杂 ), 我们再考虑其他的途径. 这就是模式识别的解题策略. 模式识别这一解题策略体现了化归思想, 有时遵循化陌生为熟悉的 熟悉化原则, 有时遵循将问题分解为若干个基本问题的 简单化原则. 在解中考数学综合题时, 基本问题 的思想是这一策略的重要体现, 积累 基本问题 也就成为提高这一策略效率的捷径. 1. 与线段中点有关的几何综合题 在几何图形中, 与线段中点有关的问题很多, 中点问题是每年中考的必考题型, 一般来说, 遇到中点问题, 我们主要从以下几方面进行解读. (1) 还原中心对称图形 ( 倍长中线 8 字形全等 ) 由于线段本身就是中心对称图形, 而中点就是它的对称中心, 所以遇到线段中点的问题, 依托中点借助辅助线还原中心对称图形, 这样就能将分散的条件巧妙地集中起来, 这是解决线段中点问题最常采用的方法. (2) 构造中位线因为三角形中位线在位置关系和数量关系两方面将三角形中的有关线段沟通起来, 能将三角形中分散的条件集中起来, 或者使图形中隐藏的条件显露出来, 所以借助三角形的中位线也是解决中点问题的另一个有力武器. 当图形中有中点时, 常考虑三角形的中位线, 必要时还可以作辅助线构造三角形的中位线. (3) 与等面积相关的图形变换线段中点的本意, 在研究三角形的面积问题时, 往往提供了底边相等的条件. (4) 等腰三角形中的 三线合一 三线合一 是初中阶段平面几何中一个非常重要的结论和解题工具, 运用得好往往会使我们的思考过程 柳暗花明. (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其与圆的结合 ( 图 1 2 1) O 图 1 2 1 9

给力数学 : 中考数学压轴题 我们先从一个简单的问题出发, 看看线段中点在平面几何有关问题的解决中如何产生神 奇的作用的. 例 1 如图 1 2 2 所示, 在梯形 中,, =90. 若 =, 是 的中点, 试问 : 与 的大小关系如何? 请写出你的结论并加以证明. 解析 :(1) 首先, 因为已知 =, 是 的中点, 即点 是等 G 腰三角形 底边的中点, 所以第一反应就是 三线合一. 如图 1 2 2 所示, 连接, 则. 所以 + =90. 这跟题目结论中要探索的 有直接关系. (2) 其次, 又因为已知 =90, 我们想到直角三角形. 延长 与 的延长线交于点 G, 则得到 Rt G. 图 1 2 2 考虑到已知, 是 的中点, 那么我们在得到 Rt G 的同时, 还神奇地 围绕着中点 还原了中心对称图形, 即 G. 所以 =G. 从而点 成为 Rt G 斜边 G 的中点, 所以 = =G, =. 又因为 + = =90, 故这又跟题目结论中要探索的 有直接 关系. (3) 由 + =90, + =90, 可得 = =. 在例 1 中, 我们利用了点 的双重身份, 既是等腰三角形底边中点又是直角三角形斜边 中点, 在直角梯形搭建的舞台上探索了 与 的大小关系. 相信通过这道题的分 析, 同学们会对线段中点在解题中的运用, 在原有认识的基础上又有新的提高. 例 2 我们给出如下定义, 有一组相邻内角相等的四边形叫作等邻角四边形. 请解答下列问题. (1) 写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称 ; (2) 如图 1 2 3 所示, 在 中, =, 点 在 上, 且 =, 点 分别为, 的中点, 连接 并延长 G 图 1 2 3 交 于点 G. 求证 : 四边形 G 是等邻角四边形. 解析 : 这道题目比较新颖, 属于所谓的创新题型, 题目中先给出等邻角四边形的定义, 然后根据这个定义在图 1 2 3 中完成证明. 图形本身不是很复杂, 是等腰三角形的组合, 但是难点仍然有两处, 需要各个击破, 否则题目难以完成. 第一个难点就在于已知给出的两个中点, 即 点 分别为 的中点, 因为 共线且不在同一个三角形中, 所以发挥不了这两个中点的作用. 第二个难点在于不能确定待证的等邻角四边形中哪两个相邻内角相等, 尤其是当中点的条件没有想好时. 所以下面我们就重点围绕这两个中点做文章. 考虑到上面我们提到点 共线且不在同 10

二 模式识别形成套路 一个三角形中, 所以得另找中点将这两个中点沟通起来. 如图 1 2 4 所示, 我们取 边的中点 K, 连接 K K. 这样出现了两条中位线, 即 K 成为 的中位线,K 成为 的中位线, 借助这两条辅助线就把两个中点 和 沟通起来了. 根据三角形中位线的性质, 有 K,K, 所以 3= 4, 1= 2, 同时还有 K = 1 2,K = 1 2. G 2 K 3 1 4 图 1 2 4 而 ==, 故 K =K. 所以 1= 3, 2= 4. 所以 G= G. 所以四边形 G 是等邻角四边形. 通过本题的学习研究, 我们发现当图形中出现不止一个中点时, 应该及时地想到继续构造中点, 从而得到中位线, 实现等线段 等角的转移, 必要时借助适当的辅助线沟通题目中原本不相关的已知条件是解决此类问题的较好途径. 2. 与角平分线有关的几何综合题 前面谈了线段中点的 基本问题 在解几何综合题中的应用, 再来谈谈应用角平分线的 基 本问题, 解几何综合题. 角平分线最重要的性质是它的轴对称性, 其他的性质都可由此推出. 所以, 遇到与角平分 线有关的问题时, 首先应该想到它的轴对称性. 例 3 如图 1 2 5, 已知 : 为 的角平分线, = 2. 求证 :=+. 解析 : 在 上截取 =, 连接. 1 因为 平分, 所以. 图 1 2 5 所以 =, 1=. ( 这就是角平分线轴对称性的具体体现, 也是做题时常见的操作方法 ) 因为 =2, 则 1=2. 所以 =, 从而 ==. 所以 =+=+. 一般来说, 当三角形中出现二倍角时, 可以通过上面的辅助线借助三角形全等把二倍角转 化为等角, 这是处理这一类问题的比较好的途径. 例 4 如图 1 2 6 所示, 已知 =, 为 的角平分线, =100. 求证 := +. 解析 : 此题图形简洁, 内涵丰富, 要仔细挖掘隐含其中的性质. 图 1 2 6 11

给力数学 : 中考数学压轴题 作为角平分线, 它的轴对称性必然要在图形中体现出来. 所以我们还是以 为轴在图上构造三角形全等 ( 具体作法同上, 在 上截取 =), 这时候我们就会发现已知 =, =100 的巧妙之处. 因为 = = =60, =2. 即在 中, 是 的角平分线, =2, 这跟上面的例题完全相同了. 所以不难得出 = +. 下面来看具体解答过程. 在 上截取 =, 连接. 因为 平分, 故. 所以 =. 又因为 =, =100, 所以 = = =60, =40, =20. 所以 平分, =2. 易证 =+. 所以 =+=+=+=++=+, 即 = +. 这是一道几何综合题, 形式简洁, 具有一定的思维难度, 是一道开阔思维 锻炼解题能力的好题. 表面上看, 这道题和上面的例题类似, 已知和求证部分都很接近, 但是真正动手做起来, 就会发现难度不小. 因为在本题中, 和 这样的三条线段无论在位置关系还是在数量关系上都很难直接建立联系. 而从问题的解决过程来看, 平时 基本问题 的积累是多么重要! 3. 几何综合题的演变 我们再来观察 比较几道几何综合题, 这几道题目是我们从全国各地的中考试题中挑选出来的, 同学们看看有什么发现. 例 5 如图 1 2 7, 一个含 45 角的三角板 H 的两条直角边与正方形 的两邻边重合, 过点 作 交 的角平分线于 点, 试探究线段 与 的数量关 系, 并说明理由. H 图 1 2 7 证明 : 由已知可得, H =,H =, H=, 所以 H, 这样可以得到 =. 例 6 (1) 如图 1 2 8 所示, 在正方形 中,M 是 边 ( 不含端点 ) 上任意一 点, 点 是 延长线上一点,N 是 的平分线上一点. 若 MN=90, 求证 :M =MN. 12

二 模式识别形成套路 (2) 若将 (1) 中的 正方形 改为 正三角形 ( 图 1 2 9),N 是 的平 分线上一点, 则当 MN =60 时, 结论 M =MN 是否还成立? 请说明理由. N N M M 图 1 2 8 图 1 2 9 (3) 若将 (1) 中的 正方形 改为 正 n 边形. 请你做出猜想 : 当 MN = 时. 结论 M =MN 仍然成立.( 直接写出答案, 不需要证明 ) 证明 (1) 在边 上截取 =M, 连接 M. 在正方形 中, = =90, =, 故 =M, 则 M =45, 即 M =135, MN =90 +45 =135, 所以 NM=180 - MN - M=180 - - M= M. 又因为 M = MN, 故 M MN, 所以 M =MN. (2)M =MN 仍成立, 证法与 (1) 类似, 在 边上取 =M. 然后证明 M MN. (3) ( n-2)180. n 例 7 如图 1 2 10, 已知在正方形 中,=2, 是边 上的任意一点, 是边 延长线上一点, 连接. 过 点 作, 与 的平分线 相交于点. 连接, G 与边 相交于点 G, 连接 G. (1) 求证 :=; (2) G 的半径分别是 和 G, 试判断 与 G 的位置关系, 并说明理由 ; 图 1 2 10 (3) 当 取何值时,G. 例 8 如图 1 2 11 所示, 边长为 5 的正方形 O 的顶点 O 在坐标原点处, 点 分别在 轴 轴的正半轴上, 点 是 O 边上的点 ( 不与点 重合 ),, 且与正方形外角平分线 G G 交于点. (1) 当点 坐标为 (3,0) 时, 试证明 =. (2) 如果将上述条件 点 坐标为 (3,0) 改为 点 坐标为 (t, 0)(t>0), 结论 = 是否仍然成立, 请说明理由. O 图 1 2 11 (3) 在 轴上是否存在点 M, 使得四边形 M 是平行四边形? 若存在, 用 t 表示点 M 的坐标 ; 若不存在, 说明理由. 解析 : 看完以后, 我们是不是感觉到这四道题基本上是相同的, 那相同在什么地方呢? 仔细观察每个题目的图形, 就会发现都存在下面如图 1 2 12 所示的基本图形. 13

给力数学 : 中考数学压轴题 在图 1 2 12 中, 点 是正方形 中 边上的一点, 是正方形的外角平分线, 且. 如果我们稍微把注意力集中在外角平分线 上, 就能想到连接 后得到 ( 图 1 2 13), 所以 = =90, 这样就会联想到辅助圆 : 点 在以 为直径的 O 上 ( 图 1 2 14). 根据圆周的性质, = =45, 因此 是等腰直角三角形, 所以 =. 这样就解决了上述几道题共性的地方. 也就是例 7 的第 (1) 小题, 以及例 8 的第 (1) 小题和第 (2) 小题. 图 1 2 12 图 1 2 13 O 1 Q 2 图 1 2 14 图 1 2 15 当然, 我们还可以站在直线型的角度用全等三角形来解决. 如图 1 2 15 所示, 在边 上截取 Q=, 连接 Q. 这一次我们把注意力集中在外角平分线 带来的 =135 上, 因为 Q=, 则 Q=, 所以 Q=135 =. 由 得 1= 2, 根据 角边角 可以证明 Q, 于是 =. 直线型里还有一个重要的工具 三角形的相似, 能不能用 来解决问题呢? 不妨过点 作 R 于点 R( 图 1 2 16), 在 Rt R 中, R=45, 则设 R=R=a. 由 易 得 R, 得 =R R. 若正方形边长 =, =, 则比例式 =-+a a, 整理得 2 - (a +) +a =0, 1 2 图 1 2 16 R (-a)(-)=0, 所以 =a, 或 =( 一般情况下舍去 ), 这样 R=R=, 所以 R, 于是 = 得证. 图 1 2 12 到图 1 2 16 的过程, 我们从几何的直线型与圆两方面对图形进行了分析, 其中直线型又分成三角形全等和相似两种情况. 在解题方法上, 采用了代数中的设元思想 方程思想, 从上面的分析过程可以看出, 对于几何综合题要善于 分解 为若干个基本问题和基本图形, 并综合这些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考, 则能快速找到解题途径. 当然还得要求我们平时做好一部分典型题, 这样遇到综合题才能发散思维 迁移联想, 将未知问题转化为已知问题, 一步一步地取得完整的结论. 14

二 模式识别形成套路 下面给出例 7 第 (2) 小题的判断两圆位置关系的解答 : 与 G 的位置关系是外切. 如图 1 2 17 所示, 延长 至点 M, 使 M =G. 连接 M, 则 G M, 于是 G=M, G= M. 再利用 =, =45, 可证 M= M+ = G + =45, 从而 M G. 所以 M = G. 则 +G=G. 因而半径分别是 和 G 的 与 G 是外切的. 例 8 第 (3) 小题的解答如下 : 由 G, 可得 G= G=45, 所以 =G,=G. 设 =G=, 则 =G=2-,G=2. 在 Rt G 中,(2) 2 =(2-) 2 +(2-) 2, 解得 =2 2-2 故当 =2 2-2 时,G. 至于例 8 的第 (3) 问 : 在 轴上是否存在点 M, 使得四边形 M 是平行四边形? 答案 是显然存在的. G 4 3 1 N M G M 2 O 图 1 2 17 图 1 2 18 如图 1 2 18 所示, 设 轴上的点 M 满足 M =O, 则四边形 M 必为平行四边形. 此时, 易得 M O, 所以 M ==, 3= 1, 则 N=180-3- 4= 180-1- 4=90. 于是 N=, 所以 M, 根据一组对边平行且相等, 所以四边形 M 是平行四边形. 此时点 M 的坐标为 (0,5-t). 4. 旋转探密 例 9 如图 1 2 19, 正方形 中, 分别在边 上, =45. (1) 求证 :+=. (2) 如图 1 2 20, 正方形 中, 分别在边 和 的延长线上, 且满足 =45, 求证 :=-. 图 1 2 19 图 1 2 20 15

给力数学 : 中考数学压轴题 解析 : 本题第 (1) 问是考生熟悉的, 只要将 顺时针旋转 90, 就能解决问题 ; 第 (2) 问可以将第 (1) 问的核心步骤做如下总结 : 将 顺时针旋转 90 得 G, 即构造 G, 然后证明 G, 将所需证明的三条边集中到一条线段中得到证 明. 根据连续不变性, 虽然图形发生了改变, 上述三个核心过程不变, 只要按照上述三个核心 思路, 就能证得结论. (1) 如图 1 2 21, 过 作 的垂线交 延长线于 G, 由 G+ =90 和 + =90 知 : G= ; ì G=, 在 G 和 中, í=, î G= =90, G 所以 G, 图 1 2 21 所以 G=,G=. 又因为 G= G- =90-45 =45, 所以 G= =45, ì G=, 在 G 和 中, í G=, î=, 所以 G, 所以 =G. 所以 =G=G+=+, 即 +=. (2) 如图 1 2 22, 过 作 的垂线交 于 G, 由 G+ G =90 和 + G =90 知 : G = ; 在 ì G=, G 和 中, í=, î = =90, 所以 G. G 所以 G=,G=. 又因为 G= G- =90-45 =45, 所以 G= =45, ì G=, 在 G 和 中, í G=, î=, 图 1 2 22 所以 G, 所以 =G. 所以 =G=-G=-, 即 =-. 从解题过程中可以看出, 第 (1) 问和第 (2) 问虽然结论不同, 但体现结论本质的三个核心步 骤都没有发生改变, 这就是连续不变性. 例 10 (1) 如图 1 2 23, 四边形 满足 + =180,=, = 1 2, 证明 :+=; (2) 在 (1) 中, 将 绕点 旋转, 使点 分别在边 和 的延长线上, 如图 1 2 24, 证明 :=-. 16

二 模式识别形成套路 图 1 2 23 图 1 2 24 解析 : 本题条件与例 9 非常相似, 因此, 可以使用类似于例 9 的方法处理本题的第 (1) 问, 然后再利用连续不变性, 依照第 (1) 问的解题思路来解决第 (2) 问. (1) 如图 1 2 25, 过 作射线 G, 使 G=,G 交 延长线于 G, 由 + =180 以及四边形内角和为 360, 得 : + =180, 又因为 + G=180, 所以 G=. ì G G=, 在 G 和 中, í=, 图 1 2 25 î G=, 所以 G, 所以 G=,G=. 又因为 = 1 2, 所以 + = = 1 2, 结合 G=, 有 + G=, 即 G=. ì G=, 在 G 和 中, í G=, î=, 所以 G, 所以 =G. 所以 =G=G+=+, 即 +=. (2) 如图 1 2 26, 在 上取点 G, 使 G=, 利用同 (1) 的方法, 类似得 : G, 所以 G=, G, 所以 =G=-G, 所以 =-. 本题是例 9 的推广, 例 9 可以看成是将本题条件下的四边形 特殊化为正方形的情况. 这种模型简称 大角夹半 模型, G 图 1 2 26 是许多中考试题和中考模拟题的出题原型. 以本题为例, 大角夹半 模型的解题的核心思路为 : (1) 将 顺时针旋转 的度数得 G, 得到 G ; (2) 证明 G ; 17

给力数学 : 中考数学压轴题 (3) 通过 (1) 和 (2) 中得的全等三角形, 将所需证明的三条边集中到一条线段中得到证明. 例 11 在等边 的两边 所在直线上分别有两点 M N, 为 外一 点, 且 MN =60, =120,=. 探究 : 当 M N 分别在直线 上移动时, M N MN 之间的数量关系及 MN 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系. 关系是 (1) 如图 1 2 27, 当 M N 在边 上, 且 M =N 时,M N MN 之间的数量 Q ; 此时 L = ; (2) 如图 1 2 28, 点 M N 在边 上, 且当 M N 时, 猜想 (1) 中的两个结论 仍然成立吗, 写出你的猜想并加以证明 ; (3) 如图 1 2 29, 当 M N 分别在边 的延长线上时, 探索 M N MN 之间的 数量关系如何? 并给出证明. 若 N =, 则 Q= ( 用 L 表示 ). N N M N M M 图 1 2 27 图 1 2 28 图 1 2 29 解析 : 第 (1) 问, 图形完全对称, 容易证明 M =N, MN 为正三角形, M = N=30, = =90, 就不难得到答案 ; 第 (2) 问, 四边形 中, + =180, MN = 1 2 =60, =, 符合 大角夹半 模型的条件, 因此, 根据例 9 的核心思路就不难得到答案 ; 第 (3) 问, 利用连续不变性, 并根据例 9 的核心思路就可以得到相近的结论. (1)M N MN 之间的数量关系为 M +N =MN, Q L =2 3 ; (2) 猜想 : 结论仍然成立. 证明 : 如图 1 2 30, 延长 至, 使 =M, 连接, 因为 =, 且 =120, 所以 = =30, 又 是等边三角形, 所以 M= N=90, ì M =, 在 M 与 中, í M=, î =, 所以 M, 所以 M =, M =, M N 图 1 2 30 18

二 模式识别形成套路 所以 N = N+ = N+ M = - MN =60. 所以 MN = N. ì M =, 在 MN 与 N 中, í MN = N, în =N, 所以 MN N, 所以 MN =N=N+=N+M, MN 的周长满足 : Q =M +N +MN =M +N +(N+M ) =(M +M )+(N +N)=+=2, 又因为 L=3, (3)Q=2+ 2 3 L. Q 所以 L =2 3 =2 3. 第 (3) 问只要遵循第 (2) 问的核心思路就可以了, 与例 9 的 3 个核心步骤完全一致, 只要将 M 顺时针旋转 120 得到 M, 然后再证明 MN N 就是可以得 到 :N =MN +M, 就不难得到 Q=2+ 2 3 L. 5. 将军饮马问题 在解代数几何综合题中的应用 问题如图 1 2 31, 古希腊一位将军要从点 出发, 到河 边 M N MN 去饮马, 然后再回到驻地点. 问 : 怎样选择饮马地点, 才能使路程最短? 图 1 2 31 解析 : 在河边饮马的地点有多处, 把这些点与 两点连接起来的两条线段的长度之和, 就是从 地到饮马地点, 再回到 地的路程. 现在的问题是怎样找出使两条线段的长度之和为最短的那个点. 在图 1 2 32 中, 过点 作河边 MN 的垂线, 垂足为点, 延长 到点 ', 点 ' 是点 对于河边 MN 的对称点, 连接 ', 交河边 MN 于点, 那么点 就是题目中所求的饮马地点. 利用轴对称思想, 将该问题转化为 两点之间线段最短, 即 三角形的两边之和大于第三边 的问题. 饮马问题可归为 求 M N 图 1 2 32 定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值 的问题的数学模型. 这一基本问题在近几年的中考中发挥着举足轻重的作用. 例 12 如图 1 2 33, 一次函数 =k+b 的图像与, 轴分别交于点 (2,0),(0,4). (1) 求该函数的解析式 ; (2)O 为坐标原点, 设 O 的中点分别为, 为 O 上一动点, 求 + 的最小值, 并求取得最小值时点 的坐标. 解析 : 利用待定系数法易求得函数解析式 ; 求 + 的最小值时既可以用代数方法求解, 也能用几何方法求出, 关键还是正确地找到能使 + 的值最小的点的位置. 19

给力数学 : 中考数学压轴题 (1) 将 (2,0),(0,4) 代入 =k+b, 得 2k+b=0, k=-2, 解得 { b=4. { b=4. 所以一次函数解析式为 =-2+4. O O 图 1 2 33 图 1 2 34 (2) 如图 1 2 34, 设点 关于点 O 的对称点为 ', 连接 ' ', 则 ='. 所以 +='+ ', 即 ' 共线时,+ 的最小值是 '. 连接, 在 Rt ' 中, '= ' 2 + 2 =2 2, 因为 O= 1 2 =1 2 2=1, 所以点 的坐标为 (0,1). 例 13 如图 1 2 35, 抛物线 =- 2 +b+c 与 轴交于 (1,0),(-3,0) 两点. (1) 求该抛物线的解析式 ; (2) 设 (1) 中的抛物线交 轴于点, 在该抛物线的对称轴上是 Q 否存在点 Q, 使得 Q 的周长最小? 若存在, 求出点 Q 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. O 解析 :(1) 将 (1,0), (-3,0) 代入 = - 2 +b +c 图中, 得 1 2 35-1+b+c=0, b=-2, 所以 {-9-3b+c=0. { c=3. 所以抛物线解析式为 =- 2-2+3. (2) 存在. 理由 : 由于 长度一定, 所以 Q 周长最小, 就是使 Q +Q 最小. 由题意, 两点关于抛物线的对称轴 =-1 对称, 则 Q=Q, 所以 Q +Q=Q+Q, 当 Q 三点共线时,Q+Q 有最小值, 故直线 与 = -1 的交点即为点 Q, 此时 Q 的周长最小. 因为 =- 2-2+3, 所以 的坐标为 (0,3). 设直线 的解析式是 =k+b, 将 (-3,0),(0,3) 代入, 得 -3k+b=0, k=1, 解得 { b=3. { b=3. 所以直线 的解析式是 =+3. 20

二 模式识别形成套路 =-1, =-1, 解方程组解得 { =+3, { =2. 所以 Q 的坐标为 (-1,2). 例 14 如图 1 2 36, 抛物线 = 2 +b+c 与 轴交于 (-1,0),(3,0) 两点. (1) 求该抛物线的解析式 ; O (2) 设 (1) 中的抛物线上有一个动点, 当点 在该抛物线上 滑动到什么位置时, 满足 S =8? 并求出此时点 的坐标 ; (3) 如图 1 2 37, 设 (1) 的抛物线交 轴于点, 在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q, 使得 Q 的周长最小? 求出点 Q 的 图 1 2 36 坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 解析 :(1) 因为抛物线 = 2 +b+c 与 轴交于 (-1, 0) (3,0), 1-b+c=0, b=-2, 所以解得 { 9+3b+c=0, { c=-3. 所以该抛物线的解析式为 = 2-2-3. O Q (2) 设点 的坐标为 (,), 因为 S = 1 2 =8, =4, 所以 =4. 图 1 2 37 当 =4 时, 2-2-3=4, 解得 1=1+2 2,2=1-2 2. 当 =-4 时, 2-2-3=-4, 解得 =1. 因此, 满足条件的点 有 3 个 :(1+2 2,4),(1-2 2,4),(1,-4). (3) 如图 1 2 37, 因为 长度一定, 所以 Q 周长最小, 就是使 Q +Q 最小. 连接 交对称轴于点 Q. 因为 Q=Q, 所以 Q+Q=Q+Q, 所以当 Q 三点共线时,Q+Q 有最小值. 因为直线 的解析式为 =-+3, 又抛物线的对称轴为 =1, 所以 Q 的坐标为 (1,-2) 时,Q+Q 最小, 即 Q 的周长最小. 下面再来看 将军饮马问题的推广 及其在解代数几何综合题中的应用. 推广如图 1 2 38, 一牧人要从点 出发, 到草地 MN 去 M N 喂马, 该牧人在傍晚回到营帐 之前, 先带马到小河边 Q 给马 饮水. 试问 : 牧人应走怎样的路线, 才能使整个路程最短? 解析 : 在草地 MN 处喂马的地点有多处, 在河边 Q 饮马 Q 的地点也有多处, 分别设为点, 则所求的路程为 + +. 现在的问题是如何在 MN 和 Q 上分别找出点 和点, 使 得 ++ 最短. 图 1 2 38 如图 1 2 39, 若点 已确定, 问题转化为 将军饮马问题, 即求 定直线上一动点与直线外两定点之间的距离之和最小 的问题. 作点 关于 Q 的对称点 ', 连接 ' 交 Q 于点. 所以 + 的最小值为 '. 21

给力数学 : 中考数学压轴题 则总路程为 +'. 如何求 +' 的最短距离呢? 因为点 ' 已固定, 问题又转为 将军饮马问题, 即 求直线 MN 上动点与直线 MN 外两定点 和点 ' 之间距离和的最小 M N 值. 作点 关于直线 MN 的对称点 ', 作点 关于直线 Q 的对称点 ', 连接 '', 分别交 MN 于点, 交 Q 于点, 点 即为所求的点, 使得路程 ++ 最短. 图 1 2 39 Q 例 15 如图 1 2 40, 以矩形 O 的顶点 O 为原点, O 所在的直线为 轴,O 所在的直线为 轴, 建立平面直角坐标 系, 已知 O =3,O =2, 是 的中点, 在 O 上取一点, 将 沿 翻折, 使点 落在 边上的点 处. (1) 直接写出点 的坐标 ; (2) 设顶点为 的抛物线交 轴正半轴于点, 且以点 为顶点的三角形是等腰三角形, 求该抛物线的解析式 ; 图 1 2 40 (3) 在 轴 轴上是否分别存在点 M N, 使得四边形 MN 的周长最小? 如果存在, 求出周长的最小值 ; 如果不存在, 试说明理由. 解析 :(1)(3,1);(1,2). (2) 在 Rt 中, =90, 所以 = 2 + 2 = 1 2 +2 2 = 5. 设点 的坐标为 (0,n), 其中 n>0, 因为顶点 (1,2), 所以设抛物线的解析式为 =a(-1) 2 +2(a 0). O H O O 图 1 2 41 图 1 2 42 1 如图 1 2 41, 当 = 时, 2 = 2, 所以 1 2 +(n-2) 2 =5, 解得 n1=0( 舍去 );n2=4. 所以 (0,4). 所以 4=a(0-1) 2 +2. 解得 a=2. 所以抛物线的解析式为 =2(-1) 2 +2. 22

二 模式识别形成套路 2 如图 1 2 42, 当 = 时, 2 = 2, 所以 (1-n) 2 +9=(2-n) 2 +1. 解得 n=- 5 2 ( 舍去 ). 3 当 = 时,= 53, 这种情况不存在. 综上所述, 符合条件的抛物线解析式是 =2(-1) 2 +2. (3) 存在点 M N, 使得四边形 MN 的周长最小. 如图 1 2 43, 作点 关于 轴的对称点 ', 作点 关于 轴的对称点 ', 连接 '', 分别与 轴 轴交于点 M N, 则点 M N 就是 所求点. 所以 '(3,-1),'(-1,2),N=N',M=M'. 所以 '=4,'=3. 所以 N+NM+M='N+NM+M'=''= 3 2 +4 2 =5. 又因为 = 5. 所以 N +NM +M+=5+ 5, N O M 图 1 2 43 此时四边形 MN 的周长最小值是 5+ 5. 例 16 已知抛物线 =a 2 +b+c 与 轴交于点 (0,3), 与 轴分别交于 (1,0) (5,0) 两点. (1) 求此抛物线的解析式. (2) 若点 为线段 O 的一个三等分点, 求直线 的解析式. (3) 若一个动点 自 O 的中点 M 出发, 先到达 轴上的某点 ( 设为点 ), 再到达抛物线的对称轴上某点 ( 设为点 ), 最后运动到点. 求使点 运动的总路径最短的点 点 的坐标, 并求出这个最短总路径的长. 解析 :(1) 因为抛物线 =a 2 +b+c 经过点 (1,0) (5,0) (0,3), 所以 =a(-1)(-5). 所以 3=5a. 所以 a= 3 5. 所以抛物线的解析式为 = 3 5 ( -1)(-5)= 3 5 2-18 5 +3=3 5 ( -3) 2-12 5. (2) 当 的坐标为 (0,1) 时, 直线 的解析式为 =- 1 5 +1. 当 的坐标为 (0,2) 时, 直线 的解析式为 =- 2 5 +2. (3) 如图 1 2 44, 点 (0,3) 关于抛物线的对称轴对称的 æ 点为 '(6,3), 点 M 0, 3 ö æ ç 关于 轴对称的点为 M' 0,- 3 ö ç è 2 ø è 2 ø ì6k+b=3, 设直线 'M' 为 =k+b, 则 í b=- 3 î 2.. M O M 所以 k= 3 4, b=- 3 2, 所以直线 'M' 为 = 3 4-3 2. 图 1 2 44 23